结构动力学word版
结构动力学完整ppt课件
输出 （动力反应）
.
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
本课程主要介绍结构的反应分析
任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找
结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
结构动力学是研究结构、动荷载、结构反应三者关 系的学科。
.
当前结构动力学的研究内容为:
第一类问题：反应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第三类问题：荷载识别。
输出 （动力反应）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
11
l3 3 EI
柔度系数
m y (t)3lE3 Iy(t)P(t)
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
.
二、刚度法
P(t)
m
1
m y(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11y(t)
k 1y 1 (t)P (t) m y (t)
EI
m
l/2
l/2
W
m y(t)
1
11
st y(t)
Y(t)y(t)st
加速度为
Y(t) y(t)
y (t) s t 1[P 1 (t) W m y (t)]
st W11
结构动力学
在线测试题试题库及解答(第十章)结构动力学(word文档良心出品)
在线测试题试题库及解答第十章结构动力学基础一、单项选择题1、结构的主振型与什么有关？A、质量和刚度B、荷载C、初始位移D、初始速度标准答案 A2、结构的自振频率与什么有关？A、质量和刚度B、荷载C、初始位移D、初始速度标准答案 A3、单自由度体系在简谐荷载作用下，下列哪种情况内力与位移的动力系数相同？A、均布荷载作用B、荷载作用在质点上与质点运动方向垂直C、荷载不作用在质点上D、惯性力与运动方向共线标准答案 D4、具有集中质量的体系，其动力计算自由度A、等于其集中质量数B、小于其集中质量数C、大于其集中质量数D、以上都有可能标准答案 D5、具有集中质量的体系，其动力计算自由度A、等于其集中质量数B、小于其集中质量数C、大于其集中质量数D、以上都有可能标准答案 D6、当简谐荷载作用于有阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远大于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是A、弹性恢复力B、重力C、阻尼力D、惯性力标准答案 D7、设ω为结构的自振频率，θ为荷载频率，β为动力系数下列论述正确的是A、ω越大β也越大B、θ/ω越大β也越大C、θ越大β也越大D、θ/ω越接近1，β绝对值越大标准答案 D8、如果体系的阻尼增大，下列论述错误的是A、自由振动的振幅衰减速度加快B、自振周期减小C、动力系数减小D、位移和简谐荷载的相位差变大标准答案 B9、无阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是A、弹性恢复力B、惯性力C、惯性力与弹性力的合力D、没有力标准答案 D10、有阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是A、弹性恢复力B、惯性力与弹性力的合力C、惯性力D、阻尼力标准答案 D11、当简谐荷载作用于无阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远小于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是A、弹性恢复力B、阻尼力C、惯性力D、重力标准答案 A12、一单自由度振动体系，其阻尼比为ξ，动力系数β，共振时下列结果正确的是A、ξ=0.05，β=10B、ξ=0.1，β=15C、ξ=0.15，β=20D、ξ=0.2，β=25标准答案 A13、一单自由度振动体系，由初始位移0.685cm，初始速度为零产生自由振动，振动一个周期后最大位移为0.50cm，体系的阻尼比为A、ξ=0.05B、ξ=0.10C、ξ=0.15D、ξ=0.20标准答案 A14、在低阻尼体系中不能忽略阻尼对什么的影响？A、频率B、主振型C、周期D、振幅标准答案 D15、单自由度体系受简谐荷载作用，ω为体系自振频率，θ为荷载频率，动位移 y(t)与荷载 P(t) 的关系是A、当θ/ω＞1时，y(t)与P(t)同向，当θ/ω＜1时，y(t)与P(t)反向。
(完整word版)FLAC动力分析
动态多步的调用采用如下命令：
（1）FLAC3D动力分析与一般的等效线性方法有什么区别？
（2）FLAC3D动力分析怎么会采用静力本构模型，比如Mohr-Coulomb模型？
下面就这两个问题展开初步的讨论。
11.
在岩土地震工程中，等效线性方法广泛应用于计算地基土体中波的传播及土与结构的动力相互作用。该方法已被工程师、科研人员广泛接受。而FLAC3D采用的完全非线性方法没有获得广泛使用，因此需要对这两种方法之间的差异做简要介绍。
old_time = clock
end
setup ;执行变量赋值
def wave ;定义动荷载函数
wave = sin(omega * dytime);定义动荷载变量
end
apply xvel = 1 hist wave range z=-.1 .1;施加动荷载
apply zvel = 0 range z=-.1 .1
本章将以FLAC3D为例讨论动力计算的相关内容，FLAC的动力分析可以参照执行。
注意：FLAC和FLAC3D的动力计算十分复杂，读者在阅读本章内容之前要对FLAC3D的静力计算、流体计算十分熟悉，具体可以参阅本书的第7章和第12章的内容。
对于初次接触FLAC3D动力计算的读者，大多数都会提以下2个问题：
其实这是对FLAC3D动力计算的误解。FLAC3D的原理是求解动力方程，所以从其算法上来说，不管是进行静力分析还是动力分析，其实质都是求解运动方程。只是对于静力分析而言，采用了特定的阻尼方式以达到快速收敛的目的。所以，有的场合将FLAC3D的静力分析方法称为“拟动力方法”。相应的，FLAC3D在进行动力分析时，通过求解动力方程理所当然地可以得到合适的动力问题解答。对于本构模型的选择，主要是描述单元的应力-应变关系，如果是弹塑性的，则考虑的是单元的屈服准则、流动法则等。
《结构动力学》PPT课件
P
sin t
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t)
Y
i
Di
(t )
i 1
15
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解:
1 5.692
6
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所 附加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y(x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
j
Y T j
2 j
K
* j
/
M
* j
k Y j
2 j
Y
T j
mY j
折算体系
13
一.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) Yi Di (t)
EI
D2 (t)
2 2
D2
(t )
P2* (t)
/
M
* 2
D2 (t)
0.1054
10 2
Pl 3 EI
s in t
例一.求图示体系的稳态振幅.
(完整word版)结构动力学历年试题
(完整word版)结构动力学历年试题结构动力学历年试题(简答题）1.根据荷载随时间的变化规律,动力荷载可以划分为哪几类？每一类荷载包括哪几种，请简述每一种荷载的特点。
P22.通过与静力问题的对比,试说明结构动力计算的特点。
P33.动力自由度数目计算类4.什么叫有势力？它有何种性质。
P145.广义力是标量还是矢量？它与广义坐标的乘积是哪个物理量的量纲？P166.什么是振型的正交性？它的成立条件是什么？P1057.在研究结构的动力反应时，重力的影响如何考虑？这样处理的前提条件是什么？P328.对于一种逐步积分计算方法，其优劣性应从哪些方面加以判断?P1329.在对结构动力反应进行计算的思路上，数值积分方法与精确积分方法的差异主要表现在哪里？第五章课件10.利用Rayleigh法求解得到的振型体系的基本振型和频率及高阶振型和频率与各自的精确解相比有何特点？造成这种现象的原因何在？P20911.根据荷载是否预先确定，动荷载可以分为哪两类？它们各自具有怎样的特点？P112.坐标耦联的产生与什么有关，与什么无关？P9613.动力反应的数值分析方法是一种近似的计算分析方法，这种近似性表现在哪些方面？P132及其课件14.请给出度哈姆积分的物理意义？P8115.结构地震反应分析的反应谱方法的基本原理是什么？P84总结16.某人用逐步积分计算方法计算的结构位移,得到如下的位移时程的计算结果：。
17.按照是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可以分为哪两类？这两类的优劣性应该如何进行判断？P13218.根据荷载随时间的变化规律，动力荷载可以划分为哪几类？每一类荷载又包括哪些类型，每种类型请给出一种实例。
P219.请分别给出自振频率与振型的物理意义？P10320.振型叠加法的基本思想是什么？该方法的理论基础是什么？P111参考25题21.在振型叠加法的求解过程中,只需要取有限项的低阶振型进行分析，即高阶振型的影响可以不考虑，这样处理的物理基础是什么？P11522.我们需要用数值积分方法求解一座大型的高坝结构的地震反应时程,动力自由度的总数为25000个，我们如何缩短计算所耗费的机时？P10323.什么是结构的动力自由度？动力自由度与静力自由度的区别何在？P11及卷子上答案24.一台转动机械从启动到工作转速正好要经过系统的固有频率（又称为转子的临界转速）,为减小共振，便于转子顺利通过临界转速，通常采用什么措施比较直接有效？简要说明理由。
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
(完整word版)中国叙事学_杨义
中国叙事学杨义结构篇第一一、结构的动词性及“精神契约说”结构一词,在叙事学体系中虽然已经是名词，但从它的中国词源上看，它原本是动词或具有动词性。
我们在考察叙事作品的结构的时候,既要视之为已经完成的存在，又要视之为正在完成中的过程。
寻找“结构”一词在词源上的动词性，实际上乃是寻找结构的生命过程和生命形态。
所谓落笔,就是把作者心中的“先在的心智结构”加以分解、斟酌、改动、调整和完善，赋予外在形态，成为文本结构。
《史记》结构的启迪:（1）结构的各个部分不是对等平列的，而往往是处在立体性的多维的时空之中（本纪、表、书、世家、列传）；（2）一个人物和事件安置在结构中何等位置，具有深刻的意义;（3)结构各部分的总和之外有更为本质价值的深层意义。
结构超越了具体的文字,而在文字所表述的叙事单元之间或叙事单元之外,蕴藏着作者对于世界、人生以及艺术的理解。
在这种意义上说,结构是极有哲学意味的构成,甚至可以说，极有创造性的结构是隐含着深刻的哲学的。
（历史人生哲学；结构逻辑、叙事战略)一个真正的艺术品，它叙事的每一点都是一个完整的结构中蕴涵着特殊意味的一点，它所蕴涵的意味、意义或哲学，都最终在结构的完整性中获得说明。
（结构的曲折、思想的复杂）结构既内在地统摄着叙事的程序,又外在地指向作者体验到的人间经验和人间哲学，而且还指向叙事文学史上已有的结构。
结构动词性的“精神契约说”:结构是作者把自己体验到的人间经验、生存哲学和宇宙意识加以表述的生命过程，意味着结构是人与天地之道一种精神契约。
注重：结构、叙事逻辑、思想三个维度二、道与技的双构性思维中国传统文化从不孤立地观察和思考宇宙人间的基本问题，总是以各种方式贯通宇宙和人间，对之进行整体性的把握.双构思维是渗透于宇宙人间的，无所不在的，它谈此即彼，目光四射.中国人思维方式的双构性以结构之技呼应着结构之道,以结构之形暗示着结构之神，或者说它们的结构本身也是带有表里相应的双构性的，以显层的技巧性结构蕴涵着深层的哲理性结构，反过来又以深层的哲理性结构呼唤着和贯通着显层的技巧性结构。
高等结构动力学【教程】pdf格式
θx ,θy ,θz λ
u 位移向量
Λ
µ
υ ζ, ζ s , ζ a ρ
σ x ,σ y ,σ z , σ
2 2 σ2 x , σ B ( E ), σ D ( E )
V , Vx , V y , Vz
&, w && w, w We , Wi
τ τ xy
φ
& ,Y && , Y Ym , Y m m
D EI f gB , gD G h H ( n)
i I
薄板的弯曲刚度 梁的弯曲刚度 频率 非共振峰因子，共振峰值因子 地震风险分析中的几何系数；Lame 常数 震源深度 接受率
−1 修正的 Mercalli 烈度；冲量 P(t )dt ； 重要度系数（地震设计） 刚度，刚度矩阵，广义坐标下的刚度
8．移动荷载
1
1.2 振动的物理特性
发生在特定的频率范围。运动的车辆可以按照在其静止的重量上增加一个 冲压作用，实践表明这种做法对于一般高速公路和铁路桥设计是可行的， 但是在超高速移动的荷载作用下不一定行得通。机器设备的振动、爆炸和 打桩引起的振动必须借助于动力分析和实验解决。
在很多设计规范中找到，其他类型的荷载不那么常见，有关数据需要查阅 相关的研究文献。本课程的其中一个目标是讨论最重要的几种荷载的动力 特性，为进行相关的动力学分析和研究打下基础。
2．单自由度系统的振动
2．1 引言 2．2 运动方程 2．3 自由振动 2．4 阻尼 2．5 周期激励下的结构响应 2．6 任意激励下的结构响应 2．7 Duhamel 积分 2．8 支座运动 2．9 运动方程的直接积分法
5．地震作用及分析
5．1 引言 5．2 地震的特性 5．3 地震危险性 5．4 反应谱 5．5 地震作用的计算分析
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第十一章结构动力学？？？本章的问题：A.什么是动力荷载？B.结构动力计算与静力计算的主要区别在哪？C.本章自由度的概念与几何组成分析中的自由度概念有何不同？D.建立振动微分方程的方法有几种？E.什么是体系的自振频率、周期？F.什么是单自由度体系的自由振动？G.什么是单自由度体系的受迫振动？H.什么是多自由度体系的自由振动？I.什么是多自由度体系的受迫振动？J.什么叫动力系数？动力系数的大小与哪些因素有关？K.单自由度体系位移的动力系数与内力的动力系数是否一样？L.在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？§11—1 概述前面各章都是结构在静力荷载作用下的计算，在实际工程中往往还遇到另外一类荷载，即荷载的大小和方向随时间而改变，这一章我们将讨论这类荷载对结构的反应。
荷载分：静力荷载：是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载。
在静力荷载作用下，结构处于平衡状态，荷载的大小、方向、作用点及由它所引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化。
动力荷载：在动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，因而其计算与静力荷载作用下有所不同，二者的主要差别就在于是否考虑惯性力的影响。
有时确定荷载是静荷载还是动荷载要根据对结构的反应情况来确定，若在荷载作用下将使结构产生不容忽视的加速度，即动力效应，就应按动荷载考虑。
在工程结构中，除了结构自重及一些永久性荷载外，其他荷载都具有或大或小的动力作用。
当荷载变化很慢，其变化周期远大于结构的自振周期时，其动力作用是很小的，这时为了简化计算，可以将它作为静力荷载处理。
在工程中作为动力荷载来考虑的是那些变化激烈、动力作用显著的荷载。
如风荷载对一般的结构可当做静荷载，而对一些特殊结构往往当做动荷载考虑。
荷载按动力作用的变化规律，又可分为如下几种：(1) 简谐周期荷载这是指荷载随时间按正弦(或余弦)规律改变大小的周期性荷载，例如具有旋转部件的机器在等速运转时其偏心质量产生的离心力对结构的影响就是这种荷载。
这类荷载在工程中见的较多。
(2) 冲击荷载这是指荷载很快地全部作用于结构，而作用时间很短即行消失的荷载，例：如打桩机的桩锤对桩的冲击、车轮对轨道接头处的撞击等。
(3) 突加荷载在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载，例如粮食口袋卸落在仓库地板上时就是这种荷载。
这种荷载包括对结构的突然加载和突然卸载。
这里要注意突加荷载、和冲击荷载的区别。
(4) 快速移动的荷载例如高速通过桥梁的列车、汽车等。
(5) 随机荷载例如风力的脉动作用、波浪对码头的拍击、地震对建筑物的激振等，这种荷载的变化极不规则，在任一时刻的数值无法预测，其变化规律不能用确定的函数关系来表达，只能用概率的方法寻求其统计规律。
3、如果结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用，这种振动就称为自由振动；若在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫振动。
研究自由振动是研究强迫振动的基础。
4、结构动力计算的目的：在于确定动力荷载作用下结构的内力、位移等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。
因此，研究强迫振动就成为动力计算的一项根本任务。
然而，结构在强迫振动时各截面的最大内力和位移都与结构自由振动时的频率和振动形式密切有关，因而寻求结构自振频率和振型就成为研究强迫振动的前提。
§11—2 结构振动的自由度在动力荷载作用下，结构将发生弹性变形，其上的质点将随结构的变形而振动。
质点在振动过程中任一瞬时的位置，可以用某种独立的参数来表示。
例如图11—1a所示简支梁在跨中固定着一个重量较大的物体，如果梁本身的自重较小而可略去，并把重物简化为一个集中质点，则得到图11—1b所示的计算简图。
如果不考虑质点m的转动和梁轴的伸缩，则质点m的位置只要用一个参数y就能确定。
我们把结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目，称为该结构振动的自由度。
据此，图11—l所示的梁在振动中将只具有一个自由度。
结构振动自由度的数目，在结构动力学中具有很重要的意义。
具有一个自由度的结构称为单自由度结构，自由度大于1的结构则称为多自由度结构。
图 11-1在确定结构振动的自由度时，应注意以下几点：不能根据结构有几个集中质点就判定它有几个自由度，而应该由确定质点位置所需的独立参数数目来判定。
例如图11—2a所示结构，在绝对刚性的杆件上附有三个集中质点，它们的位置只需一个参数，即杆件的转角α。
便能确定，故其自由度为1。
又如图11—2b 所示简支梁上附有三个集中质量，若梁本身的质量可以略去，又不考虑梁的轴向变形和质点的转动，则其自由度为3，因为尽管梁的变形曲线可以有无限多种形式，但其上三个质点的位置却只需由挠度y1、y2，、y3，就可确定。
又如图11—2c所示刚架，虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移y1和竖直位移y2：两个独立参数才能确定，因此自由度为2。
图11-2在确定刚架的自由度时，我们仍引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。
根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的自由度数目即等于所加入链杆的数目。
例如图11—2d所示刚架上虽有四个集中质点，但只需加入三根链杆便可限制其全部质点的位置(11—2)，故其自由度为3。
由此可见，自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与结构是否静定或超静定无关。
当然，自由度的数目是随计算要求的精确度不同而有所改变的。
如果考虑到质点的转动惯性，则相应地还要增加控制转动的约束，才能确定自由度数。
以上是对于具有离散质点的情况而言的。
但是，在实际结构中，质量的分布总是比较复杂的，除了有较大的集中质量外，一般还会有连续分布的质量。
例如图11—2f所示的梁，其分布质量集度为m(kg／m)，此时，可看作是无穷多个mdx的集中质量，所以它是无限自由度。
当然完全按实际结构进行计算，情况会变得很复杂。
因此我们常常针对某些具体问题，采用一定的简化措施，把实际结构简化为单个或多个自由度的结构进行计算。
例如图11—3a所示机器的块式基础，当机器运转时，基础将产生垂直振动?若用弹簧表示地基的弹性，用—个集中质量代表基础的质量，就可简化为图示的支承集中质量的弹簧，使结构转化为单自由度结构。
又如图11—3b所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，在略去次要因素后，就可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。
图11-3§11—3 单自由度结构的自由振动研究结构的动力计算，我们先从单自由度的简单结构开始。
所谓自由振动，是指结构在振动进程中不受外部干扰力作用的那种振动。
产生自由振动的原因只是由于在初始时刻的干扰。
初始的干扰有两种情况：（1）由于结构具有初始位移；（2）由于结构具有初始速度；或者这两种干扰同时存在。
例如图11—4所示，在跨中支承集中质量的简支梁，若把质点m拉离其原有的弹性平衡位置，达到图中虚线所示的偏离位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复振动。
由于在振动进程中不再受到外来干扰，所以这时的振动就是自由振动。
这是由于结构具有初始位移而引起自由振动的例子。
又如若对图11—4的质点施加瞬时冲击作用，在极短的时间内使其获得一定的初速度，当它还来不及发生显著的位移时，外力又突然消失，这样引起的结构振动，便是初始速度干扰下产生自由振动的例子。
图11-4影响结构振动的因素很多，阻尼是其中之一，为简单起见不妨先略去阻尼的影响。
1、不考虑阻尼时的自由振动对于各种单自由度结构的振动状态，都可以用一个简单的质点弹簧模型来描述，如图11—5a所示，弹簧下端悬挂一质量为m的重物。
我们取此重物的静力平衡位置为计算位移y 的原点，并规定位移y和质点所受的力都以向下为正。
设弹簧发生单位位移时所需加的力为系为K11,称为弹簧的刚度；而在单位力作用下产生的位移为11δ，称为弹簧的柔度，但两者的关系为11111kδ=图 11-5为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，应先建立振动微分方程，然后求解。
建立振动微分方程有两种基本方法：（ 1）是根据达朗伯原理(动静法)列出动力平衡方程，又称刚度法；（2）是列位移方程，又称柔度法。
下面分别讨论。
(1) 列动力平衡方程设质点m在振动中的任一时刻位移为y，取该质点为隔离体(图11—5b)，若不考虑质点运动时所受到的阻力，则作用于其上的外力有：(a) 弹簧拉力11s k y =- 负号表示其实际方向恒与位移y 的方向相反，亦即永远指向静力平衡位置。
此力有把质点m 拉回到静力平衡位置的趋势，故又称为恢复力。
(b) 惯性力I my ''=- 它的方向总是与加速度22d y y dt=的方向相反，故有一负号。
至于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，则恒与质点的重量mg 相平衡而抵消，故在振动过程中这两个力都毋须考虑。
质点在惯性力I 与弹簧的恢复力S 作用下将维持动力平衡，故应有I+S ＝0将I 和S 的算式代入即得110my k y --=或 110my k y += 命 211k mω=(11—1)则有 20y y ω+= (11—2)这就是单自由度结构在自由振动时的微分方程。
(2) 列位移方程 上述振动微分方程也可以按下述方法来建立：当质点m 振动时，把惯性力I my =-看作是一个静力荷载，则在其作用下结构在质点处的位移y 应等于(图11—5c)：1111y I my δδ==-亦即 110my k y +=可见与方法1结果相同。
式(11—2)是一个具有常系数的线性齐次微分方程，其通解形式由高等数学知： 12()cos y t A t A Sin t ωω=+ (b) 取y 对时间t 的一阶导数，则得质点在任一时刻的速度12()sin cos y t A t A t ωωωω=-+ (c) 此两式中的积分常数A l 和A 2可由振动的初始条件来确定。
若当 t ＝0时， 位移 y ＝y o ， 速度 0y y =则有 A 1＝y 0 ，02y A ω=因此 00cos sin y y y t t ωωω=+ 其中y 。
称为初位移，0y 称为初速度。
再考察结构的自由振动曲线，由位移曲线知：是由两部分组成：（1 ）是由初位移y 。
引起的，表现为余弦规律；（2） 是由初速度0y 引起的，表现为正弦规律 (图11—6a 、b)。
二者之间的相位差为一直角，后者落后于前者900详见下图 （11－6）图 11-6若令 0sin y a ϕ= （d ）cos y a ϕω=。
(e)显然有 200/y a y tg y ϕω==则位移方程可写成： sin()y a t ωϕ=+且有 cos()y a t ωωϕ=+可见这种振动是简谐振动(图11—6c)，式中a 表示质点的最大位移，称为振幅，ϕ称为初相角。