各类积分的关系

学院：统计与数学学院班级：信息与计算科学学号：902094135

导师；毕远宏

姓名：贾建慧

各类积分之间的关系

积分有不定积分、定积分以及二重积分，三重积分，第一类线积分，第二类线积分，第一类面积分，第二类面积分等。我在这里只介绍我们在大学的时候学习过的几类常用积分的关系。

一、不定积分：

即已知导数求原函数。

定义1:设函数f与F在区间I上都有定义。若F′（x）=f(x),x ∈I,则称F为f在区间I上的一个原函数。

例如，1

3x3是x2在（—∞，＋∞）上的一个原函数，因为（1

3

x3）＇

=x2；又如-1

2cos2x与-1

2

cos2x+1都是sin2x在（?∞,+∞）上的原函

数，因为（-1

2cos2x）＇=（-1

2

cos2x+1）＇=sin2x.

定理8.1可知由于初等函数为连续函数，因此每个初等函数都有原函数（只是初等函数的原函数不一定是初等函数）当然如果一个函数存在间断点，那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数。

定义2:函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作f x dx

其中∫称为积分号,f x被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量。

由定义2可知不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若

F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。

f x dx=f x或d f x dx=f x dx；

性质1：d

dx

性质2：F＇x dx=F x+C或dF x+C；

性质3：αf x±βg x dx=αf x dx±βg x dx，α,β为非零常数。

二、定积分:

定积分就是求函数f x在区间a,b中图线下包围的面积。即由 y=0, x=a ,x=b, y=f x所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

定义1:设闭区间a,b上有n-1个点依次为

a=x0

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

黎曼积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间a,b上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.

我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。

定积分的分点问题

定积分是把函数在某个区间上的图象a,b分成n份，用平行于y 轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距?x是相等的。但是必须指出，即使?x不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”S=f x1?x1 +f x2?x2+……f x n?1?x n?1,那么当n→+∞时，?x的最大值趋于0，所以所有的?x趋于0，所以S仍然趋于积分值.

利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼茨公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。

三、定积分与不定积分的关系

不定积分是一个函数，定积分则是一个数值。求一个函数的原函数，叫做求它的不定积分；求一个函数相应于闭区间的一个带标志点分划的黎曼和关于这个分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个

闭区间上的定积分。求不定积分时，还可以利用现成的积分表。在积分中所有的积分公式是按被积函数分类编排的，人们只要根据被积函数的类型，或经过适当的变形化为表中列出的类型，查阅公式即可。

三、反常积分：

定义1：设函数f定义在无穷区间a,+∞上，且在任何有限区间a,u上可积。如果存在极限

(1)则称此极限J为函数在a,+∞上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作并称收敛。如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散。类似地，可定义f在?∞,b上的无穷积分

三、二重积分：

实质：直线上函数的积分，积分对象是直线元dx。

对称性：

积分区间D关于X轴对称：被积函数是关于Y的奇函数，则结果为0：被积函数是关于Y的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍

方法：累次积分，即先固定一个变量，对另一个变量积分，再对另一个变量积分。

四、三重积分

实质：对空间上的三元函数积分，积分对象是dxdydz。

对称性：

积分区间Ω关于xy面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结

果为0；被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍

方法：累次积分，可以化成三个一次积分（如球坐标代换），也可化成一个二重积分和一个一次积分（如柱坐标代换）。

五、第一型曲线面积分

实质：对曲线上的一元函数积分，积分对象是曲线元ds。

方法：转化成定积分

曲线r=(x(t),y(t),z(t)),则

f x,y,z s ds=f x t,y t,z t

d

x＇t2+y＇t2+z＇t2dt。

x,y,z型：具有关于参数t的表达试，用基本公式，转化成关于t 的积分

x,y型：排除上一种条件的话，通常将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分

六、第一型曲面积分

实质：对曲面上的二元函数积分，曲面元dS.

方法：转化为二重积分。曲面r=x u,v,y u,v,z u,v,

则f x,y,z

s ds=f（x u,v,y u,v

D

,z u,v）dr

du

×dr

dv

dudv

特别的dr

dx ×dr

dy

=(1+dz

dx

2

+dz

dy

2

。

第一类面积分对称性：

积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果

为0：

被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍

计算方法：常规的话，只有一种，转化为关于x或y或z的积分。

七、第二型曲线积分

实质：变力在曲线上作功,或是对有向线元的积分,即对坐标的积分。

①

形式：Pdx+Qdy+Rdz

L

第二类线积分

方法：

1、用曲线的切线的方向角余弦，转化成第一类线积分

2、有参数t，可以转化成关于t的积分

3、将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分

4、封闭曲线，通常自己构造，可采用格林公式转化为二重积分

八、第二形曲面积分

实质：通量，或是对有向面积元的积分，即对坐标的曲面积分。

第二类面积分对称性:

积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的偶函数，则结果为0：被积函数是关于z的奇函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍。（区别于第一类）。

计算方法：

1、用曲面的切线的方向角余弦，转化成第一类面积分

2、转化为二重积分，直接在前面添正负号即可

3、封闭曲面，可以用高斯公式，转化为三重积分，一般封闭曲面都是人为构造的，所以注意减掉构造面，并注意方向

4、斯托克斯公式，转化为第二类线积分，不常用

1.格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广

f x b a

dx =F b -F a 格林公式的实质: 揭示了平面闭区域上二重积分与积分区域边界上的曲线积分之间的联系