课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值
2022届高考一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数ⅰ第2节函数的单调性与最值课时跟踪检测理含解
第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第二节 函数的单调性与最值A 级·基础过关 |固根基|1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上是增函数． 2．如果函数f(x)＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f(x)＝2x －3在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增； 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x ＝－1a ，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 所以a<0，且－1a ≥4，解得－14≤a<0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 所以0≤2x－1<13，解得12≤x<23.4．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f(－3)>f(－2)B ．f (π)>f(－2)>f(－3)C ．f (π)<f(－3)<f(－2)D ．f (π)<f(－2)<f(－3) 解析：选A 因为f(x)是偶函数， 所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)． 又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．5．函数y ＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(log a x)(0<a<1)的单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1 ]解析：选B 由图象，知f(x)在(－∞，0)和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．又因为当0<a<1时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(log a x)单调递减，则需log a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即0≤log a x ≤12，解得x∈[a ，1]．6．定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x －2； 当1<x≤2时，f(x)＝x 3－2.因为f(x)＝x 3－2，f(x)＝x －2在定义域内都为增函数，且f(1)<f(2)， 所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x≥1，2x ，x<1的值域为________．解析：当x≥1时，log 12x≤0；当x<1时，0<2x<2，故f(x)的值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)8．函数f(x)＝x ＋2x －1 的值域为________． 解析：由2x －1≥0，得x≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 又函数f(x)＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9．已知f(x)＝xx －a(x≠a)． (1)若a ＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任取x 1<x 2<－2， 当a ＝－2时，f(x 1)－f(x 2)＝ x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)任取1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.∵a>0，x 2－x 1>0，∴要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a 的取值范围是(0，1]．10．(2019届福建师大附中模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下面三个条件： ①对任意正数a ，b ，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)； ②当x>1时，f(x)<0； ③f(2)＝－1. (1)求f(1)的值；(2)用单调性的定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f(3x －1)>2的x 的取值集合．解：(1)由f(a)＋f(b)＝f(ab)，得f(1)＋f(1)＝f(1)，则f(1)＝0. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f(x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＝f(x 2)，所以f(x 2)－f(x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. 由x 2x 1>1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<0，即f(x 2)<f(x 1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(3)∵f(2)＝－1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－2，又f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f(1)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2.又f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －1<14，3x －1>0，解得13<x<512. 故满足要求的x 的取值集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，512.B 级·素养提升 |练能力|11.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f(x)＝a x在R 上为减函数，则有0<a<1；若函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上为增函数，则有2－a>0，即a<2，所以“函数f(x)＝a x在R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选A ．12．已知在函数f(x)＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a>1>b>0，且a ＝b ＋1，那么f(x)>1的解集为( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，10)D ．(10，＋∞) 解析：选B 由a x－b x>0，a>1>b>0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1，解得x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为a>1>b>0，所以y ＝a x单调递增，y ＝－b x单调递增，所以t ＝a x－b x单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f(x)＝lg(a x－b x)＋x 为(0，＋∞)上的增函数．而f(1)＝lg(a －b)＋1＝lg 1＋1＝1，所以当x>1时，f(x)>1，故f(x)>1的解集为(1，＋∞)．故选B ．13．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0，1]D ．[1，3]解析：选D 因为函数f(x)＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．又当x≥1时，f （x ）x ＝12x ＋32x －1，令g(x)＝12x ＋32x －1(x≥1)，则g′(x)＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g′(x)≤0，得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．故选D ． 14．定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy≥0，y ，xy<0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x －x 2)的最大值为________．解析：由已知，得f(x)＝x2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x 2（2x －x 2）≥0，2x －x 2，x 2（2x －x 2）<0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x≤2，2x －x 2，x<0或x>2，易知函数f(x)的最大值为4. 答案：4。
课时作业(5)函数的单调性与最值
课时作业(五)第5讲函数的单调性与最值基础热身1.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是()A.f(x)=B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=e xD.f(x)=ln(x+1)2.函数y=-有()A.最小值2B.最小值C.最大值2D.最大值3.[2017·岳阳一中月考]已知a=log0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a4.[2018·河南中原名校联考]已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数,则a 的取值范围是()A.B.C.D.5.函数y=lo|x-3|的单调递减区间是.能力提升6.[2017·株洲一模]函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)7.已知f(x)在R上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列结论正确的是()A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)]B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)8.[2017·唐山二模]函数f(x)=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是()A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)9.函数y=log a(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,+∞)10.已知函数f(x)=-当x1≠x2时,--<0,则a的取值范围是()A.B.C.D.11.记min{a,b}=若f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.12.[2017·衡阳联考]已知函数f(x)=lo x2+-的定义域为(0,+∞),则使得f(x+1)<f(2x-1)成立的x的取值范围是.13.(15分)[2018·南阳一中月考]设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)=-(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.14.(15分)[2017·中山模拟]已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(3)=1.(1)判断f(x)的单调性;(2)解关于x的不等式f(3x+6)+f>2;(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.难点突破15.(5分)[2017·长春二模]已知定义域为R的函数f(x)的图像经过点(1,1),且对任意实数>-2,则不等式f(log2|3x-1|)<3-lo|3x-1|的解集为()x1<x2,都有--A.(-∞,0)∪(0,1)B.(0,+∞)C.(-1,0)∪(0,3)D.(-∞,1)16.(5分)[2017·大庆一中月考]已知函数f(x)=2017x+ln(+x)-2017-x+1,则不等式f(2x-1)+f(x)>2的解集为.课时作业(五)1.A[解析]依题意可得函数在(0,+∞)上单调递减,故由选项可得A正确.2.B[解析]易知y=-,因为(x-1)2+2≥2,所以y≥,故选B.3.B[解析] ln 0.5<ln 1=0,0<0.60.5<0.60=1,1=log0.60.6<log0.60.5,故a>c>b,故选B.4.D[解析]当a=0时,函数f(x)=-12x+5在(-∞,3)上是减函数,符合题意;当a≠0时,则有解得0<a≤.所以a的取值范围为.--5.(3,+∞)[解析]令u(x)=|x-3|,则在(-∞,3)上u(x)为减函数,在(3,+∞)上u(x)为增函数.又∵0<<1,∴在区间(3,+∞)上,函数y=lo|x-3|为减函数.6.D[解析]由x2-4>0得x<-2或x>2,∴已知函数的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),令u=x2-4,则y=lo u在(0,+∞)上是减函数,又∵u=x2-4的图像的对称轴为直线x=0,且开口向上,∴u=x2-4在(-∞,-2)上是减函数,由复合函数的单调性知,f(x)在(-∞,-2)上是增函数.故选D.7.D[解析]a+b≤0可转化为a≤-b或b≤-a,由于函数f(x)在R上是减函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),两式相加得f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).8.D[解析]因为f(x)==-1+在(-1,+∞)上单调递减,且f(2)=0,所以n=2,-1≤m<2,故选D.9.C[解析]题中隐含a>0,∴2-ax在区间[0,1]上是减函数.∴y=log a u应为增函数,且u=2-ax 在区间[0,1]上应恒大于零,∴∴1<a<2.10.A[解析]当x1≠x2时,--<0,∴f(x)是R上的减函数.∵f(x)=-∴-∴0<a≤,故选A.11.6[解析]由题意知,f(x)=易知f(x)max=f(4)=6.12.<x<2[解析]易知函数在定义域内为减函数,所以由f(x+1)<f(2x-1)及定义域为(0,+∞)得x+1>2x-1>0,解得<x<2.13.解:(1)∵f(-1)=0,∴b=a+1.由f(x)≥0恒成立,知a>0且Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,∴a=1.从而f(x)=x2+2x+1.∴F(x)=-(2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1,∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知-≤-2或-≥2,得k≤-2或k≥6.14.解:(1)设x1>x2>0,则>1,∵当x>1时,f(x)>0,∴f(x1)-f(x2)=f>0,∴f(x1)>f(x2),∴函数f(x)为增函数.(2)在f(x1)-f(x2)=f中,令x1=9,x2=3,∴f(9)-f(3)=f(3).又f(3)=1,∴f(9)=2.∴不等式f(3x+6)+f>2,可转化为f(3x+6)+f>f(9),∴f(3x+6)>f(9)-f=f(9x),由函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,可得3x+6>9x>0,∴0<x<1,∴原不等式的解集为(0,1).(3)∵函数f(x)在(0,3]上是增函数,∴f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)=1,∴不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3],a∈[-1,1]恒成立转化为1≤m2-2am+1对所有a∈[-1,1]恒成立,即m2-2am≥0对所有a∈[-1,1]恒成立.设g(a)=-2ma+m2,∴需满足-即-解该不等式组,得m≤-2或m≥2或m=0,即实数m的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).15.A[解析]由题意知对任意x1<x2,-->-2,可得f(x1)+2x1<f(x2)+2x2,令F(x)=f(x)+2x,∴F(x)在定义域R内单调递增,由f(1)=1,得F(1)=f(1)+2=3.∵f(log2|3x-1|)<3-lo|3x-1|等价于f(log2|3x-1|)+2log2|3x-1|<3,令t=log2|3x-1|,有f(t)+2t<3,即有F(t)<F(1),∴t<1,即log2|3x-1|<1,从而0<|3x-1|<2,解得x<1且x≠0.16.[解析]由题意知,f(-x)+f(x)=2,∴f(2x-1)+f(x)>2可化为f(2x-1)>f(-x),又y=2017x,y=-2017-x,y=ln(+x)均为增函数,∴函数f(x)在R上单调递增,∴2x-1>-x,∴x>,∴原不等式的解集为,+∞.。
高三数学函数的单调性与最值总复习课时跟踪检测试卷
课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(·珠海摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－x B ．y ＝x C ．y ＝log 2 xD ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．2．一次函数y ＝kx ＋b 在R 上是增函数，则k 的取值范围为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]解析：选A 法一：由一次函数的图象可知选A. 法二：设∀x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， ∵f (x )＝kx ＋b 在R 上是增函数，∴(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，即k (x 1－x 2)2>0， ∵(x 1－x 2)2>0，∴k >0，故选A.3．(·北京东城期中)已知函数y ＝1x －1，那么( )A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：选A 函数y ＝1x －1可看作是由y ＝1x 向右平移1个单位长度得到的，∵y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y ＝1x －1的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A. 4．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y m ax ＝14. 答案：145．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：由x 2－4>0得x <－2或x >2.又u ＝x 2－4在(－∞，－2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y ＝log 12u 为减函数，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎫log 12a ≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．(0,2]解析：选C 因为log 12a ＝－log 2 a ，且f (x )是偶函数，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝2f (log 2a )＝2f (|log 2a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log 2a |≤1，即－1≤log 2 a ≤1，解得12≤a ≤2.3．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(0,2)D.⎣⎡⎭⎫138，2解析：选B 因为函数为递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2(a －2)≤⎝⎛⎭⎫122－1， 解得a ≤138，故选B.5．(·安徽皖江名校联考)定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,1)D ．[－1,1)解析：选C 函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2<a 2－a .∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a <1或a >2，∴0≤a <1，故选C.6．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6. 答案：67．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．解析：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示． 由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)8．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]． 10．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2， h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2.因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以2－1x 1x 2>0， 所以h (x 1)<h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0， 3 ]C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)证明：f (x )为单调递减函数．(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1， 所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
高考数学 课时跟踪检测(六)函数的单调性与最值 理
课时跟踪检测(六) 函数的单调性与最值1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．(2012·江门模拟)若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．253．(2013·佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增4．“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2013·青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 27．(2012·河源质检)函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．8．(2012·潮州模拟)若函数y ＝|2x－1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________．9．(2013·惠州月考)若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．10．求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝a 1－2x －x 2(a >0且a ≠1)．11．(2012·韶关质检)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．12．(2011·上海高考)已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．1．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 2．(2012·清远模拟)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为( )A.14B.12C.22 D.323．(2012·珠海联考)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．答 案 课时跟踪检测(六)A 级1．选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．选D 依题意，知函数图象的对称轴为x ＝－－m 8＝m8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.3．选B ∵y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．4．选A 若函数f (x )在[a ，b ]上为单调递增(减)函数，则在[a ，b ]上一定存在最小(大)值f (a )，最大(小)值f (b )．所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3在[0,2]存在最大值和最小值，但该函数在[0,2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f (x )在[a ，b ]上单调”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．5．选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．6．选C ∵f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0.∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是R 上的奇函数．设x 1<x 2，则x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)>0.∴f (x )在R 上是减函数．∴f (x )在[a ，b ]有最小值f (b )． 7．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 8．解析：画出图象易知y ＝|2x－1|的递减区间是(－∞，0]， 依题意应有m ≤0. 答案：(－∞，0]9．解析：设x 1>x 2>－2，则f (x 1)>f (x 2)， 而f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1 x 1＋2 x 2＋2 ＝ x 1－x 2 2a －1x 1＋2 x 2＋2>0，则2a －1>0.得a >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 10．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－ x －1 2＋2，x ≥0，－ x ＋1 2＋2，x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令g (x )＝1－2x －x 2＝－(x ＋1)2＋2，所以g (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．当a >1时，函数y ＝a 1－2x －x 2的增区间是(－∞，－1)，减区间是(－1，＋∞)； 当0<a <1时，函数y ＝a 1－2x －x 2的增区间是(－1，＋∞)，减区间是(－∞，－1)． 11．解：(1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2 x 1－x 2x 1＋2 x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， ∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0,1]．12．解：(1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)．∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 同理，当a <0，b <0时，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x＋2b ·3x>0，当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x>－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；同理，当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x<－a 2b ，则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .B 级1．选C 由f (2－x )＝f (x )可知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)． 2．选C 显然函数的定义域是[－3,1]且y ≥0，故y 2＝4＋2 1－x x ＋3 ＝4＋2－x 2－2x ＋3＝4＋2－ x ＋1 2＋4，可得4≤y 2≤8，故2≤y ≤22，即m ＝2，M ＝22，所以mM ＝22. 3．解：(1)∵当x >0，y >0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )， ∴令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0. (2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2>x 1>0.∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x1>0.∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)， ∵f (4)＝2，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＝f (x )－f (y )，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝f (16)－f (4)， ∴f (16)＝2f (4)＝4，∴f (x )在[1,16]上的值域为[0,4]．。
高中数学课时跟踪检测正弦函数、余弦函数的单调性与最值
第一章 1.4 1.4.2 第二课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值课时跟踪检测一、选择题1．函数y ＝1＋2sin π2x 的最大、最小值分别为( ) A ．3，－1B ．1，－1C ．3,0D ．1,0答案：A2．下列关于函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2及π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤－π，－π2及⎣⎡⎦⎤π2，π上是增函数，在－π2，π2上是减函数 答案：B3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域为( ) A ．[－1,1]B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，32 解析：∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π， ∴12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤1. 答案：B4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ<π，若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 解析：∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝13.又f ⎝⎛⎭⎫π2＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝2，－π<φ<π，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3.令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k π－52π≤x ≤6k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，∴f (x )在[－2π，0]上为增函数．答案：A5．已知α，β是锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )A ．sin α＜sin βB ．cos α＜sin βC ．cos α＜cos βD ．cos α＞cos β解析：∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴0＜α＜π2，0＜β＜π2，0＜π－(α＋β)＜π2， ∴π2＜α＋β＜π，∴0＜π2－α＜β＜π2. 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＜sin β，即cos α＜sin β.答案：B6．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B.⎣⎡⎦⎤－54，－1C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，54 解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，又sin x ∈[－1,1]， ∴－54≤f (x )≤1，∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－54，1. 答案：C二、填空题7．函数f (x )＝sin2x ＋π6的单调递增区间是________． 解析：由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 答案：⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) 8．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是________，最小值是________．解析：∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5π6.令u ＝x ＋π3，则－π6≤u ≤5π6.∴－12≤sin u ≤1，∴－1≤2sin u ≤2，即－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤2，即该函数的最大值与最小值分别是2，－1.答案：2 －19．(2017·人大附中期末)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间是________．解析：y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤32π＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .∵(0，π)∩⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π＝⎣⎡⎦⎤π3，5π6，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.答案：⎣⎡⎦⎤π3，5π6三、解答题10．求下列函数的单调区间．(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ；(2)y ＝cos2x .解：(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π4≤x ≤2k π＋34π(k ∈Z )．由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋32π(k ∈Z )，得2k π＋34π≤x ≤2k π＋74π(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋34π，2k π＋74π(k ∈Z )，单调减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π4，2k π＋34π(k ∈Z )． (2)由2k π－π≤2x ≤2k π，得k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )． 由2k π≤2x ≤2k π＋π，得k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )． 知f (x )＝cos2x 的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )， 单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 11．(2017·江西省吉安一中月考)已知函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋m ，若1≤f (x )≤5恒成立，求实数m 的取值范围．解：∵f (x )＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋14＋m . 又－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时，f (x )max ＝14＋m ， 当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－2＋m .∵1≤f (x )≤5恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤－2＋m ，5≥14＋m ，解得3≤m ≤194. ∴m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤3，194. 12．已知f (x )＝－2a ·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，34π，若函数f (x )的最大值为3－1，最小值为－3，求实数a ，b 的值．解：∵π4≤x ≤34π， ∴23π≤2x ＋π6≤53π， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤32. 当a >0时，由题意得⎩⎨⎧ －3a ＋2a ＋b ＝－3，2a ＋2a ＋b ＝3－1，得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3－5；当a <0时，由题意得⎩⎨⎧ 2a ＋2a ＋b ＝－3，－3a ＋2a ＋b ＝3－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴a 的值为1，b 的值为3－5或a 的值为－1，b 的值为1.考题过关13．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．解析：∵f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0≤cos x ≤1，∴当cos x ＝32时，即x ＝π6时，f (x )max ＝1.答案：1。
课时跟踪检测五 函数的单调性与最值
课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值1．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>03．设函数f (x )定义在R 上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫134．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2014·丽水模拟)已知函数f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( )A ．f (0)＜f (0.6)＜f (－0.5)B ．f (0)＜f (－0.5)＜f (0.6)C ．f (0.6)＜f (－0.5)＜f (0)D ．f (－0.5)＜f (0)＜f (0.6)6．(2014·福州期末)已知函数f (x )在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f [f (x )－3x ]＝4，则f (4)的值是( )A ．85B ．82C ．80D ．767．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝__________. 8．若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．10．使函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．12．已知函数f (x )＝2x ＋b ，g (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )对任意的x ∈R 恒有f (x )≤g (x )成立．(1)当b ＝0时，记h (x )＝g (x )f (x )，若h (x )在[2，＋∞)上为增函数，求c 的取值范围； (2)证明：当x ≥0时，g (x )≤(x ＋c )2成立．答 案1．选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调递减区间是[1,2]．2．选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0， ∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.3．选C 由f (2－x )＝f (x )可知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时，f (x )为减函数，因为⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)．故选C.4．选A 若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/ c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．故选A.5．选B 函数f (x )＝x 2－cos x 是偶函数，且在(0，π)上是增函数，所以f (0)＜f (0.5)＝f (－0.5)＜f (0.6)．6．选B 因为函数f (x )在R 上是单调函数，y ＝3x 也是单调函数，满足对任意x ∈R ，都有f [f (x )－3x ]＝4，所以必须满足f (x )－3x 为定值(否则f (x )－3x 的值跟着x 的变化而变化，则又由于函数f (x )在R 上是单调函数，所以不可能使得f [f (x )－3x ]＝4成立)．所以令f (x )－3x ＝a ，即f (x )＝3x ＋a .又因为f (a )＝4，即3a ＋a ＝4，所以a ＝1.所以f (x )＝3x ＋1，∴f (4)＝82.7．解析：由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧ 1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25. 答案：258．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23. 答案：⎝⎛⎦⎤12，23 9.解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)10．解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2， 使其在(3，＋∞)上是增函数，故需4＋k <0，得k <－4.答案：(－∞，－4)11．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )·(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.12．解：(1)因为任意的x ∈R 恒有f (x )≤g (x )成立， 所以对任意的x ∈R,2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ， 即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立．所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1，即c ≥1. 当b ＝0时，记h (x )＝g (x )f (x )＝x 2＋c 2x ＝12x ＋c 2x (c ≥1)． 因为h (x )在[2，＋∞)上为增函数，所以任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，x 1＜x 2，f (x 2)－f (x 1)＝12(x 2－x 1)·⎝⎛⎭⎫1－c x 1x 2＞0恒成立． 又x 2－x 1＞0，故⎝⎛⎭⎫1－c x 1x 2＞0成立，也就是c ＜x 1x 2成立．所以c ≤4，即c 的取值范围是[1,4]．(2)证明：由(1)得，c ≥1且c ≥b 24＋1, 所以c ≥2 b 24×1＝|b |， 因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0. 故当x ≥0时，有(x ＋c )2－g (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，g (x )≤(x ＋c )2.。
高2020届高2017级三维设计一轮复习理科数学课时跟踪检测(五)函数的单调性与最值
课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值一、题点全面练1.下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( )A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x 试题解析：选D 函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－1,1)上为减函数.2.(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A.(－∞,－2)B.(－∞,1)C.(1,＋∞)D.(4,＋∞)试题解析：选D 由x 2－2x －8＞0,得x ＞4或x ＜－2.因此,函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞,－2)∪(4,＋∞).注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4,＋∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4,＋∞).3.若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3,＋∞)上的最小值为1,则实数m 的值为( )A.－3B.－2C.－1D.1试题解析：选B 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3,＋∞)上为增函数,且f (x )在[3,＋∞)上的最小值为1,所以f (3)＝1,即22＋m －1＝1,m ＝－2.故选B.4.函数f (x )＝x 1－x 的单调递增区间是( ) A.(－∞,1)B.(1,＋∞)C.(－∞,1),(1,＋∞)D.(－∞,－1),(1,＋∞)试题解析：选C 因为f (x )＝－(1－x )＋11－x ＝－1＋11－x, 所以f (x )的图象是由y ＝－1x 的图象沿x 轴向右平移1个单位,然后沿y 轴向下平移一个单位得到,而y ＝－1x 的单调递增区间为(－∞,0),(0,＋∞)；所以f (x )的单调递增区间是(－∞,1),(1,＋∞).故选C.5.(2019·赣州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1),则函数g (x )的单调递减区间是( )A.(－∞,0]B.[0,1)C.[1,＋∞)D.[－1,0] 试题解析：选B 由题知,g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0,1).6.若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2,x ∈R 在区间[3,＋∞)和[－2,－1]上均为增函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B.[－6,－4] C.[]－3，－22 D.[]－4，－3试题解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数,因此只需考虑函数f (x )在(0,＋∞)上的单调性即可.由题意知函数f (x )在[3,＋∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,故－a 2∈[2,3],即a ∈[－6,－4].7.函数y ＝2－x x ＋1,x ∈(m ,n ]的最小值为0,则m 的取值范围是( ) A.(1,2)B.(－1,2)C.[1,2)D.[－1,2)试题解析：选D 函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1, 且在x ∈(－1,＋∞)时单调递减,在x ＝2时,y ＝0；根据题意x ∈(m ,n ]时y 的最小值为0,所以－1≤m ＜2.8.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞,1)上有最小值,则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1,＋∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数 试题解析：选D 由题意知a ＜1,又函数g (x )＝x ＋a x －2a 在[|a |,＋∞)上为增函数,故选D.9.(2019·湖南四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0,＋∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是________.试题解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|,∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x ＜2. 又∵f (x )在(0,＋∞)上单调递增,∴⎩⎨⎧－a 2≤2，a 2≤0，∴－4≤a ≤0,∴实数a 的取值范围是[－4,0].答案：[－4,0]10.已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49,则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________.试题解析：∵38≤f (x )≤49,∴13≤1－2f (x )≤12. 令t ＝1－2f (x ),则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12, 令y ＝g (x ),则y ＝12(1－t 2)＋t , 即y ＝－12(t －1)2＋1⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12. ∴当t ＝13时,y 有最小值79； 当t ＝12时,y 有最大值78. ∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78.答案：⎣⎡⎦⎤79，78二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.函数y ＝log 13(－x 2＋2x ＋3)的单调递增区间是( )A.(－1,1]B.(－∞,1)C.[1,3)D.(1,＋∞)试题解析：选C 令t ＝－x 2＋2x ＋3,由－x 2＋2x ＋3>0,得－1＜x ＜3.函数t ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴方程为x ＝1,则函数t ＝－x 2＋2x ＋3在[1,3)上为减函数,而函数y ＝log 13t 为定义域内的减函数,所以函数y ＝log 13(－x 2＋2x ＋3)的单调递增区间是[1,3).2.(2019·西安模拟)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A.(0,1]B.[1,2]C.[1,＋∞)D.[2,＋∞)试题解析：选C 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增,则a >0且a －1≥0,∴a ≥1.故选C.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12B.⎣⎡⎦⎤14，12C.⎝⎛⎦⎤0，12D.⎣⎡⎭⎫12，1 试题解析：选B 由对数函数的定义可得a >0,且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调,则二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上, 所以函数f (x )在R 上单调递减,故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，0＜a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.4.已知函数f (x )是定义在(0,＋∞)上的增函数,若f (a 2－a )>f (a ＋3),则实数a 的取值范围为________.试题解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a >3,所以实数a 的取值范围为(－3,－1)∪(3,＋∞).答案：(－3,－1)∪(3,＋∞)(二)技法专练——活用快得分5.[构造法]已知减函数f (x )的定义域是实数集R,m ,n 都是实数.如果不等式f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立,那么下列不等式成立的是( )A.m －n ＜0B.m －n >0C.m ＋n ＜0D.m ＋n >0 试题解析：选A 设F (x )＝f (x )－f (－x ),由于f (x )是R 上的减函数,∴f (－x )是R 上的增函数,－f (－x )是R 上的减函数,∴F (x )是R 上的减函数,∴当m ＜n 时,有F (m )>F (n ),即f (m )－f (－m )>f (n )－f (－n )成立.因此,当f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立时,不等式m －n ＜0一定成立,故选A.6.[三角换元法]函数y ＝x ＋－x 2＋10x －23的最小值为________.试题解析：原函数可化为：y ＝x ＋2－(x －5)2.由2－(x －5)2≥0⇒|x －5|≤2,令x －5＝2cos α, 那么|2cos α|≤2⇒|cos α|≤1⇒0≤α≤π,于是y ＝2cos α＋5＋2sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋5. 因为α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4,所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1, 所以函数的最小值为5－ 2.答案：5－ 27.[数形结合法]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1),函数g (x )是二次函数,若函数f (g (x ))的值域是[0,＋∞),则函数g (x )的值域是________.试题解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1),所以m ＋1＝1,解得m ＝0,所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示,观察图象可知,当纵坐标在[0,＋∞)上时,横坐标在(－∞,－1]∪[0,＋∞)上变化.而f (x )的值域为[－1,＋∞),f (g (x ))的值域为[0,＋∞),因为g (x )是二次函数,所以g (x )的值域是[0,＋∞).答案：[0,＋∞)(三)素养专练——学会更学通8.[数学抽象]已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,－3),B (3,1)是其图象上的两点,那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A.(－1,2)B.(1,4)C.(－∞,－1)∪[4,＋∞)D.(－∞,－1]∪[2,＋∞)试题解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数,A (0,－3),B (3,1)是其图象上的两点,知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3),所以0＜x ＋1＜3,所以－1＜x ＜2,故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞,－1]∪[2,＋∞).9.[数学运算]已知函数f (x )＝1a －1x(a >0,x >0). (1)求证：f (x )在(0,＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2,求a 的值. 解：(1)证明：设x 2>x 1>0,则x 2－x 1>0,x 1x 2>0,因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0, 所以f (x 2)>f (x 1),所以f (x )在(0,＋∞)上是增函数.(2)因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2, 又由(1)得f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是单调增函数,所以f ⎝⎛⎭⎫12＝12,f (2)＝2,解得a ＝25. 10.[数学运算]已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2,其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围.解：(1)由x ＋a x －2>0,得x 2－2x ＋a x>0, 当a >1时,x 2－2x ＋a >0恒成立,定义域为(0,＋∞)；当a ＝1时,定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0＜a ＜1时,定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x >1＋1－a }.(2)设g (x )＝x ＋a x －2,当a ∈(1,4),x ∈[2,＋∞)时,g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立,所以g (x )＝x ＋a x－2在[2,＋∞)上是增函数. 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2,＋∞)上是增函数. 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2,＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,即x ＋a x－2>1对任意x ∈[2,＋∞)恒成立. 所以a >3x －x 2,令h (x )＝3x －x 2,而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2,＋∞)上是减函数,所以h (x )max ＝h (2)＝2,所以a >2. 即a 的取值范围为(2,＋∞).。
高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.2函数的单调性与最值课时训练理(2021年整理)
2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.2 函数的单调性与最值课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.2 函数的单调性与最值课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.2 函数的单调性与最值课时跟踪检测理的全部内容。
2。
2 函数的单调性与最值[课时跟踪检测］［基础达标]1。
(2017届北京模拟)下列函数中,定义域是R且为增函数的是( ) A。
y＝e－x B．y＝x3C。
y＝ln x D．y＝|x｜解析:因为对数函数y＝ln x的定义域不是R，故首先排除选项C；因为指数函数y＝e－x，即y＝错误!x,在定义域内单调递减，故排除选项A；对于函数y＝|x｜，当x∈（－∞，0）时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减,因此排除选项D；而函数y＝x3在定义域R上为增函数,故选B。
答案：B2。
函数f(x）＝|x－2|x的单调减区间是（）A。
［1,2] B．[－1,0］C.[0,2] D．[2，＋∞）解析：由于f（x)＝|x－2｜x＝错误!结合图象可知函数的单调减区间是［1,2]．答案:A3。
(2017届郑州质检)函数f(x)＝x2＋x－6的单调增区间是（）A.（－∞，－3) B．[2，＋∞）C.[0，2) D．［－3,2]解析：∵x2＋x－6≥0，∴x≥2或x≤－3，又∵y＝错误!是由y＝错误!，t∈[0，＋∞）和t＝x2＋x－6，x∈（－∞，－3］∪［2，＋∞）两个函数复合而成，而函数t＝x2＋x－6在[2，＋∞）上是增函数，y＝错误!在[0，＋∞)上是增函数，所以y＝错误!的单调增区间是［2，＋∞)，故选B.答案：B4.（2017届长春质量检测)已知函数f（x）＝|x＋a｜在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是( ）A。
课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值
课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值第Ⅰ组：全员必做题1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．253.(创新题)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]5．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)6．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝__________. 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．8．使函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．第Ⅱ组：重点选做题1．设函数f (x )定义在R 上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫132．若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选D y ＝x ＋1是非奇非偶函数，A 错；y ＝－x 3是减函数，B 错；y ＝1x在(0，＋∞)上为减函数，C 错；y ＝x |x |为奇函数，当x ≥0时，y ＝x 2为增函数，由奇函数性质得y ＝x |x |在R 上为增函数，故选D.2．选D 依题意，知函数图像的对称轴为x ＝－－m 8＝m 8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.3．选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2. ∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．选D ∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1.又∵函数g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]． 5．选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．6．解析：由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2.即⎩⎨⎧ 1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25. 答案：25 7.解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)8．解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2，使其在(3，＋∞)上是增函数， 故4＋k <0，得k <－4.答案：(－∞，－4)9．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.10．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第Ⅱ组：重点选做题1．选C 由f (2－x )＝f (x )可知f (x )的图像关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)．故选C.2．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23. 答案：⎝⎛⎦⎤12，23。
课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值
课时跟踪检测（五） 函数的单调性与最值[达标综合练]1．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．A 中，f (x )＝1x 满足要求；B 中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．2.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x <0在R 上是( )A ．减函数B ．增函数C ．先减后增D ．无单调性解析：选B 作出函数f (x )的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函数在R 上是增函数．3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由f (x )在R 上是增函数，则有⎩⎨⎧a >1，4－a2>0，⎝⎛⎭⎫4－a 2＋2≤a ，解得4≤a <8.4.(2019·南昌调研)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，得x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．5.函数f (x )＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2) C ．[1,2)D ．[－1,2)解析：选D 因为f (x )＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0，所以n ＝2，－1≤m <2，故选D.6．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝e x ＋sin x ，则( ) A ．f (1)<f (2)<f (3) B ．f (2)<f (3)<f (1) C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (3)<f (1)<f (2)解析：选D 由f (x )＝f (π－x )， 得f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)．由f (x )＝e x ＋sin x ，得函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内单调递增．又－π2<π－3<1<π－2<π2， ∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)．∴f (2)>f (1)>f (3)． 7．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________． 解析：y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．答案：{y |y ∈R 且y ≠3}8．记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x >4，所以f (x )max ＝f (4)＝6. 答案：69．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化． 而f (x )的值域为(－1，＋∞)， f (g (x ))的值域为[0，＋∞)， 因为g (x )是二次函数， 所以g (x )的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)10.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0， 因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎫1a －1x 1 ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2， 又由(1)得f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是单调增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，解得a ＝25. 11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围． 解：(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中 Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1， ∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)． 12.已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0,3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2－9，x ≥2，(x －1)2－1，x ＜2，当x ∈[0,2]时，－1≤f (x )≤0， 当x ∈[2,3]时，0≤f (x )≤7，所以f (x )在[0,3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2，x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞2时，f (x )单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1≤x ≤2时，f (x )单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．[素养强化练]1.[数学抽象、逻辑推理]已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增， 则a ＞0且a －1≥0，所以a ≥1.故选C.2.[数学抽象、直观想象]已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R )( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 3．[数学抽象、逻辑推理]函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6.答案：64．[数学抽象、逻辑推理]已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，f (x )≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )为增函数，故g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意可得f (x )min ≥g (x )min ，解得a ≤0.答案：(－∞，0]。
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课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2016·珠海摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2 xD ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－x 与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数． 2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2. 结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2016·长春市质量检测)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.4．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧ 1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6.答案：6 5．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．解析：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．给定函数：①y＝x 12；②y＝log12(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选B①是幂函数，在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合要求；②中的函数图象是由y＝log12x的图象向左平移1个单位得到的，函数y＝log12x是(0，＋∞)上的减函数，所以函数y＝log12(x＋1)是(－1，＋∞)上的减函数，故此项符合要求；③中的函数在(－∞，1)上为减函数，(1，＋∞)上为增函数，符合要求；④中的函数在R上为增函数，不符合要求．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1] B．[3，＋∞)C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)解析：选B设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．(2016·安徽师大附中第二次月考)函数f(x)＝x1－x在()A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数解析：选C函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝x1－x＝11－x－1，根据函数y＝－1x的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．4．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫0，13C.⎣⎡⎭⎫17，13D.⎣⎡⎭⎫17，1解析：选C 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a >0在x <1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13. 此时，log a x 是减函数，符合题意．6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14. 答案：147．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在 ⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2， ∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25. 10．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2015·浦东一模)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞)B ．[0， 3 ]C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。