3第三章函数的应用_单元综合测试(人教A版必修1)
高一数学人教A版必修1单元检测第三章 函数的应用 Word版含解析
数学人教必修第三章函数的应用单元检测参考完成时间：分钟实际完成时间：分钟总分：分得分：一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．下列所示函数没有零点的是( )．下列函数中，在区间(－)内有零点且单调递增的是( )．．＝－．＝－．＝－－－－－－－－由此可以判断方程＋＋＝的两个根所在的区间是( )．(－，－)和()．(－，－)和(－)．(－)和()．(－∞，－)和(，＋∞)．已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数＝()的图象大致为( )．已知函数()＝＋－，在区间(－)内存在，使()＝，则的取值范围是( )．－＜＜．＞．＞或＜－．＜－－－)( )．＝＋．＝＋．＝＋．＝＋．某产品的总成本(万元)与产量(台)之间的函数关系是＝＋－(＜＜，)，若每台产品的售价为万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )．台．台．台．台．如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度与注水时间之间的函数关系大致是下列图象中的( )则与呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )．，，．，，．，，．，，．已知＜＜，则方程＝的实根个数为( )．．．．与的值有关．已知函数()＝－，若实数是函数()的零点，且＜＜，则()的值为( )．恒为正值．等于．恒为负值．不大于．为适应社会发展的需要，国家降低某种存款利息，现有四种降息方案：①先降息，后降息；②先降息，后降息；③先降息，再降息；④一次性降息(＋)(≠)．上述四种方案，降息最少的是( )．①．②．③．④二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中的横线上)．用二分法求方程－－＝在区间[]内的一个实根，若精确度为，则至少需分次．．我国计划从年至年翻一番，平均每年的增长率为．．长为，宽为的矩形，当长增加，宽减少时，面积达到最大，此时的值为．．若关于的方程在区间()上有解，则实数的取值范围是．三、解答题(本大题共小题，共分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．(分)求函数()＝＋(＋)－的零点个数．．(分)某租赁公司拥有汽车辆，当每辆汽车的月租金为元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加元时，未租出的车辆会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费元，未租出的车每辆每月需要维护费元．。
人教a版必修1章末检测：第三章《函数的应用》(含答案)
第三章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0 B．小于0C．无法判断D．等于零2．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是()A．(1，－4) B．(4，－1)C．1，－4 D．4，－13．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()4．方程x3＋3x－3＝0的解在区间()A．(0,1)内B．(1,2)内C．(2,3)内D．以上均不对5．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(2,16)，(2,8)，(2,4)内，那么下列命题中正确的是()A．函数f(x)在区间(2,3)内有零点B．函数f(x)在区间(2,3)或(3,4)内有零点C．函数f(x)在(3,16)内无零点D．函数f(x)在区间(4,16)内无零点6．已知f(x)、g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是()A.(－1,0)C．(1,2) D．(2,3)7．在一定范围内，某种产品的购买量y t与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1 000 t，每吨为800元；购买2 000 t，每吨为700元；一客户购买400 t，单价应该是()A．820元B．840元C．860元D．880元8．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2008年的湖水量为m，从2008年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为()A．y＝0.9x50B．y＝(1－0.1x50)mC．y＝0.9x50·m D．y＝(1－0.150x) m9．已知α是函数f(x)的一个零点，且x1<α<x2，则() A．f(x1)f(x2)>0 B．f(x1)f(x2)<0C．f(x1)f(x2)≥0 D．以上答案都不对10．函数f(x)＝|x|＋k有两个零点，则()A．k＝0 B．k>0C ．0≤k <1D ．k <011．若|x |≤1时，y ＝ax ＋2a ＋1的值有正有负，则a 的取值范围为( )A ．a ≥－13B ．a ≤－1C ．－1<a <－13D ．以上都不是12. 如右图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着A －B －C －M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，△APM 的面积函数的图象形状大致是( )二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水______吨．14．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．15．若一元二次方程f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的两根x 1、x 2满足m <x 1<n <x 2<p ，则f (m )·f (n )·f (p )________0.(填“>”、“＝”或“<”)16．如果函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个不同的零点，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(12分)用二分法求方程x 3＋3x －5＝0的一个近似解(精确度0.1)．18．(12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．19．(12分)某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地，在B地停留1 h 后，再以50 km/h的速度返回A地，将汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)(从A地出发时开始)的函数，并画出函数的图象；再将车速v (km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．20．(12分)已知一元二次方程7x2－(k＋13)x－k＋2＝0的两根x1，x2满足0<x1<1，1<x2<2，求k的取值范围．21．(12分)某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入自来水60吨，若蓄水池向居民小区不间断地供水，且t小时内供水总量为1206t吨(0≤t≤24)．问：(1)供水开始几小时后，蓄水池中的水量最少？最少水量为多少吨？(2)若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供水紧张现象，试问在一天的24小时内，有多少小时会出现供水紧张现象，并说明理由．22．(14分)某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y (万元)表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？第三章 章末检测 答案1．C 2.D 3.C4．A [ 将函数y 1＝x 3和y 2＝3－3x 的图象在同一坐标系中画出，可知方程的解在(0,1)内．]5．D6．B [令φ(x )＝f (x )－g (x )，φ(0)＝f (0)－g (0)<0，φ(1)＝f (1)－g (1)>0，且f (x )，g (x )均为[－1,3]上连续不断的曲线，所以φ(x )的图象在[－1,3]上也连续不断，因此选B.]7．C 8.C9．D10．D [在同一坐标系中画出y 1＝|x |和y 2＝－k ，若f (x )有两个零点，必有－k >0，即k <0.] 11．C [由于|x |≤1时，y ＝ax ＋2a ＋1的值有正有负，则有f (－1)·f (1)<0，即(a ＋1)·(3a ＋1)<0，解得－1<a <－13.] 12．A [如题图所示，当0≤x ≤1时，y ＝S △APM ＝12·x ·1＝12x ； 当1<x ≤2时，y ＝S △APM ＝1－12(x －1)－14(2－x )－14＝－14x ＋34； 当2<x ≤2.5时，y ＝S △APM ＝12(52－x )×1＝54－12x . 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，0≤x ≤1，－14x ＋34，1<x ≤2，－12x ＋54，2<x ≤2.5.图象为A.]13．9解析 设该职工该月实际用水为x 吨，易知x >8.则水费y ＝16＋2×2(x －8)＝4x －16＝20，∴x ＝9.14．－12和－13解析 2和3是方程x 2－ax －b ＝0的两根，所以a ＝5，b ＝－6，∴g (x )＝－6x 2－5x －1.令g (x )＝0，得x 1＝－12，x 2＝－13. 15．<解析 ∵a >0，∴f (x )的图象开口向上，∴f (m )>0，f (n )<0，f (p )>0，∴f (m )·f (n )·f (p )<0.16．a >1解析 研究函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)的零点，即相当于研究方程a x ＝x ＋a 的根． 分别画出y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象，如图(1)(2)所示，可结合图象得a >1.17．解 令f (x )＝x 3＋3x －5，则f (0)＝－5，f (1)＝－1，f (2)＝9，f (3)＝31.所以f (x )∵∴x 0可取为1.125(不唯一)．18．解 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意知：c ＝3，－b 2a＝2. 设x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则x 21＋x 22＝10，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，∴(－b a )2－2c a ＝10，∴16－6a＝10， ∴a ＝1.代入－b 2a＝2中，得b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.19．解 汽车离开A 地的距离x (km)与时间t (h)之间的关系为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ， t ∈[0，2.5)，150， t ∈[2.5，3.5)，150－50(t －3.5)， t ∈[3.5，6.5].它的图象如图甲．车速v (km/h)与时间t (h)的函数关系式为v ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， t ∈[0，2.5)，0， t ∈[2.5，3.5)，－50， t ∈[3.5，6.5].它的图象如图乙．20．解 令f (x )＝7x 2－(k ＋13)x －k ＋2，则由已知条件可知，此抛物线与x 轴有两个交点(x 1,0)，(x 2,0)，且0<x 1<1,1<x 2<2， 并且开口向上，根据题意，画出其大致图象如图．由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋2>0，7－k －13－k ＋2<0，28－2k －26－k ＋2>0，解得－2<k <43.即k 的取值范围为(－2，43)． 21．解 (1)设t 小时后蓄水池中水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t ， 令6t ＝x ，则0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40，当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即开始供水6小时后蓄水池中水量最少，最少水量为40吨．(2)由400＋10x 2－120x <80，得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323， ∵323－83＝8， ∴在一天的24小时内，有8小时供水紧张．22．解 (1)设表示前20天每股的交易价格P (元)与时间t (天)的一次函数关系式为P ＝k 1t ＋m ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝k 1×0＋m 6＝k 1×20＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝15m ＝2，即P ＝15t ＋2； 设表示第20天至第30天每股的交易价格P (元)与时间t (天)的一次函数关系式为 P ＝k 2t ＋n ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧ 6＝k 2×20＋n 5＝k 2×30＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＝－110n ＝8， 即P ＝－110t ＋8. 综上知P ＝⎩⎨⎧15t ＋2， 0≤t <20－110t ＋8， 20≤t ≤30 (t ∈N )． (2)由表知，日交易量Q 与时间t 满足一次函数关系式，设Q ＝at ＋b (a 、b 为常数)，将(4,36)与(10,30)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝3610a ＋b ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝40. 所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q ＝40－t (0≤t ≤30且t ∈N )．(3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫15t ＋2×(40－t )， 0≤t <20⎝⎛⎭⎫－110t ＋8×(40－t )， 20≤t ≤30 (t ∈N )． 即y ＝⎩⎨⎧ －15t 2＋6t ＋80， 0≤t <20110t 2－12t ＋320， 20≤t ≤30 (t ∈N )．当0≤t <20时，函数y ＝－15t 2＋6t ＋80的图象的对称轴为直线t ＝15， ∴当t ＝15时，y max ＝125；当20≤t ≤30时，函数y ＝110t 2－12t ＋320的图象的对称轴为直线t ＝60， ∴该函数在[20,30]上单调递减，即当t ＝20时，y max ＝120.而125>120，∴第15天日交易额最大，最大值为125万元．。
2021年高中数学 第三章 函数的应用单元综合测试 新人教版必修1
2021年高中数学 第三章 函数的应用单元综合测试 新人教版必修1题号 1 2 3 4567 8 9 10 11 12 答案上仅有一个实数根，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．无法判断D ．等于零解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部． 答案：C6．若函数f (x )唯一的变号零点同时在区间(0,4)，(0,2)，(1,2)，(1，32)内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ．f (1)D ．f (32)解析：由函数零点的判断方法可知，f (2)，f (4)与f (0)符号相反，f (1)与f (2)符号相反，故f (1)与f (0)符号相同，故选C.答案：C7．如表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10 y15171921232527A.C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析：画出散点图，如图．由图可知其最可能的函数模型为一次函数模型．答案：A8．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往长城旅游，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b <a )，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进．则该同学离起点的距离s 与时间t 的函数关系的图象大致为( )解析：根据某同学先前进了a km 后休息了一段时间，可知A 不合题意；根据休息后沿原路返回骑了b km(b <a )，可知D 不合题意，而选项B 中，说明该同学离起点的距离s 在休息后瞬时发生变化，不合题意，故选C.答案：C9．设a ，b ，k 是实数，二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足：f (k －1)与f (k )异号，f (k ＋1)与f (k )异号．在以下关于f (x )的零点的说法中，正确的是( ) A ．该二次函数的零点都小于k B ．该二次函数的零点都大于kC ．该二次函数的两个零点之差一定大于2D ．该二次函数的零点均在区间(k －1，k ＋1)内解析：由题意得f (k －1)·f (k )<0，f (k )·f (k ＋1)<0，由零点的存在性定理可知，在区间(k －1，k )，(k ，k ＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D 正确．答案：D10．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：(1)如一次购物不超过200元，不予以折扣；(2)如一次购物超过200元但不超过500元，按标价予以九折优惠；(3)如一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款( )A ．608元B ．574.1元C ．582.6元D ．456.8元解析：本题实际上是一个分段函数的问题，购物付款432元，实际商品价值为432×109＝480(元)；则一次购买标价为176＋480＝656(元)的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6(元)，故选C.答案：C11.一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，b (0<b ≤32)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上的线段构成了丰富多彩的图形，如图所示，则这些图形中实线部分总长度的最小值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：由题意知实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 是关于b 的一次函数，一次项系数2π－8<0，故l 关于b 的函数单调递减，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l min ＝(2π－8)×32＋12＝3π.答案：C12．函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|－k 只有两个零点，则( ) A ．k ＝0 B ．k >1C ．0≤k <1D ．k >1，或k ＝0解析：令y 1＝|x 2－6x ＋8|，y 2＝k ，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是__________．解析：设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0, f (3)>0, f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．答案：(2,3)14．方程e x－x ＝2在实数范围内的解有________个．解析：可转化为判断函数y ＝e x与函数y ＝x ＋2的图象的交点个数．答案：215．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt(其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________.经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝c 2t ln 2.当t ＝5时，y ＝c10 ln 2＝210＝1 024.答案：2ln 2 1 02416．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)<0，即－1×(2a －2)<0，所以a >1. 答案：(1，＋∞)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)按照给出的参考数据，用二分法求2x＋x ＝4在(1,2)内的近似解(精确度为0.2)，参考数据如表：x1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x2.182.382.592.833.083.363.67则f (1)＝2＋1－4<0，f (2)＝22＋2－4>0，用二分法计算，列表如下：区间 中点的值 中点函数近似值(1,2) 1.5 0.33 (1,1.5)1.25－0.37(1.25,1.5) 1.375 －0.035(1.375,1.5)∵|1.375∴2x＋x ＝4在(1,2)内的近似解为1.375.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0.证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g (12)＝f (12)－12＝－18，∴g (0)·g (12)<0.又函数g (x )在[0，12]上的图象连续不断，∴存在x 0∈(0，12)，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.19．(12分)已知函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1， (1)m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个交点？ (2)如果函数的一个零点在原点，求m 的值． 解：(1)∵函数的图象与x 轴有两个交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≠0，Δ>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1，4m 2－4×2m ＋1·2m －1>0.整理得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1，m <1，即当m <1，且m ≠－1时， 函数的图象与x 轴有两个交点．(2)∵函数的一个零点在原点，即点(0,0)在函数f (x )的图象上， ∴f (0)＝0，即2(m ＋1)·02＋4m ·0＋2m －1＝0. ∴m ＝12.20．(12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2. (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域． 解：(1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)． ∴9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.② ①－②，得b ＝a ＋8.③③代入②，得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0， 即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，a ＝－3， ∴b ＝a ＋8＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18. (2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18 ＝－3(x ＋12)2＋34＋18，图象的对称轴方程是x ＝－12，且0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12, f (x )max ＝f (0)＝18. ∴函数f (x )的值域是[12,18]． 21．(12分)如图所示，A 、B 两城相距100 km ，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D 给A 、B 两城供气．已知D 地距A 城x km ，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y (万元)与A 、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天然气站D 距A 城的距离为40 km 时，建设费用为1 300万元．(供气距离指天然气站到城市的距离)(1)把建设费用y (万元)表示成供气距离x (km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距A 城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？ 解：(1)由题意知D 地距B 地(100－x )km ，则⎩⎪⎨⎪⎧10≤100－x ，x ≥10，∴10≤x ≤90.设比例系数为k ，则y ＝k [x 2＋(100－x )2](10≤x ≤90)． 又x ＝40，y ＝1 300，所以1 300＝k (402＋602)，即k ＝14，所以y ＝14[x 2＋(100－x )2]＝12(x 2－100x ＋5 000)(10≤x ≤90)． (2)由于y ＝12(x 2－100x ＋5 000)＝12(x －50)2＋1 250，所以当x ＝50时，y 有最小值为1 250万元．所以当供气站建在距A 城50 km ，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元． 22．(12分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )是二次函数，其图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)，与y 轴交于C (0,6)．(1)求y ＝f (x )，(x ∈R )的解析式；(2)若方程f (x )－2a ＋2＝0有四个不同的实数根，试求a 的取值范围． 解：(1)依题意可设，当x ≥0时，f (x )＝a (x －1)(x －3)． 由f (0)＝6得3a ＝6， ∴a ＝2，此时f (x )＝2(x －1)(x －3)＝2x 2－8x ＋6(x ≥0)． 当x <0时，－x >0， 则f (－x )＝2x 2＋8x ＋6. 又∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝2x 2＋8x ＋6(x <0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－8x ＋6，x ≥0，2x 2＋8x ＋6，x <0.(2)依题意f (x )＝2a －2有四个不同实数根，即y ＝f (x )与y ＝2a －2在同一坐标系中的图象有四个不同的交点．如图可知只需满足条件－2<2a －2<6，∴0<a <4，即实数a 的取值范围是(0,4)．<21423 53AF 厯X20530 5032 倲% 21508 5404 各33032 8108 脈21146 529A 劚25526 63B6 掶32948 80B4 肴z402619D45 鵅30353 7691 皑]。
高中数学(人教版A版必修一)配套单元检测：第三章 函数的应用 章末检测A Word版含解析
章末检测(A)(时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0) B．－1 C．1 D．02．设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)3．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为()A.PP－1B.11P－1C.11P D.P－1114．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A．①③B．②④C．①②D．③④5．如图1，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ∶x ＝t 截此梯形所得位于l 左方图形面积为S ，则函数S ＝f(t)的图象大致为图中的( )图16．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式为( )A ．y ＝c －ac －b x B ．y ＝c －ab －c x C ．y ＝c －bc －axD ．y ＝b －cc －ax 7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( )(下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38) A ．38% B ．41% C ．44%D ．73%8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R(Q)＝4Q －1200Q 2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)( )A．250300 B．200300C．250350 D．2003509．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x、y)() A．y＝a＋bx B．y＝a＋b xC．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x10．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？() A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数11．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421875,0.6253＝0.24414)()A．0.25 B．0.375C．0.635 D．0.82512．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．19 B．20C．21 D．22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．14．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．15．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为________________万元．16．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x的取值范围．(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．18．(12分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃后强度为y.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg3≈0.4771)19．(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝ka t(t≥1，a>0，且k，a是常数)的图象．(1)写出服药后y关于t的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?20．(12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3，(1)求f(x)的解析式；(2)判断函数g(x)＝－1＋lg f2(x)在区间[0,9]上零点的个数．21．(12分)截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿．(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．22．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)章末检测(A )1．B [由1＋1x ＝0，得1x ＝－1，∴x ＝－1.] 2．B [由题意x 0为方程x 3＝(12)x －2的根， 令f (x )＝x 3－22－x ，∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0， ∴x 0∈(1,2)．]3．B [设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11， ∴x ＝11P －1.]4．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．] 5．C [解析式为S ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ·2t (0≤t ≤1)12×1×2＋(t －1)×2(1<t ≤2)＝⎩⎨⎧t 2(0≤t ≤1)2t －1(1<t ≤2)∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．]6．B [根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －ab －cx .] 7．B [设职工原工资为p ，平均增长率为x ， 则p (1＋x )6＝8p ，x ＝68－1＝2－1＝41%.]8．A [L (Q )＝4Q －1200Q 2－Q －200＝－1200(Q －300)2＋250，故总利润L (Q )的最大值是250万元，这时产品的生产数量为300.]9．B [∵x ＝0时，bx 无意义，∴D 不成立． 由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快， ∴A 不成立． ∵C 是偶函数，∴x ＝±1的值应该相等，故C 不成立． 对于B ，当x ＝0时，y ＝1， ∴a ＋1＝1，a ＝0；当x ＝1时，y ＝b ＝2.02，经验证它与各数据比较接近．]10．B [可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2，10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．]11．C [令f (x )＝2x 3＋3x －3，f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0， ∴方程2x 3＋3x －3＝0的根在区间(0.625,0.75)内，∵0.75－0.625＝0.125<0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．] 12．C [操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，∴n ≥21.] 13．(0,0.5) 0.25解析 根据函数零点的存在性定理． ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点， 即0＋0.52＝0.25.14．(1，＋∞)解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a>1.15．a (1－b %)n解析 第一年后这批设备的价值为a (1－b %)；第二年后这批设备的价值为a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2； 故第n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n . 16．(0,1]解析 设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2－2x ＋b ＝0的两正根，则有⎩⎨⎧Δ≥0x 1＋x 2＝2>0x 1x 2＝b >0，即⎩⎨⎧4－4b ≥0b >0.解得0<b ≤1.17．解 (1)依题意得y ＝5x ＋10(1200－x ) ＝－5x ＋12000，0≤x ≤1200. (2)∵1200×65%≤x ≤1200×85%， 解得780≤x ≤1020，而y ＝－5x ＋12000在[780,1 020]上为减函数， ∴－5×1020＋12000≤y ≤－5×780＋12000. 即6900≤y ≤8100，∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]． 18．解 (1)依题意：y ＝a ·0.9x ，x ∈N *. (2)依题意：y ≤13a ，即：a ·0.9x≤a 3，0.9x ≤13＝0.91log 30.9，得x ≥log 0.913＝－lg32lg3－1≈－0.47710.9542－1≈10.42.答 通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下． 19．解 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，⎩⎨⎧ka ＝8，ka 7＝1.∴⎩⎨⎧a ＝22，k ＝8 2.∴y ＝⎩⎨⎧8t ， 0≤t <1，82(22)t，t ≥1.(2)令82·(22)t ≥2，解得t ≤5.∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药． (3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1＝82×(22)8＝22(微克)；含第二次服药后药量为y 2＝82×(22)3＝4(微克)，y 1＋y 2＝22＋4≈4.7(微克)．故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．20．解 (1)令f (x )＝ax ＋b ，由已知条件得⎩⎨⎧a ＋b ＝22a ＋b ＝3，解得a ＝b ＝1， 所以f (x )＝x ＋1(x ∈R )．(2)∵g (x )＝－1＋lg f 2(x )＝－1＋lg (x ＋1)2在区间[0,9]上为增函数，且g (0)＝－1<0，g (9)＝－1＋lg102＝1>0，∴函数g (x )在区间[0,9]上零点的个数为1个．21．解 (1)2009年底人口数：13.56亿．经过1年，2010年底人口数：13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)．经过2年，2011年底人口数：13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1%＝13.56×(1＋1%)2(亿)．经过3年，2012年底人口数：13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%＝13.56×(1＋1%)3(亿)．∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x 年后人口数为13.56×(1＋1%)x (亿)．∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x .(2)理论上指数函数定义域为R .∵此问题以年作为时间单位．∴此函数的定义域是{x |x ∈N *}．(3)y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x .∵1＋1%>1,13.56>0，∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x 是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．22．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x <550时，P ＝60－0.02·(x －100)＝62－x 50；当x ≥550时，P ＝51.所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0<x ≤10062－x 50，100<x <550，51，x ≥550(x ∈N )．(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ， 0<x ≤10022x －x 250，100<x <550，11x ，x ≥550(x ∈N )． 当x ＝500时，L ＝6000；当x ＝1000时，L ＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．。
高一数学人教A版必修1单元检测第三章 函数的应用 (1) Word版含解析
数学人教必修第三章 函数的应用单元检测 (时间：分钟，满分：分) 一、选择题(每小题分，共分) ．函数()＝－的零点个数为( ) ． ． ． ．或 ．实数，，是图象连续不断的函数＝()定义域中的三个数，且满足＜＜，()·()＜，()·()＜，则函数＝()在区间(，)上零点的个数为( ) ．个 ．奇数个 ．个 ．至少个
．已知函数的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中(小时)表示达到打字水平(字分)所需的学习时间，表示打字速度(字分)，则按此曲线要达到字分的水平，所需的学习时间是( ) ．小时 ．小时 ．小时 ．小时 ．某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的倍，那么该工厂一年中的月平均增长率是( )
． ． ． ． ．在 浓度为的盐水中，加入 浓度为的盐水，浓度变为，则与的函数关系式为( ) ． ．
． ． ．已知＜＜，则方程＝的实根个数是( ) ． ． ． ．与值有关 ．已知()＝(－)(－)－，并且α，β是方程()＝的两个实数根，则实数α，β，，的大小关系可能是( ) ．α＜＜＜β ．＜α＜β＜ ．＜α＜＜β ．α＜＜β＜ ．若函数()的零点与()＝＋－的零点之差的绝对值不超过，则()可以是( ) ．()＝－ ．()＝(－)
．()＝－ ． 二、填空题(每小题分，共分) ．若函数＝－－只有一个零点，则实数的值为． ．若函数()＝ ＋－，方程()＝的近似解在区间(，＋)，∈，则＝. ．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过元，不予以折扣； ②如一次购物超过元，但不超过元，按标价予以九折优惠； ③如一次购物超过元的，其中元给予九折优惠，超过元的给予八五折优惠． 某人两次去购物，分别付款元和元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款． 三、解答题(共分) ．(分)()求函数()＝－－＋的零点； ()设函数()＝－－，其中∈，当＞时，判断函数()在区间(，)内是否存在零点． ．(分)在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米时)是车流密度(单位：辆千米)的函数．当桥上的车流密度达到辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆千米时，车流速度为千米时．研究表明：当≤≤时，车流速度是车流密度的一次函数． ()当≤≤时，求函数()的表达式； ()当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆时)()＝·()可以达到最大，并求出最大值．(精确到辆时) ．(分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为万元和万元，它们
高中数学(人教版A版必修一)配套单元检测：第三章 函数的应用 章末检测B Word版含解析
章末检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于()A．1 B．2C．3 D．42．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为() A．每个110元B．每个105元C．每个100元D．每个95元3．今有一组实验数据如下表，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A.y＝log2t12C．y＝t2－12D．y＝2t－24．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是()A．413.7元B．513.7元C．548.7元D．546.6元5．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为()A ．(－235，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[－235，1]D ．(－∞，－235]6．设f(x)是区间[a ，b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a ，b]( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一实根7．方程x 2－(2－a)x ＋5－a ＝0的两根都大于2，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<－2B ．－5<a<－2C ．－5<a ≤－4D ．a>4或a<－48．四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x 的关系分别是：f 1(x)＝12x ，f 2(x)＝14x ，f 3(x)＝log 2(x ＋1)，f 4(x)＝log 8(x ＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )A ．f 1(x)＝12xB ．f 2(x)＝14xC ．f 3(x)＝log 2(x ＋1)D ．f 4(x)＝log 8(x ＋1)9．函数f(x)＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)10．已知f(x)＝(x －a)(x －b)－2的两个零点分别为α，β，则( ) A ．a<α<b<β B ．α<a<b<β C ．a<α<β<bD ．α<a<β<b11．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f(x ＋1x ＋4)的所有x 之和为( )A ．－92B ．－72C ．－8D ．812．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快； ②前5分钟温度增加的速度越来越慢； ③5分钟以后温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变． 其中正确的说法是( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x (x>0)3x (x ≤0)，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______________．14．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m ，长与宽的和为20m ，则仓库容积的最大值为________．15．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x－1， x>0，－x 2－2x ，x ≤0.若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实数m 的取值范围为________．16．若曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．18．(12分)(1)已知f(x)＝23x－1＋m是奇函数，求常数m的值；(2)画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？19．(12分)某出版公司为一本畅销书定价如下：C(n)＝⎩⎨⎧12n ，1≤n ≤24，n ∈N *，11n ，25≤n ≤48，n ∈N *，10n ，n ≥49，n ∈N *，这里n 表示定购书的数量，C (n )是定购n本书所付的钱数(单位：元)．若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？20．(12分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．21．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．22．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；③每户每月的定额损耗费a不超过5元．(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：并求m，n，a的值．章末检测(B)1．A[在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．]2．D [设售价为x 元，则利润y ＝[400－20(x －90)](x －80)＝20(110－x )(x －80) ＝－20(x 2－190x ＋8800) ＝－20(x －95)2＋4500.∴当x ＝95时，y 最大为4500元．]3．C [当t ＝4时，y ＝log 24＝2，y ＝12log 4＝－2，y ＝42－12＝7.5，y ＝2×4－2＝6.所以y ＝t 2－12适合，当t ＝1.99代入A 、B 、C 、D4个选项，y ＝t 2－12的值与表中的1.5接近，故选C.]4．D [购物超过200元，至少付款200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额是168＋4230.9＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．]5．C [令f (x )＝x 2＋ax －2，则f (0)＝－2<0， ∴要使f (x )在[1,5]上与x 轴有交点，则需要 ⎩⎨⎧ f (1)≤0f (5)≥0，即⎩⎨⎧a －1≤023＋5a ≥0，解得－235≤a ≤1.] 6．D [∵f (a )·f (b )<0，∴f (x )在区间[a ，b ]上存在零点，又∵f (x )在[a ，b ]上是单调函数，∴f (x )在区间[a ，b ]上的零点唯一，即f (x )＝0在[a ，b ]上必有唯一实根．]7．C[由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥02－a2>2f (2)>0，解得－5<a ≤－4.]8．B [在同一坐标系下画出四个函数的图象，由图象可知f 2(x )＝14x 增长的最快．]9．B [f (2)＝ln2－22＝ln2－1<1－1＝0，f (3)＝ln3－23>1－23＝13>0.故零点所在区间为(2,3)．]10．B [设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )是由g (x )的图象向下平移2个单位得到的，而g (x )的两个零点为a ，b ，f (x )的两个零点为α，β，结合图象可得α<a <b <β.]11．C [∵x >0时f (x )单调且为偶函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|，即2x (x ＋4)＝±(x ＋1)．∴2x 2＋9x ＋1＝0或2x 2＋7x －1＝0. ∴共有四根．∵x 1＋x 2＝－92，x 3＋x 4＝－72， ∴所有x 之和为－92＋(－72)＝－8.]12．B [因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当t 增加一个单位增量Δt ，则y 随相应的增量Δy 越来越小，而5分钟后y 关于t 的增量保持为0.故选B.]13．(1，＋∞)解析 由f (x )＋x －a ＝0， 得f (x )＝a －x ，令y ＝f (x )，y ＝a －x ，如图，当a >1时，y ＝f (x )与y ＝a －x 有且只有一个交点， ∴a >1. 14．300m 3解析 设长为x m ，则宽为(20－x )m ，仓库的容积为V ， 则V ＝x (20－x )·3＝－3x 2＋60x,0<x <20，由二次函数的图象知，顶点的纵坐标为V 的最大值． ∴x ＝10时，V 最大＝300(m 3)．15．(0,1)解析 函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1， x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，该函数的图象与直线y ＝m 有三个交点时m ∈(0,1)，此时函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．16．[－1,1]解析 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件为b ∈[－1,1]．17．解 令f (x )＝4x 3＋x －15， ∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1,2]上都为增函数． ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数，∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0，f (2)＝4×8＋2－15＝19>0， ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解． 18．解 (1)∵f (x )＝23x－1＋m 是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴23－x －1＋m ＝－23x －1－m . ∴2·3x 1－3x ＋m ＝21－3x －m ， ∴2(3x －1)1－3x ＋2m ＝0.∴－2＋2m ＝0，∴m ＝1.(2)作出直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象，如图．①当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；②当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；③当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．19．解 设甲买n 本书，则乙买(60－n )本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，则n ≤30，n ∈N *.①当1≤n ≤11且n ∈N *时，49≤60－n ≤59，出版公司赚的钱数f (n )＝12n ＋10(60－n )－5×60＝2n ＋300；②当12≤n ≤24且n ∈N *时，36≤60－n ≤48，出版公司赚的钱数f (n )＝12n ＋11(60－n )－5×60＝n ＋360；③当25≤n ≤30且n ∈N *时，30≤60－n ≤35，出版公司赚的钱数f (n )＝11×60－5×60＝360.∴f (n )＝⎩⎨⎧ 2n ＋300， 1≤n ≤11，n ∈N *，n ＋360，12≤n ≤24，n ∈N *，360，25≤n ≤30，n ∈N *.∴当1≤n ≤11时，302≤f (n )≤322；当12≤n ≤24时，372≤f (n )≤384；当25≤n ≤30时，f (n )＝360. 故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元．20．解 若实数a 满足条件，则只需f (－1)f (3)≤0即可．f (－1)f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得，x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ∈(－∞，－15)∪(1，＋∞)．21．解 当a ＝0时，函数为f (x )＝2x －3，其零点x ＝32不在区间[－1,1]上．当a ≠0时，函数f (x )在区间[－1,1]分为两种情况：①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：⎩⎨⎧ Δ＝4－8a (－3－a )≥0f (－1)·f (1)＝(a －5)(a －1)≤0 或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－8a (－3－a )＝0－1≤－12a ≤1， 解得1≤a ≤5或a ＝－3－72. ②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0－1<－12a <1f (－1)f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a <1(a －5)(a －1)≥0.解得a ≥5或a <－3－72.综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a 的取值范围为(－∞，－3－72]∪[1，＋∞)． 22．解 (1)依题意，得y ＝⎩⎨⎧ 9＋a ，0<x ≤m ， ①9＋n (x －m )＋a ，x >m .②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝17和⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝23分别代入②， 得⎩⎨⎧ 17＝9＋n (4－m )＋a ， ③23＝9＋n (5－m )＋a .④ ③－④，得n ＝6.代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16.又三月份用水量为2.5立方米，若m <2.5，将⎩⎨⎧ x ＝2.5，y ＝11代入②，得a ＝6m －13， 这与a ＝6m －16矛盾．∴m ≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量． 将⎩⎨⎧ x ＝2.5，y ＝11代入①，得11＝9＋a ， 由⎩⎨⎧ a ＝6m －16，11＝9＋a ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，m ＝3.∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.。
高中数学 第三章 函数的应用单元测试 新人教A版必修1(2021年整理)
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第三章 函数的应用一、选择题1 若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A 若0)()(>b f a f ,不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ;B 若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ;C 若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D 若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；2 方程0lg =-x x 根的个数为（ ）A 无穷多B 3C 1D 03 若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为( ） A 23 B 32C 3D 314 函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ )A 41B 1-C 4D 4-5 设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间( ）A (1,1.25)B (1.25,1.5)C (1.5,2)D 不能确定6 直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（ ）A 4个B 3个C 2个D 1个7 若方程0x a x a --=有两个实数解,则a 的取值范围是（ ）A (1,)+∞B (0,1)C (0,2)D (0,)+∞二、填空题1 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为%x ，2005年底世界人口为y 亿,那么y 与x 的函数关系式为2 942--=a a x y 是偶函数,且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是3 函数12(0.58)x y -=-的定义域是4 已知函数2()1f x x =-,则函数(1)f x -的零点是__________5 函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数,则实数m =______三、解答题1 利用函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个实数根:①01272=++x x ；②0)2lg(2=--x x ;③0133=--x x ； ④0ln 31=--x x2 借助计算器,用二分法求出x x 32)62ln(=++在区间(1,2)内的近似解（精确到0.1）3 证明函数()2f x x =+在[2,)-+∞上是增函数4 某电器公司生产A种型号的家庭电脑，2005年平均每台电脑的成本5000元,并以纯利润2%标定出厂价2010年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低 2015年平均每台电脑出厂价仅是2005年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率①2015年的每台电脑成本；②以2005年的生产成本为基数，用“二分法”求2005年至2015年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）参考答案一、选择题1 C 对于A 选项:可能存在；对于B 选项:必存在但不一定唯一2 C 作出123lg ,3,10xy x y x y ==-=的图象，23,y x y x =-=交点横坐标为32,而123232x x +=⨯=3 D 作出12lg ,y x y x ==的图象，发现它们没有交点4 C 21,y x =]2,21[是函数的递减区间，max 12|4x y y ===5 B ()()1.5 1.250f f ⋅<6 A 作出图象,发现有4个交点7 A 作出图象，发现当1a >时，函数x y a =与函数y x a =+有2个交点二、填空题1 1354.8(1%)y x =+ 增长率类型题目2 1,3,5或1- 249a a --应为负偶数，即22*49(2)132,()a a a k k N --=--=-∈，2(2)132,a k -=-当2k =时，5a =或1-；当6k =时，3a =或13 (3,)-+∞ 30.580,0.50.5,3x x x -->><-4 0,2 22(1)(1)120,0,f x x x x x -=--=-==或2x =5 2 2211230m m m m ⎧--=⎪⎨--<⎪⎩,得2m =三、解答题1 解：作出图象2 解：略3 证明：任取12,[2,)x x ∈-+∞，且12x x <，则1212()()22f x f x x x -=++==因为120x x -<>，得12()()f x f x <所以函数()f x =[2,)-+∞上是增函数 4 解:略。
数学必修Ⅰ人教新课标A版第三章函数的应用综合测评
7．函数f(x)＝ 的零点个数为()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解析】∵函数f(x)＝ 的零点个数即为f(x)＝0的根的个数，
∴f(x)＝ ＝0，即(x－1)ln(－x)＝0，
∴x－1＝0或ln(－x)＝0，∴x＝1或x＝－1，
∵ 解得x＜0，∵函数f(x)的定义域为{x|x＜0}，∴x＝－1，即方程f(x)＝0只有一个根，∴函数f(x)＝ 的零点个数为1个．故选A.
A．2B．4
C．6D．8
【解析】令f(a)＝x，则f[f(a)]＝ 变形为f(x)＝ ；
当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋1＝ ，解得x1＝1＋ ，x2＝1－ ；
∵f(x)为偶函数，∴当x＜0时，f(x)＝ 的解为x3＝－1－ ，x4＝－1＋ ；
综上所述，f(a)＝1＋ ，1－ ，－1－ ，－1＋ ；
【答案】C
9．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是()
A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
【解析】A：与直线y＝2交点是(0,2)，不符合题意，故不正确；
B：与直线y＝2无交点，不符合题意，故不正确；
C：与直线y＝2在区间(0，＋∞)上有交点，不符合题意，故不正确；
D：与直线y＝2在(－∞，0)上有交点，故正确．故选D.
高中数学(人教版A版必修一)配套单元检测：第三章 函数的应用 章末检测B Word版含解析
章末检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于()A．1 B．2C．3 D．42．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为() A．每个110元B．每个105元C．每个100元D．每个95元3．今有一组实验数据如下表，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A.y＝log2t12C．y＝t2－12D．y＝2t－24．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是()A．413.7元B．513.7元C．548.7元D．546.6元5．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为()A ．(－235，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[－235，1]D ．(－∞，－235]6．设f(x)是区间[a ，b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a ，b]( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一实根7．方程x 2－(2－a)x ＋5－a ＝0的两根都大于2，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<－2B ．－5<a<－2C ．－5<a ≤－4D ．a>4或a<－48．四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x 的关系分别是：f 1(x)＝12x ，f 2(x)＝14x ，f 3(x)＝log 2(x ＋1)，f 4(x)＝log 8(x ＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )A ．f 1(x)＝12xB ．f 2(x)＝14xC ．f 3(x)＝log 2(x ＋1)D ．f 4(x)＝log 8(x ＋1)9．函数f(x)＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)10．已知f(x)＝(x －a)(x －b)－2的两个零点分别为α，β，则( ) A ．a<α<b<β B ．α<a<b<β C ．a<α<β<bD ．α<a<β<b11．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f(x ＋1x ＋4)的所有x 之和为( )A ．－92B ．－72C ．－8D ．812．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快； ②前5分钟温度增加的速度越来越慢； ③5分钟以后温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变． 其中正确的说法是( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x (x>0)3x (x ≤0)，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______________．14．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m ，长与宽的和为20m ，则仓库容积的最大值为________．15．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x－1， x>0，－x 2－2x ，x ≤0.若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实数m 的取值范围为________．16．若曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．18．(12分)(1)已知f(x)＝23x－1＋m是奇函数，求常数m的值；(2)画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？19．(12分)某出版公司为一本畅销书定价如下：C(n)＝⎩⎨⎧12n ，1≤n ≤24，n ∈N *，11n ，25≤n ≤48，n ∈N *，10n ，n ≥49，n ∈N *，这里n 表示定购书的数量，C (n )是定购n本书所付的钱数(单位：元)．若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？20．(12分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．21．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．22．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；③每户每月的定额损耗费a不超过5元．(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：并求m，n，a的值．章末检测(B)1．A[在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．] 2．D [设售价为x 元，则利润y ＝[400－20(x －90)](x －80)＝20(110－x )(x －80) ＝－20(x 2－190x ＋8800) ＝－20(x －95)2＋4500.∴当x ＝95时，y 最大为4500元．]3．C [当t ＝4时，y ＝log 24＝2，y ＝12log 4＝－2，y ＝42－12＝7.5，y ＝2×4－2＝6.所以y ＝t 2－12适合，当t ＝1.99代入A 、B 、C 、D4个选项，y ＝t 2－12的值与表中的1.5接近，故选C.]4．D [购物超过200元，至少付款200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额是168＋4230.9＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．]5．C [令f (x )＝x 2＋ax －2，则f (0)＝－2<0， ∴要使f (x )在[1,5]上与x 轴有交点，则需要 ⎩⎨⎧ f (1)≤0f (5)≥0，即⎩⎨⎧a －1≤023＋5a ≥0，解得－235≤a ≤1.] 6．D [∵f (a )·f (b )<0，∴f (x )在区间[a ，b ]上存在零点，又∵f (x )在[a ，b ]上是单调函数，∴f (x )在区间[a ，b ]上的零点唯一，即f (x )＝0在[a ，b ]上必有唯一实根．]7．C[由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥02－a2>2f (2)>0，解得－5<a ≤－4.]8．B [在同一坐标系下画出四个函数的图象，由图象可知f 2(x )＝14x 增长的最快．]9．B [f (2)＝ln2－22＝ln2－1<1－1＝0，f (3)＝ln3－23>1－23＝13>0.故零点所在区间为(2,3)．]10．B [设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )是由g (x )的图象向下平移2个单位得到的，而g (x )的两个零点为a ，b ，f (x )的两个零点为α，β，结合图象可得α<a <b <β.]11．C [∵x >0时f (x )单调且为偶函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|，即2x (x ＋4)＝±(x ＋1)．∴2x 2＋9x ＋1＝0或2x 2＋7x －1＝0. ∴共有四根．∵x 1＋x 2＝－92，x 3＋x 4＝－72， ∴所有x 之和为－92＋(－72)＝－8.]12．B [因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当t 增加一个单位增量Δt ，则y 随相应的增量Δy 越来越小，而5分钟后y 关于t 的增量保持为0.故选B.]13．(1，＋∞)解析 由f (x )＋x －a ＝0， 得f (x )＝a －x ，令y ＝f (x )，y ＝a －x ，如图，当a >1时，y ＝f (x )与y ＝a －x 有且只有一个交点， ∴a >1. 14．300m 3解析 设长为x m ，则宽为(20－x )m ，仓库的容积为V ， 则V ＝x (20－x )·3＝－3x 2＋60x,0<x <20，由二次函数的图象知，顶点的纵坐标为V 的最大值． ∴x ＝10时，V 最大＝300(m 3)． 15．(0,1)解析 函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1， x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，该函数的图象与直线y ＝m 有三个交点时m ∈(0,1)，此时函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．16．[－1,1]解析 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件为b ∈[－1,1]．17．解 令f (x )＝4x 3＋x －15， ∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1,2]上都为增函数． ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数，∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0，f (2)＝4×8＋2－15＝19>0， ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解．18．解 (1)∵f (x )＝23x－1＋m 是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴23－x－1＋m ＝－23x －1－m . ∴2·3x 1－3x ＋m ＝21－3x－m ， ∴2(3x －1)1－3x＋2m ＝0. ∴－2＋2m ＝0，∴m ＝1.(2)作出直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象，如图．①当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；②当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；③当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．19．解 设甲买n 本书，则乙买(60－n )本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，则n ≤30，n ∈N *.①当1≤n ≤11且n ∈N *时，49≤60－n ≤59，出版公司赚的钱数f (n )＝12n ＋10(60－n )－5×60＝2n ＋300；②当12≤n ≤24且n ∈N *时，36≤60－n ≤48，出版公司赚的钱数f (n )＝12n ＋11(60－n )－5×60＝n ＋360；③当25≤n ≤30且n ∈N *时，30≤60－n ≤35，出版公司赚的钱数f (n )＝11×60－5×60＝360.∴f (n )＝⎩⎨⎧ 2n ＋300， 1≤n ≤11，n ∈N *，n ＋360，12≤n ≤24，n ∈N *，360，25≤n ≤30，n ∈N *.∴当1≤n ≤11时，302≤f (n )≤322；当12≤n ≤24时，372≤f (n )≤384；当25≤n ≤30时，f (n )＝360.故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元．20．解 若实数a 满足条件，则只需f (－1)f (3)≤0即可．f (－1)f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得，x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ∈(－∞，－15)∪(1，＋∞)．21．解 当a ＝0时，函数为f (x )＝2x －3，其零点x ＝32不在区间[－1,1]上．当a ≠0时，函数f (x )在区间[－1,1]分为两种情况：①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：⎩⎨⎧ Δ＝4－8a (－3－a )≥0f (－1)·f (1)＝(a －5)(a －1)≤0 或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－8a (－3－a )＝0－1≤－12a ≤1，解得1≤a ≤5或a ＝－3－72. ②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0－1<－12a <1f (－1)f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a <1(a －5)(a －1)≥0.解得a ≥5或a <－3－72. 综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a 的取值范围为(－∞，－3－72]∪[1，＋∞)． 22．解 (1)依题意，得y ＝⎩⎨⎧ 9＋a ，0<x ≤m ， ①9＋n (x －m )＋a ，x >m .②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝17和⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝23分别代入②， 得⎩⎨⎧ 17＝9＋n (4－m )＋a ， ③23＝9＋n (5－m )＋a .④③－④，得n ＝6.代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16.又三月份用水量为2.5立方米，若m <2.5，将⎩⎨⎧ x ＝2.5，y ＝11代入②，得a ＝6m －13， 这与a ＝6m －16矛盾．∴m ≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量． 将⎩⎨⎧x ＝2.5，y ＝11代入①，得11＝9＋a ，由⎩⎨⎧ a ＝6m －16，11＝9＋a ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，m ＝3.∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.。
高中数学(人教版A版必修一)配套单元检测：第三章 函数的应用 章末检测A
章末检测(A)(时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0) B．－1 C．1 D．02．设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)3．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为()A.PP－1B.11P－1C.11P D.P－1114．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A．①③B．②④C．①②D．③④5．如图1，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l∶x ＝t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S＝f(t)的图象大致为图中的()图16．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为()A．y＝c－ac－bx B．y＝c－ab－cxC．y＝c－bc－ax D．y＝b－cc－ax7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是()(下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38)A．38% B．41%C．44% D．73%8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－1200Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)()A．250300 B．200300C．250350 D．2003509．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x、y)() A．y＝a＋bx B．y＝a＋b xC．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x10．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？() A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数11．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421875,0.6253＝0.24414)()A．0.25 B．0.375C．0.635 D．0.82512．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．19 B．20C．21 D．22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．14．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．15．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为________________万元．16．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x的取值范围．(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．18．(12分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃后强度为y.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg3≈0.4771)19．(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝ka t(t≥1，a>0，且k，a是常数)的图象．(1)写出服药后y关于t的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?20．(12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3，(1)求f(x)的解析式；(2)判断函数g(x)＝－1＋lg f2(x)在区间[0,9]上零点的个数．21．(12分)截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿．(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．22．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)章末检测(A )1．B [由1＋1x ＝0，得1x ＝－1，∴x ＝－1.] 2．B [由题意x 0为方程x 3＝(12)x －2的根， 令f (x )＝x 3－22－x ，∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0， ∴x 0∈(1,2)．]3．B [设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11，∴x ＝11P －1.]4．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．] 5．C [解析式为S ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ·2t (0≤t ≤1)12×1×2＋(t －1)×2(1<t ≤2)＝⎩⎨⎧t 2 (0≤t ≤1)2t －1(1<t ≤2) ∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．]6．B [根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －ab －cx .] 7．B [设职工原工资为p ，平均增长率为x ， 则p (1＋x )6＝8p ，x ＝68－1＝2－1＝41%.] 8．A [L (Q )＝4Q －1200Q 2－Q －200＝－1200(Q －300)2＋250，故总利润L (Q )的最大值是250万元，这时产品的生产数量为300.]9．B [∵x ＝0时，bx 无意义，∴D 不成立． 由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快， ∴A 不成立． ∵C 是偶函数，∴x ＝±1的值应该相等，故C 不成立． 对于B ，当x ＝0时，y ＝1， ∴a ＋1＝1，a ＝0；当x ＝1时，y ＝b ＝2.02，经验证它与各数据比较接近．]10．B [可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2，10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．]11．C [令f (x )＝2x 3＋3x －3，f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0，∴方程2x 3＋3x －3＝0的根在区间(0.625,0.75)内， ∵0.75－0.625＝0.125<0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．] 12．C [操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，∴n ≥21.] 13．(0,0.5) 0.25解析 根据函数零点的存在性定理． ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点， 即0＋0.52＝0.25.14．(1，＋∞)解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a >1.15．a (1－b %)n解析 第一年后这批设备的价值为a (1－b %)；第二年后这批设备的价值为a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2； 故第n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n . 16．(0,1]解析 设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2－2x ＋b ＝0的两正根，则有⎩⎨⎧Δ≥0x 1＋x 2＝2>0x 1x 2＝b >0，即⎩⎨⎧4－4b ≥0b >0.解得0<b ≤1.17．解 (1)依题意得y ＝5x ＋10(1200－x ) ＝－5x ＋12000，0≤x ≤1200. (2)∵1200×65%≤x ≤1200×85%， 解得780≤x ≤1020，而y ＝－5x ＋12000在[780,1 020]上为减函数， ∴－5×1020＋12000≤y ≤－5×780＋12000. 即6900≤y ≤8100，∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]． 18．解 (1)依题意：y ＝a ·0.9x ，x ∈N *. (2)依题意：y ≤13a ，即：a ·0.9x ≤a 3，0.9x ≤13＝0.91log 30.9，得x ≥log 0.913＝－lg32lg3－1≈－0.47710.9542－1≈10.42.答 通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下．19．解 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，⎩⎨⎧ka ＝8，ka 7＝1.∴⎩⎨⎧a ＝22，k ＝8 2.∴y ＝⎩⎨⎧8t ， 0≤t <1，82(22)t，t ≥1.(2)令82·(22)t ≥2，解得t ≤5.∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药． (3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1＝82×(22)8＝22(微克)；含第二次服药后药量为y 2＝82×(22)3＝4(微克)，y 1＋y 2＝22＋4≈4.7(微克)．故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．20．解 (1)令f (x )＝ax ＋b ，由已知条件得⎩⎨⎧a ＋b ＝22a ＋b ＝3，解得a ＝b ＝1， 所以f (x )＝x ＋1(x ∈R )．(2)∵g (x )＝－1＋lg f 2(x )＝－1＋lg (x ＋1)2在区间[0,9]上为增函数，且g (0)＝－1<0，g (9)＝－1＋lg102＝1>0，∴函数g (x )在区间[0,9]上零点的个数为1个．21．解 (1)2009年底人口数：13.56亿．经过1年，2010年底人口数：13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)．经过2年，2011年底人口数：13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1%＝13.56×(1＋1%)2(亿)．经过3年，2012年底人口数：13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%＝13.56×(1＋1%)3(亿)．∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x 年后人口数为13.56×(1＋1%)x (亿)．∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x .(2)理论上指数函数定义域为R .∵此问题以年作为时间单位．∴此函数的定义域是{x |x ∈N *}．(3)y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x .∵1＋1%>1,13.56>0，∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x 是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．22．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x <550时，P ＝60－0.02·(x －100)＝62－x 50；当x ≥550时，P ＝51.所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0<x ≤10062－x 50，100<x <550，51，x ≥550(x ∈N )．(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ， 0<x ≤10022x －x 250，100<x <550，11x ，x ≥550(x ∈N )．当x ＝500时，L ＝6000；当x ＝1000时，L ＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元． 小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
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第三章单元综合测试
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
2．函数y＝1＋1x的零点是( )
A．(－1,0) B．－1
C．1 D．0
3．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是
( )
4．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)
＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．无法判断 D．等于零
5．函数f(x)＝ex－1x的零点所在的区间是( )
A．(0，12) B．(12，1)
C．(1，32) D．(32，2)
6．方程log12x＝2x－1的实根个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无穷多个
7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－
11x＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量
x
等于( )
A．55台 B．120台
C．150台 D．180台
8．已知α是函数f(x)的一个零点，且x1<α
C．f(x1)f(x2)≥0 D．以上答案都不对
9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：
每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，
某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水( )
A．10吨 B．13吨
C．11吨 D．9吨
10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越
快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)
的函数关系图象为( )
11．函数f(x)＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，则( )
A．k＝0 B．k>1
C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0
12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4
…
y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0
10.55
6
…
y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根所在区间为( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点
x
1
＝3，则下一个有根区间是__________．
14．已知函数f(x)＝ax2－bx＋1的零点为－12，13，则a＝__________，b＝
__________.
图1
15．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为
定值l，则这块场地面积y与场地一边长x的关系为________．
16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含
杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场
要求？(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝
2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
18．(12分)求方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解(精确度0.1)．
19．(12分)要挖一个面积为800 m2的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2
m的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．
20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为
P
和Q(万元)，这两项利润与投入的资金x(万元)的关系是P＝x3，Q＝103x，该集
团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x万元，获得
总利润y(万元)，写出y关于x的函数关系式及其定义域．
．
21.近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量
达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年
递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006
年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率
保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少
于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多
少（结果精确到0.1%）？