2016年考研数学中值定理证明题技巧-以及结论汇总

目录

第一部分：中值定理结论总结 (1)

1、介值定理 (1)

2、零点定理 (2)

3、罗尔定理 (2)

4、拉格朗日中值定理 (2)

5、柯西中值定理 (2)

6、积分中值定理 (3)

第二部分：定理运用 (3)

第三部分：构造函数基本方法 (9)

一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系 (10)

二、二阶导数与原函数之间关系 (11)

第四部分：中值定理重点题型分类汇总（包含所有题型) (14)

题型一：中值定理中关于θ的问题

题型二：证明f(n)(ξ)=0

题型三：证明f(n)(ξ)=C0(≠0)

题型四：结论中含一个中值ξ，不含a,b，导数的差距为一阶

题型五：含两个中值ξ,η的问题

题型六：含a,b及中值ξ的问题

题型七：杂例

题型八：二阶保号性问题

题型九：中值定理证明不等式问题

（

第一部分：中值定理结论总结

1、介值定理

：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A 及

f(b)=B ，那么对于 A 与 B 之间的任意一个数 C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得

f(ξ)=C(a<ξ

Ps:c 是介于 A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,则 f(x)在[a,b]上有最大值 M ，最小值

m,若 m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得 f(ξ)=C 。 闭区间上的连续函数必取得介于最大

值 M 与最小值 m 之间的任何值。此条推论运用较多）

Ps ：当题目中提到某个函数 f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数

或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小

值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、零点定理

：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)与 f(b)异号，即 f(a).f(b)<0, 那么在开区间内

至少存在一点ξ使得 f(ξ)=0.

Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为 0.

3、罗尔定理

：如果函数f(x)满足：

（1）、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间(a,b)内可导;

（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).

那么在(a,b)内至少有一点ξ(

4、拉格朗日中值定理

：如果函数f(x)满足：

（1）、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间(a,b)内可导;

那么在(a,b)内至少有一点ξ(

f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).

5、柯西中值定理

：如果函数f(x)及g(x)满足

（1）、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间(a,b)内可导;

（3）、对任一x(a

那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得

f(b)-f(a) g(b)-g(a)=f`(ξ) g`(ξ)

Ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

⎰ ⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

6、积分中值定理

：若函数 f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ ∈ [a , b ] 使得

b

a

f (x )dx = f (ξ )(b - a )

Ps ：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满足的，下面

我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数 f(x)在[a,b]上连续，则至

少存在一点 ξ ∈ (a , b ) 使得 b

a

f (x )dx = f (ξ )(b - a )

证明：设 F (x ) = x

a

f (x )dx ， x ∈ [a , b ]

因为 f (x ) 在闭区间上连续，则 F (x ) 在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即

为 f (x ) ）。

则对 F (x ) 由拉格朗日中值定理有：

∃ξ ∈ (a , b ) 使得 F `(ξ ) =

F (b ) - F (a ) b - a

= b a f (x )dx

b - a

而 F `(ξ ) = f (ξ )

所以 ∃ξ ∈ (a , b ) 使得

b

a

f (x )dx = f (ξ )(b - a ) 。

在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运

用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。千万不可直接运用，因为

课本给的定理是闭区间。

第二部分：定理运用

1、设 f (x ) 在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导函数，且 2 f (0) = 2

f (x )dx = f (2) + f (3) .

证明：(1) ∃η ∈ (0,2) 使 f (η ) = f (0)

(2) ∃ξ ∈ (0,3) 使 f ``(ξ ) = 0

证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中

值定理是针对闭区间的。有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是 0 分。具体证明方法