1.4条件概率与全概率公式(1)
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§1.4 条 件 概 率(一,二)
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 与 的区别！ 注意 的区别
请看下面的例子
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例2 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的 而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 乙厂生产} 设B={乙厂生产 乙厂生产 A={标准件 标准件} 标准件 所求为P(AB). 所求为
1 1 6 P( AB) = P(B|A) = = 3 3 6 P( A)
又如， 件产品中有 件正品， 件次品 件产品中有7件正品 件次品， 又如，10件产品中有 件正品，3件次品， 7件正品中有 件一等品，4件二等品 现从这 件正品中有3件一等品 件二等品. 件正品中有 件一等品， 件二等品 10件中任取一件，记 件中任取一件， 件中任取一件 B={取到一等品 ， 取到正品 取到一等品}， 取到正品} 取到一等品 A={取到正品 P(B )=3/10， ，
P( AB) P(B | A) = P( A)
为在事件A发生的条件下 事件 的条件概率. 为在事件 发生的条件下,事件 的条件概率 发生的条件下 事件B的条件概率
3. 条件概率的性质 自行验证 条件概率的性质(自行验证 自行验证) 是一事件， 设A是一事件，且P(A)>0,则 是一事件 则 1. 对任一事件 ，0≤P(B|A)≤1; 对任一事件A， 2. P ( | A) =1 ； 3.设B1,…,Bn互不相容，则 设 互不相容， P[(B1+…+Bn )| A] = P(B1|A)+ …+P(Bn|A) 而且， 而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率. 都适用于条件概率 请自行写出. 请自行写出
14条件概率的计算公式
P( A) P( AB1 AB2 AB3)
在较复杂 情P(况AB下1)直接P(计A算B2P)(A)P不( A易B,3但) A总是伴随着某个Ai出现，
例如A是由原 P因(AAi所B1引)P起(B，1)则AP发(A生B的2)概P率(B是2) P(A B3)P(B3)
3
每一原因都可i能1 导PP(致(AAABB发ii))=生PP(，(BBi故i))PA(发A 生|Bi的) 概率是各原因引起A发生
（1）它是次品的概率 （2）若已知它是次品，它是1，2，3车间所生产的概率
解： 设 Ai =“抽到的是i车间的产品”，i 1,2,3
B=“抽到的产品是次品”，
（1）PB PA1PB A1 PA2 PB A2 PA3 PB A3
0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.0345
解：设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时”
PB 3 , PA 1
4
2
我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即
A B 所以AB=A，PAB PA
PA B
P AB PB
PA PB
1 2
3
2 3
1 2
和.
B3
...
例 1.4.8 某车间有100 台相同型号的冰箱待检验，其中 60 台是甲流水线生产的， 25 台是乙流水线生产的，15 台是 丙流水线生产的。已知这三条流水线的冰箱质量不同，它们 的不合格率依次为 0.1, 0.4, 0.2 ．一位检验员从这批冰箱中随 机地取了1台,问：检验员开箱测试后发现冰箱不合格，但这 台冰箱的流水线已经脱落，试问这台冰箱是甲、乙、丙流水 线生产的概率各为多少？
在较复杂 情P(况AB下1)直接P(计A算B2P)(A)P不( A易B,3但) A总是伴随着某个Ai出现，
例如A是由原 P因(AAi所B1引)P起(B，1)则AP发(A生B的2)概P率(B是2) P(A B3)P(B3)
3
每一原因都可i能1 导PP(致(AAABB发ii))=生PP(，(BBi故i))PA(发A 生|Bi的) 概率是各原因引起A发生
（1）它是次品的概率 （2）若已知它是次品，它是1，2，3车间所生产的概率
解： 设 Ai =“抽到的是i车间的产品”，i 1,2,3
B=“抽到的产品是次品”，
（1）PB PA1PB A1 PA2 PB A2 PA3 PB A3
0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.0345
解：设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时”
PB 3 , PA 1
4
2
我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即
A B 所以AB=A，PAB PA
PA B
P AB PB
PA PB
1 2
3
2 3
1 2
和.
B3
...
例 1.4.8 某车间有100 台相同型号的冰箱待检验，其中 60 台是甲流水线生产的， 25 台是乙流水线生产的，15 台是 丙流水线生产的。已知这三条流水线的冰箱质量不同，它们 的不合格率依次为 0.1, 0.4, 0.2 ．一位检验员从这批冰箱中随 机地取了1台,问：检验员开箱测试后发现冰箱不合格，但这 台冰箱的流水线已经脱落，试问这台冰箱是甲、乙、丙流水 线生产的概率各为多少？
1.4条件概率及有关公式
i 1
23
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它 可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 的最可能原因.
24
例 8 某一地区患有癌症的人占0.005，患者 对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常 人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现 抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是 癌症患者的概率有多大? 求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 则 C 表示“抽查的人不患癌症”.
设B1,B2,…,Bn互不相容, A Bi ,
i 1
n
P(B )P( A | B )
i 1 i i
n
( k 1,2,..., n)
P ( ABk ) 分析: P ( Bk | A) P ( A) P ( Bk ) P ( A | Bk ) 乘 法 公 式 n P ( Bi ) P ( A | Bi ) 全 概 率 公 式
5
分析: : n个样本点 B: m个样本点 AB: k个样本点 在B已发生的条件下,试验结果为m 中的一个, 这时A发生当且仅当AB中的 某一样本点发生,故 P ( AB ) k k / n P ( A | B) m m/n P( B) 相当于“缩小了样本空间”
6
条件概率的 性质: (1)非负性: 0≤P(A|B)≤1 (2) 规范性: P(|B)=1 (3)可列可加性:若Ak (k=1, 2, …)两两互 斥,则
(3)
11
推广到一般情形中: 若n个事件A1, A2, …, An满足条件： P(A1A2…Ak)>0 (k=1, 2, …, n1), 则： P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) … P(An|A1A2…An1)
23
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它 可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 的最可能原因.
24
例 8 某一地区患有癌症的人占0.005，患者 对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常 人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现 抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是 癌症患者的概率有多大? 求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 则 C 表示“抽查的人不患癌症”.
设B1,B2,…,Bn互不相容, A Bi ,
i 1
n
P(B )P( A | B )
i 1 i i
n
( k 1,2,..., n)
P ( ABk ) 分析: P ( Bk | A) P ( A) P ( Bk ) P ( A | Bk ) 乘 法 公 式 n P ( Bi ) P ( A | Bi ) 全 概 率 公 式
5
分析: : n个样本点 B: m个样本点 AB: k个样本点 在B已发生的条件下,试验结果为m 中的一个, 这时A发生当且仅当AB中的 某一样本点发生,故 P ( AB ) k k / n P ( A | B) m m/n P( B) 相当于“缩小了样本空间”
6
条件概率的 性质: (1)非负性: 0≤P(A|B)≤1 (2) 规范性: P(|B)=1 (3)可列可加性:若Ak (k=1, 2, …)两两互 斥,则
(3)
11
推广到一般情形中: 若n个事件A1, A2, …, An满足条件： P(A1A2…Ak)>0 (k=1, 2, …, n1), 则： P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) … P(An|A1A2…An1)
1.3,1.4条件概率,全概率公式
解 设 A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
条件概率与概率的三个基本公式
球”， 则事件 A “第一次取到黑球”， 事件 B “第二次取到黑球”． （1）法一 已知第一次取到白球，那么袋中剩 4 个球，其中 2 个
白球， 2 个黑球，则已知第一次取到白球的条件下，第二次取到的是黑
球的概率为
P(B |
A)
2
1
．
42
法二 由古典概率知 P( A) 3 ， P( AB) P31 P21 3 .
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间 上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算 时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的 概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率 的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容： 一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章 随机事件与概率 1
3 这是因为事件 A 的发生，排除了 bb 发生的可能性，这时样本空间 也 随 之 缩 小 为 A ， 而 在 A 中 事 件 B 只 含 2 个 样 本 点 ， 故 P(B | A) 2 ． 事实上，以上条件概率还可写成
3 P(B | A) 2 2 / 4 P( AB) ． 3 3 / 4 P( A)
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这 两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)
条件概率
第四节条件概率一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A 为“至少有一次为正面”,事件B 为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率.解：分析样本空间}. , , , {TT TH HT HH S=()P B =事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为),(A B P 31)(=A B P 则).(B P ≠4341=()P AB =. , 为反面为正面设T H 引例1一、条件概率},,{},,,{TT HH B TH HT HH A ==21.42=()P A)()()(B P AB P B A P =同理可得为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率.条件事件不能是不可能事件条件事件不能是不可能事件，，概率总大于0..)()()(,0)(,,条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设B A A P AB P A B P A P B A =>定义定义：：条件概率Conditional Probability例1.家有枣树(Luxun's Jujube Tree)鲁迅在散文里说道鲁迅在散文里说道：：自家院子里有两棵树,一棵是枣树,另一棵也是枣树;如果我们还不知道另一棵是什么树,求另一棵也是枣树的概率.不妨设另一棵可能是榆树不妨设另一棵可能是榆树((或槐树或槐树,,等等等等),),),则事件则事件“院子里有两棵树院子里有两棵树””为样本空间为样本空间，，其元素构成为()P A B =S ={(={(枣枣,枣),(),(枣枣,榆),(),(榆榆,榆)}事件B :已知一棵是枣树已知一棵是枣树，，(即有一棵是枣树即有一棵是枣树););事件A :另一棵也是枣树另一棵也是枣树..则二者的交事件为则二者的交事件为：：两棵都是枣树两棵都是枣树。
由条件概率计算公式由条件概率计算公式::()()P AB P B =1/32/312=例2.发牌(Play Poke)在52张四种花色的扑克(不要小鬼大鬼)里任取一张里任取一张，，已知摸到梅花已知摸到梅花，，求摸到的是梅花九的概率.不妨设样本空间S :={(从52张扑克里任取1张)}解()()()P AB P A B P B =事件B :摸到梅花;事件A :摸到梅花9;则二者的交事件为A ：摸到梅花9。
1.4条件概率
数不超过4件, 每批产品中有 i 件次品的概 率为 i 0 1 2 3 4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
解
思考2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(A1｜B)= 0.00786
即使你检出阳性，尚可不必过早下结论 你有癌症，这种可能性只有0.786% (平均来 说，1000个人中大约只有8人确患癌症)，此 时医生常要通过再试验来确认.
例 每100件产品为一批, 已知每批产品中次品
用乘法公式容易求出 P(A1A2A3A4) b个白球, r个红球
b bc r rc b r b r c b r 2c b r 3c
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下一次也 取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发 现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.进一 步，当 c=0 时，放回抽样；当 c=-1 时，不放回抽 样。
第四节 条件概率
一、条件概率的定义及性质
设A，B是两事件，且P(A)>0，称
P AB P ( B | A) P A
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 .
1.条件概率P（•|A）满足概率定义的三条公理，即 1） 对于每一事件B，有P（B|A）≥0; 2） P（ |A）=1 3) 设B1，B2,…两两不相容，则有
全概率公式:
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
解
思考2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(A1｜B)= 0.00786
即使你检出阳性，尚可不必过早下结论 你有癌症，这种可能性只有0.786% (平均来 说，1000个人中大约只有8人确患癌症)，此 时医生常要通过再试验来确认.
例 每100件产品为一批, 已知每批产品中次品
用乘法公式容易求出 P(A1A2A3A4) b个白球, r个红球
b bc r rc b r b r c b r 2c b r 3c
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下一次也 取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发 现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.进一 步，当 c=0 时，放回抽样；当 c=-1 时，不放回抽 样。
第四节 条件概率
一、条件概率的定义及性质
设A，B是两事件，且P(A)>0，称
P AB P ( B | A) P A
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 .
1.条件概率P（•|A）满足概率定义的三条公理，即 1） 对于每一事件B，有P（B|A）≥0; 2） P（ |A）=1 3) 设B1，B2,…两两不相容，则有
全概率公式:
1.4条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
P ( B1
|
A)
P(B1 ) P( A | B1 ) P(B1 ) P( A | B1 ) P(B2 ) P( A |
B2 )
0.55. P(B3 )
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
注
（1）PBi 称为“先验概率”， PBi | A 称为“后验概率”；
（2）贝叶斯公式——探求结果 A的发生由原因 Bi 所导致的概率；
为色盲，求此人是男性的概率？
解 设 A 表示“抽取的人为色盲”，B 表示“抽取的人为男性”，则
P( A) P(B) P( A | B) P(B) P( A | B)
3 5% 2 2.5% 4%.
5
5
P(B | A) ?
P(B | A) P( AB)
P(B)P(A| B)
3.
P( A) P(B) P( A | B) P(B) P( A | B) 4
4%，2%，4%. 试计算:（1）从总产品中任取一件是不合格产品
的概率;（2）从总产品中任取一件是不合格产品，那么这件产品
是由 1 号工厂生产的概率?
解 设 A 表示“从总产品中任取一件是不合格产品”，Bi (i 1, 2, 3) 表示“从总产品中任取一件是第 i 号工厂生产的”.
P( A) P(B1 ) P( A | B1 ) P(B2 ) P( A | B2 ) P(B3 ) P( A | B3 ) 45%4% 35%2% 20%4% 0.033.
PB
|
A
P( AB) P( A)
0.2 0.4
1， 2
（2） P B
|
A B
P
BA B PA B
P A
P B PB
P AB
概率论与数理统计第1.4节 全概及逆概公式 (1)
解：设A为事件“取到的整数能被6整除”,B为“取 到的整数能被8整除” ,则所求的概率为：
P(A B ) P(A B) 1 P(A B)
其中 P( A B) P( A) P(B) P( AB).
由于 333 2000 334 所以能被6整除的整数
6
为：6，12，18…1998 共 333 个
解：记
Ai ＝{第i次取得白球}， i＝1, 2, …, n
A={取了n次都没有取到红球}
则
A = A1A2 L An
第1次
第2次
n-1个
…
第n-1次
n个
…
第n次
第一次取得白球
P(A1 )
=
1 2
第一次取得白球的条件下， 第二次取得白球的概率
2 P(A2 | A1 ) = 3
P(A1A2 L An ) = P(A1) P(A2 | A1) L
1 333 250 83 1 500 3
2000
2000 4
练习2 一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球，
取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球， 如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率．
解 设A={三次取出的均为黑球}，Ai={第i次取出的是 黑球}，i=1,2,3，则有 A=A1A2A3．由题意得
1
2
3
如何求取得红球的概率？？？
一、全概率公式（P38）
定 理 设 试 验 E 的 样 本 空 间 为 , B 为 E 的 事 件, A1 , A2 , , An为 的 一 个 完 备 事 件 组,则
P(B) P( A1 )P(B A1 ) P( A2 )P(B A2 ) P( An )P(B An )
条件概率与全概率公式
P(B | A) 0.2 , P(B | A) 0.1, P(B | A) 0.9 .
由贝叶斯公式知
P(A | B) P(AB) P(B)
P( A)P(B | A)
P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
0.6 0.8
12 ,
0.6 0.8 0.4 0.1 13
所以没收错的概率为 12 . 13
也可以直接计算,因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下 4 个球,其中
有 2 个白球和 2 个红球,再从中任取一个,取得白球的概率为 2 ,所以 4
P(A | B) 2 1 . 42
解法二 在 5 个球中不放回连取两球的取法有 P52 种,其中第一
次取得红球的取法有 P31P41 种,第一次取得红球第二次取得白球的取
组事件.若有
(1) B1 B2
Bn S ；
(2) Bi B j (i j,1 i, j n) ，
则称 B1, B2 , , Bn 构成了样本空间 S 的一个划分.
若 B1, B2 , , Bn 为样本空间 S 的一个划分,那么对于每次试验,事件
B1, B2 , , Bn 中有一个且仅有一个发生.
而是分别以 0.8 和 0.2 收到“．”和“—”；同样,发出“—”时分别以 0.9 和 0.1 收到“—”和“．”.如果收报台收到“．”,求它没收错的概率.
解 记 A { 发出信号‘．’} , B { 收到信号‘．’} ,则 A {
发出信号‘—’} , B { 收到信号‘—’} .于是
P(A) 0.6 , P( A) 0.4 , P(B | A) 0.8 ,
定理 1.1（全概率公式）若事件 B1, B2 , , Bn 构成了样本空间
由贝叶斯公式知
P(A | B) P(AB) P(B)
P( A)P(B | A)
P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
0.6 0.8
12 ,
0.6 0.8 0.4 0.1 13
所以没收错的概率为 12 . 13
也可以直接计算,因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下 4 个球,其中
有 2 个白球和 2 个红球,再从中任取一个,取得白球的概率为 2 ,所以 4
P(A | B) 2 1 . 42
解法二 在 5 个球中不放回连取两球的取法有 P52 种,其中第一
次取得红球的取法有 P31P41 种,第一次取得红球第二次取得白球的取
组事件.若有
(1) B1 B2
Bn S ；
(2) Bi B j (i j,1 i, j n) ，
则称 B1, B2 , , Bn 构成了样本空间 S 的一个划分.
若 B1, B2 , , Bn 为样本空间 S 的一个划分,那么对于每次试验,事件
B1, B2 , , Bn 中有一个且仅有一个发生.
而是分别以 0.8 和 0.2 收到“．”和“—”；同样,发出“—”时分别以 0.9 和 0.1 收到“—”和“．”.如果收报台收到“．”,求它没收错的概率.
解 记 A { 发出信号‘．’} , B { 收到信号‘．’} ,则 A {
发出信号‘—’} , B { 收到信号‘—’} .于是
P(A) 0.6 , P( A) 0.4 , P(B | A) 0.8 ,
定理 1.1（全概率公式）若事件 B1, B2 , , Bn 构成了样本空间
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P ( B ) P ( A j ) P( B | A j )
j 1
于是
P( Ai B)
P( Ai ) P( B Ai )
P( A ) P( B A )
j 1 j j
n
返回
【例1.22】 在例1.21中，若从这批产品中任取一只电 子元件发现是次品，求此次品是乙分厂生产的概率.
解 P( A1 ) 50% ,
B1 表示第一个是男孩， 所以
3 1 1 P ( B ) , P ( AB ) P ( A) , P ( AB1 ) P ( A) , 4 4 4 P ( AB ) 1 / 4 1 P( A B) P( B) 3/4 3 P ( AB1 ) 1 / 4 1 P ( A B1 ) P( B1 ) 1/ 2 2
三、全概率公式
（ 1）
定义2 设为随机试验的样本空间，A1 , A2 ,, An 是 的一组事件,若
Ai Aj
n i 1
， i .
j, i, j 1,2,, n
；
（ 2） 则称
Ai
A1 , A2 ,, An
为样本空间 的一个划分，也称
之为一个完备事件组．
返回
返回
二、乘法公式
由条件概率的定义，可以得到乘法公式 乘法公式：设 P( A) 0 ，则有 P( AB) P( A)P(B A)
同样地，设
P( B) 0
， P( AB) P(B)P( A B)
一般地，设事件 P(A 1A 2 A n1 ) 0,
P( A1 A2 An )
P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )P( An A1 A2 An1)
P( B | A0 ) (0.99) 3
P( B | A1 ) 0.992 0.05
P( B | A2 ) 0.99 (0.05) 2
3 i 0
P( B | A3 ) (0.05) 3
P( A) P( B A) P( A) P( B A) 0.0004 0.95 0.0038 0.0004 0.95 0.9996 0.1
返回
【例1.24】要验收一批(100件)乐器, 验收方案如下:自该批乐器
中随机取3件测试(测试是相互独立进行的), 如果3件中只要有一件 在测试中被认为音色不纯, 则这批乐器被拒绝接收．设一件音色不 纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95, 而一件音色纯的 乐器经测试被误认为音色不纯的概率为0.01．如果已知这100件乐 器中恰有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少?
P( A) 0.0004,
P( B A) 95% ,
由贝叶斯公式得
P( A) 0.9996
P( B A) 10%
P( A B)
P( A) P( B A)
返回
P( A) P( B A) P( A) P( B A)
由贝叶斯公式得
P( A B)
P( A) P( B A)
本题中， P( A) 0.0004 是先验概率（prior probability），而 P( A B) 0.0038 是后验概率 (posterior probability )，结果表明在检查出阳性的 10000个人中，大约有38个人确实患有癌症．所以即使 检出阳性，尚可不必过早下结论确实患有癌症，此时 医生常要通过再试验来确认．
所求概率为 P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) P( A4 A1 A2 A3 ) r ra t ta r t r t a r t 2a r t 3a
返回
【例1.20】 10个考签中，有4个难签，3人参加不放回 抽签，甲先、乙次、丙最后．求（1）甲抽到难签的概 率；（2）甲、乙都抽到难签的概率；（3）甲未抽到 难签、乙抽到难签的概率（4）甲、乙、丙都抽到难签 的概率；（5）乙抽到难签的概率． 解 设事件A, B, C 分别表示甲、乙、丙抽到难签，则
1.4条件概率与全概率公式
一、1.条件概率概念的引入 例1
例2 2.条件概率（conditional probability)的定义 二、乘法公式 例3 例4 三、全概率公式（formula of total probability) 例5 例6 四、 贝叶斯公式（Bayes formula） 例7 例8 例9 例10
再由乘法公式
P(B) P( A1) P ( B A ) P ( A ) P ( B A ) P ( A ) P ( B A ) 1 2 2 n n n
即
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
．
返回
【例1.21】某电视机制造厂从甲、乙、丙三个不同的分厂 进货一批某种型号的电子元件，进货率分别是50%，30%， 20%.由以往的经验得知三个分厂产品的次品率依次为2%， 4%，5%.求该厂进货这批产品的次品率. A1 , A2 , A3 分别表 解 设 B 表示“取出的一只为次品”， 示取出的产品来自甲、乙、丙三家分厂．
内容小结 思考题
本节重点
一、1.条件概率概念的引入
【例1.17】 现有一批灯泡，甲厂生产的100个，其中 次品是10个，乙厂生产的200个，其中次品是40个， 随机抽取一个检测．设A =“抽到甲厂生产的灯泡灯”， 求 P( A), P(B ), P( AB ), P(B A ) B “抽到次 品”. 10 解 显然 P ( A) 100 P ( B ) 50 P ( AB ) 300 300 300 而 P(B A) ，表示甲厂生产的100个产品中，抽到甲 厂生产的次品的概率，即 P ( B A) 10 100
返回
t 【例1.19】 设袋中装有 r 只红球，只白球，每次自袋中任 取一只球，观察其颜色然后放回,并再放入a只与所取 出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求 第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率． i 解 以A i (=1,2,3,4) 表示事件“第 次取到红球”，
A3 , A4 分别表示事件第三、四次取到白球，
返回
证明 因为
B B ( A1 A2 An )B A1 B A2 B An B 又 Ai Aj ， 所以 ( Ai B)( Aj B) ， i j , i, j 1,2, , n 由加法公式 P( B) P( A1 B) P( A2 B) P( An B)
P( A1 B) 0.3125 , P( A3 B) 0.3125
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【例1.23】某一地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲 胎蛋白法进行普查．化验结果是存在误差的．已知真正患 有肝癌的人其化验结果95%呈阳性（有病），而确实没有 患肝癌的人其化验结果90%呈阴性（无病）．现抽查了一 个人，试验反应是阳性，问此人真是癌症患者的概率有多 大? 解 设 B 表示“试验结果是阳性”， A 表示“抽查的人确 实患有癌症”．根据题意
4 2 （1） P ( A) 10 5 4 3 2 （2）P( AB ) P( A) P( B A) 10 9 15
6 4 4 （3 ） P( AB) P( A) P( B A) 10 9 15
返回
【例1.20】 10个考签中，有4个难签，3人参加不放回 抽签，甲先、乙次、丙最后．求（1）甲抽到难签的概 率；（2）甲、乙都抽到难签的概率；（3）甲未抽到 难签、乙抽到难签的概率（4）甲、乙、丙都抽到难签 的概率；（5）乙抽到难签的概率．
P( AB) P( B | A) P( A)
返回
条件概率的性质：
设 B 是一事件，且 P( A) 0 ,则 (1) 对任一事件 B ， 0 P( B A) 1; (2)
P( A) 1； (3) 设 B1 , B2 ,, Bn , 是两两互不相容的事件，则 P(B1 B2 Bn A) P(B1 A) P(B2 A) P(Bn A)
定理1 设随机试验的样本空间为 , A 1, A 2 ,, A n 是 的一个划分，且 P( A ) 0 ，(i 1,2,, n), B i 为 E 的任意一个事件，则
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
为全概率公式（formula of total probability)．
P( Ai B)
P( Ai ) P( B Ai )
P( A ) P( B A )
j 1 此公式称为贝叶斯公式（Bayes formula）．
返回
证明
又
由
P( Ai B) P( Ai B) P( B)
n
P( Ai B) P( Ai )P(B Ai )
50% 2% 30% 4% 20% 5% 0.032
返回
二、贝叶斯（Bayes）公式
定理2 设随机试验 E 的样本空间为 , A , A ,, A 1 2 n 是 的一个划分，且 P( Ai ) 0 ，(i 1,2, , n), B 为 E 的任意一个事件，则
10 10 300 P( AB) 另一方面 P( B A) 100 100/ 300 P( A)
这个关系具有一般性，即条件概率是两个无条件概率 之商，这就是条件概率的定义． 返回
2.条件概率的定义
则称
定义1 设 是样本空间 A, B的两个事件，且 P( A) 0
为在事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率 （conditional probability)，简称条件概率． 注：条件概率P( B A)是在事件 A 已经发生的条件下 （此时样本空间缩小为 A ）讨论事件 B的发生的概 率．
j 1
于是
P( Ai B)
P( Ai ) P( B Ai )
P( A ) P( B A )
j 1 j j
n
返回
【例1.22】 在例1.21中，若从这批产品中任取一只电 子元件发现是次品，求此次品是乙分厂生产的概率.
解 P( A1 ) 50% ,
B1 表示第一个是男孩， 所以
3 1 1 P ( B ) , P ( AB ) P ( A) , P ( AB1 ) P ( A) , 4 4 4 P ( AB ) 1 / 4 1 P( A B) P( B) 3/4 3 P ( AB1 ) 1 / 4 1 P ( A B1 ) P( B1 ) 1/ 2 2
三、全概率公式
（ 1）
定义2 设为随机试验的样本空间，A1 , A2 ,, An 是 的一组事件,若
Ai Aj
n i 1
， i .
j, i, j 1,2,, n
；
（ 2） 则称
Ai
A1 , A2 ,, An
为样本空间 的一个划分，也称
之为一个完备事件组．
返回
返回
二、乘法公式
由条件概率的定义，可以得到乘法公式 乘法公式：设 P( A) 0 ，则有 P( AB) P( A)P(B A)
同样地，设
P( B) 0
， P( AB) P(B)P( A B)
一般地，设事件 P(A 1A 2 A n1 ) 0,
P( A1 A2 An )
P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )P( An A1 A2 An1)
P( B | A0 ) (0.99) 3
P( B | A1 ) 0.992 0.05
P( B | A2 ) 0.99 (0.05) 2
3 i 0
P( B | A3 ) (0.05) 3
P( A) P( B A) P( A) P( B A) 0.0004 0.95 0.0038 0.0004 0.95 0.9996 0.1
返回
【例1.24】要验收一批(100件)乐器, 验收方案如下:自该批乐器
中随机取3件测试(测试是相互独立进行的), 如果3件中只要有一件 在测试中被认为音色不纯, 则这批乐器被拒绝接收．设一件音色不 纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95, 而一件音色纯的 乐器经测试被误认为音色不纯的概率为0.01．如果已知这100件乐 器中恰有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少?
P( A) 0.0004,
P( B A) 95% ,
由贝叶斯公式得
P( A) 0.9996
P( B A) 10%
P( A B)
P( A) P( B A)
返回
P( A) P( B A) P( A) P( B A)
由贝叶斯公式得
P( A B)
P( A) P( B A)
本题中， P( A) 0.0004 是先验概率（prior probability），而 P( A B) 0.0038 是后验概率 (posterior probability )，结果表明在检查出阳性的 10000个人中，大约有38个人确实患有癌症．所以即使 检出阳性，尚可不必过早下结论确实患有癌症，此时 医生常要通过再试验来确认．
所求概率为 P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) P( A4 A1 A2 A3 ) r ra t ta r t r t a r t 2a r t 3a
返回
【例1.20】 10个考签中，有4个难签，3人参加不放回 抽签，甲先、乙次、丙最后．求（1）甲抽到难签的概 率；（2）甲、乙都抽到难签的概率；（3）甲未抽到 难签、乙抽到难签的概率（4）甲、乙、丙都抽到难签 的概率；（5）乙抽到难签的概率． 解 设事件A, B, C 分别表示甲、乙、丙抽到难签，则
1.4条件概率与全概率公式
一、1.条件概率概念的引入 例1
例2 2.条件概率（conditional probability)的定义 二、乘法公式 例3 例4 三、全概率公式（formula of total probability) 例5 例6 四、 贝叶斯公式（Bayes formula） 例7 例8 例9 例10
再由乘法公式
P(B) P( A1) P ( B A ) P ( A ) P ( B A ) P ( A ) P ( B A ) 1 2 2 n n n
即
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
．
返回
【例1.21】某电视机制造厂从甲、乙、丙三个不同的分厂 进货一批某种型号的电子元件，进货率分别是50%，30%， 20%.由以往的经验得知三个分厂产品的次品率依次为2%， 4%，5%.求该厂进货这批产品的次品率. A1 , A2 , A3 分别表 解 设 B 表示“取出的一只为次品”， 示取出的产品来自甲、乙、丙三家分厂．
内容小结 思考题
本节重点
一、1.条件概率概念的引入
【例1.17】 现有一批灯泡，甲厂生产的100个，其中 次品是10个，乙厂生产的200个，其中次品是40个， 随机抽取一个检测．设A =“抽到甲厂生产的灯泡灯”， 求 P( A), P(B ), P( AB ), P(B A ) B “抽到次 品”. 10 解 显然 P ( A) 100 P ( B ) 50 P ( AB ) 300 300 300 而 P(B A) ，表示甲厂生产的100个产品中，抽到甲 厂生产的次品的概率，即 P ( B A) 10 100
返回
t 【例1.19】 设袋中装有 r 只红球，只白球，每次自袋中任 取一只球，观察其颜色然后放回,并再放入a只与所取 出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求 第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率． i 解 以A i (=1,2,3,4) 表示事件“第 次取到红球”，
A3 , A4 分别表示事件第三、四次取到白球，
返回
证明 因为
B B ( A1 A2 An )B A1 B A2 B An B 又 Ai Aj ， 所以 ( Ai B)( Aj B) ， i j , i, j 1,2, , n 由加法公式 P( B) P( A1 B) P( A2 B) P( An B)
P( A1 B) 0.3125 , P( A3 B) 0.3125
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【例1.23】某一地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲 胎蛋白法进行普查．化验结果是存在误差的．已知真正患 有肝癌的人其化验结果95%呈阳性（有病），而确实没有 患肝癌的人其化验结果90%呈阴性（无病）．现抽查了一 个人，试验反应是阳性，问此人真是癌症患者的概率有多 大? 解 设 B 表示“试验结果是阳性”， A 表示“抽查的人确 实患有癌症”．根据题意
4 2 （1） P ( A) 10 5 4 3 2 （2）P( AB ) P( A) P( B A) 10 9 15
6 4 4 （3 ） P( AB) P( A) P( B A) 10 9 15
返回
【例1.20】 10个考签中，有4个难签，3人参加不放回 抽签，甲先、乙次、丙最后．求（1）甲抽到难签的概 率；（2）甲、乙都抽到难签的概率；（3）甲未抽到 难签、乙抽到难签的概率（4）甲、乙、丙都抽到难签 的概率；（5）乙抽到难签的概率．
P( AB) P( B | A) P( A)
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条件概率的性质：
设 B 是一事件，且 P( A) 0 ,则 (1) 对任一事件 B ， 0 P( B A) 1; (2)
P( A) 1； (3) 设 B1 , B2 ,, Bn , 是两两互不相容的事件，则 P(B1 B2 Bn A) P(B1 A) P(B2 A) P(Bn A)
定理1 设随机试验的样本空间为 , A 1, A 2 ,, A n 是 的一个划分，且 P( A ) 0 ，(i 1,2,, n), B i 为 E 的任意一个事件，则
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
为全概率公式（formula of total probability)．
P( Ai B)
P( Ai ) P( B Ai )
P( A ) P( B A )
j 1 此公式称为贝叶斯公式（Bayes formula）．
返回
证明
又
由
P( Ai B) P( Ai B) P( B)
n
P( Ai B) P( Ai )P(B Ai )
50% 2% 30% 4% 20% 5% 0.032
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二、贝叶斯（Bayes）公式
定理2 设随机试验 E 的样本空间为 , A , A ,, A 1 2 n 是 的一个划分，且 P( Ai ) 0 ，(i 1,2, , n), B 为 E 的任意一个事件，则
10 10 300 P( AB) 另一方面 P( B A) 100 100/ 300 P( A)
这个关系具有一般性，即条件概率是两个无条件概率 之商，这就是条件概率的定义． 返回
2.条件概率的定义
则称
定义1 设 是样本空间 A, B的两个事件，且 P( A) 0
为在事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率 （conditional probability)，简称条件概率． 注：条件概率P( B A)是在事件 A 已经发生的条件下 （此时样本空间缩小为 A ）讨论事件 B的发生的概 率．