考研数学：必考的定理证明整理(2)
考研数学必考的定理证明整理
考研数学必考的定理证明整理在考研数学中，有一些定理是非常重要且必考的，掌握了这些定理的证明方法，可以在考试中帮助我们更好地理解和解答数学问题。
下面整理了一些考研数学中必考的定理证明，希望对大家复习有所帮助。
1.逆序数定理：逆序数是指在一个排列中，如果一个数之前有比它大的数，则称这个数是逆序的。
逆序数定理指出，对于任意的排列，其逆序数的奇偶性与该排列的逆序数的个数是相同的。
即如果逆序数的个数是偶数，则排列的逆序数是偶数；如果逆序数的个数是奇数，则排列的逆序数是奇数。
证明思路：利用归纳法进行证明，首先证明初始情况成立，然后假设逆序数的定理对于所有小于n的情况成立，再证明对于n的情况也成立。
2.幂级数：幂级数在数学中是一个重要的概念，特别是在微积分和函数论中应用广泛。
幂级数的收敛半径和收敛域是幂级数的重要性质。
幂级数的收敛半径可以通过柯西-阿达玛公式求得，而收敛域的边界上收敛性需要通过级数的边界性分析得到。
证明思路：根据幂级数的定义，首先确定幂级数的通项项、幂级数求和函数的定义域和收敛半径。
然后通过柯西-阿达玛公式计算幂级数的收敛半径。
最后通过比较判断幂级数的收敛性。
3.极值定理：极值定理也是考研中的一个重要定理，它指出一个连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。
极值定理有两个重要的推论，即费马定理和魏尔斯特拉斯定理。
费马定理指出，如果函数在一点处取得极值，则该点处的导数为0。
魏尔斯特拉斯定理指出，一个函数在闭区间上连续，则它在该区间上必有最大值和最小值。
证明思路：根据连续函数的定义和闭区间的定义，利用极值定理的条件和结论，通过反证法进行证明。
首先假设函数在闭区间上没有取得最大值或最小值，然后通过构造序列和利用辅助函数等方法逐步推导出矛盾，从而证明极值定理成立。
以上是一些考研数学中必考的定理证明，这些定理在数学理论和应用中都有着重要的地位，掌握了它们的证明方法可以提高我们对数学知识的理解和应用能力。
在备考过程中，除了熟悉定理的证明过程，还要注意练习相关的例题和应用题，加强对定理的理解和掌握，提高解题的能力。
考研数学数学分析重要定理总结
考研数学数学分析重要定理总结一、导数与微分导数和微分是数学分析中非常重要的概念，在求解函数的极限、切线方程、最值等方面具有广泛的应用。
以下是一些常见的导数和微分的重要定理：1. 函数可导与函数连续的关系：若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处连续。
2. 可导函数的四则运算法则：若f(x)和g(x)在点x=a处可导，则(1) (f+g)(a) = f(a) + g(a)(2) (f-g)(a) = f(a) - g(a)(3) (f·g)(a) = f(a)·g(a)(4) (f/g)(a) = [f(a)/g(a)] (g(a)≠0)3. 反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上连续、可导，并且在某点x=a处导数不为零，则它的反函数x=g(y)在区间f(I)上也是连续、可导的，并且在对应点y=f(a)处的导数为1/f'(a)。
4. 高阶导数公式：若函数y=f(x)的导数f'(x)存在，则可以继续求导，得到f''(x)、f'''(x)等高阶导数。
5. 麦克劳林级数与泰勒级数：若函数f(x)在点x=a处的各阶导数存在，则f(x)可以展开成麦克劳林级数或泰勒级数：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2! f''(a)+...二、积分与定积分积分和定积分是数学分析中研究函数面积、曲线长度、物理量等的重要工具。
以下是一些常见的积分和定积分的重要定理：1. 积分的线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，则对于任意常数α、β，有(1) ∫[a,b] (αf(x)+βg(x))dx = α∫[a,b] f(x)dx + β∫[a,b] g(x)dx2. 牛顿-莱布尼兹公式：若函数F(x)是f(x)的一个原函数，则对于区间[a,b]上的积分，有∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)3. 积分换元法：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数g(t)在区间[α,β]上可导且g'(t)连续，并且f(g(t))·g'(t)连续，则有∫[a,b] f(g(t))g'(t)dt = ∫[α,β] f(x)dx4. 定积分的性质：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b] f(x)dx存在，并且具有以下性质：(1) ∫[a,b] f(x)dx = -∫[b,a] f(x)dx(2) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负，则∫[a,b] f(x)dx ≥ 0(3) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负且不恒为零，则∫[a,b] f(x)dx > 0三、级数与收敛性级数是数学分析中研究无穷和的重要概念，对于理解数列、函数等的性质和应用具有重要意义。
考研高等数学有哪些重要定理证明
考研高等数学有哪些重要定理证明考研高等数学有哪些重要定理证明考生们在进行考研高等数学的复习阶段时，有很多重要定理证明需要去掌握。
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考研高等数学重要的定理证明高数定理证明之微分中值定理:这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。
考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。
我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。
往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。
“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立。
结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。
若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。
费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。
那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。
若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。
该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。
条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。
该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。
如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。
闲言少叙，言归正传。
既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。
我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。
话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。
吉林省考研数学硕士专业复习资料数学分析重要定理总结
吉林省考研数学硕士专业复习资料数学分析重要定理总结数学分析是数学的基础课程之一，对于考研数学硕士专业的学生来说，熟练掌握数学分析的重要定理是非常重要的。
本文将对吉林省考研数学硕士专业复习资料中的数学分析重要定理进行总结。
1. 极限定理极限定理是数学分析中的重要基础，对于研究函数的性质和计算极限非常有帮助。
1.1 无穷小量的性质对于无穷小量的性质，有以下定理：（1）无穷小量的四则运算定理：无穷小量的加减乘除仍然是无穷小量。
（2）无穷小量的阶与无穷小量的等价性：若 $\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小。
1.2 极限的基本性质对于极限的基本性质，有以下定理：（1）有界性：若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义且有界，则 $\lim_{x \to x_0}f(x)$ 存在。
（2）局部有界性：若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义，且 $\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有界。
2. 导数与微分导数与微分是数学分析中研究函数变化率的重要工具。
2.1 导数的基本性质对于导数的基本性质，有以下定理：（1）基本导数法则：导数具有线性性，即 $\frac{d}{dx}(af(x)+bg(x))=a\frac{d}{dx}f(x)+b\frac{d}{dx}g(x)$。
（2）复合函数的导数：若函数 $u=f(g(x))$ 和 $v=g(x)$ 都可导，则有 $\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{du}{dv}\frac{dv}{dx}$。
2.2 微分的基本性质对于微分的基本性质，有以下定理：（1）微分的线性性：$d(u\pm v)=du\pm dv$，$d(au)=adu$。
（2）复合函数的微分：若函数 $u=f(g(x))$ 和 $v=g(x)$ 都可微，则有 $du=\frac{du}{dv}dv$。
考研数学复习-关于等式与不等式的基本证明
关于等式与不等式的基本证明一、考试内容（一）介值定理介值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b ≠，对于(),()f a f b 之间的任一个数C ，),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论1（零点定理）：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()0f a f b <， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论2（零点定理）：若)(x f 在(,)a b 内连续，且()()0f a f b +-<， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论3（零点定理）：若)(x f 在(,)-∞+∞内连续，且lim ()lim ()0x x f x f x →-∞→+∞<，则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠）介值定理推论4：若)(x f 在],[b a 上连续， m in ()f x m =，m ax ()f x M =，且M m ≠， 对于,m M 之间的任一个数C ，则),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（ξ可能取到a 或b ） （二）代數基本定理：任何一個非零的一元n 次实系数多項式，都至多有n 個实数零点．（三）积分中值定理定积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使()()()b af x dx f b a ξ=-⎰．定积分中值定理推论1：设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且()g x 在],[b a 上不变号， 则(,)a b ξ∃∈，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．对于定积分中值定理及其推论1，ξ可能取到a 或b ．（四）微分中值定理罗尔中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()f a f b =， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式1：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)(x f 有2n ≥个不同的零点，则'()f x 在),(b a 内至少存在1n -个不同的零点． 罗尔中值定理的推广形式2：若)(x f 在),(b a 内可导，且()()f a A f b +-==， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式3：若)(x f 在[,)a +∞内连续，在(,)a +∞内可导， 且lim ()()x f x f a →+∞=，则(,)a ξ∃∈+∞，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式4：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且'()0f x ≠，则)(x f 在),(b a 内为单调函数．拉格朗日中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导， 则),(b a ∈∃ξ，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-． （五）不等式定理凹凸性不等式定理：若()()0,f x ''<>则()()()()22f x f y x y f ++≤≥．积分不等式定理：若()()f x g x ≥，则()()b b aaf x dxg x dx ≥⎰⎰（a b <），但反之不然． 积分估值定理：若()f x 在[,]a b （a b <）上连续，则min max ()()()()()b af x b a f x dx f x b a -≤≤-⎰．积分绝对值不等式定理：()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰（a b <）． 二、典型例题题型一 恒等式证明主要方法：求导法、换元法、反证法 例1、求证：（1）()0()()()(),f x a T T af x f x T f x dx f x dx +=+=⎰⎰可积（2）()0()()()()f x nT T f x f x T f x dxn f x dx=+=⎰⎰可积．提示：（1）令0()()(),a T T aF a f x dx f x dx +=-⎰⎰a R∈用求导法，这比用换元法方便（2）令0()()()nT T G n f x dx n f x dx=-⎰⎰，用求导法错误，因n Z ∈,用换元法方便111(1)0()()()()()n n n x kT u nT k T T T T kTk k k f x dx f x dxf kT u du f x dx n f x dx---=++=====+==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰．例2、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(≥x f ，若0)(=⎰badx x f ，则在],[b a 上，0)(=x f ．证明：用反证法，假设0)(),,(00>∈x f b a x ，则),(),(00b a x x ⊂+-∃δδ)0(>δ0)(>x f ，则⎰⎰+-∈>=≥+-ba x x x x f dx x f dx x f ),(,0)(2)()(0000δδζξδδδ积分中值定理.这与0)(=⎰badx x f 矛盾，故原式得证．题型二 方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法 （1）)(x f 在],[b a 或),(b a 上连续，则()f x ⎧⎨⎩直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例1、设)(x f 在],[b a 上连续，且0,,><<<q p b d c a ，求证：方程)()()()(d qf c pf x f q p +=+在),(d a 内至少有一根． 提示：取)()()()()(d qf c pf x f q p x F --+=在],[d c 上用零点Th ． 例2、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且0)(lim=∞→xx f x ，求证：),(+∞-∞∈∃ξ使0)(=+ξξf ．证明：设x x f x F +=)()(，则)(x F 在),(+∞-∞上连续，+∞=+=+∞→+∞→])(1[lim )(lim xx f x x F x x ，01>∃x ，使0)(1>x F同理，由,)(lim -∞=-∞→x f x ∴02<∃x ，使0)(2<x F故，)(x F 在],[21x x 上满足零点定理，因而，原题得证．例3、)(x f 在],[b a 上连续，0],,[>∈i i t b a x ),,2,1(n i =，且11=∑=ni i t ，求证：],[b a ∈∃ξ使∑==ni i ix f tf 1)()(ξ．（此为1{()}ni f x 的加权平均值）提示： ()m f x M ≤≤， 有∑∑∑====≤≤=ni ni ini i iiMMtx f tmtm 111)(．事实上，对于定积分中值定理的证明同上，111()b b b aaam m dx f x dx M dx Mb ab ab a=≤≤=---⎰⎰⎰则(,)a b ξ∃∈，使1()()b af f x dxb aξ=-⎰．（此为()f x 在],[b a 上的平均值）例4、设k a 是满足012)1(1=--∑=nk k kk a 的实数，求证：∑==-nk k x k a 10)12cos(在)2,0(π内至少有一实根．提示：令1'()cos(21)nk k F x a k x==-∑，构造∑=--=nk kk x k a x F 112)12sin()(在]2,0[π上用罗尔．例5、设)(x f y =为]1,0[上的任一连续函数，且⎰⎰=11)()(dx x xf dx x f求证：0)1)((=-x x f 在)1,0(内至少有一根． 提示：令'()()(1)F x f x x =-，构造⎰-=1)1)(()(xdt t t f x F 在]1,0[上用罗尔定理．例6、设)(x f y =为]0,1[-上的任一连续函数，记)(x f 在]0,1[-上的平均值为A ， 求证：)0,1(-∈∃ξ，使A f dt t f e =+⎰-])()([1ξξξ．提示：令1'()[()()]x x F x e f t dt f x A -=+-⎰，构造1()()xx F x e f t dt Ax -=-⎰，用罗尔定理．（2）)(x f 在],[b a 或),(b a 上可导，则⎩⎨⎧数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(x f 例1、设)(x f 在1[,2]2连续，在1(,2)2上可导，且 )2()(2121f dx x f =⎰ ，试证：)2,0(∈∃ξ ，使'()0f ξ=．提示：由积分中值定理知，1121(2)2()(),(,1)2f f x dx f ηη==∈⎰，用罗尔定理．例2、设)(),(x g x f 在],[b a 连续，在],[b a 上可导，且对于),(b a x ∈有0)(≠'x g 试证：),(b a ∈∃ξ，使)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --='' ．提示：令'()'()()()'()'()()()'()F x f x g x f x g x f x g b f a g x =+--，构造函数()()()()()()()F x f x g x f x g b f a g x =--在],[b a 上用罗尔Th ． 例3、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导求证：),(b a ∈∃，使11[()()]()()nnn banf f A b a f a f b ξξξξ-'+==-．提示：（1）令1'()()()n n F x nx f x x f x -'=+，构造)()(x f x x F n =在],[b a 上使用Lagrange（2）令1'()()()n n F x nx f x x f x A -'=+-，构造()()nF x x f x Ax =-在],[b a 上使用罗尔．例5、设)(),(x g x f 于[]10,连续，()10,内可导，对),(b a x ∈恒有)()()()(x g x f x g x f '≠'， 求证：若)(),(x g x f 在),(b a 内有两个零点，则介于其之间，)(x g 至少有一个零点． 提示：用反证法，假设0)()(21==x f x f ，且0)(≠x g ，],[21x x x ∈ 构造)()()(x g x f x F =，则0)(='ξF ，与条件矛盾．例4、设)(x f 在[]b a ,上一阶可导， ()0f a =，'()0f a >， 证明：（1）存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf ；（2）存在),(b a ∈η，使'()()f f ηη=． 提示：（1）由保序性，()1,x a a δ∃∈+，使得()10f x >，由零点定理知（1）． （2）注意到（1）及题设条件，知函数()f x 在[],a b 上存在两个零点,a ξ， 于是()()x F x e f x -=在(),a b 上有两个零点，由Rolle 定理，易证（2）． 题型三 非积分不等式 主要方法(1) 构造函数)(x f ，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可.(2) 利用函数的凹凸性.(3) 利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值. (4) 利用中值法证明不等式. 例1、设)1,0(∈x ，求证：(i) 22)1(ln )1(x x x <++； (ii) 211)1ln(112ln 1<-+<-x x ．提示：(i)令()ln(1)1x f x x x=+-+或22()(1)ln (1)g x x x x =++-(ii) 令11()ln(1)h x x x=-+，则22()'()0(1)ln (1)g x h x x x x =<++，有(1)()(0)h h x h +<<．例2、比较e e ππ与的大小．提示：x e >，比较x e e x 与的大小，取对数构造()ln f x x e x =-，易证e e ππ>． 例3、设)(),(x g x f 二阶可导，当0>x 时，)()(x g x f ''>''，且)0()0(g f =，)0()0(g f '='，求证：)()(0x g x f x >>时，． 提示：令)()()(x g x f x F -=，需两次求导．例4、当0,0>>y x 时，求证：2ln )(ln ln y x y x y y x x ++≥+．提示：令)2(2)()(0)(,ln )(y x f y f x f t f t t t f +≥+⇒>''=．例5、0,0,0>>>>αβy x ，求证：βββααα11)()(y x y x +>+．提示：其等价于11ln[1())]ln(1())yyxxαββα+>+，令1()ln(1)t f x a t =+，0>a ．若1a =，原命题成立，现证明()f t 在0,1t a >≠时单调递减22ln (1)ln(1)()'()(1)(1)t t tttta a a a g t f t t a t a -++==++，'()ln [ln ln(1)]t t t g t a a a a =-+1a >时，'()0g t <，则()(0)0gt g <<；01a <<时，'()0g t >，则()l i m ()0t gt gt →+∞<=．例6、设1,10>≤≤p x ，求证：1)1(211≤-+≤-ppp x x.提示：令p p x x t f )1()(-+=，求其在]1,0[的最值． 例7、设)(x f 在(1,1)-内有0)(<''x f ，且2sincos )(lim2=-→xx x f x ，求证：()1f x ≤．证明：易知,1)0(=f 2200()cos sin cos 1(0)lim lim 0sin x x f x x x f x x x→→--'=⋅+= 令 1)()(-=x f x F ，求其最大值，因0)()(,0)0(,0)0(<''=''='=x f x F F F ，则易证．例8、若x y <<0及1>p ，求证：)()(11y x px y x y x py p p p p -<-<---． 提示：令()p f t t =，在],[y x 上对)(t f 应用拉氏定理．例9、在],0[a 上，()f x M ''≤，且)(x f 在),0(a 内取最大值，求证：Ma a f f ≤'+')()0(．证明：设,0)],([max )(0a c x f c f ax <<=≤≤则0)(='c f在],[],,0[a c c 对)(x f '分别应用拉氏定理，则易证． 题型四 积分不等式 主要方法（1）应用定积分的不等式性质(如比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式 （2）函数的单调性（构造辅助函数） 积分中值定理（3）微分中值定理（被积函数具有可导条件） 常伴于其中 例1、设0>p ，求证：1111<+<+⎰pxdx p p .提示：1111<+<-pp xx ，用积分不等式性质.例2、求证：22sin 0x dx π>⎰.提示：22222sin sin sin sin sin 2sin ()()x tt t t t t x dx dt dt dt dt ttttt πππππππ===+=-+⎰⎰⎰⎰⎰.例3、已知)(x f 满足：对212121)()(],,[,x x x f x f b a x x -≤-∈∀ 求证：2)(21)()()(a b a f a b dx x f ba-≤--⎰.证明：左[()()]b af x f a dx =-⎰2)(21)()()(a b dx a x dx a f x f baba-=-≤-≤⎰⎰.例4、设'()f x 在[0,2]π上连续且大于零，求证：202()sin [(2)(0)]f x nxdx f f nππ≤-⎰.提示：22011()sin [(2)(0)]'()cos f x nxdx f f f x nxdxnnπππ=--+⎰⎰分部积分，则220112()sin [(2)(0)]'()cos [(2)(0)]f x nxdx f f f x nx dx f f nnnππππ≤-+≤-⎰⎰.例5、设)(x f 在],[b a 上连续且严格单增，求证：⎰⎰<+babadx x xf dx x f b a )(2)()(.证明：令],[,)(2)()()(b a x dt t tf dt t f x a x F xax a∈-+=⎰⎰则0)]()([)()()()(<-=+-='⎰⎰xaxadt x f t f dt t f x f x a x F∴ ba >，总有0)()(=<a Fb F ，原不等式成立.例6、设(),()f x g x 在]1,0[上有连续的导数，且(0)0,f ='()0,'()0f x g x ≥≥ 求证：对[0,1]a ∈，1'()()()'()()(1)af xg x dx f x g x dx f a g +≥⎰⎰.提示：令1()'()()()'()()(1)aF a f x g x dx f x g x dx f a g =+-⎰⎰'()'()()'()(1)0F a f a g a f a g =-≤，于是，()F a 在[0,1]a ∈时单调递减则()(1)0F a F ≥=，得证．例7、设'()f x 在]1,0[上连续， 01(0)(1)0,max '()x f f M f x ≤≤===，求证：10()4M f x dx ≤⎰.证明：⎰⎰⎰-+-≤121211)1()()0()()(dxf x f dx f x f dx x f⎰⎰-'+'=1212211)1()()(dx x f xdx f ξξMdx x xdx M 41])1([121210=-+≤⎰⎰.三、课后练习1、证明：当1<x ，总有4arctan 11arctan π=--+x xx ．2、求证：⎰⎰⎰++=+101)(ln )()1(ln)(ln dt t f dt t f t f dt t x f x．3、()f x 是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰（2）证明()()()202x t tg x f t f s ds dt+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．4、设)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b =， 求证：方程()()2b a f x f x -=+在(,)a b 内至少有一根．5、设)(x f 在R 上连续，且(())f f x x =，则存在一点R ξ∈，使()f ξξ=．6、设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且0)(>x g ， 求证：),(b a ∈∃ξ，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．7、)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且⎰=-bab f dx x f ab )()(1求证：在),(b a 至少存在一点ξ，使0)(='ξf ．8、)(x f 于],[b a 连续，),(b a 可导，求证：),(b a ∈∃ξ，使)()()()(ξξξf f ab a af b bf '+=--．9、)(x f 在]1,0[上可微，且⎰=21)(2)1(dx x xf f ：试证：)1,0(∈∃ξ，使0)()(='+ξξξf f ．10、设)(x f 在[]2,1上连续，在)2,1(上可微，且21)1(=f ，2)2(=f ，则存在一点()2,1∈ξ使0)()(2='-ξξξf f ．11、设)(x f 在[]1,0上可微，⎰-=k x dx x f xe k f 11)()1(，)1(>k ，证明存在一点()1,0∈ξ，使得)(11)(ξξξf f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=' 12、函数)(x f 可导，则)(x f 的两个零点之间必有函数)()(/x f x f -的一个零点． 13、设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 上可微，且0)()(==b f a f ，则存在一点()b a ,∈ξ使0)()(2='+ξξλξf f ． 14、设函数)(x f 在],0[+∞上可导，2)0(π=f ，且xx f 1arctan)(0≤≤，证明存在),0(+∞∈ξ，使1)()1(/2-=+ξξf ．15、设)(x f 在),(b a 上具有二阶导数，且0)()(,0)()(>''==b f a f b f a f 证明：(,)a b η∃∈，使0)(=''ηf ．16、设)(x f 于]1,0[连续，)1,0(可导，且1)1()0(==f f ，1)21(=f ，求证：（i ）)1,21(∈∃η，使ηη=)(f ，（ii ）对任意实数λ，),0(ηξ∈∃，使1])([)(=--'ξξλξf f ． 17、当0>x 时，求证：1ln(1)1xe x x->++.18、当0x >时，求证：1arctan 2x x π+>.19、当π<<x 0时，求证：πxx >2sin .20、当0>x 时，证明：2111)1(x xex ++<+.21、当 0a b <<时，求证:2()lnb b a ab a->+ .22、当0>x 时，试证：22)1(ln )1(-≥-x x x . 23、已知q p ,是大于1的常数，且111=+qp 求证：对0>∀x ，有x qxp p≥+11.24、求证：1212-+≥n n n ),1(为自然数n n ≥.25、对于1,1≥>n a ，求证：21111211ln )1(na aa a n a n n n n <-<+++.26、设b a <<0，求证：abab a b ba a 1ln ln 222<--<+.27、证明:当0,sin 2cos sin 2cos a b b b b b a a a a πππ<<<++>++时.28、设)(x f 处处可导，则（D ）A -∞='-∞=-∞→+∞→)(lim ,)(limx f x f x x 则 B -∞=-∞='-∞→-∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则C +∞='+∞=+∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则 D +∞=+∞='+∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则29、设在]1,0[上，0)(>''x f 则)0()1(),1(),0(f f f f -''或)1()0(f f -的大小顺序是 )0()0()1()1(f f f f '>->'.30、设)(),(x g x f 正值且可导， 0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有（A ）A )()()()(x g b f b g x f >B )()()()(x g a f a g x f >C )()()()(b g b f x g x f >D )()()()(a g a f x g x f > 31、设1)(lim=→xx f x ，且0)(>''x f ，求证：x x f ≥)(.32、求证：14401ln(12)11dx x+<<+⎰.33、设)(x f 在]1,0[上连续且递减，求证：当10<<λ时，⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f λλ..34、设40tan nn I xdxπ=⎰，2n ≥，求证：112(1)2(1)n I n n <<+-.35、设)(x f 在]1,0[上可积，且当01x y ≤<≤时，()()arctan arctan f x f y x y -≤-，又(0)1f =，求证：101()ln 22f x dx ≤⎰.36、设)(x f '在],0[a 上连续，且0)0(=f ，求证：20()max ()2a x aaf x dx f x ≤≤'≤⎰.。
考研数学线代定理公式汇总
考研数学线代定理公式汇总1.行列式定理:(1) 行列式的值不变性: 对于可逆矩阵A，有det(AB) =det(A)det(B)。
(2)若存在行(列)线性相关，则行列式为0。
(3)拉普拉斯定理:对于n阶行列式，可以通过余子式展开得到。
2.线性方程组定理:(1)线性方程组存在唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于方程组的未知数个数，并且扩展矩阵的秩等于系数矩阵的秩。
(2)齐次线性方程组存在非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于方程组的未知数个数。
(3)利用矩阵的逆可以求解非齐次线性方程组。
3.矩阵定理:(1)矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
(2)若矩阵A可对角化，则A与其相似矩阵具有相同的特征值。
(3)奇异值分解定理:对于任意矩阵A，都可以分解成奇异值分解形式:A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
4.向量空间定理:(1)向量组的线性相关性可以通过列向量组的秩判断，如果秩小于向量个数，则线性相关。
(2)向量组的秩等于向量组的极大线性无关组的向量个数。
(3) rank(A^T) = rank(A)，其中A是矩阵。
(4)若A和B是可逆矩阵，则(A^T)^-1=(A^-1)^T。
5.特征值与特征向量定理:(1)特征值方程的根为矩阵的特征值。
(2)若特征值λ是矩阵A的特征值，对应的特征向量组成的集合是由矩阵A-λI的零空间生成的。
(3)矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
以上是一些常见的数学线性代数定理和公式的汇总，希望对您的学习有所帮助。
当然，线性代数的内容还是比较广泛的，还有很多其他的定理和公式，如矩阵行列式的性质、特征值与特征向量的性质、矩阵的幂等性等。
如果您对这个话题有更深入的了解需求，可以提出具体的问题，我将尽力回答。
考研数学公式及定理整理
考研数学公式及定理整理数学，作为一门严谨而又广泛应用的学科，不可避免地涉及到大量的公式和定理。
对于考研数学而言，掌握相关公式和定理的整理是非常重要的，不仅可以帮助考生快速复习和解题，还能提高解题的效率和准确性。
本文将对考研数学常见的公式和定理进行整理和总结，希望对考生复习备考有所帮助。
1. 高等数学(1) 微积分微积分是数学的基础和核心，包括导数和积分。
重点公式如下：- 导数相关公式：求导法则、基本初等函数求导、复合函数求导、隐函数求导等。
- 积分相关公式：不定积分法则、定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法等。
(2) 无穷级数无穷级数是微积分中的重要内容，常见的公式和定理有：- 常数项级数求和公式：算术级数、几何级数。
- 幂级数展开：泰勒级数展开、麦克劳林级数展开。
- 收敛性与发散性判断：比较判别法、根值判别法、狄利克雷判别法等。
(3) 偏微分方程偏微分方程是高等数学中的一个重要分支，常见的公式和定理包括：- 一阶偏导数方程：线性一阶偏微分方程、齐次线性一阶偏微分方程、非齐次线性一阶偏微分方程等。
- 二阶偏导数方程：线性二阶偏微分方程的分类、常系数线性二阶偏微分方程等。
2. 线性代数线性代数是数学中的一个重要分支，涉及到矩阵和线性方程组的理论和应用，常见的公式和定理有：- 行列式相关公式：二阶和三阶行列式、行列式的性质与计算、克拉默法则等。
- 矩阵相关公式：矩阵的性质与运算、线性方程组的解法、特征值和特征向量等。
3. 概率论与数理统计概率论与数理统计是数学中与实际问题联系最紧密的分支，常见的公式和定理包括：- 概率相关公式：概率基本公式、条件概率与贝叶斯公式、全概率公式、期望和方差等。
- 统计学相关公式：抽样分布定理、参数估计与假设检验、相关系数与回归分析等。
以上只是对考研数学常用公式和定理的简要整理，希望可以为考生提供一些复习的参考和方向。
在备考过程中，考生还需结合习题训练和理解概念来进一步掌握数学知识。
上海市考研数学复习资料数学分析重点定理证明
上海市考研数学复习资料数学分析重点定理证明上海市考研数学复习资料数学分析重点定理的证明一、极限与连续极限和连续是数学分析中非常重要的概念，它们是数学分析基础理论的支撑。
下面将介绍一些数学分析中的重点定理，并给出证明。
1. 极限的重要定理之泰勒展开定理泰勒展开定理是数学分析中的一项重要定理，它对于研究函数的性质和计算函数的值都有很大的帮助。
下面给出定理的证明：定理：设函数f(x)在点x=a处n阶可导，那么函数f(x)在x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)是拉格朗日余项，满足| Rn(x) | <= M |x-a|^(n+1)/(n+1)!，其中M为常数。
证明：我们可以利用泰勒公式对函数f(x)在点x=a处进行展开。
首先，我们对函数f(x)在点x=a处进行n阶的泰勒展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为拉格朗日余项。
由于函数f(x)在点x=a处n阶可导，因此可以得到f(a)、f'(a)、f''(a)、...、f^n(a)的具体值。
我们将Rn(x)的具体表达式进行展开，并根据泰勒公式的表达式得到其表示形式。
经过简化后，我们可以得到：| Rn(x) | <= M |x-a|^(n+1)/(n+1)!其中M为常数。
因此，函数f(x)在点x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)定理得证。
2. 连续函数的重要定理之介值定理介值定理是连续函数的一个重要性质，它可以帮助我们研究函数在某个区间上的性质。
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考研数学：必考的定理证明整理（2）考研数学的定理证明是一直考生普遍感觉不太有把握的内容，而2016年考研数学真题释放出一个明确信号——考生需重视教材中重要定理的证明。
下面跨考教育为考生梳理一下教材中那些要求会证的重要定理。
三、微积分基本定理的证明
该部分包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。
变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。
注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。
花开两朵，各表一枝。
我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。
一点的导数仍用导数定义考虑。
至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。
单侧导数类似考虑。
“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。
而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。
不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。
该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f（x）在闭区间连续，该公式的另一个条件是F（x）为f（x）在闭区间上的一个原函数，结论是f（x）在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。
该公式的证明要用到变限积分求导定理。
若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。
注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f（x）对应的变上限积分函数为f（x）在闭区间上的另一个原函数。
根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F（x）等于f（x）的变上限积分函数加某个常数C。
万事俱备，只差写一下。
将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。
四、积分中值定理
该定理条件是定积分的被积函数在积分区间（闭区间）上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把积分变量x换成中值。
如何证明？可能有同学
想到用微分中值定理，理由是微分相关定理的结论中含有中值。
可以按照此思路往下分析，不过更易理解的思路是考虑连续相关定理（介值定理和零点存在定理），理由更充分些：上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数，而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。
若我们选择了用连续相关定理去证，那么到底选择哪个定理呢？这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。
介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。
那么何去何从，已经不言自明了。
若顺利选中了介值定理，那么往下如何推理呢？我们可以对比一下介值定理和积分中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值，而等号另一边为常数A。
我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。
等式两边同时除以区间长度，就能达到我们的要求。
当然，变形后等号一侧含有积分的式子的长相还是挺有迷惑性的，要透过现象看本质，看清楚定积分的值是一个数，进而定积分除以区间长度后仍为一个数。
这个数就相当于介值定理结论中的A。
接下来如何推理，这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。
该定理条件有二：1.函数在闭区间连续，2.实数A位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间，结论是该实数能被取到（即A为闭区间上某点的函数值）。
再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。
函数的连续性不难判断，仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。
而要考察一个定积分的值的范围，不难想到比较定理（或估值定理）。
定理证明确属难点，但几乎没有考生敢于不去复习这部分，因为一旦考出来就是大题，且在没复习的情况下当场做出的可能性很小。
在此提醒2017的考研学子，掌握好以上梳理的重要定理的证明，是通往高分的必经之路。