初三数学中考专项练习 相似三角形的性质及应用--巩固练习(基础)
相似三角形的性质及应用练习题1
相似三角形的性质及应用练习卷一、填空题1.已知两个相似三角形的相似比为3, 则它们的周长比为；2.若△ABC∽△A′B′C′, 且, △ABC的周长为12cm, 则△A′B′C′的周长为；3、如图1, 在△ABC中, 中线BE、CD相交于点G, 则= ；S△GED: S△GBC= ；4.如图2, 在△ABC中, ∠B=∠AED, AB=5, AD=3, CE=6, 则AE= ；5.如图3, △ABC中, M是AB的中点, N在BC上, BC=2AB, ∠BMN=∠C, 则△∽△ ,相似比为 , = ；6、如图4, 在梯形ABCD中, AD∥BC, S△ADE: S△BCE=4: 9, 则S△ABD: S△ABC= ；7、如图5, 在△ABC中, BC=12cm, 点D、F是AB的三等分点, 点E、G是AC的三等分点, 则DE+FG+BC= ；8、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm, 则它们的对应角的平分线的比为；9、两个三角形的面积之比为2: 3, 则它们对应角平分线的比为 , 对应边的高的比为；对应边的中线的比周长的比10、已知有两个三角形相似, 一个边长分别为2、3、4, 另一个三角形最长边长为12, 则x、y的值为；二、选择题11.下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形12、在△ABC中, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, 另一个和它相似的三角形的最短边是5cm, 则最长边是（）A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm13、如图, 在△ABC中, 高BD.CE交于点O, 下列结论错误的是（）A.CO·CE=CD·CA B、OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·AB D、CO·DO=BO·EO14.已知, 在△ABC 中, ∠ACB=900, CD ⊥AB 于D, 若BC=5, CD=3, 则AD 的长为（ ）A.2.25B.2.5C.2.75D.315.如图, 正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上,其余两个顶点A.D 在PQ 、PR 上, 则PA ：PQ 等于（ ）A.1:B.1: 2C.1: 3D.2: 316.如图, D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, = =3,且∠AED=∠B, 则△AED 与△ABC 的面积比是（ ）A 、1: 2B 、1: 3C 、1: 4D 、4: 9三、解答题17、如图, 已知在△ABC 中, CD=CE, ∠A=∠ECB, 试说明CD2=AD ·BE 。
中考数学复习----《相似三角形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案)
中考数学复习----《相似三角形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案） 知识点总结1. 相似图形的概念：把形状相同的图形称为相似图形。
2. 相似三角形的概念：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似。
3. 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。
对应边的比叫做相似比。
②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。
练习题1、（2022•兰州）已知△ABC ∽△DEF ，21=DE AB ，若BC ＝2，则EF ＝（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．16【分析】利用相似三角形的性质可得，代入即可得出EF 的长．【解答】解：∵△ABC ∽△DEF ，∴， ∵＝，BC ＝2， ∴， ∴EF ＝4，故选：A ．2、（2022•贺州）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝5，则S △ADE ：S △ABC 的值是（ ）A ．253B ．254C ．52D ．53 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴S △ADE ∽S △ABC ，∵DE ＝2，BC ＝5，∴S △ADE ：S △ABC 的值为， 故选：B ．3、（2022•甘肃）若△ABC ∽△DEF ，BC ＝6，EF ＝4，则DF AC ＝（ ） A ．94 B ．49 C ．32 D ．23 【分析】根据△ABC ∽△DEF ，可以得到，然后根据BC ＝6，EF ＝4，即可得到的值．【解答】解：∵△ABC ∽△DEF ，∴， ∵BC ＝6，EF ＝4，∴＝，故选：D ．4、（2022•绍兴）将一张以AB 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ，其中∠A ＝90°，AB ＝9，BC ＝7，CD ＝6，AD ＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A ．225B ．445C ．10D ．435 【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：如右图1所示，由已知可得，△DFE ∽△ECB ，则，设DF＝x，CE＝y，则，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，则，设FC＝m，FD＝n，则，解得，∴FD＝10，故选项C不符合题意；BF＝FC+BC＝8+7＝15；如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和7；故选：A．5、（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54B．36C．27D．21【分析】（1）方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算．【解答】解：方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，∵△ABC∽△DEF，∴＝＝，∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周长是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∴＝，∴C△DEF＝27；故选：C．。
相似三角形的性质及应用--巩固练习(基础--带答案)
相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：344. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B CBC AD k B C k A DSkS B C A D B C A D'''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案与解析】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y.(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能. 【总结升华】一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.举一反三【变式】如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，，.又∵∽，相似比为.的周长为，的面积是.22.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.【答案与解析】∵四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm.∴【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.举一反三：【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90°又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC. ∴∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 即河宽为85m．【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度．44变【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE (2)由(1)得△ABC∽△ADE ∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m 即古塔的高度为16m。
(完整word版)初三数学相似三角形典例和练习[含解析],文档
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WORD 圆满格式初三数学相似三角形〔一〕相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1.理解线段的比、成比率线段的看法，会依照比率线段的有关看法和性质求线段的长或两线段的比，认识黄金切割。
2.会用平行线分线段成比率定理进行有关的计算、证明，会分线段成比。
3.能熟练应用相似三角形的判断和性质解答有关的计算与证明题。
4.能熟练运用相似三角形的有关看法解决实责问题本节的重点内容是相似三角形的判判定理和性质定理以及平行线分线段成比率定理。
本节的难点内容是利用判判定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中经常与四边形、圆的知识相结合组成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与研究型试题；有利于培养学生的综合素质。
〔二〕重要知识点介绍：WORD 圆满格式1.比率线段的有关看法：在比率式a c (a：b c：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b db、 d 叫后项， d 叫第四比率项，若是b=c，那么 b 叫做 a、 d 的比率中项。
2把线段 AB分成两条线段 AC和 BC，使 AC=AB·BC，叫做把线段 AB黄金切割， C 叫做线段 AB的黄金切割点。
2.比任性质：①根本性质：a cb ad bcdac ±b±②合比性质：a c db d b d③等比性质：a c m(b dn≠ 0)a c m ab d n b d n b3.平行线分线段成比率定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥ l 2∥ l 3。
那么AB DE，AB DE，BC EF ，BC EFAC DFAC DF专业知识编写整理的延长线〕所得的对应线段成比率。
③定理：若是一条直线截三角形的两边〔或两边的延长线〕所得的对应线段成比率，那么这条直线平行于三角形的第三边。
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。
证明：=。
当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。
2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。
证明：AC^2=AF•AD。
联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。
3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。
证明：△APC∽△ACB。
若AP=2，PC=6，求AC的长。
4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。
证明：△ABF∽△EAD。
若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。
5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。
证明：AB•BC=AC•CD。
6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。
说明AF•BE=2S的理由。
7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。
若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。
若AE=2，试求AP•AF的值。
若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。
8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。
证明。
9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。
证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。
10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。
12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。
专题27.21 相似三角形的性质(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识
专题27.21 相似三角形的性质（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．若ABC 的面积是28cm ，则它的三条中位线围成的三角形的面积是（ ） A ．22cmB ．24cmC ．26cmD ．无法确定2．如图，矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，点P 在对角线BD 上，且BP BA =，连接AP 并延长，交DC 的延长线于点Q ，连接BQ ，则BQ 的长为（ ）A B ．C ．D ．3．如图，ABC 中，DE∥BC ，AD:BD=1:3，则OE ：OB=（ ）A ．1:3B ．1:4C ．1:5D ．1:64．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，若AE 交BD 于点F ，M 是DF 的中点，连接CM ，2CM =，则EF 的长为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．235．如图，小明在A 时测得某树的影长为8m ，B 时又测得该树的影长为2m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）A．2m B．4m C．6m D．8m6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，2AE ED=，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则BGGF的值为（）A．23B．12C．13D．347．如图，ABC中，6BC=，BD是中线，E是BD上一点，作射线AE，交BC于点F，若2BE DE=，则FC=（）A．2B．2.5C．3D．3.58．小明想借助网格在线段AB上找一点P，使AP∥PB＝2∥3，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．9．如图，在∥ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E是AB边的中点，过点E 作EF∥AD交BC于点F，过点E作EG∥BC交AD于点G，设∥ABC的面积为S，则四边形EFDG的面积为（）A．12S B．14S C．18S D．112S10．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）A．254B．253C．203D．154二、填空题11．在∥ABC和∥DEF中，∥A＝∥D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF ＝_________时，∥ABC与∥DEF相似．12．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B 恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为______.13．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，2AO =，4=AD ，6OC =，8BC =，如果DAO CBO ∠=∠，那么:AB CD 的值是___________．14．如图，ABC 在平面直角坐标系中，AB 与y 轴交于点D ，已知点()1,4A ，()3,0C ，()0,3D ，M 是线段BC 上一点，连接DM ，若ODM △与CAD 相似，则CM 的长为______．15．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE ，将∥ABE 沿直线AE 翻折得到∥AFE ，EF 与AC 相交于点M ．若AB ＝8，BC ＝10，且BE ＝35BC ，则点F 到直线AD 的距离为____．16．如图，矩形ABCD 沿EF 折叠，点A 的对称点为点A '，点B 的对称点为点B '，A 'B '与AD 相交于点G ，若点F ，B '，D 在同一条直线上，∥A 'EG 的面积为4，∥CDF 的面积为36，则∥GB 'D 的面积等于______．17．如图，已知在矩形纸片ABCD 中，2,1,AB AD ==将纸片折叠，使顶点A 与边CD 的点E 重合.若折痕FG 分别与,CD AB 交于点,,F G AED 的外接圆与直线BC 有唯一一个公共点，则折痕FG 的为______．18．如图，在∥ABC 中，∥C =90°，BC =1，AC =2，111CA B C 、1222A A B C 、2333A A B C …都是正方形，且1A 、2A 、3A …在AC 边上，1B 、2B 、3B …在AB 边上．则线段n n B C 的长用含n 的代数式表示为______________．（n 为正整数）三、解答题19．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ABC =90°，且AB 是AD ，BC 的比例中项，求证：BD ∥AC ．20．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图∥中画等腰∥ABC，使得∥CAB＝90°；(2)在图∥中画等腰∥DEF，使∥ABC∥∥DEF1．21．如图，∥ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点F，BD＝AD，BE＝EC．(1)求证：∥ABD∥∥CBE；(2)若CD＝CF，试求∥ABC的度数．22．如图，已知点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，3AB=，点AO=，5P在线段AB上，从点A出发以每秒5个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为(01)t t <<秒，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ．(1) 当1t 2=时，线段PQ 的长为________； (2) 当PQ PA =时，求t 的值；(3) 在x 轴上是否存在点M ，使ABM 为等腰三角形，若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由．23．在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两点，满足AE DF =，BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，连接BD ．求证：DAE BDF △≌△； （2）如图2，连接CG ． ∥ 求证：BG DG CG +=；∥ 若FG m =，GC n =，求线段DG 的长（用含m 、n 的代数式表示）．24．如图1，在等腰Rt ABC 中，AB AC =，点D 为斜边AB 边上一动点（不含端点）．作90EDF ∠=︒，DE ，DF 分别交AB ，AC 于点E 和点F ．请根据图形解答下面问题：【问题发现】（1）如图1，若点D 为BC 边中点．请直接写出DE ，DF 的数量关系_________． 【类比探究】（2）如图2，若点D 为BC 边上一动点，且DC mBD =．猜想DF 与DE 的数量关系．并证明你的结论．【拓展应用】（3）如图3，在边长为4的等边ABC 中，点D 为BC 边上一动点，作60ADE ∠=︒．DE 交AC 边于点E ．请问在点D 的运动过程中，CE 是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．参考答案1．A 【分析】根据三角形中位线定理即可证得：12DE EF DF BC AB AC ===，则△DEF ∥∥ABC ，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．解：如图：∥DE 是△ABC 的中位线， ∥DE =12BC ，即12DE BC =， 同理，12EF AB =，12DF AC =， ∥12DE EF DF BC AB AC ===， ∥∥DEF ∥∥ABC ， ∥14DEF ABC S S ∆∆=， ∥S △DEF =14S △ABC =14×8=2（cm 2）．故选：A ．【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，以及相似三角形的性质，正确证明△DEF ∥∥ABC 是关键．2．C 【分析】根据矩形的性质可求BD ，ABPQDP ∆∆，从而得到QC ，由勾股定理即可求解；解：∥在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，∥13BD == ∥AB ∥CD ， ∥ABP QDP ∠=∠ ∥APB QPD ∠=∠ ∥ABPQDP ∆∆∥5BP BA ==∥1358DQ PD BD BP ==-=-= ∥853QC DQ CD =-=-=∥BQ =故选：C ．【点拨】本题主要考查三角形的相似、矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．3．B 【分析】先根据DE∥BC ，得出ADE∥ABC ，进而得出1=4AD DE AB BC = ，再根据DE∥BC ，得到ODE∥OCB ，进而得到1=1:44OE DE OB CB ==． 解：∥DE∥BC ，∥ADE∥ABC ， ∥=AD DEAB BC ， 又∥1=3AD BD ， ∥1=4AD DE AB BC =， ∥DE∥BC ， ∥ODE∥OCB ， ∥1=1:44OE DE OB CB ==． 故选：B ．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．4．C 【分析】 先证明ADFEBF ，可得3EF =AE ，延长AE 交DC 得延长线于点H ，可得ABE HCE ≅，继而即可求解．解：∥在矩形ABCD 中，∥AD ∥BC ，AD =BC ， ∥ADF EBF ，∥21AF AD EF BE ==，即：3EF =AE ，延长AE交DC得延长线于点H，∥AB∥CD，∥∥ABE=∥HCE=90°，∥E是BC的中点，∥BE=CE，又∥∥AEB=∥CEH，≅，∥ABE HCE∥AE=EH，AB=CH=CD，即C是DH的中点，∥M是DF的中点，CM=，∥HF=24∥3EF=HE，∥4EF=4，∥EF=1，故选C．【点拨】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中位线的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．5．B【分析】根据题意，画出示意图，易得△EDC∥∥FDC，进而可得ED DCDC FD=，即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．解：根据题意，作∥EFC，树高为CD，且∥ECF=90°，ED=2m，FD=8m；∥∥E+∥F=90°，∥E+∥ECD=90°，∥∥ECD=∥F，又CDE FDC∠=∠∥∥EDC∥∥CDF，∥ED DCDC FD=，即DC2=ED•FD=2×8=16，解得CD=4m（负值舍去）．故选：B．【点拨】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．6．A【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∥∥CFG，△ABE∥∥DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．解：∥四边形ABCD为平行四边形，∥AB∥CD，∥∥ABG∥∥CFG，∥BGGF＝ABCF∥∥ABE∥∥DFE，∥AEDE ＝ABDF，∥AE＝2ED，∥AB＝2DF，∥AB CF ＝23， ∥BG GF ＝23． 故选：A ．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．7．C【分析】作//EG BC ，交AC 于点G ，则有DEC DBC ，根据 6BC =，2BE DE =，可得2EG =，3DC DG ，再根据BD 是AC 边上的中线，得到6AC DG ，4AG DG ；根据//EG BC 可得AEG AFC ，则G C FC E AG A ，化简即可得到结果． 解：如图，作//EG BC ，交AC 于点G ，∥~DEG DBC∥EG DG DE BC DC DB==， 又∥6BC =，2BE DE =，∥163EG DG DE DC DB ===， ∥2EG =，13DG DC = ∥3DC DG ∥BD 是AC 边上的中线，∥AD DC =∥6AC DG ，4AG DG∥4263AG AC ==， ∥//EG BC∥AEG AFC ∥G C FC E AG A ∥223FC =， 则3=FC ．故选：C ．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键．8．D【分析】利用平行可证得三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例，对各选项逐一判断．解：A 、根据图形，可知两个三角形相似，且相似比为2∥3，故AP ∥PB ＝2∥3，故正确，故此选项不符合题意．B 、根据图形，可知两个三角形相似，且相似比为2∥3，故AP ：PB ＝2∥3，故正确，故此选项不符合题意．C 、如图，根据图形可知：∥CAD =90°，线段CD 绕点O 顺时针旋转90°与AB 重合，则∥APC =旋转角=90°=∥CAD ，∥ACD =∥DCA ，∥∥ACD ∥△DCA ，∥AC AP CD AD=，∥AC，AD CD ，∥AP ，∥S △BCD =112322CD BP ⋅=⨯⨯，∥BP ，故AP ∥PB ＝2∥3，故正确，故此选项不符合题意． D 、可知两个三角形不相似，故AP ：PB 之比无法判断，故错误，故此选项符合题意．故答案为：D ．【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．B【分析】根据等腰三角形的性质可得AD ∥BC ，BD 12=BC ，然后可得四边形EFDG 是矩形，再根据三角形中位线定理可得EG 12=BD 14=BC ，DG ＝AG 12=AD ，进而可以解决问题． 解：∥AB ＝AC ，点D 是BC 边的中点，∥AD ∥BC ，BD 12=BC ， ∥∥ADB =90°，∥EF ∥AD ，EG ∥BC ，∥四边形EFDG 是平行四边形，AE AG BE DG = 又∥ADB =90°，∥四边形EFDG 是矩形，∥点E 是AB 边的中点，AE AG BE DG= ∥AE =BE ，∥AG =DG ，∥EG 是∥ABD 的中位线，∥EG 12=BD 14=BC ，DG ＝AG 12=AD ， ∥∥ABC 的面积为S ，∥S 12=⨯BC •AD ，∥四边形EFDG 的面积＝FD •DG 14=BC 12⨯AD 14=S ． 故选：B ． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．10．A【分析】分别过点A 、B 、D 作AF ∥l3，BE ∥l3，DG ∥l3，可得AF =4，先根据全等三角形的判定定理得出∥BCE ∥∥CAF ，故可得出CF 及CE 的长，在Rt ∥ACF 中根据勾股定理求出AC 的长，再由相似三角形的判定得出∥CDG ∥∥CAF ，故可得出CD 的长，在Rt ∥BCD 中根据勾股定理即可求出BD 的长．解：分别过点A 、B 、D 作AF ∥l3，BE ∥l3，DG ∥l3，垂足为F 、E 、G ，∥l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∥AF =4，BE=DG=3，∥∥ABC 是等腰直角三角形，∥AC ＝BC ，∥∥EBC +∥BCE ＝90°，∥BCE +∥FCA ＝90°，∥FCA +∥CAF ＝90°，∥∥EBC ＝∥FCA ，∥BCE ＝∥CAF ，在∥BCE 与∥ACF 中，EBC FCA BC AC BCE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∥∥BCE ∥∥CAF ，∥CF =BE =3，∥AC，∥AF ∥l3，DG ∥l3，∥∥CDG ∥∥CAF ， ∥CD DG AC AF=，即354CD =， 解得：CD =154， ∥BD254．故选：A．【点拨】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．11．2cm或4.5cm【分析】由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分∥ABC∥∥DEF与∥ABC∥∥DFE两种情况进行讨论．解：∥∥A＝∥D，AB＝6cm，AC＝4cm，DE＝3cm，∥当∥ABC∥∥DEF时，ABDE＝ACDF，即643DF=，解得：DF＝2；当∥ABC∥∥DFE时，ABDF＝ACDE，即643 DF=，解得：DF＝4.5．综上所述，当DF＝2cm或4.5cm时，∥ABC和∥DEF相似．故答案为：2cm或4.5cm．【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论．12．8-【分析】如图，过N作NF∥AD于F，可得NF=AB，根据矩形的性质和折叠的性质可得∥MEN=∥B=90°，EN=BN，根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得∥AME=∥NEF，进而可证明∥AEM∥∥FNE，根据AE=2AM可求出EF的长，在Rt∥FNE中，利用勾股定理可求出EN的长，进而可求出CN的长.解：如图，过N作NF∥AD于F，∥四边形ABCD是矩形，AB=6，∥NF=AB=6，∥矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，∥EN=BN，∥MEN=∥B=90°，∥∥AEM+∥NEF=90°，∥∥AEM+∥AME=90°，∥∥AME=∥NEF，又∥∥A=∥EFN=90°，∥∥AEM∥∥FNE，∥AM EF AE NF=，∥AE=2AM，NF=6，∥EF=3，，∥BC=8，∥CN=BC-BN=8-故答案为：8-【点拨】本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.13．23【分析】由题意可以证得∥AOD∥∥BOC，再根据相似三角形的性质得到AO：OD=BO：OC，从而得到∥AOB∥∥DOC，最后再根据相似三角形的性质得到解答．解：在∥AOD和∥BOC中，DAO CBO∠=∠，∥AOD=∥BOC，∥∥AOD ∥∥BOC ，∥AO ：OB =DO ：OC =AD ：BC =1：2，∥OB =4，DO =3，∥在∥AOB 和∥DOC 中，∥AOB =∥DOC ，AO ：OD =BO ：OC =2：3，∥∥AOB ∥∥DOC ，∥:AB CD = AO ：OD =2：3， 故答案为23．【点拨】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键．14．2或4【分析】 ODM △是一个直角三角形，若ODM △与CAD 相似，必须证明CAD 是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M 的坐标．解：如图，∥A (1,4) ， C (3,0) ， D (0,3) ，∥222112AD =+= ，2224220AC =+=，222223318CD OD OC =+=+=，222AC AD CD =+ ；∥CAD 是直角三角形∥点M 在x 轴上，设点M 的坐标是（x ，0），ODM △∥CAD∥||3AD OM x CD OD == ∥||x =1∥||=1x ±当=1x 时，CM =2；当=-1x 时CM =4，故答案为：2或4．【点拨】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 15．5625． 【分析】先过F 作MN ∥BC ，根据已知条件与折叠的性质得到∥AFN ∥∥FEM ，再根据相似的性质得到43AF AN FN EF FM EM ===，设出未知数，求解出答案即可． 解：过F 作MN ∥BC ，∥BE =35BC ，BC =10， ∥BE =6，∥翻折∥∥ABE ∥∥AFE ，∥EF =BE =6，∥AFE =∥B =90°，AF = AB =8，∥∥AFN +∥EFM =90°，∥∥AFN +∥F AN =90°，∥∥F AN =∥EFM ，∥∥AFN ∥∥FEM ， ∥43AF AN FN EF FM EM ===， 设AN =4x ，FM =3x ， FN =8-3x ，EM =4x -6，∥FN =8-3x ，EM =4x -6， ∥834463x x -=-， ∥4825=x ， 经检验：4825=x 是原方程的根，∥5625FN =， 故答案为：5625． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定与性质，关键在于作出辅助线，根据折叠的性质证明出三角形相似．16．16【分析】由矩形ABCD 沿EF 折叠， 可得∥A′=∥A =90°，A′B′=AB ，可证A′E∠DF ，可得∥A′EG =∥GDB′，可证△A′EG ∥∥CFD ，可得12A G GB '='，可证△A′EG ∥∥B′DG ，214A EGB DG S A G S B G '∆'∆'⎛⎫== ⎪'⎝⎭即可． 解：∥矩形ABCD 沿EF 折叠，点A 的对称点为点A '，点B 的对称点为点B '，∥∥A′=∥A =∥A′B′F =∥B =∥C=90°，A′B′=AB ，∥∥A′+∥A′B′F =180°，∥A′E∠DF ，∥∥A′EG =∥GDB′，∥四边形ABCD 为矩形，∥AB =CD ，AD∠BC ，∥∥GDB′=∥DFC =∥A′EG ，∥∥A′EG ∥∥CFD ， ∥241369A EG CFD S A G S CD '∆∆'⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∥13A G CD '=即13A G A B '=''， ∥12A G GB '='， ∥∥A′=∥A′B′F =90°，∥A′EG =∥GDB′，∥△A′EG ∥∥B′DG ，214A EGB DG S A G S B G '∆'∆'⎛⎫== ⎪'⎝⎭， ∥S △A 'EG =4，∥44416B DG A EG S S ''∆∆==⨯=．故答案为：16．【点拨】本题考查矩形折叠问题，平行线性质，三角形相似判定与性质，掌握矩形折叠性质，平行线性质，三角形相似判定与性质是解题关键．17．1715【分析】根据折叠的性质判断出AG=GE ，∥AGF=∥EGF ，再由CD∥AB 得出∥EFG=∥AGF ，从而判断出EF=AG ，得出四边形AGEF 是平行四边形，继而结合AG=GE ，判定四边形AGEF 是菱形；连接ON ，得出ON 是梯形ABCE 的中位线，在RT∥ADE 中，利用勾股定理可解出x ，继而可得出折痕FG 的长度．解：由折叠的性质可得，GA=GE ，∥AGF=∥EGF ，∥DC∥AB ，∥∥EFG=∥AGF ，∥∥EFG=∥EGF ，∥EF=EG=AG ，∥四边形AGEF 是平行四边形（EF∥AG ，EF=AG ），又∥AG=GE ，∥四边形AGEF 是菱形令∥AED 的外接圆与直线BC 有唯一一个公共点为N ，连接ON ，如图所示，∥∥AED 是直角三角形，AE 是斜边，点O 是AE 的中点，△AED 的外接圆与BC 相切于点N ，∥ON∥BC ，∥点O 是AE 的中点，∥ON 是梯形ABCE 的中位线，设CE=x ，则ED=2-x ，2ON=CE+AB=x+2，在Rt∥AED 中，AE=2OE=2ON=x+2，AD 2+DE 2=AE 2，∥12+（2-x ）2=（2+x ）2，得x=18，117216OE AE =， ∥∥FEO∥∥AED ， ∥OE OF DE AD=， 解得：FO=1730， ∥FG=2FO=1715． 故答案为：1715. 【点拨】此题考查了翻折变换的知识，涉及了菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质，关键在于得出△FEO∥∥AED ，求出OE OF DE AD =. 18．22()3【分析】根据题意得出∥BB 1C 1∥∥BAC ，进而求出B 1C 1=23，同理可得出：B 2C 2=223⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 3C 3=323⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，进而得出答案． 解：由题意可得：B 1C 1//AC ，∥∥BB 1C 1∥∥BAC ，∥BC 1：BC =B 1C 1：AC ，∥CC 1=B 1C 1，∥B 1C 1：2=（1−C 1B 1）：1，解得：B 1C 1=23，故A 1B 1=23，AA 1=43， 同理可得出：B 2C 2=223⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 3C 3=323⎛⎫ ⎪⎝⎭，…， ∥线段BnCn 的长用含n 的代数式表示为：2()3n ． 故答案为：2()3n ． 【点拨】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质及归纳的思维方法是解题关键．19．见分析【分析】先根据平行线的性质得到∥BAD =90°，再证明∥ABC ∥∥DAB 得到∥ABD =∥ACB ，则∥ACB +∥DBC =90°，所以∥BEC =90°，从而得到结论．解：∥AD ∥BC ，∥ABC =90°，∥∥BAD =90°，∥AB 是AD ，BC 的比例中项，即AB 2=AD •BC ， ∥,AB BC AD AB= 而∥ABC =∥DAB ，∥∥ABC ∥∥DAB ，∥∥ABD =∥ACB ，∥∥ABD +∥DBC =90°，∥∥ACB +∥DBC =90°，∥∥BEC =90°，∥BD ∥AC ．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键．20．(1)见分析(2)见分析解：(1)如图∥中，∥ABC 即为所求；10AB =AC =BC =222,20,20AB AC AB AC BC ∴=+==,222AB AC BC ∴+=，ABC ∴的等腰直角三角形，(2)如图∥中，∥DEF 即为所求．10AB =AC =BC =DE DF EF ==AB AC BC DE DF EF ∴=== ∴∥ABC ∥∥DEF ：1．【点拨】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，掌握勾股定理与相似三角形的性质是解题的关键．21．(1)见分析(2)36︒【分析】（1）由已知可得∥BAD ＝∥BCE ，结合∥B ＝∥B ，可以得到ABD CBE ∽△△； （2）设∥B ＝x ，则由（1）和已知条件可以得到关于x 的方程，解方程即可得到问题解答．(1)证明：∥BD ＝AD ，BE ＝EC∥∥B ＝∥BAD ，∥B ＝∥BCE∥∥BAD ＝∥BCE而∥B ＝∥B ，∥∥ABD ∥∥CBE(2)解：设∥B ＝x ，由（1）可知∥B ＝∥BAD ＝∥BCE ＝x ，∥∥ADC ＝2x又∥CD ＝CF∥∥ADC ＝∥DFC ＝2x∥22180x x x ++=︒∥36x =︒即36ABC x ∠==︒【点拨】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键．法的应用是解题关键．22．(1)32(2)38(3)存在，M (-8，0)， (2，0)， (3，0)， (76，0) 【分析】（1）由已知可得线段PQ 为三角形的中位线，根据三角形中位线定理可以得到解答； （2）由已知可得∥BPQ ∥∥BAQ ，BP PQ BA AO =，把上面等式用含t 的代数式表示出来，然后解方程即可；（3）分MA =MB ，AM =AB ，BM =BA 三种情况讨论．(1)解：由题意可得：当1t 2=时，P A =PB ，且PQ ∥AO ， ∥1BQ BP QO PA==，BQ=QO ， ∥PQ 为三角形ABO 的中位线，∥PQ =12AO =32, 故答案为32； (2)解：由题可知，P A =PQ =5t ， ∥ PB =AB -P A =5-5t∥PQ ∥AO ∥∥BPQ =∥BAO又∥BQP =∥BOA =90°∥∥BPQ ∥∥BAO ∥BP PQ BA AO = 55553t t -= 解得：t =38(3)解：由题意可设满足条件的M为（x，0），则可分三种情况：如图，MA=MB，则MA2=MB2，∥（x+3）2=OM2+OB2=x2+AB2-AO2=x2+16，解之可得：x=76，∥M为（76，0）；如图，AM=AB，则有|x+3|=5，解之可得：x=2或x=-8，∥M为（2，0）或（-8，0）；如图，BM=BA，则BM2=BA2，∥x2+16=25，解之可得：x =3或x =-3（舍去），∥M 为（3，0）；∥满足条件的M 为：（-8，0)或 (2，0)或 (3，0)或 (76，0)． 【点拨】本题考查三角形的动点问题，熟练掌握三角形中位线的定义和性质、三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质、方程思想与勾股定理的应用是解题关键 ．23．（1）见分析；（2）∥见分析；∥DG =【分析】（1）四边形ABCD 是菱形，60A ∠=︒，则ABD △是等边三角形，根据AB DB =，60A FDB ∠=∠=︒，AE DF =，即可得到三角形全等；（2）∥连接DB ，延长GB 到点M ，使BM DG =，连接CM ，求证出()CDG CBM SAS △≌△，CGM △是等边三角形，即可以证明；∥由∥中的条件可证DFG CDG △∽△，所以FG DG DG CG=，即可以求出DG ． （1）证明：∥四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，∥ AD AB =，60A ∠=︒，∥ABD △是等边三角形，∥AB DB =，60A FDB ∠=∠=︒，∥AE DF =∥DAE BDF △≌△．（2）∥证明：连接DB ，延长GB 到点M ，使BM DG =，连接CM ．由（1）知AED DFB △≌△，∥ADE DBF ∠=∠，120CDG ADC ADE ADE ∠=∠-∠=︒-∠，120CBM DBF ∠=︒-∠，∥CBM CDG ∠=∠，∥DBC △是等边三角形，∥CD CB =，DG BM =∥()CDG CBM SAS △≌△，∥DCG BCM ∠=∠，CG CM =，∥60GCM DCB ∠=∠=︒∥CGM △是等边三角形，∥CG GM BG BM BG DG ==+=+．∥由∥可知60CGB DGC DGF ∠=∠=∠=︒，∥AD BC ∥，∥DFG CBM ∠=∠，又∥CDG CBM ∠=∠，∥DFG CDG ∠=∠，∥DFG CDG △∽△， ∥FG DG DG CG =，即m DG DG n=，∥DG =【点拨】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键．24．（1）DE DF =；（2）DF mDE =；（3）有最大值，最大值为1．【分析】（1）连接AD ，证明BDE ADF △≌△，即可求证；（2）分别过点E 、F 作EM BC ⊥、FN BC ⊥交BC 于点M N 、，根据三角形相似对应边成比例，求得DF 与DE 的数量关系；（3）由题意可知ABD DCE ∽△△，设BD x =，求出CE 与x 的函数关系式，根据函数性质即可求解．解：（1）连接AD ，如下图：∥点D 为BC 边中点 ∥BD CD =又∥ABC 为等腰直角三角形 ∥AD BC ⊥，AD BD CD ==，45ABD DAC ∠=∠=︒ ∥90ADB ∠=︒又∥90EDF ∠=︒∥BDE ADF ∠=∠ ∥BDE ADF △≌△ ∥DE DF =（2）分别过点E 、F 作EM BC ⊥、FN BC ⊥交BC 于点M N 、∥ABC 为等腰直角三角形 ∥45B C ∠=∠=︒ 又∥EM BC ⊥、FN BC ⊥ ∥BEM △、CNF 为等腰直角三角形 ∥BM EM =，FN NC = ∥EDN EDF FDN DME DEM ∠=∠+∠=∠+∠，90EDF EMD ∠=∠=︒ ∥FDN DEM ∠=∠ ∥FDN DEM △∽△ ∥DE EM DM k DF DN FN === ∥EM kDN =，DM kFN =，DE kDF = ∥BM kDN =，DM kNC =∥()BD BM DM k DN NC kCD =+=+=又∥DC mBD = ∥1k m= ∥1DE DF m =，即DF mDE = （3）∥ADC ADE CDE B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，60B ADE ∠=∠=︒∥CDE BAD ∠=∠又∥B C ∠=∠∥ABD DCE ∽△△ ∥AB BD CD CE= ∥BD CD CE AB ⨯=设BD x =，4CD x =- ∥22(4)11(4)(2)1444BD CD x x CE x x x AB ⨯-===--=--+ ∥当2x =时，CE 最大，最大为1．【点拨】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．。
27.2.2 相似三角形的性质及其运用(知识解读+达标检测)(学生版)2025学年九年级数学下册
27.2.2 相似三角形的性质及其运用【考点1 利用相似三角形的性质求解】【考点2 利用相似求坐标】【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】【考点4 相似三角形的判定与性质综合】【考点5 相似三角形--动点问题】【考点6 相似三角形的综合问题】知识点1 相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比如图一：∽，则由比例性质可得：图一性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方如图二，∽，则分别作出与的高和，则图二21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D ¢¢¢¢¢¢¢××××==¢¢¢¢¢¢¢¢¢××△△ABC D a bcpqh 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.知识点3 射影定理射影定理：如图，Rt △ABC ，∠C ＝90º，CD ⊥AB 则，1．CD 2＝AD ·BD2．BC 2＝BD ·AB AC 2＝AD ·AB很容易推出：AD BDACBC =22． AC ·BC ＝AB ·CD ．BC 2＋AC 2＝AB 2．222111CDAC BC =+． AC ＋BC ＜AB ＋CD ．用图中小写字母a 、b 、c 、p 、q 、h （常称为勾股六线段）表达以上关系：① h 2＝pq ；② a 2＝pc ；③ b 2＝qc ；④ q pba =22；⑤ ab ＝ch ；⑥ a 2＋b 2＝c 2 ；⑦222111h b a =+；⑧ a ＋b ＜c ＋h ；⑨ c ＝p ＋q ．利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a 、b 、c 、p 、q 、h 这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。
专题27.20 相似三角形的性质(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识
专题27.20 相似三角形的性质（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图所示，△ADE △△ACB ，△AED ＝△B ，那么下列比例式成立的是（ ）A ．AD AC ＝AE AB ＝DEBC B ．AD AB ＝AEAC C ．ADAE＝AC AB ＝DE BC D ．AEEC＝DE BC 2．已知~ABC △△ A 'B 'C '，AD 和A 'D '是它们的对应中线，若10AD =，A 'D '=6，则ABC 与△A 'B 'C '的周长比是（ ）A ．5:3B ．25:9C ．3:5D ．9:253．如下图所示，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且△ABC △△ADB ，则下列结论一定正确的是( )A ．2AB AC AD =⋅ B ．2AB AC BD =⋅ C ．AB AD BC BD ⋅=⋅D ．AB AD AD CD ⋅=⋅4．下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF ＝4：25，则DE ：DC ＝( )A ．2：5B ．3：5C ．5：2D ．5：36．如图△ABC 中，AC ＝4，AB ＝5，D 是AC 上一点，E 是AB 上一点，且△AED ＝△C ，设AD ＝x ，AE ＝y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）A ．y ＝54x （0≤x ≤4）B ．y ＝54x （0＜x ≤4）C ．y ＝45x （0≤x ≤4）D ．y ＝45x （0＜x ≤4）7．如图，平行四边形ABCD 中，G 、H 分别是AD ，BC 的中点，AE △BD ，CF △BD ，四边形GEHF 是矩形，若5AB =，8AD =，则BD 的长为（ ）A ．395B ．152C ．8D ．2238．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接,AB CD ，则ABE △与CDE △的周长比为（ ）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：19．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，CD AB ⊥于D ，P 是线段CD 上一个动点，以P 为直角顶点向下作等腰Rt BPE ∆，连结AE ，DE ，则DE 的最小值为( )A ．1B ．2CD ．10．如图，已知ABC ，任取一点O ，连接,,AO BO CO ，分别取点,,DEF ，使13OD AO =，13OE BO =，13OF CO =，连接,,DE DF EF ，得到DEF ，给出下列说法：△ABC 与DEF是位似图形；△ABC 与DEF 是相似图形；△DEF 与ABC 的周长比为1:3；△DEF 与ABC 的面积比为1:6．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是______． 12．如图，△ABC △△CBD ，AB =9，BD =25，则BC =______．13．如图，在△ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，若 DE△BC ，AD=2BD ，则 DE ：BC 等于_______．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()10,0A ，OB =90B ∠=︒，则点B 坐标为___________．15．如图，△ABC 的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC 相似但不全等的△DEF （△DEF 的顶点在格点上），则△DEF 的三边长分别是___．16．如图，四边形ABCD 是正方形，6AB =，E 是BC 中点，连接DE ，DE 的垂直平分线分别交AB DE CD 、、于M 、O 、N ，连接EN ，过E 作EF EN ⊥交AB 于F ，则AF =______．17．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量某建筑物的高度，已知标杆BE 高1.5米，测得AB =1.8米，AC ＝9米，则建筑物CD 的高是 _____米．18．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝9cm ．动点P 从点A 出发以2cm /s 的速度向点B 运动，动点Q 从点C 出发以1cm /s 的速度向点A 运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当运动时间t ＝_____s 时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．三、解答题19．如图，在ABP △中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1) 求证：ABP DCP ∽△△； (2) 求AB 的长．20．如图，在矩形ABCD 中，AB ：BC ＝1：2，点E 在AD 上，BE 与对角线AC 交于点F ．(1) 求证：△AEF △△CBF ； (2) 若BE △AC ，求AE ：ED ．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP ，在离河岸D 点3.2米远的B 点，立一根长为1.6米的标杆AB ，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF ，电线杆的顶端M 在河里的倒影为点N ，即PM PN =，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP ==米，经测量此时A 、D 、N 三点在同一直线上，并且点M 、F 、P 、N N 共线，点B 、D 、F 共线，若AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ，求河宽EP 是多少米？22．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且EF FG ⊥于F ．（1）求证：△BEF△△CFG ；（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG 的长．23．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．24．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．参考答案1．A【分析】根据相似三角形的性质判断求解即可．解：△△ADE△△ACB，△AED＝△B，△ADAC＝AEAB＝DEBC，故选：A．【点拨】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答的关键．2．A【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比即可得出结果．解：△△ABC~△A'B'C'，对应中线，AD=10，A'D'=6，△△ABC与△ A'B'C'相似比为5:3，△△ABC与△ A'B'C'的周长比5:3，故选：A．【点拨】题目主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．3．A【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．解：△△ABC△△ADB，△AB AC AD AB，△AB2=AC•AD．故选：A．【点拨】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键．4．D【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都可以表示出，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可判定选择项．解：设小正方形的边长为1三边之比为1:2A44，故本选项不符合；B、三角形的三边分别为23，故本选项不符合；C、三角形的三边分别为2，32:D、三角形的三边分别为2，4，1:2故选：D．【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．5．A【分析】由条件可证明△DEF△△BAF，结合面积比可求得相似比，可求得答案．解：△四边形ABCD为平行四边形，△DE ∥AB ， △△DEF △△BAF ， △24()25DEF BAF S DE S AB ==△△， △25DE DE AB CD ==， 故选：A ．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．6．D 【分析】根据两角对应相等，两个三角形相似，易证出△ADE △△ABC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：△△AED ＝△C ，△A ＝△A ，△△ADE △△ABC ， △ADAB ＝AE AC， △AC ＝4，AB ＝5，AD ＝x ，AE ＝y ， △5x＝4y ， △y ＝45x ，△0＜CD ≤4， △y ＝45x （0＜x ≤4）．故选：D ．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键7．A 【分析】连接GH ，可证得△EFH ~△CBF ，从而得到EF FHCB BF=，再证得四边形ABHG 是平行四边形，可得EF =GH =AB =5，从而得到325BF =，再证明△ABE △△CDF ，可得75BE DF ==，即可求解．解：如图，连接GH ，在矩形GEHF 中，△EHF =90°，EF =GH ，△CF △BD ，△△EHF =△BFC =90°，△点H 是BC 的中点，△FH =BH =CH =4，△△FBH =△BFH ，△△EFH ~△CBF ， △EF FH CB BF=， △四边形ABCD 是平行四边形，△AG △BH ，AD =BC ，AB =CD ，AB △CD ，△△ABE =△CDF ，△点G 、H 分别为AD 、BC 的中点，△AG =BH ，△四边形ABHG 是平行四边形，△EF =GH =AB =5， △548BF =，解得：325BF =， △327555BE BF EF =-=-=， 在△ABE 和△CDF 中，90AEB CFD ABE CDF AB CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△CDF ， △75BE DF ==，△32739555BD BF DF =+=+=． 故选：A 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．D【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM 为平行四边形，接着证明ABE CDE ∽，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．解：如图：由题意可知，3DM =，3BC =，△DM BC =，而DM BC ∥，△四边形DCBM 为平行四边形，△AB DC ∥，△BAE DCE ∠=∠，ABE CDE ∠=∠，△ABE CDE ∽，△21ABE CDE C AB C CD ==△△．故选：D ．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．9．B【分析】当DE AE ⊥ 时，DE 有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．解：连接AE△AB BE BC BP = △AB BE BC BP= △ABE CBP =∠∠△ABE CBP △∽△△45BAE BCP ==︒∠∠△BAE CBA =∠∠△//AE BC△E 点的运动轨迹为射线AE△当DE 最短时，DE AE ⊥即当DE AE ⊥ 时，DE 有最小值△在t R ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==△12AD AB == △45DAE ∠=︒△ADE 是等腰直角三角形△2DE =△DE 的最小值是2故答案为：B ．【点拨】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．10．C【分析】根据位似图形与相似三角形的性质逐一判断即可．解：由题意，得DEF 与ABC 是位似图形，△DEF与ABC是相似图形，故△△正确；△13OD AO=，13OE BO=，13OF CO=，△DEF与ABC的相似比为1: 3，△DEF与ABC的周长比为1:3，DEF与ABC的面积比为1:9，故△正确，△错误，故选C．【点拨】本题考查了位似图形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的性质及位似图形与相似图形的关系．11．2：3##2 3【分析】根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答．解：△两个相似三角形对应边的比为2：3，△它们对应高线的比为2：3，故答案为：2：3．【点拨】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高线的比等于相似比是解题的关键．12．15【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解．解：△△ABC△△CBD，△AB CBCB BD=，即2BC AB BD=⨯，AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD∴=⨯=⨯==，15BC=∴，故答案为：15【点拨】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．13．2：3【分析】根据DE△BC 得出△ADE△△ABC ，结合AD=2BD 可得出相似比即可求出DE ：BC ． 解：△DE△BC ，△△ADE△△ABC ， △DE AD BC AB=， △AD=2BD ， △23AD AB =， △DE ：BC=2：3，故答案为：2：3．【点拨】本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题型，解题的关键是熟悉相似三角形的判定及性质，灵活运用线段的比例关系．14．()2,4【分析】过点B 作BC△OA 于点C ，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得AB =可得△BOC△△AOB ，设OC=x ，则有BC=2x ，最后利用勾股定理可求解．解：过点B 作BC△OA 于点C ，如图所示：△△B=△BCO=90°，△BOA=△BOA ，△△BOC△△AOB ，△点()10,0A ，△OA=10，△OB =△AB△AB=2OB ，△BC=2OC ，△在Rt△BOC 中，222OB BC OC =+，即2520OC =，△2OC =，△BC=4，△点B 的坐标为()2,4；故答案为()2,4．【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．15，2．【分析】直接利用网格结合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案．解：如图所示：△ABC△△DEF ，DFED ＝2，EF2【点拨】此题主要考查了相似三角形的性质，正确运用勾股定理进行计算是解题关键．16．2【分析】MN 垂直平分DE ，得出NE ND =，利用6DN NC +=，在ΔRt NCE 中利用勾股定理求得CN 的长，再证明FBE ECN ∆∆，利用相似比求得BF 的长度，进而求得AF 的长度．解：设CN x =，则6DN x =-MN 垂直平分DE∴6NE ND x ==-在ΔRt NCE 中，222CN CE NE +=又△E 是BC 中点△3CE =2223(6)x x ∴+=- 解得94x = 又△EF EN ⊥90NEC FNB ∴∠+∠=,NEC EFB CNE FEB ∴∠=∠∠=∠Δ~ΔFBE ECN ∴FB CE BE CN∴= 3934FB ∴= 4FB ∴=642AF AB FB ∴=-=-=故答案为：2．【点拨】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用．17．7.5【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD 的长，即可求解．解：∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB ∥DC ，∴△ABE ∽△ACD ， ∴AB BE AC CD=， ∵BE ＝1.5米，AB ＝1.8米，AC ＝9米， ∴1.8 1.59CD=， 解得，DC ＝7.5，即建筑物CD 的高是7.5米，故答案为：7.5．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．18．9 4【分析】分△APQ△△ABC、△AQP△△ABC两种情况，列出比例式，计算即可．解：由题意得：AP＝2tcm，CQ＝tcm，则AQ＝（9﹣t）cm，△当t=6÷2=3△0≤t≤3△△P AQ＝△BAC，△当APAB＝AQAC时，△APQ△△ABC，△26t＝99t-，解得：t＝94，当APAC＝AQQB时，△AQP△△ABC，△29t＝96t-，解得：t＝277，△277>3，故舍去综上所述：当t＝94时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，故答案为：94．【点拨】解此类题的关键是在运动中寻找相似图形，当运动的时间为t时，要用t来表示相关线段的长度，得出与变量有关的比例式，从而得到函数关系．解题时注意数形结合，考虑全面，做好分类讨论．19．(1)见分析(2)AB＝8【分析】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．(1)证明：△CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，△AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，△54PDPC=，10584APBP==，△PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，△△DPC＝△APB，△△ABP△△DCP；(2)解：△△ABP△△DCP，△AB PBCD PC=，即844AB=，△AB＝8．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．(1)见分析(2)1：3【分析】（1）根据矩形的性质得到AD△BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF△△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，△BAD=△ABC=90°，接着证明△ABE△△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．(1)证明：△四边形ABCD为矩形，△AD△BC，△△AEF△△CBF；(2)设AB=x，则BC=2x，△四边形ABCD为矩形，△AD=BC=2x，△BAD=△ABC=90°，△BE△AC，△△AFB=90°，△△ABF+△BAF=90°，△BAC+△ACB=90°，△△ABF=△ACB，△△BAE=△ABC，△ABE=△BCA，△△ABE△△BCA，△AE ABAB BC=，即2AE xx x=，△AE =12x ， △DE =AD -AE =32x ， △AE ：DE =13:22x x =1：3．【点拨】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．河宽为12米【分析】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．解：如图，连接DF ，△点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， △四边形DEPF 为矩形，△DF EP =，△ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=，△ 5.250.756FN PN FP =+=+=，△AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ，△90ABD NFD ∠=∠=︒，△ADB NDF ∠=∠，△ADB NDF ∽△△； △AB NF BD DF=， △ 1.6AB =， 3.2BD =， △1.663.2DF=， △12DF =，△12EP =（米）．答：河宽EP 是12米．【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．（1）见分析（2）32 9【分析】（1）证明△BEF=△CFG，结合△B=△C=90可证得△BEF△△CFG；（2）由△BEF△△CFG，可得BF CFCGBE⨯=，代入数据可得CG．解：(1)△ABCD是正方形，EF FG⊥于F △△B=△C=△EFG=90△△BEF+△BFE=△BFE+△CFG=90△△BEF=△CFG△△BEF△△CFG(2)解:：△△BEF△△CFG△BE BF CF CG=△(124)4321239BF CFCGBE⨯-⨯===-．【点拨】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键．23．（1）见分析；（2）【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE△AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到△ABF=△DGF，证明△ABF△△DGF，根据全等三角形的性质证明结论；（2）证明△GEC△△CBA ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 解：△D ，E 是AC ，BC 的中点，△DE 为△ABC 的中位线，△DE△AB ，AB=2DE ，△△ABF=△DGF ，△F 为AD 中点，△AF=DF ，在△ABF 和△DGF 中，ABF=DGF AFB=DFG AF=DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩△△ABF△△DGF （AAS ），△AB=GD ；（2）△AB=2，△CD=2，DE=1，△GE=3，△CA=CB ，△△CAB=△CBA ，△CG=EG ，△△GEC=△GCE ，△DE△AB ，△△GEC=△CBA ，△△GEC△△CBA ，设CE=x ，则BC=2x ， △CE GE =AB BC ，即3=22x x，解得：x【点拨】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似三角形的性质定理是解决本题的关键．24．作图见分析，C 点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．【分析】由于C 点不确定，故分OPC OBA ∆∆∽，BPC BOA ∆∆∽，OPC OAB ∆∆∽三种情况进行讨论．解：点B 的坐标为(4,2)，4∴=OA ，2AB =，224225OB，OP =如图，当OPC OBA ∆∆∽时， 12OC OP OA OB ==，即1242PC OC ==， 1PC ∴=，2OC =，1(2,0)C ∴；当BPC BOA ∆∆∽时，PB BC PCOB OA OA==，即1224BC PC ==，解得2BC =， 2211AC ∴=-=，2(4,1)C ∴；当OPC OAB ∆∆∽时，∴OP OCOA OB =，解得 2.5OC =， 3(2.5,0)C ∴；综上所述，C 点坐标为：(2,0)或(4,1)或(2.5,0)．【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．。
九年级数学上册第四章图形的相似《相似三角形的性质及应用》巩固练习(含解析)北师大版(2021年整理)
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相似三角形的性质及应用—-巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）.A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上，但有限 D．有无数个2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上,连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）3。
如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且那么等于（ ).A．1:9 B．1：3 C．1：8 D．1：24．如图G是△ABC的重心,直线l过A点与BC平行。
若直线CG分别与AB、l交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点,则△A ED的面积：四边形ADGF的面积=( ）.A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：25. 如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线,把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（）A。
1︰2︰3︰4 B.2︰3︰4︰5 C。
1︰3︰5︰7 D。
2024年九年级数学中考必刷题：二次函数中的相似三角形问题专项特训(含答案)
2024年九年级数学中考必刷题：二次函数中的相似三角形问题专项特训(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线交轴于点，点为线段下方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，在直线上取点，连接，使得的最大值及此时点的坐标；(3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后新抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，连接，直接写出所有使得的点的横坐标．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接，在y 轴的负半轴是否存在点Q ，使得？若存在，求Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．CD x ()2,0D P AC PH y ∥CD H CD Q PQ HQ PQ =524PQ PH -P BC 214y x bx c =++BC 25M MN x N AM AMN ABC ∽ M AC 12OQC OAC ∠∠=(1)如图1，当，时，求的值；(2)如图2，当时，过点作直线的垂线交轴于点，求坐标；(3)如图3，当时，平移直线，使之与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，求证：．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴分别交于(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接交于点E ，求(3)如图2，连接，过点O 作直线，点P ，Q 分别为直线点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线1a =1k =b 12a =A l y T T 1k =l C M N ，P y Q MQP NQP ∠=∠xOy 23y ax ax c =-+(1,0)A -AD BC ，AC BC ，l BC ∥PQB CAB ∽()1,2A ()5,0B 22y ax =-(1)求点C 的坐标和直线的表达式；(2)设抛物线分别交边①若与相似，求抛物线表达式；②若是等腰三角形，则a 的值为6．如图，抛物线经过(1)求抛物线的解析式：(2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为．①如图1，若时，求的值：②如图2，直线与抛物线交于点，连接(1)求抛物线的解析式；AB 22(0)y ax ax a =->CDB △BOA △OAE △2y x mx n =++C C BC 90ACB ∠=︒t BD E(1)若，．①如图1，求点A 、B 、C 和点P 的坐标；②如图2，当时，求点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为，且，当标．(1)求点、、的坐标；(2)连接，抛物线的对称轴、为顶点的三角形与理由．2b =3c =3105MN =,03c ⎛⎫- ⎪⎝⎭PM BC ∥93102AN MN +=A B C BC C D(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标；(2)求证：是直角三角形；(3)若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作轴与抛物线交于点M ，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P 在抛物线上．(1)求a 的值；(2)直线与抛物线，分别交于点A ，B ，若的最大值为3，请求出m 的值；(3)Q 是x 轴的正半轴上一点，且的中点M 恰好在抛物线上．试探究：此时无论m 为何负值，在y 轴的负半轴上是否存在定点G ，使总为直角？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，二次函数经过点、，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线分别交抛物线和直线于点E 和点F ．设点P 的横坐标为m ．ABC MN x ⊥O M N ，，ABC xOy ()()221:20C y x m m m =--+<22:C y ax =()x t t m =>1C 2C AB PQ 2C PQG ∠2y x bx c =-++()40A ，()02B ，AB(1)求二次函数的表达式；(2)若E 、F 、P 三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求m 的值．(3)点P 在线段上时，若以B 、E 、F 为顶点的三角形与相似，求m 的值．13．如图，已知二次函数的图象经过，两点．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与轴的另一个交点为，它的顶点为，连接，，，．请你判断与是否相似，并说明理由；(3)当时，求此二次函数的最大值和最小值．14．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，．OA FPA V 2y x bx c =-++()1,0A -()0,3B 2y x bx c =-++x C D AB BC BD CD BCD △OBA △03x ≤≤y 21:3C y ax bx =++x ,A B y C 3OB OC OA ==(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，，求点的坐标；(3)如图3，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于两点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．15．在平面直角坐标系中，点B 从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动．是等腰直角三角形，其中，，点C 在第一象限，过C 作轴，垂足为D ，连接交于E ，设运动时间为秒．(1)证明：≌；(2)当与相似时，求t 的值；(3)在（2）条件下，抛物线m 经过A ，B ，D 三点，请问在抛物线m 上否存在点P ，使得面积与的面积相等？若存在，请求出．1C P 1C Q ()1,045POC OCQ ∠+∠=︒P 1C 2C ()1,1T -2C T TM TN ⊥2C ,M N MN ABC 90ABC ∠=︒()0,2A CD x ⊥AD BC (0)t t >AOB BDC AEC △BED ADP △ABD △参考答案：。
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相似三角形的性质及应用--巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1．（2015•酒泉）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）
A．B．C．D．
2. （2016•临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（）．
A．24米B．54米C．24米或54米D．36米或54米
4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC
的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( )
A．3 B．7 C．12 D．15
5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）
A．6米 B．8米 C．18米D．24米
6.要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍.
A.2
B.4
C.2
D.64
二、填空题
7. （2016•徐州）如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为．
8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______.
9．（2015•吉林）如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，标杆BE 高1.5m ，测得AB=2m ，BC=14cm ，则楼高CD 为 m ．
10. 梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC ，BD 交于点O ,若AOD S △=4， OC S △B =9，S 梯形ABCD =________.
11.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD 交于点F ，则::DEF EF BAF S S S △△B △________________.
12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的2
1倍，那么边长应缩小到原来的________倍.
三、解答题
13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得树高是多少？
14.（2015•蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜
子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．
15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.
(1)找出与相似的三角形.
(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】D．
【解析】∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；
∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，
∴=，∴S△DOE：S△AOC==，
故选D．
2.【答案】D．
【解析】∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：2.
3．【答案】C.
4．【答案】B.
5．【答案】B.
【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP∽△CDP．
6．【答案】C．
【解析】提示：面积比等于相似比的平方．
二．填空题
7.【答案】1：4．
【解析】∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2=. 8．【答案】45cm 2.
9．【答案】12．
10．【答案】25.
【解析】∵ AD ∥BC ，∴ △AOD ∽△COB ，∴ 2A O D B O C 49
S AO CO S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴ AO :CO ＝2:3， 又∵AOD DOC 23S AO S OC ==△△，∴ COD 6S =△，又 C O D A O B S S =△△，
∴ ABCD 492625S =++⨯=梯形．
11.【答案】4:10:25
【解析】∵ 平行四边形ABCD ，∴△DEF ∽△BAF,∴2DEF AEB S DE S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭
△△，∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴DEF BAF S S △△∵△DEF 与△BEF 是同高的三角形，∴DEF BEF S S △△24.510
== 12．
【答案】2
. 三.综合题
13．【解析】作CE ∥DA 交AB 于E ，设树高是xm ，
∵ 长为1m 的竹竿影长0.9m
∴ 1 1.20.9 2.7
x -= 即 x ＝4.
2m
14．【解析】解：如图，
∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED ，
∴∠BEA=∠DEC
∵∠BAE=∠DCE=90°
∴△BAE ∽△DCE ∴；
∵CE=2.5米，DC=1.6米，
∴；
∴AB=12.8
答：大楼AB 的高为12.8米．
15．【解析】(1)与△BPC 相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：
△PDE ∽△BCP ，△PCE ∽△BCP ，△BPE ∽△BCP ．
(2)①如图(1)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与AD 交于点E ， 则12
PD BC = ∵ △PDE ∽△BCP
∴ △PDE 与△BCP 的周长比是1:2
∴ △BCP 的周长是2a ．
②如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E 时， 则12
PC BC =， ∵ △PCE ∽△BCP
∴ △PCE 与△BCP 的周长比是1:2
∴ △BCP 的周长是2a ．
③如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E 时，
∴ 2
BP BC = ∵ △BPE ∽△BCP
∴ △BPE 与△BCP 2，
∴ △BCP ．。