回溯算法的一些实现
第5章 回溯法
教学要求
回溯
了解回溯算法的概念与回溯设计要领 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、 数码串珠以及情侣拍照等典型案例
本章重点
理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Back track method）有“通用解题法”之美 称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
4. 4皇后问题的回溯举例
如何在4×4的方格棋盘上放置4个皇后，使它们互不攻击:
4皇后问题回溯描述
i=1;a[i]=1; while
(1) { g=1;for(k=i-1;k>=1;k--) if(a[i]=a[k] || abs(a[i]-a[k])=i-k) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回 if(g && i==4) printf(a[1：4]); // 输出一个解 if(i<4 && g) {i++;a[i]=1;continue;} while(a[i]==4 && i>1) i--; // 向前回溯 if(a[i]==4 && i==1) break; //退出循环结束探索 else a[i]=a[i]+1; }
（2） 回溯描述 对于一般含参量m,n的搜索问题,输入正整数n,m,(n≥m) i=1;a[i]=<元素初值>; while (1) {for(g=1,k=i-1;k>=1;k--) if( <约束条件1> ) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回 if(g && <约束条件2>) printf(a[1：m]); // 输出解 if(i<n && g) {i++;a[i]=<取值点>;continue;} while(a[i]=<回溯点> && i>1) i--; // 向前回溯 if(a[i]==n && i==1) break; // 退出循环，结束 else a[i]=a[i]+1; }
回溯法_ppt课件
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
第5章回溯法PPT课件
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1， x2，…，xj）为前缀的任何n元组
（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后，要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言，我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解，因此，我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
回溯算法（一）
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么？
为什么回溯？
怎样回溯？
What
Why
How
一、回溯的概念
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束，显然，其计算量是相当大的。
算法设计中的回溯与分支限界
算法设计中的回溯与分支限界在算法设计中，回溯（backtracking）和分支限界（branch and bound）是两个重要的技术手段。
它们在解决一些求解最优化问题或搜索问题时具有广泛的应用。
本文将介绍回溯和分支限界的基本概念、原理和应用，并探讨它们在算法设计中的意义和作用。
一、回溯算法回溯算法是一种穷举搜索算法，通过遍历问题的解空间来求解问题。
其基本思想是从初始解开始，逐步地扩展解的空间，直到找到满足问题要求的解。
如果扩展到某一步时发现无法继续扩展，那么就回溯到上一步，并继续向其他可能的解空间进行扩展。
回溯算法通常使用递归的方式实现。
回溯算法的应用非常广泛，适用于求解组合优化、满足约束条件的问题，例如八皇后问题、0-1背包问题、图的哈密顿路径等。
回溯算法虽然简单直观，但由于其穷举搜索的性质，时间复杂度较高，因此在面对问题规模较大时不一定是最优的选择。
二、分支限界算法分支限界算法是一种在解空间中搜索最优解的算法。
它通过在搜索过程中设定上、下界限制来避免对无效解的搜索，从而提高搜索效率。
分支限界算法通常使用优先队列（priority queue）来存储待扩展的节点，并按照一定的优先级进行扩展，每次选择优先级最高的节点进行扩展。
在扩展过程中，通过修剪（pruning）无效解的策略，可以进一步提高搜索效率。
分支限界算法的应用范围广泛，适用于求解组合优化问题、图论问题等。
通过合理的界限设定和剪枝策略，分支限界算法能够大幅减少搜索空间，提高求解效率。
但需要注意的是，分支限界算法并不能保证一定能够找到最优解，只能保证找到满足要求的解。
三、回溯与分支限界的比较回溯算法和分支限界算法都是基于搜索的算法，二者都可以求解组合优化问题和搜索问题。
回溯算法在搜索过程中对解空间进行穷举，而分支限界算法通过设定界限和剪枝策略来减少搜索空间。
因此，相较于回溯算法，分支限界算法具有更高的搜索效率。
然而，回溯算法也有其优点。
深度优先搜索与回溯算法
深度优先搜索与回溯算法深度优先（Depth First Search，简称DFS）和回溯算法是两种常见的算法，它们可以用来解决图和树相关的问题。
尽管它们在一些情况下可能无法找到最优解，但在许多实际应用中都有着广泛的应用。
深度优先是一种常用的遍历算法，其基本原理是从起始节点开始，沿着图的深度遍历到达最深处，然后回溯到上一层节点，继续遍历其他子节点直到所有节点都被访问过为止。
DFS可以用递归或者栈来实现。
在深度优先中，每个节点只能访问一次，避免陷入死循环。
通常，我们需要维护一个访问过的节点列表，以确保不会重复访问。
深度优先的时间复杂度为O(，V，+，E，)，其中，V，表示图中节点的数量，E，表示边的数量。
在最坏的情况下，DFS需要遍历图中的所有节点和边。
深度优先的一个经典应用是在图中查找特定路径。
它也被广泛应用于迷宫问题、拓扑排序、连通性问题等。
回溯算法是一种通过枚举所有可能解的方法来解决问题的算法。
在过程中，如果当前路径无法达到目标，就返回上一层，寻找另一种可能的路径。
回溯算法通常使用递归来实现。
回溯算法通常包含三个步骤：1.选择：在当前节点选择一个可行的选项，并向前进入下一层节点。
2.约束：在进入下一层之前，检查当前节点的状态是否符合要求，即剪枝操作。
3.撤销选择：在下一层节点完毕后，返回上一层节点，撤销当前选择。
通过不断地进行选择、约束和撤销选择，回溯算法可以遍历所有可能的解空间，并找到满足条件的解。
回溯算法的时间复杂度取决于问题的规模和约束条件。
在最坏的情况下，回溯算法需要遍历所有的可能解，因此时间复杂度可以达到指数级。
回溯算法的一个经典应用是在数独游戏中寻找解。
它也被广泛应用于组合优化问题、八皇后问题、0-1背包问题等。
总结起来，深度优先和回溯算法是两种常用的算法，它们在图和树的遍历以及问题求解中有着广泛的应用。
深度优先通过遍历到达最深处再回溯，而回溯算法则是通过枚举所有可能解并进行剪枝来寻找解。
回溯算法
刚才的方法为生成皇后的摆放方案再去判断是否符合 要求，效率比较低，我们能不能每摆放一个皇后就看 这个皇后摆放的位置对还是不对，这样可以节省很多 无效的搜索 procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then inc(total) else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; if pd(dep) then try(dep+1); end; end;
procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to 4 do{每个城市有四种颜色} begin a[dep]:=i; if check(dep) then search(dep+1); end; end;
主要代码： procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; search(dep+1); end; end;
program pailie(input,output); var n:integer; a:array[1..20] of integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to n do write(a[i]); writeln; end;
代码实现： procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; try(dep+1); end; end;
算法设计中的回溯思想
算法设计中的回溯思想从最初的计算机发明，到现在人工智能的飞速发展，算法设计一直是计算机技术的核心。
算法是指根据特定的计算规则，通过计算一系列数值来解决具体问题的方法，包括搜索、排序、过滤、处理等过程，而在这些过程中，回溯思想屡屡被提及。
本文将从计算机算法设计的角度，深入探讨回溯思想。
一、简述算法设计中的回溯思想在算法设计中，回溯是一种常用的解决问题的思想。
其本质是一种深度优先搜索算法。
回溯思想用于在搜索过程中，根据具体场景和实际情况，迭代地枚举每一个可能的结果，直到搜索到正确的解。
其过程包括了搜索树的深入和回溯到树枝的上层，检查还有哪些其他的解是没有被搜索到的。
为了更好地理解回溯思想，可以通过解决具体问题的例子来进行分析。
在解数独的问题中，回溯思想很常见。
在这个问题中，计算机需要找到数独的解决方案。
每个格子必须填上数字1-9 中的一个，并且每行、每列和每个 3x3 的宫格都必须包含数字1-9中的每个数字。
这些约束条件使得这个问题非常难以解决。
对于每个未填数字的格子，计算机需要尝试所有可用的数字，然后递归地探索下去，直到填完整个数独。
在填格子的过程中，如果遇到不符合规则的数字，那么回溯算法会退回到前一个格子，并更新前面已填的数字值。
这就好像是你在数独上填数字时，发现前面填的数字不对，就要擦除重填，直到达到正确的答案为止。
二、回溯思想在算法设计中的应用除了解数独外，回溯思想在算法设计中有很多其他的应用。
比如，回溯可以用来解决排列组合的问题，如最短路径、最大子序列、图的最短路径等。
这些问题的解决方法都需要枚举所有的排列组合方案，并找出最符合要求的那一种。
在回溯算法的实现过程中，一般需要利用递归来实现搜索。
随着搜索的深入，每一层递归都需要遍历所有的选择，直到找到可用的解决方案。
如果遍历完成后还没有找到解决方案，则需要回溯到上一层递归，重新选择不同的方案，继续搜索，直到找到正确的解。
回溯思想是一种非常高效和强大的算法设计思想。
算法设计与分析-回溯法
6.2.3n-皇后问题
在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。 按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上
的棋子。n皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何两个皇后不 放在同一行或同一列或同一斜线上。 编程要求：找出一个n×n格的棋盘上放置n个皇后并使其不能互相攻击的所 有方案。
输入
第一个数据是背包的容量为c（1≤c≤1500），第二个数据是物品的数量为 n（1≤n≤50）。接下来n行是物品i的重量是wi，其价值为vi。所有的数据全 部为整数，且保证输入数据中物品的总重量大于背包的容量。
当c＝0时，表示输入数据结束。 输出
对每组测试数据，输出装入背包中物品的最大价值。
输入样例
使用C++标准模板库的排序函数sort()排序：
sort(Q, Q+n, cmp);
0/1背包问题之回溯算法的实现
//形参i是回溯的深度，从0开始 void backtrack(int i) { //到达叶子结点时，更新最优值 if (i+1>n) {
bestv = cv; return; } //进入左子树搜索 if (cw+Q[i].w<=c){ cw += Q[i].w; cv += Q[i].v; backtrack(i+1); cw -= Q[i].w; cv -= Q[i].v; } //进入右子树搜索 if (Bound(i+1)>bestv) backtrack(i+1); }
6.1.3回溯法的适用条件–多米诺 （Domino）性质
算法设计与分析---回溯实验报告
《算法设计与分析》实验报告实验三回溯法3.迷宫问题一天Luna在森林里探险的时候不小心走入了一个迷宫，迷宫可以看成是由n * n的格点组成，每个格点只有2种状态，. 和#，前者表示可以通行后者表示不能通行。
同时当Luna处在某个格点时，她只能移动到东南西北(或者说上下左右)四个方向之一的相邻格点上，Luna想要从点A走到点B（不能走出迷宫）。
如果起点或者终点有一个不能通行(为#)，则看成无法办到。
[输入]第1行是测试数据的组数k，后面跟着k组输入。
每组测试数据的第1行是一个正整数n (1 <= n <= 100)，表示迷宫的规模是n * n 的。
接下来是一个n * n的矩阵，矩阵中的元素为. 或者#。
再接下来一行是4个整数ha, la, hb, lb，描述A处在第ha行, 第la列，B处在第hb 行, 第lb列。
注意到ha, la, hb, lb全部是从0开始计数的。
1.八皇后问题1.1解题思路八皇后问题的解法，很简单的解法。
通过回溯实现枚举。
对于当前行，尝试是否可在当前列放置皇后，然后进入下一行的尝试，同时尝试完毕以后，要将当前行回复（回溯），来进行下一次尝试。
到达最后一行的时候，即递归结束条件，打印结果即可。
1.2程序运行情况1.3所有的皇后解见附录。
（毕竟92个解...）1.4程序源码（含注释）2. 24点问题2.1 解题思路这题虽然使用dfs很简单，但是有一点思维在里面。
我很惭愧，自己没有想出来怎么如意的独立AC此题。
遇到的最大的问题——如何插入括号？枚举插入、和运算符一同排列都不靠谱。
解决方法是：用同等的办法转化。
每一次从待组合的是数字中，任取两个数，随机用运算符计算完毕后，再放回去。
下一次计算，再次重复这个过程，可以等价为有括号的运算方式了。
遇到第二个问题——如何实现这种“任取两个数”的选择方式。
这里就直接体现出了我个人能力的不足。
居然没想到。
尝试使用STL的set，但是没成功。
回溯算法-算法介绍
回溯算法-算法介绍回溯法1、有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满⾜某些约束条件的最佳解时，往往要使⽤回溯法。
2、回溯法的基本做法是搜索，或是⼀种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。
这种⽅法适⽤于解⼀些组合数相当⼤的问题。
3、回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任意⼀点时，先判断该结点是否包含问题的解。
如果肯定不包含（剪枝过程），则跳过对该结点为根的⼦树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进⼊该⼦树，继续按深度优先策略搜索。
问题的解空间问题的解向量：回溯法希望⼀个问题的解能够表⽰成⼀个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。
显约束：对分量xi的取值限定。
隐约束：为满⾜问题的解⽽对不同分量之间施加的约束。
解空间：对于问题的⼀个实例，解向量满⾜显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的⼀个解空间。
注意：同⼀个问题可以有多种表⽰，有些表⽰⽅法更简单，所需表⽰的状态空间更⼩（存储量少，搜索⽅法简单）。
下⾯是n=3时的0-1背包问题⽤完全⼆叉树表⽰的解空间：⽣成问题状态的基本⽅法扩展结点:⼀个正在产⽣⼉⼦的结点称为扩展结点活结点:⼀个⾃⾝已⽣成但其⼉⼦还没有全部⽣成的节点称做活结点死结点:⼀个所有⼉⼦已经产⽣的结点称做死结点深度优先的问题状态⽣成法：如果对⼀个扩展结点R，⼀旦产⽣了它的⼀个⼉⼦C，就把C当做新的扩展结点。
在完成对⼦树C（以C为根的⼦树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续⽣成R的下⼀个⼉⼦（如果存在）宽度优先的问题状态⽣成法：在⼀个扩展结点变成死结点之前，它⼀直是扩展结点回溯法：为了避免⽣成那些不可能产⽣最佳解的问题状态，要不断地利⽤限界函数(bounding function)来处死(剪枝)那些实际上不可能产⽣所需解的活结点，以减少问题的计算量。
具有限界函数的深度优先⽣成法称为回溯法。
（回溯法 = 穷举 + 剪枝）回溯法的基本思想(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先⽅式搜索解空间，并在搜索过程中⽤剪枝函数避免⽆效搜索。
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· # include int n,w[10]={0},weight,i; int bestw=0,cw=0; void backtrackloading(int i) { if (i>n) { if (cw>bestw) bestw=cw; } else { if(cw+w[i]<=weight) { cw+=w[i]; backtrackloading(i+1); cw-=w[i]; } backtrackloading(i+1); } }
int main() {
scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
scanf("%d",&weight); backtrackloading(1);
printf("%d",bestw); return 0; } # include
int n,w[10]={0},weight,i,j,r=0; int bestw=0,cw=0; ·
int main() { void improvedbackloading(int); scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
scanf("%d",&weight); for(j=2;j<=n;j++) r+=w[j];
improvedbackloading(1); printf("%d",bestw); return 0; }
void improvedbackloading(int i) { if(i>n) { if(cw>bestw) bestw=cw; } else { r=r-w[i];
if(cw+w[i]<=weight) { cw=cw+w[i]; improvedbackloading(i+1); cw=cw-w[i]; } if(cw+w[i]+r>bestw) improvedbackloading(i+1);
r=r+w[i]; } } ·
# include int n,w[10]={0},weight,i,j,r=0,x[10]={0},bestx[10]={0}; int bestw=0,cw=0;
int main() { void improvedbackloading(int); scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
scanf("%d",&weight); for(j=2;j<=n;j++) r+=w[j];
improvedbackloading(1); printf("%d\n",bestw); for(i=1;i<=n;i++) printf("%d ",bestx[i]); return 0; }
void improvedbackloading(int i) { if(i>n) { if(cw>bestw) { bestw=cw; for(j=1;j<=n;j++) bestx[j]=x[j]; } } else { r=r-w[i]; ·
if(cw+w[i]<=weight) { x[i]=1; cw=cw+w[i]; improvedbackloading(i+1); cw=cw-w[i]; } if(cw+w[i]+r>bestw) { x[i]=0; improvedbackloading(i+1); } r=r+w[i]; } } #include using namespace std; bool c[6][6]; int x[6]; int m=3; int n=5; bool ok(int k) //
{ int i; for(i = 1; i < k; i++) if((c[k][i]==1 && x[k] == x[i])) return false; return true; }
void output(int x[]) { cout<<"The feasible result is:"
for (int i=1;i<=m;i++) { x[t]=i; if (ok(t)) backtrack(t+1); x[t]=0; } } int main() { int i, j; for(i = 1; i < 5; i++) for(j = 1; j < 5; j++) c[i][j] = false; c[1][2] = true; c[1][3] = true; c[2][3] = true; c[2][4] = true; c[2][5] = true; c[3][5] = true; c[4][5] = true; c[2][1] = true; c[3][1] = true; c[3][2] = true; c[4][2] = true; c[5][2] = true; c[5][3] = true; c[5][4] = true; backtrack(1); cout << endl; return 0; }
#include using namespace std; bool c[6][6]; int x[6]; int m=3; int n=5; bool ok(int k) //
{ int i; for(i = 1; i < k; i++) ·
if((c[k][i]==1 && x[k] == x[i])) return false; return true; } void m_coloring(int n, int m) { int i, k; for(i = 1; i <= n; i++) x[i] = 0; k =1; while(k >=1) { x[k]++; while(x[k] <= m) if( ok(k)==1) break; else x[k]++; if(x[k] <= m && k==n) { for(i=1;i<=n;i++) cout } else if (x[k]<=m &&kk++; else{ x[k]=0; k--; } } } int main() { int i, j; for(i = 1; i < 5; i++) for(j = 1; j < 5; j++) c[i][j] = false; c[1][2] = true; c[1][3] = true; c[2][3] = true; c[2][4] = true; · c[2][5] = true; c[3][5] = true; c[4][5] = true; c[2][1] = true; c[3][1] = true; c[3][2] = true; c[4][2] = true; c[5][2] = true; c[5][3] = true; c[5][4] = true; m_coloring(5, 3); cout << endl; return 0; } #include #include int max; int queen[100], sum=0,sol[100]; /* max为棋盘最大坐标 */ int PLACE(int n) /* 检查当前列能否放置皇后 */ { int i; for(i = 0; i < n; i++) /* 检查横排和对角线上是否可以放置皇后 */ { if(queen[i] == queen[n] || abs(queen[i] - queen[n]) == (n - i)) { return 1; } } return 0; } void NQUEENS(int n) /* 回溯尝试皇后位置,n为横坐标 */ { int i; for(i = 0; i < max; i++) { queen[n] = i; /* 将皇后摆到当前循环到的位置 */ if(!PLACE(n)) { if(n == max - 1)