初二数学分式方程
八年级数学《分式方程》知识点
八年级数学《分式方程》知识点八年级数学：分式方程一、理解定义分式方程是指含有分式且分母中含有未知数的方程。
解分式方程的思路是：首先在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，将其化为整式方程，然后解这个整式方程。
接着，将整式方程的根带入最简公分母，看结果是否为零，如果是，则该根为原方程的增根，必须舍去。
最后，写出原方程的根。
这一思路可以概括为“一化二解三检验四总结”。
增根是指分式方程的增加的根，必须满足两个条件：一是最简公分母为零，二是增根是分式方程化成的整式方程的根。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为零，这样就会产生增根，因此分式方程一定要验根。
分式方程的验根方法是将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
分式方程可以应用于实际问题的解决。
解决实际问题的步骤是：审题，设未知数，列方程，解方程，检验，写出答案。
在检验时，要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。
应用题的基本类型有：二、例题讲析例1：解方程x+14)/2-(1/(x-1)(x-1))=11）增根是使最简公分母值为零的未知数的值。
2）增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。
例2：解关于x的方程2ax^3+2)/(x-2)(x-4)(x+2)=2有增根，则常数a的值。
解：化整式方程的(a-1)x=-10.由题意知增根x=2或x=-2是整式方程的根，把x=2代入得2a-2=-10，解得a=-4.把x=-2代入得-2a+2=-10，解得a=6.所以a=-4或a=6时，原方程产生增根。
例3：解关于x的方程2ax^3+2)/(x-2)(x-4)(x+2)=无解则常数a的值。
解：化整式方程的(a-1)x=-10.当a-1=0时，整式方程无解。
解得a=1.当a-1≠0时，整式方程有解。
当它的解为增根时，原分式方程无解。
把增根x=2或x=-2代入整式方程解得a=-4或a=6.综上所述，当a=1或a=-4或a=6时，原分式方程无解。
八年级数学分式方程
工程优化问题
通过设定工程目标函数和 约束条件，建立分式方程 求解最优方案或最大效益。
行程问题
相遇问题
根据两物体相对运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解相遇时间或相 对速度。
追及问题
根据两物体同向运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解追及时间或速 度差。
航行问题
根据船在静水和流水中的 速度、时间和距离，建立 分式方程求解船速、水速 或航行时间。
预测未来情况
通过建立分式方程模型并求解，可以预测未来某些情况的 发生或变化趋势，为决策提供依据。
实际问题中分式方程解的意义
1 2
解释现象
通过求解分式方程得到的解可以解释实际问题的 现象或结果，如相遇时间、工作效率等。
指导实践
根据分式方程的解可以指导实践操作或决策制定， 如合理安排工作时间、选择最佳方案等。
利用高次方程的判别式，判断方程的根的情况，从而求解方程。
多元分式方程组解法
消元法
通过消去一个或多个未知数，将多元分式方程组转化为一元或低 元方程求解。
代入法
将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解出所有未知数的值。
整体法
将方程组中的某些项看作一个整体，通过整体代入或整体消元的 方法求解方程组。
分式方程与函数关系探讨
分式函数定义域与值域
分析分式函数的定义域和值域，理解函数的基本性质。
分式函数图像与性质
通过绘制分式函数的图像，探讨函数的单调性、奇偶性等性质。
分式方程与函数零点
利用分式方程的解，确定分式函数的零点，进一步分析函数的性质。
分式方程在数学竞赛中应用
复杂分式方程求解
在数学竞赛中，常常遇到复杂的分式方程，需要灵活运用各种方法求解。
八年级分式方程数学知识点
八年级分式方程数学知识点一、基本概念分式方程是指未知量中包含分数表达式的方程，可用一组数值解求出未知量的值。
如：\frac{x+1}{2}=3，其中x为未知量。
二、分式方程的解法1. 化简分式，使其成为整式方程。
如：\frac{x+1}{2}=3化简为x+1=6。
2. 通分，消去分母。
如：\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x+1}通分后为3(x+1)=x-2。
3. 变形化简后求解。
如：\frac{2}{2x+3}-\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x^2-x-3}变形化简后得到x=-1或x=\frac{5}{2}。
三、分式方程的注意事项1. 化简前应检查分母是否有值为0的情况。
如：\frac{x}{x^2-4x+4}=1化简前需考虑x^2-4x+4=0的情况，即x=2。
2. 通分时应注意分母因式分解。
如：\frac{x}{2x-4}-\frac{2}{x+1}=\frac{3x}{x^2-3x+2}通分前需分解(x-1)(x-2)。
3. 将解代回原分式方程检验。
如：\frac{4}{x+3}-\frac{5}{x-1}=\frac{1}{x-2}解得x=5/2，代入原式验证是否成立。
四、分式方程的应用例题1. 甲、乙两地的距离为480km，两地之间有一辆车和一辆自行车相向而行，行至中途时，车停下了，自行车继续前进，最后到达乙地时，车和自行车的距离为40km。
已知车行驶的速度比自行车快20km/h，求车和自行车的速度各是多少。
设自行车的速度为x km/h，车的速度为x+20 km/h，时间为t，车行驶的距离为(x+20)×t，自行车行驶的距离为x×(t+2)。
由题意可得(x+20)t+x(t+2)=480及(x+20)t-x(t+2)=40，解得x=20，车速为40km/h，自行车速度为20km/h。
2. 一条河流的宽度为200m，在河岸的A、B两处浅滩的位置分别离河口12km、18km处。
八年级数学北师大版初二下册--第五单元5.4《分式方程：第二课时--解分式方程》课件
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
初二数学分式方程精华题(含答案)
初二数学分式方程精华题(含答案)1.分式方程解：本题考查分式方程的解法，根据题意可列出方程：frac{x}{x+12}=\frac{1}{2}$$化简后得到：2x=x+12$$解得$x=6$，因此选项C正确。
2.若分式方程 $\frac{x}{a}=\frac{2}{x-4}$ 有增根，则a的值为（）解：根据题意，可列出方程：frac{x}{a}=\frac{2}{x-4}$$移项化简得到：x^2-4ax-8=0$$由于有增根，因此判别式 $b^2-4ac<0$，即：4a)^2-4\times 1\times (-8)<0$$化简得到 $a^2+2>0$，因此 $a$ 可以取任意实数，选项中没有正确答案。
3.解关于x的方程 $\frac{x-3m}{x-1}=\frac{1}{x-1}$ 产生增根，则常数m的值等于（）解：根据题意，可列出方程：frac{x-3m}{x-1}=\frac{1}{x-1}$$移项化简得到：x^2-4mx+3m=0$$由于有增根，因此判别式 $b^2-4ac<0$，即：16m^2-12m<0$$化简得到 $0<m<\frac{3}{4}$，因此选项C正确。
4.求 $\frac{1-x}{2-xx}=3$，去分母后的结果，其中正确的是（）解：根据题意，可列出方程：frac{1-x}{2-xx}=3$$移项化简得到：x^2+3x-5=0$$解得$x=1$或$x=-5$，代入原式可知$x=-5$不合法，因此$x=1$是方程的唯一解。
将$x=1$代入原式得到：frac{1-x}{2-xx}=\frac{0}{1}=0$$因此选项A正确。
5.计算：$\frac{b^2+2b+2a}{2b^3-7a^2b}=？$解：根据题意，可将分子分母同时除以$b$，得到：frac{b^2+2b+2a}{2b^3-7a^2b}=\frac{\frac{b^2}{b}+\frac{2b}{b}+\frac{2a}{b}}{\frac{2 b^3}{b}-\frac{7a^2b}{b}}=\frac{b+2+\frac{2a}{b}}{2b^2-7a^2}$$因此答案为$\frac{b+2+\frac{2a}{b}}{2b^2-7a^2}$。
人教版八年级上册数学《 分式方程》(优质教案)
人教版八年级上册数学《分式方程》（优质教案）一. 教材分析人教版八年级上册数学《分式方程》这一章节是在学生已经掌握了分式的基础知识，如分式的概念、分式的运算等基础上进行讲解的。
本章主要内容是让学生了解分式方程的定义、解法以及应用。
通过本章的学习，学生应能理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了分式的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。
但学生在解分式方程时，可能会遇到理解上的困难，如分式方程的转化、求解过程中的运算等。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。
三. 教学目标1.了解分式方程的定义，理解分式方程与一般方程的区别。
2.掌握解分式方程的基本方法，能够熟练地求解分式方程。
3.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义及其与一般方程的区别。
2.分式方程的解法及其应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索，从而掌握分式方程的知识；通过案例分析，让学生了解分式方程在实际问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作有关分式方程的PPT，内容包括：分式方程的定义、解法及应用。
2.案例材料：收集一些实际问题，用于教学过程中的案例分析。
3.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示分式方程的定义，引导学生思考：什么是分式方程？分式方程与一般方程有什么区别？2.呈现（15分钟）通过PPT呈现分式方程的解法，主要包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、化简等步骤。
同时，结合实际问题，让学生了解分式方程在生活中的应用。
3.操练（15分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
八年级数学分式与分式方程
八年级数学分式与分式方程分式与分式方程学习资料。
一、分式的概念。
1. 定义。
- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子(A)/(B)就叫做分式。
例如(1)/(x)，(x + 1)/(x - 1)等都是分式，而(2)/(3)不是分式，因为分母是常数3，不含有字母。
2. 分式有意义的条件。
- 分式(A)/(B)有意义的条件是B≠0。
例如，对于分式(1)/(x - 2)，当x - 2≠0，即x≠2时，这个分式有意义。
3. 分式值为零的条件。
- 分式(A)/(B)的值为零的条件是A = 0且B≠0。
例如，对于分式(x)/(x+1)，当x = 0且x+1≠0（即x≠ - 1）时，分式的值为0。
二、分式的基本性质。
1. 性质内容。
- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。
2. 约分。
- 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
- 例如，对于分式(6x^2y)/(8xy^2)，分子分母的公因式是2xy，约分后得到(3x)/(4y)。
3. 通分。
- 定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
- 例如，将(1)/(x)和(1)/(x + 1)通分，先找最简公分母为x(x + 1)，则(1)/(x)=(x +1)/(x(x + 1))，(1)/(x+1)=(x)/(x(x + 1))。
三、分式的运算。
1. 分式的乘除法。
- 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即(A)/(B)·(C)/(D)=(A· C)/(B· D)。
例如(2)/(3x)·(6x)/(4)=(2×6x)/(3x×4)= 1。
八年级数学分式方程
八年级数学分式方程一、分式方程的概念。
1. 定义。
- 分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数（字母）的方程。
例如：(1)/(x)+1 = 2，(x)/(x - 1)-(1)/(x)=1等都是分式方程。
2. 与整式方程的区别。
- 整式方程的分母中不含有未知数，如2x+3 = 5是整式方程。
而分式方程的分母含有未知数，这是两者最本质的区别。
二、分式方程的解法。
1. 基本思想。
- 分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程来求解。
这一转化过程通常是通过去分母来实现的。
2. 去分母的方法。
- 给分式方程两边同时乘以各分母的最简公分母。
例如，对于方程(2)/(x)+(x)/(x - 1)=1，分母x和x - 1的最简公分母是x(x - 1)，方程两边同时乘以x(x - 1)得到：2(x - 1)+x· x=x(x - 1)。
- 找最简公分母的方法：- 取各分母系数的最小公倍数。
- 凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
- 同底数幂取次数最高的。
例如，对于分式(1)/(3x)，(1)/(2x^2)，最简公分母是6x^2。
3. 求解整式方程。
- 按照整式方程的解法求解去分母后的整式方程。
如上面得到的整式方程2(x - 1)+x^2=x(x - 1)，展开式子得2x-2 + x^2=x^2-x，移项合并同类项得2x+x = 2，解得x=(2)/(3)。
4. 检验。
- 分式方程可能会产生增根，所以必须检验。
把求得的整式方程的解代入原分式方程的最简公分母中，如果最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；如果最简公分母等于0，则这个解是增根，原分式方程无解。
例如，对于上面解得的x = (2)/(3)，代入最简公分母x(x - 1)=(2)/(3)×((2)/(3)-1)=(2)/(3)×(-(1)/(3))=-(2)/(9)≠0，所以x=(2)/(3)是原分式方程的解。
数学8年级上册分式方程
数学8年级上册分式方程一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
三、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.今日练习11.校运动会上，初二（3）班啦啦队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为元，根据题意可列方程为：A．B．C．D．2.以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是：A．B．C． D .【参考答案】1.B若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解解：设甲种雪糕的价格为x元，则甲种雪糕的根数：；乙种雪糕的根数：．可得方程：故选B考点：由实际问题抽象出分式方程2.B。
八年级100道分式方程
分式方程是指方程中含有分数的方程。
下面是100道八年级分式方程题目，每道题后面有解答说明。
1.5/x=3解答：将5除以x，得到分数5/x，要使其等于3，则x=5/32.1/(x+1)=5解答：将1除以x+1，得到分数1/(x+1)，要使其等于5，则x+1=1/5，解得x=1/5-1=1/5-5/5=-4/53.3/(2x)=4/5解答：将3除以2x，得到分数3/(2x)，要使其等于4/5，则2x=3/(4/5)，解得x=3/(4/5)*1/2=15/4*1/2=15/84.1/(3x-2)=2/5解答：将1除以3x-2，得到分数1/(3x-2)，要使其等于2/5，则3x-2=1/(2/5)=1/(2/5)*5/1=5/2，解得3x=5/2+2/1=15/2+4/2=19/2，所以x=19/2*1/3=19/65.(x-3)/4=1/2解答：将x-3除以4，得到分数(x-3)/4，要使其等于1/2，则x-3=1/2*4/1=2，解得x=2+3=56.(2x+1)/3=1/6解答：将2x+1除以3，得到分数(2x+1)/3，要使其等于1/6，则2x+1=1/6*3/1=1/2，解得2x=1/2-1=1/2-2/2=-1/2，所以x=-1/2*1/2=-1/47.(x+2)/5=1/3解答：将x+2除以5，得到分数(x+2)/5，要使其等于1/3，则x+2=1/3*5/1=5/3，解得x=5/3-2/1=5/3-6/3=-1/38.(2x-1)/6=5/8解答：将2x-1除以6，得到分数(2x-1)/6，要使其等于5/8，则2x-1=5/8*6/1=15/4，解得2x=15/4+1/1=15/4+4/4=19/4，所以x=19/4*1/2=19/89.(3x+2)/7=2/5解答：将3x+2除以7，得到分数(3x+2)/7，要使其等于2/5，则3x+2=2/5*7/1=14/5，解得3x=14/5-2/1=14/5-10/5=4/5，所以x=4/5*1/3=4/1510.(4x-3)/2=7/9解答：将4x-3除以2，得到分数(4x-3)/2，要使其等于7/9，则4x-3=7/9*2/1=14/9，解得4x=14/9+3/1=14/9+27/9=41/9，所以x=41/9*1/4=41/36依此类推，继续列出90道题目进行解答。
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温故知新
1、回顾我们之前学习过的方程有哪些？ 2、解一元一次方程的步骤？
【观察与思考】 小红家到学校的路程为38km，小红从家去学校 总是先乘公共汽车，下车后再步行2km，才能到学 校，路途所用时间是1h。已知公共汽车的速度是小
红步行速度的9倍，求小红步行的速度。
思考：
1、上述问题中有哪些等量关系？ 2、根据你所发现的等量关系， 设未知数并列方程
2、我们有没有办法去掉分式方程 的分母，将它转化为整式方程呢？
例1 解方程
解这个整式方程，得
把 所以
代入最简公分母中检验：
是原分式方程的解
例2、解分式方程
解：方程两边同乘以
得 分式方程可能 无解
解这个整式方程，得 时 经检验，当 即原方程的分母为0，方程中 的分式无意义 所以 不是原方程的解
分式方程的解（分式方程的根）
. .
通过本节课的学习，你了解到了哪 些知识？
课本 A组 第一题
2. 解这个整式方程.
3. 验根 把整式方程的根代入最简公分 母，使最简公分母不等于零的根是原方 程的根，使最简公分母为零的根是原方 程的增根，必须舍去.
4. 写出原方程的根.
重点
随堂练习
1、下列方程中，哪些是分式方程？
2、分式方程 1 2x 1的最简公分母是 x 1
1 3 1 x 3、如果 x 2 2 x 有增根,那么增根为
小红乘公共汽车时间+小红步行时间=小红上学路 上时间
公共汽车的速度=9*小红步行的速度
【一起探究】
两方程中都含有分式，并且分母 中含有未知数
分式方程
• 分式方程： 分母中含有未知数的方程
如何判断分式方程
1、是方程 2、含有分母
3、分母中含有未知数
一起探究： 思考如何解分式方程？
提示： 1、回顾一下解一元一次方程 时是怎 样去分母的？从中我们是否可以得到 一点启发？
使得分式方程等号两端相等的未知数的值
在解分式方程时，首先是通过 去分母将分式方程转化为整式方程 ，然后要将整式方程的根代入最简 公分母中检验。当分母的值不等于 0时，这个整式方程的根就是分式 方程的根；当分母的值为0时，分 式方程无解，我们把这样的根叫做 分式方程的增根。
解分式方程的一般步骤：
1. 去分母，在方程的两边都乘以最简公分母， 把分式方程化为整式方程.