考研数学辅导,第三讲 中值定理的证明
高等数学-中值定理证明
若结论是
f '' 0
1.在不同区间用
罗尔找到 1,2
2.在 1,2 用一
次罗尔
柯西中值 定理
1.同一字母同一 侧，分别积分， 找原函数 F,G 2.对 F,G 用柯西
泰勒定理
1.在 题 目 出 现 的
某点泰勒展开
2.带入其他点，寻
找与结论之间的
1
关系（有时会结合
介值定理）
1.闭区间上连续函数定理 ① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ①
（1） 存在（0，1）内两个不同的点 , ，使得 f ' ( ) f ' () 2 .
（2）
存在（0，1）内两个不同的点 , ，使得
1 f ' ( )
1 f ' ()
2 .
（3） 存在（0，1）内两个不同的点 , ，使得 f ' ( ) f ' () 1 .
f ' ( ) （4） 存在（0，1）内两个不同的点 , 及大于零的常数 ，使得 f ' () （5） 对于任意的正整数 n，存在（0，1）内两个不同的点 , 及常数 0 ，
3
5.若 f (x) 在[0,1] 上可导，且当 x [0,1] 时有 0 f (x) 1，且 f (x) 1，证明：在 (0,1) 内有且仅有一个点 使得 f ( )
6.设 f (x) 在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且 f (0) = f (1) =0， f (1 ) =1。试证 2
②
③
④
3.积分中值定理 ① ②
不等式证明思路 构造函数（利用极值） 拉格朗日中值定理 函数凹凸性定义
2
1.若 f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导， f (a) f (b) 0 ，证明： R ， (a,b) 使得： f ( ) f ( ) 0
柯西中值定理证明
柯西中值定理证明
考研数学中的柯西中值定理也是考生需要重点复习的内容，柯西中值定理经常出现在证明题当中，如果考生能够对柯西中值定理理解和掌握得好，将会对参加考研数学考生成绩的高低有举足轻重的作用。
一、柯西中值定理内容
二、证明方法
1.利用反向分析法证明柯西中值定理
逆向分析法从定理的理论启程，展开一系列的逆向思维分析，找寻结论与条件之间的有机联系，积极探索各种可能将的证明途径和有效率方法。
2.利用定积分法证明柯西中值定理
在高等数学教材中，虽然微分中值定理和分数中值定理就是相互单一制的，但它们之间也存有着必然的内在联系。
现在我们就利用分数定理去证明。
3.柯西中值定理的几何意义
在区间【a,b】上已连续且除端点外每一点都存有不旋转轴x轴的切线的曲线，它们有个共同的特征y=f(x)在曲线上至少存有一点，过该点的切线平行于曲线端点的连线。
谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)
谈谈拉格朗日中值定理的证明引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述.1罗尔()Rolle 中值定理如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ⋂AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1，注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.2拉格朗日()lagrange 中值定理若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()ab a f b f f --=ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ⋂AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.3 证明拉格朗日中值定理3.1 教材证法证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a-=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使()()()()0''=---=a b a f b f f F ζζ.即()()()ab a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法证明 作辅助函数 ()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=a x a b a f b f a f x f x ϕ 显然，函数()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ϕϕ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0''=---=a b a f b f f ζζϕ，即 ()()()ab a f b f f --=ζ'推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ϕ，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：()()a b a f b f K K AB OT --==，OT 的直线方程为：()()x ab a f b f y --=，于是引入的辅助函数为：()()()()x a b a f b f x f x ---=ϕ. （证明略） 推广2 如图4过点()O a ,作直线''B A ∥AB ，直线''B A 的方程为：()()()a x ab a f b f y ---=，由()x f 与直线函''B A 数之差构成辅助函数()x ϕ，于是有：()()()()()a x a b a f b f x f x ----=ϕ. （证明略） 推广3 如图5过点作()O b ,直线''B A ∥AB ，直''B A 线的方程为()()()b x ab a f b f y ---=，由()x f 与直线A B ''函数之差构成辅助函数()x ϕ，于是有：()()()()()b x ab a f b f x f x ----=ϕ. 事实上，可过y 轴上任已知点()m O ,作//B A ∥AB 得直线为()()m x ab a f b f y +--=，从而利用()x f 与直线的''B A 函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数()x ϕ都可以用来证明拉格朗日中值定理. 因m 是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.3.3 用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x 轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数()x f 减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数()x f ，即可得与之对称的辅助函数如下：⑴ ()()()()()()x f a x a b a f b f a f x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=ϕ ⑵ ()()()()x f x a b a f b f x ---=ϕ⑶ ()()()()()x f a x a b a f b f x ----=ϕ ⑷ ()()()()()x f b x ab a f b f x ----=ϕ 等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明.证明 显然，函数()x ϕ满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；()3()()()()ab a bf b af b a --==ϕϕ.由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0''=---=ζζϕf a b a f b f ，从而有()()()ab a f b f f --=ζ'，显然可用其它辅助函数作类似的证明.3.4 转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系xoy 逆时针旋转适当的角度α，得新直角坐标系XOY ，若OX 平行于弦AB ，则在新的坐标系下()x f 满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明.证明 作转轴变换ααsin cos Y X x -=，ααcos sin Y X y +=，为求出α，解出Y X ,得()()x X x f x y x X =+=+=ααααsin cos sin cos ① ()()x Y x f x y x Y =+-=+-=ααααcos sin cos sin ② 由()()b Y a Y =得()()ααααcos sin cos sin b f b a f a +-=+-，从而()()ab a f b f --=αt a n，取α满足上式即可.由()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，知()x Y 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()b Y a Y =，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()0cos sin '=+-=αζαζf Y ，即()()()ab a f b f f --==αζtan ' 3.5 用迭加法引入辅助函数法让()x f 迭加一个含待顶系数的一次函数m kx y +=，例如令()()()m kx x f x +-=ϕ或()()m kx x f x ++-=ϕ，通过使()()b a ϕϕ=，确定出m k ,，即可得到所需的辅助函数.例如由 ()()()m kx x f x +-=ϕ，令()()b a ϕϕ= 得()()()()m kb b f m ka a f +-=+-，从而()()ab a f b f k --=，而m 可取任意实数，这样我们就得到了辅助函数()()()m x ab a f b f x ---=ϕ，由m 的任意性易知迭加法可构造出无数个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理.3.6 用行列式引入辅助函数法证明 构造一个含()x f 且满足罗尔中值定理的函数()x ϕ，关键是满足()()b a ϕϕ=.我们从行列式的性质想到行列式()()()111xf x af a bf b 的值在,x a x b ==时恰恰均为0，因此可设易证()()()()111xf x x af a bf b ϕ=，展开得 ()()()()()()()x f b x bf a af x af b f a x bf x ϕ=++---.因为()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，所以()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()0a b ϕϕ==，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()0'=ζϕ. 因为()()()()()0''=---=ζζϕf b a b f a f 即： ()()()ab a f b f f --=ζ' 3.7 数形相结合法引理 在平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()(),A a f a ，()(),B b f b ，()(),C c f c ，则ABC ∆面积为()()()1112ABCa f a Sb f b a cf c ∆=，这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新的证明. 这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件.如图， 设()(),c f c 是直线AB 与()y f x =从A 点开始的第一个交点，则构造()()()()211141af a x cf c xf x ϕ=， 易验证()x ϕ满足罗尔中值定理的条件：在闭区间[],a c 上连续，在开区间(),a c 内可导，而且()()b a ϕϕ=，则至少存在一点()b a ,∈ζ，使()/0ϕζ=，即：()()()()()()01111111'=ζζζf c f c a f a f c f c a f a 但是()()()1101af a cf c f ζζ≠，这是因为，如果 ()()()1101a f a c f c f ζζ=， 则()()()()f f c f c f a c c aζζ--=--，这样使得()(),f ζζ成为直线AB 与()y f x =从A点的第一个交点，与已知矛盾）.故()()()0111=ζζf c f c a f a，即()()()()()ac a f c f a b a f b f f --=--=ζ'. 若只从满足罗尔中值定理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件，完全可以构造()()()()111af a x bf b xf x ϕ=来解决问题，从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造()()()()()()()111g a fa x gb f b g x f x ϕ=来证明柯西中值定理.3.8 区间套定理证法证明 将区间[],I a b =二等分，设分点为1ζ，作直线1x ζ=，它与曲线()y f x = 相交于1M ，过1M 作直线11L M ∥弦b a M M . 此时，有如下两种可能:⑴ 若直线11M L 与曲线()y f x =仅有一个交点1M ，则曲线必在直线11M L 的一侧.否则，直线11M L 不平行于直线a b M M . 由于曲线()y f x =在点1M 处有切线，根据曲线上一点切线的定义，直线11M L 就是曲线()y f x =在点1M 处的切线，从而()()()ab a f b f f --=1ζ.由作法知，1ζ在区间(),a b 内部，取ζζ=1于是有 ()()()ab a f b f f --=ζ ⑵ 若直线11M L 与曲线()y f x =还有除1M 外的其他交点，设()111,N x y 为另外一个交点，这时选取以11,x ξ为端点的区间，记作[]111,I a b =，有1,112b al I b a -⊇-<,()()()()1111f b f a f b f a b a b a --=--，把1I 作为新的“选用区间”，将1I 二等分，并进行与上面同样的讨论，则要么得到所要求的点ζ，要么又得到一个新“选用区间”2I .如此下去，有且只有如下两种情形中的一种发生:(a) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇到某一个分点k ζ，作直线kx ζ=它与曲线()y f x =交于k M ，过点k M 作直线k k L M ∥弦b MM , 它与曲线()y f x =只有一个交点k M ，此时取ζζ=k 即为所求.(b) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇不到上述那种点，则得一闭区间序列{n I }，满足:① 12I I I ⊇⊇⊇[]n n n b a I ,=② ()02n n nb ab a n --<→→∞ ③()()()()n n n n f b f a f b f a b a b a--=-- 由①②知，{n I }构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点() 3,2,1=∈n I n ζ，此点ζ即为所求. 事实上ζ==∞→∞→n n n n b a lim lim ，()f ξ存在()()()ζf a b a f b f n n n n n =--∞→lim，由③limn →∞()()()()n n n n f b f a f b f a b a b a--=--，所以()()()ab a f b f f --=ζ，从“选用区间”的取法可知，ζ确在(),a b 的内部.3.9 旋转变换法 证明 引入坐标旋转变换A : cos sin x X Y αα=- ⑴ ααcos sin Y X y += ⑵ 因为 22cos sin cos sin 10sin cos αααααα-∆==+=≠所以A 有逆变换/A :()()cos sin cos sin X x y x f x X x αααα=+=+= ⑶()()sin cos sin cos Y x y x f x Y x αααα=-+=-+= ⑷ 由于()x f 满足条件: ()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导，因此⑷式中函数()Y x 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导.为使()Y x 满足罗尔中值定理的第三个条件，只要适当选取旋转角α，使()()Y a Y b =, 即()()sin cos sin cos a f a b f b αααα-+=-+，也即()()tan f b f a b aα-=-.这样，函数()Y x 就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点()b a <<ζζ，使()()0cos si n =+=αζαζf Y 即()αζtan =f . 由于所选取旋转角α满足()()a b a f b f --=αtan ，所以()()()ab a f b f f --=ζ. 结论本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总结其中还有很多方法是我没有想到的，而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与补充. 通过这篇论文我只是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面包含了很多深奥的内容. 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会凡是多问几个为什么，不要让自己仅仅局限于课本上的内容，要开动脑筋学会举一反三，不要单纯为了学习而学习，让自己做知识的主人！总之，数学的发展并非是无可置疑的，也并非是反驳的复杂过程，全面的思考问题有助于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）（第二版）[M].北京：高等教育出版社.1991：153-161[2] 吉林大学数学系. 数学分析(上册)[M].北京：人民教育出版社.1979：194-196[3] 同济大学应用数学系. 高等数学（第一册）[M].北京：高等教育出版社（第五版）.2004：143-153[4] 周性伟,刘立民. 数学分析[M].天津：南开大学出版社.1986：113-124[5] 林源渠,方企勤. 数学分析解题指南[M].北京：北京大学出版社.2003：58-67[6] 孙清华等. 数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉：华中科技大学出版社.2003：98-106[7] 洪毅. 数学分析（上册）[M].广州：华南理工大学出版社.2001：111-113[8] 党宇飞. 促使思维教学进入数学课堂的几点作法[J].上海：数学通报.2001,1：15-18[9] 王爱云. 高等数学课程建设和教学改革研究与实践[J].西安：数学通报.2002,2：84-88[10] 谢惠民等. 数学分析习题课讲义[M].北京：高等教育出版社.2003：126-135[11] 刘玉莲,杨奎元等. 数学分析讲义学习指导书（上册）[M].北京：高等教出版社.1994：98-112[12] 北京大学数学力学系. 高等代数. 北京：人民教育出版社. 1978:124-135[13] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社.1993：102-110[14] 郑琉信.数学方法论[M].南京：广西教育出版社.1996：112-123 [15] 陈传璋等. 数学分析（上册）[M].北京：人民教育出版社.1983:87-92 [16] 李成章,黄玉民. 数学分析（上）[M].北京：科学出版社.1995：77-86附 录柯西中值定理若 ⑴ 函数()f x 与()g x 都在闭区间[]b a ,上连续； ⑵ ()x f '与()x g '在开区间()b a ,内可导； ⑶ ()x f ' 与()x g '在()b a ,内不同时为零； ⑷ ()()g a g b ≠，则在()b a ,内至少存在一点ζ，使得()()()()a b a f b f g f --=ζζ''. 区间套定理若[]{},n n a b 是一个区间套，则存在唯一一点ζ，使得 [],n n a b ζ∈，1,2,n = 或n n a b ζ≤≤，1,2,n =。
2014年考研数学基础经典课件第三章-中值定理
f ( x)
e， x2
f (e) 1 0, f ( x)在x e处取得极小值, e
又 f ( x)可导且只有唯一驻点，
f ( x)的极小值就是最小值， 对一切x e,有f ( x) f (e)， f (π) f (e) 0，
π e ln π>0, 即eπ πe .
24
第24页，共35页。
22
第22页，共35页。
例2. 证明 ln(1 x) arctan x ( x 0) . 1 x
证 设( x) (1 x)ln(1 x) arctan x,( x 0)
则( x)在(0, )内连续可导,且(0) 0,
( x)
1
ln(1
x)
1 1 x2
ln(1
x)
x2 1 x2
如：y x , x 0 连续不可导，
y
却是极小值点.
第11页，共35页。
o
x 11
1
如：y x 3 ,在 x 0 处连续不可导，
也不是极值点. 3:极值点的可疑点： 驻点，不可导点.
12 第12页，共35页。
3.取得极值的充分条件：
(1)第一充分条件： 设连续函数 f (x)的极值可疑点
y
y
y
o x0 x o
x0
xo
左正右负极大 左负右正极小
y
x左0 右同x 号o无极值x0
x
13
第13页，共35页。
(2)第二充分条件： 设函数 f ( x) 在点x0 处具有
二阶导数， 且 f ( x0 ) 0，f ( x0 ) 0，那么
(1)当f ( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在点 x0 处取得极大值；
中值定理公式证明
中值定理公式证明中值定理可是数学中的重要内容呢，要说这中值定理的公式证明，那可得好好说道说道。
咱先来说说中值定理都有啥。
罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，这几个定理在数学分析里那是相当重要。
就拿拉格朗日中值定理来说吧，它说的是如果函数 f(x) 满足在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，那么在 (a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a) 。
这定理看着挺简单，证明起来可不容易。
记得有一次给学生们讲这个定理的证明，那真是状况百出。
有个学生瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这到底是啥意思啊？”我就耐心地给他解释，从函数的连续性开始，一点点地引导他。
我在黑板上画着图，一边写着式子，一边说：“你看啊，这就好比咱们从 A 地到B 地，路程是 f(b) - f(a) ，速度就是导数 f'(x) ，那中间肯定有个时刻速度等于平均速度，这就是中值定理的精髓。
” 那学生还是似懂非懂，我又换了个例子，“就像你跑步，跑一段距离，总有时候速度跟平均速度一样，能理解不？”他这才有点开窍。
咱们来具体看看拉格朗日中值定理的证明。
一般是通过构造辅助函数来完成的。
设 F(x) = f(x) - [ f(a) + (f(b) - f(a)) / (b - a) * (x - a) ] ，然后去分析这个辅助函数的性质。
通过它在闭区间 [a,b] 两端的取值相等，再结合函数的连续性和可导性，就能找到那个中值点ξ 。
柯西中值定理呢，它是说如果函数 f(x) 和 F(x) 满足在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 F'(x) 不等于 0 ，那么在 (a,b) 内至少存在一点ξ ，使得 [ f(b) - f(a) ] / [ F(b) - F(a) ] = f'(ξ) / F'(ξ) 。
这个定理的证明思路跟拉格朗日中值定理类似，也是通过巧妙地构造辅助函数来实现的。
考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结
考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结中值定理这一块是考研数学的重点同时也是难点，对于中值定理这一块的相关证明题，很多同学一碰到，多数是束手无措，难以找到解题的突破口，现在跨考教育数学教研室易老师就这一问题做详细的方法介绍。
这一类型的问题，从待证的结论入手，首先看结论中有无导数，若无导数则采用闭区间连续函数的性质来证明（介值或零点定理），若有导数则采用微分中值定理来证明（罗尔、拉格朗日、柯西定理），这个大方向首先要弄准确，接下来就待证结论中有无导数分两块来讲述。
一、结论中无导数的情况结论中无导数，接下来看要证明的结论中所在的区间是闭区间还是开区间，若为闭区间则考虑用介值定理来证明，若为开区间则考虑用零点定理来证明。
例1 ()f x 在[]0,3上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，证明：至少存在一点[]0,3c ∈，使得() 1.f c =分析：待证结论中无导数，则用闭区间连续函数的性质来证，且待证的结论的中值在闭区间上，故应采用介值定理来证明。
证明：()f x 在[]0,2上连续，,m M ∴∃使3(0)(1)(2)3m f f f M ≤++≤1m M ⇒≤≤,∴由介值定理可得结论。
二、结论中有导数情况① 结论中有导数，无端点信息，则采用罗尔定理来证明。
用罗尔定理来证明的常见题型：● 型一：()()0n f ξ=● 型二：结论中仅有ξ的相关表达式，且导数相差一阶用罗尔定理来证明题时，难点就在找原函数上，找原函数的常用方法分为两种，一为观察法，二为积分法。
观察法：i ）待证结论若为这种形式'()g()()g'()0()()f f f x g x ξξξξ+=⇐原函数为ii ）待证结论若为这种形式()'()()()'()0()f x fg f g g x ξξξξ-=⇐原函数为积分法：i ）待证结论若为这种形式()'()()()0()()g x dx f g f F x e f x ξξξ⎰+=⇐=原函数为ii ）待证结论若为这种形式()"()()'()0()'()g x dxf g f F x e f x ξξξ⎰+=⇐=原函数为 例2 ()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(1)0,f =证明：(0,1)ξ∃∈，使得 '()2()0f f ξξξ+=分析：有导数，无端点信息，采用罗尔定理。
[考研数学]中值定理
![[考研数学]中值定理](https://img.taocdn.com/s3/m/faea6c2466ec102de2bd960590c69ec3d5bbdb96.png)
[考研数学]中值定理⽤书：张宇考研数学基础30讲下多为摘录。
条件/表述部分不完全准确（实际上条件归于表述，但为了观察相似的条件所以单独列出了。
）定理的推导（常考证明）和条件细节⾮！常！重！要！可补充内容：证明、⼏何意义、对⽐=总结/不保证对的个⼈理解。
=我先挖个坑在这⾥。
不要让⼏何直观，蒙蔽了我们的双眼。
—柯西有界与最值定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：m⩽f(x)⩽M。
其中，m,M为f(x)在[a,b]上的最⼩值和最⼤值。
证明：介值定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：当m⩽µ⩽M时，存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=µ。
证明：(离散)平均值定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：当a<x1<x2<⋯<x n<b时，在[x1,x n]内⾄少存在⼀个点ξ，使得f(ξ)=f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n。
证明：借助介值定理证明。
m⩽f(x i)⩽M,(i=1,2,…,n)nm⩽Σf(x i)⩽nMm⩽f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n⩽M令µ=f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n，存在ξ∈[x1,x n]，使得f(ξ)=µ=f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n=1n∑ni=1f(x i)平均值定理的ξ常见闭区间。
(函数)零点定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：当f(a)⋅f(b)<0时，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。
证明：借助介值定理和最值定理推导。
f(a)⋅f(b)<0说明f(a)与f(b)异号故m<0且M>0则m<0<M，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。
前四条有共⽤条件：f(x)在[a,b]上连续。
连续即不间断。
所以端点不是间断点。
出现函数值为零的条件，可以考虑⽤介值定理与零点存在定理做。
延伸：推⼴的零点定理若f(x)在(a,b)上连续，lim，\alpha \cdot \beta< 0 时，则f(x)在(a,b)内⾄少有⼀个根。
考研数学微分中值讲义(卓越资料
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理A 基本内容一、罗尔定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和()()b f b B ,之间是连续曲线；条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线 条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。
结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。
二、拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导；则存在()b a ,∈ξ，使得()()()ξf ab a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ有时也写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =是光滑曲线。
结论说明曲线()x f y =在B A ,之间至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。
推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。
推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且()()x g x f '≡'，则在()b a ,内()()c x g x f +=，其中c 为一个常数。
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第四讲 中值定理的证明技巧一、 考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。
2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。
掌握这四个定理的简单应用（经济）。
3、 了解定积分中值定理。
二、 内容提要1、 介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值. （2）零点定理设f(x)在[a 、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c ∈(a 、b)，使得f(c)=02、 罗尔定理若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在[]b a ,上连续 （2）)(x f 在),(b a 内可导 （3）)()(b f a f =则一定存在),(b a ∈ξ使得0)('=ξf 3、 拉格朗日中值定理若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在[]b a ,上连续 （2）)(x f 在),(b a 内可导则一定存在),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ4、 柯西中值定理若函数)(),(x g x f 满足:（1）在[]b a ,上连续 （2）在),(b a 内可导 （3）0)('≠x g则至少有一点),(b a ∈ξ使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--5、 泰勒公式如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到1+n 阶导数, 则当x 在),(b a 内时,)(x f 可以表示为0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和，即)())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+⋅⋅⋅+-''+-'+=其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (ξ介于0x 与x 之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点； 2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．6、利用中值定理解题的技巧 （1）辅助函数的构造微分中值定理通常用来证明一些等式、不等式及方程根的存在性。
在证明方程根的存在性和不等式时，经常要构造出一个辅助函数，辅助函数的构造方法通常有三种：找原函数法；指数因子法；常数k 值法。
①、方程根的存在性方程根的存在性，常用介值定理和罗尔定理来证明。
这里着重讲解罗尔定理。
下面通过例题来给出三种构造辅助函数的方法。
②、存在多个中间值的证明有一类问题，要证明存在两个或两个以上的中间值，满足一定的等式，由于用一次中值定理只能找到一个中间值，故这类问题通常至少要用两次中值定理才能解决。
（2）非构造性的证明有一类证明题，在证明过程中，不需要构造辅助函数，只需对原题中的函数进行讨论，称这类问题为“非构造性的证明”。
7、利用泰勒公式解题的技巧泰勒公式常用干处理与高阶导数相关的函数的性态研究，在解题方面，通常用于证明与中间值相联系的不等式以及求函数极限。
（1） 带拉格朗日型余项的泰勒公式本公式常用于证明与中间值相联的不等式，其关键是注意泰勒公式中展开点x 0的选择，通常选已知区间的端点、中间点或函数的极值点和导数为0的点。
这类题的特点是已知函数可导的阶数比较高（二阶以上），同时还有若干个已知的函数值或导数值。
（2）带皮亚诺型余项的泰勒公式带皮亚诺型的泰勒公式较常用于函数极限的计算，尤其是对常规方法不好求时的极限，泰勒公式能有意想不到的作用。
解题的关键是展开式中项数的确定，即展开到第几项合适。
8、 积分中值定理若f(x)在[a 、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a 、b]，使得ba⎰f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使0)(=ξf 或方程f(x)=0有根）例1、设)(x f 在[a,b]上连续，),,2,1(0,21n i c b x x x a i n =><<<<<，证明存在],[b a ∈ξ ，使得nn n c c c x f c x f c x f c f ++++++=212211)()()()(ξ例2、设)(,0x f a b >>在[a,b]上连续、单调递增，且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得 )(2)()(222ξξf a f b b f a =+例3、设)(x f 在[a,b]上连续且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得⎰⎰⎰==bbaadx x f dx x f dx x f ξξ)(21)()(。
例4-1、设f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，⎰=210)(2)1(dx x xf f证明：0)()(),1,0(=+'∈∃ξξξξf f 使例4、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，证明存在),(b a ∈ξ使得 ⎰⎰=badx x g f dx x f g ξξξξ)()()()(例5、 设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1. 证明：210x f t dt x-=⎰()在(0,1)内有且仅有一个实根。
例5-1、设f(x)在[0，1]非负连续，证明（1）存在x 0∈(0,1)，使得在[0，x 0]上以f(x 0)为高的矩形面积，等于[x 0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积； （2）又设f(x)在(0,1)可导，且xx f x f )(2)(->'，证明（1）中的x 0是惟一的。
例6、设实数n a a a ,,,21 满足关系式012)1(3121=--++--n a a a n n ，证明方程 0)12c o s (3c o s c o s 21=-+++x n a x a x a n ，在)2,0(π内至少有一实根。
例7、（0234，6分）设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点],[b a ∈ξ使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ题型二、 验证满足某中值定理例8、验证函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤-=1,11,23)(2x xx x x f ，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的ξ题型三、 证明存在ξ, 使fn ()()ξ=0(n=1,2,…)例9、设)(x f 在[a,b]上可导且0)()(<''-+b f a f ，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得0)(='ξf例10、设)(x f 在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且1)3(,3)2()1()0(==++f f f f ，证明存在一个)3,0(∈ξ使得0)(='ξf例11、设)(x f 在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且12112()lim 0,2()(2)cos x f x f x dx f x π→==⎰，证明存在)2,0(∈ξ使得0)(=''ξf题型四、 证明存在ξ, 使G f f (,(),())ξξξ'=0(1) 用罗尔定理 1) 原函数法:例12、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且)),((0)(b a x x g ∈≠'，求证存在),(b a ∈ξ使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--例13-1、设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，f(a)=f(b)=0，证明：（1）对于任意的λ，0)()(),(=+'∈∃ξλξξf f b a 使；（2）0)()()(),(='⋅+'∈∃ηηηηg f f b a 使例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且 ⎰>=-k x k dx x f xe k f 1011,)()1(证明：在(0,1)内至少存在一点ξ, 使 ).()1()(1ξξξf f --='例14、 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)⋅+<f a b(),20 g(x)在[a,b]上连续，试证对∃∈'=ξξξξ(,),()()().a b f g f 使得.*例15、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且⎰⎰==1010)(,0)(dx x xf dx x f .试证：),1,0(∈∃ξ使得 )()1()(1ξξξf f -+='.2) 常微分方程法:例16、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且λ==)()(b f a f ，证明存在),(b a ∈ξ使得λξξ=+')()(f f例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1, 证明：对任意实数λξ,)必存在（，∈01 , 使得'--=f f ()[()]ξλξξ1(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得bf b af a b af f ()()()()--='+ξξξ例19、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得1)],()([)()(11≥'+=--n f nf b f a f a b a b n n n ξξξξ例20、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，使得 f b f a baf ()()ln ()-='ξξ例21、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，使得 f b f a b a a ab b f ()()()()--=++'2223ξξ例21-1、设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)(>'x f 。