1线性代数 曹贤通

第一章 矩阵与行列式
01103 填空题
设矩阵A 满足2
4A A E O +-=，则()
1
A E --=
()1
22
A E +。

01303 01403填空题
设矩阵1111
11111111
k k A k k ⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
，且秩()3A =，则 3 k =-。

01403 填空题
设行列式D=
304
0222
2
0700532
2
--，则第四行各元素余子式之和的值为 —28 02403填空题
设矩阵A= 1123-⎛⎫ ⎪⎝⎭
，B = 2
32A A E -+，则1B -=
10211⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
03204填空题
设三阶方阵,A B 满足E B A B A =--2
，其中E 为三阶单位矩阵，若
101020201A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，
则=B
2
1
. 03304 03404 填空题
设n 维向量(),0,,0,',0a a a α=< ；E 为n 阶单位矩阵，矩阵
'A E =-αα，1
'B E a
=+αα，
其中矩阵A 的逆矩阵为B ，则 1 a =-。

注：
试题编号说明：前两位数为考试年数，第三位数学试卷号，后两位数为该试题分数。

03404 填空题
设,A B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知2AB A B =+，202040202B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，则
1)(--E A = 001010100⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
04104 04204 填空题
设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，其中*
A 为A 的伴随矩阵，E 为
单位矩阵，则1
9
B = 04404 填空题
设01010
0001A -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，1B P AP -=，其中P 为三阶可逆矩阵，则200423002030001B A ⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪-⎝⎭。

01303 01403选择题
设1112131421
2223243132333441
42
43
44a a a a a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭14
13121124
2322213433323144
43
42
41a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
， 1
00101000010100
0P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭，210
0000100100000
1P ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
，其中A 可逆，则1
B -等于 （A ）112A PP -； (B)112P A P -； (C) 112PP A -； ( D) 1
21P A P -。

[ C ]
02403 选择题
设,A B 为n 阶矩阵，*
*
,A B 分别为,A B 对应的伴随矩阵。

分块矩阵A O C O B ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
则C 的伴随矩阵*
C =
(A) *
*A A O O
B B ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭； (B) *
*B B O O A A ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
； (C) *
*A B O O
B A ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
； (D) **B A O O A B ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭。

[ C ]
03304 选择题
设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a b =或20a b +=； (B) a b =或20a b +≠；
(C) a b ≠且20a b +=； (D) a b ≠且20a b +≠。

[ D ]
04304 04404 选择题
设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有
(A) 当()0A a a =≠时，B a = ； (B) 当()0A a a =≠时，B a =-； (C) 当0A ≠时，0B =； (D) 当0A =时，0B =。

[ D ]
04104 04204 选择题
设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为
（A ）010100101⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
；(B)
010101001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 010100011⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 011100001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
[ D ]
01206 计算题
已知矩阵000111010111110A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11，1，且矩阵X 满足
AXA BXB AXB BXA E +=++，其中E 是3阶单位阵，求X 。

解：由题设的关系式可得 --AX A B BX B A E +=（）（），进而 --A B X A B E =（）（），
由行列式111
|-|0
11100
1A B --=-=≠，所以矩阵A B -可逆，且1
112-011001A B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（），
故
12
[-]X A B -=（）125012001⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

02208 计算、证明题
已知,A B 为3阶矩阵，且满足124,A B B E -=-其中E 是3阶单位矩阵
（1）证明：矩阵2A E -可逆；（2）若120120002B -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵A 。

解 （1）由1
24A B B E
-=-知24AB B A O --=，
从而 ()()248A E B E E --=，或 ()1
2(4)8
A E
B E E --=， 故()2A E -可逆，且1
1
(2)
(4)8
A E
B E --=-。

（2）由（1）知128(4)A E B E -=+-
而1
1
1104432013(4)12008
8002100
2B E --⎛⎫- ⎪
--⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-=-=-
- ⎪ ⎪
⎪- ⎪⎝⎭
⎪
- ⎪⎝
⎭
，故020110002A ⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭。

5104 05204 05404 填空题
设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵
),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 . 6104
06204 06304 填空题
设矩阵2112A ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =
2 .
5104 05204 选择题
设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, *
*,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则 [ C ]
(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B .； (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (B) 交换*A 的第1列与第2列得*B -； (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.
05304 选择题
设矩阵A=33)(⨯ij a 满足T A A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为 [ A ]
(A)
3
3
. (B) 3. (C) 31. (D)
3.
05404 选择题
设A,B,C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA ，则B-C 为 [ A ]
(A) E. （B ）-E. （C ）A. (D) -A
06104 06404 选择题
设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加
到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则 [ B ]
（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=
（C ）.T C P AP =
（D ）.T C PAP =
06404
填空题
设 12,αα是两个2维向量，矩阵()12122,A αααα=+-， ()12,B αα=.已知
6A =，则|B |=B = -2 . 06404 填空题
设2112A ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
,E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则
B = .
答案：
11
11 B
-
⎛⎫= ⎪
⎝⎭。