勒让德(legendre)多项式及其性质
关联勒让德函数
勒让德函数（Legendre functions）是一类特殊的数学函数，它们是勒让德微分方程的解。
勒让德函数在物理学和工程学等领域中具有广泛的应用，特别是在描述球形对称问题和电势分布中常被使用。
勒让德函数包括勒让德多项式和勒让德球谐函数两种形式。
1. 勒让德多项式（Legendre polynomials）通常表示为Pn(x)，其中n是多项式的次数。
勒让德多项式具有以下特点：
-是关于自变量x的多项式；
-是正交函数，即在一定区间上的内积为零；
-满足勒让德微分方程。
2. 勒让德球谐函数（Legendre spherical harmonics）通常表示为Ylm(θ, φ)，其中l和m 是整数，θ和φ是球坐标系中的角度。
勒让德球谐函数具有以下特点：-描述球形对称问题中的解；
-与勒让德多项式有关，也涉及球坐标系的角度。
勒让德函数可以通过递推关系、积分定义和级数展开等方式求解。
它们在物理学中的应用包括描述量子力学中的杂化原子轨道、球形边界值问题中的电势、地球的引力场等。
此外，勒让德函数还与球面谐振子、球谐函数叠加和球形天体力学等领域密切相关。
13： 第六章 勒让德多项式
（19.1.5）
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
同样若记 arc cos x ， y(x) (x)
，则上述方程也可写为下列形式的 l 阶勒让德方程
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0
dx
dx
(19.1.6)
19．1．2 勒让德多项式的表示
1. 勒让德多项式的级数表示
3cos
)
P4
(x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 64
(35 cos
4
20
cos
2
9)
P5
(x)
1 8
(63x5
70
x3
15x)
1 128
(63cos
5
35
cos
3
30
cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
4
105 cos
2
50)
我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 Pl (x)
为
[l]
Pl (x)
2
(1)k
k 0
2l
(2l k!(l
2k)!
xl2k
k)!(l 2k)!
（19.1.7）
式中
[
l] 2
l
l, 2 1 2
,
l 2n l 2n 1
(n 0,1,2, )
l 上式具有多项式的形式，故称 Pl (x) 为
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
勒让德多项式具有正交性
伯努利·巴勒·德多项式（Hermite polynomial）是一类具有独特正交性质的多项式。
这类多项式于1805年由法国数学家丹尼尔·伯努利·巴勒（Daniel Bernoulli）提出，其中最简单的为偶多项式。
伯努利·巴勒·德多项式主要应用在数学物理中，特别是在统计力学领域，也是重要的数学物理函数的基础。
普通的德多项式不具有正交性，但伯努利·巴勒·德多项式具有正交性。
伯努利·巴勒·德多项式具有两个特点：一是伯努利·巴勒·德多项式相互之间是正交关系，并且可以满足伯努利·巴勒·德多项式的正交性；二是伯努利·巴勒·德多项式的系数是递推的，即由更低阶的伯努利·巴勒·德多项式的系数递推出更高阶的伯努利·巴勒·德多项式的系数。
正交性是指在一个空间中，向量之间的正交关系，它的性质比正交多项式的正交好，正交多项式的性质只满足正交矩阵的性质，但不满足反正交多项式的正交性。
而伯努利·巴勒·德多项式的特点是可以满足反正交多项式的正交性，这类多项式在实践中已经被广泛应用，尤其在以多项式构建基础数据库方面用途术语。
伯努利·巴勒·德多项式的函数具有许多深刻的数学性质。
它的正交性和递推式可以极大地简化和确定函数的属性。
因此，正交多项式最为强大的优点之一是可以非常精确地描述和表达复杂的函数。
它可以用来预测并解决各种物理问题，其中包括量子物理和反应力学等。
从一定程度上讲，伯努利·巴勒·德多项式的函数更加准确和稳定，它具有更强硬的特性和性能。
综上所述，伯努利·巴勒·德多项式具有独特的正交性质。
它可以准确地表达复杂的函数，在实践中已经有广泛的应用，尤其是在统计力学，量子物理和反应力学等领域。
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式的微分表达式勒让德多项式的微分表达式是一个有趣的数学概念，它可以帮助我们推导出一个多项式在特定点处的导数。
与其他数学概念一样，尽管看起来可能很复杂，但当我们深入研究之后，发现它其实非常简单。
本文将探讨勒让德多项式的定义、示例以及其微分表达式的定义，并介绍其中的一些重要概念。
首先，什么是勒让德多项式？它是一种特定的数学表达式，它的形式为：f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中a0、a1、a2……an均为常数。
这种表达式很常见，它是多项式的一种特殊形式，可以用来描述一组数据的形状和走势。
它的特点是每项的指数均以x的n次方开头，这也是它得名的由来。
其次，可以看一个具体的勒让德多项式案例，如下：f(x)=(1/2)x2+4x+7。
可以看出，它包含三个指数：(1/2)x2、4x和7。
它的最大指数可以使用下面的公式求得：n=2，因此其最大次幂为2。
再次，什么是勒让德多项式的微分表达式？它可以描述一个多项式在特定点处的导数，以上面的示例来说，这个表达式是：f(x)=x2+4。
在这里，f(x)表示函数f(x)在x点处的导数。
与勒让德多项式有关的概念也同样有趣，比如最大次幂，它可以用来找出在特定点处函数的导数。
此外，还有一些重要概念与勒让德多项式有关，例如“微分指数表”，它可以用来计算特定点处函数的导数。
这里，指数表包含两个特别的操作：常数乘法微分和指数微分。
前者可以使用如下公式计算：[f(x)]=a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中a0、a1、a2……an均为常数。
而指数微分也有自己的公式：[f(x)]=a0+a1x+a2x2+…+an(xn)，其中a0、a1、a2……an均为常数。
最后，我们来看一下用勒让德多项式的微分表达式来求解特定点处函数的导数的实际案例。
假设我们的多项式为f(x)=(1/2)x2-2x+3，那么我们可以用以上公式来求出它在x=4处的导数：f(4)=2x+(-2)=2*4+(-2)=6，即该多项式在x=4处的导数为6。
勒让德多项式-6[宝典]
![勒让德多项式-6[宝典]](https://img.taocdn.com/s3/m/262a068dcfc789eb172dc8d7.png)
第一式说明了任何两个不同的勒让德多项式在区间 - 1< x < 1 上正交 .
七、勒让德多项式级数
若 f (x) 满足狄利克雷条件 , 则 f (x) 在区间 – 1 < x < 1 的每一个连续点处 , 存在一个勒让德级数展开式 , 形如
f ( x) A0 P0 ( x) A1 P1( x) A2 P2 ( x) Ak Pk ( x) , k0
P f ( x)
Ak
称 n ( x) 为勒让德 (Legendre) 多项式 .
罗巨格(Rodrigues)表达式
特别是 ,当 n =0, 1 , 2 , 3 , 4 , 时,分别有
P0 ( x) 1
P1( x) x cos
P2 ( x)
1 2
(3x2
1)
1 4
(3cos 2
1)
P3 ( x)
1 2
(5 x 3
n 为奇数
Qn( x)
k0
2n(n k)!(n k !(2n 2k
2k ) ! 1)!
x n2k1
.
n ( x) 的递推公式, 同样适合于 Qn( x) .
六、勒让德多项式的正交性
下列结果是基本的:
1
m ( x)n( x)d x 0 ,
1
mn
1
n2 ( x) d
1
x
2 2n 1
,
mn.
( x) ( )
缔合(连带)勒让德方程
上式则变化为
(1
x2
)
d d
2 x2
2x
d d
x
n(n
1)
m2 1 x2
0
若 u(r, , ) 与 无关 ，这时可简化成
高斯求积公式范文
高斯求积公式范文高斯求积公式，也称为高斯–勒让德求积公式（Gauss-Legendre Quadrature），是数值计算中一种常见的数值积分方法。
它通过选择适当的节点和权重来近似计算一个确定积分的值。
高斯求积公式的基本思想是通过选取合适的节点，使得积分节点上的函数值和求积公式的节点值与相应的权重值的乘积之和等于被积函数的积分。
要了解高斯求积公式，首先需要了解勒让德多项式（Legendre Polynomials）。
勒让德多项式是定义在区间[-1,1]上的一个连续函数系列，它们具有许多重要的性质。
其中最为重要的性质是勒让德多项式是在[-1,1]上正交的，即在区间[-1,1]上的积分为0，除非两个不同的多项式相乘。
高斯求积公式可以通过使用勒让德多项式的正交性质来推导。
假设我们要计算函数f(x)在区间[-1,1]上的积分，可以通过勒让德多项式来近似这个积分。
具体的做法是，首先选择一个适当的正整数n，计算n个勒让德多项式。
然后，在区间[-1,1]上选择n个互不相同的节点x_i，通过求解勒让德多项式的根来得到这些节点。
接下来，计算n个权重w_i，使得求积公式的节点值与权重值之积的和等于被积函数在区间[-1,1]上的积分。
对于一个给定的n，高斯求积公式的节点和权重可以通过一系列的计算得到。
首先，通过求解勒让德多项式的根来得到节点。
勒让德多项式的根是对应于勒让德多项式的零点的x值。
然后，通过求解勒让德多项式的导数来得到权重。
通过这些计算，我们可以得到一组称为高斯节点和权重的数值。
利用高斯节点和权重，我们可以将原始的积分问题转化为一组简单的加权求和问题。
具体地，我们可以将被积函数f(x)展开为勒让德多项式的级数形式，然后将这个级数代入原始积分的公式中，使用高斯节点和权重来计算每一项的值，最后将这些值相加得到积分的数值近似值。
1.高准确性：高斯求积公式可以提供非常精确的数值积分结果。
2.高效性：高斯求积公式可以通过选择适当的节点和权重，使计算量最小化。
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明我们来了解一下以勒让德多项式的定义。
以勒让德多项式是一个由整数阶幂函数组成的多项式序列，通常用P_n(x)表示，其中n为非负整数。
以勒让德多项式可以由递推关系式定义，即：P_0(x) = 1P_1(x) = xP_n(x) = ((2n-1)x * P_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x))/n根据这个递推关系式，我们可以通过递推的方式计算出以勒让德多项式的各阶多项式。
接下来，我们将证明以勒让德多项式的递推公式。
为了方便证明，我们先定义两个辅助多项式：Q_n(x) = d/dx[P_n(x)]R_n(x) = (x^2-1)Q_n(x) - n(n+1)P_n(x)我们证明Q_n(x)的递推关系式：Q_0(x) = d/dx[1] = 0Q_1(x) = d/dx[x] = 1Q_n(x) = d/dx[((2n-1)x * P_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x))/n]= ((2n-1) * P_{n-1}(x) + (2n-1)x * Q_{n-1}(x) - (n-1)Q_{n-2}(x))/n= ((2n-1) * P_{n-1}(x) + (2n-1)x * Q_{n-1}(x) - (n-1)(x^2-1)Q_{n-2}(x) + n(n-1)P_{n-2}(x))/n= ((2n-1) * P_{n-1}(x) - n(x^2-1)Q_{n-2}(x) + n(n+1)P_{n-2}(x))/n= (2n-1) * P_{n-1}(x)/n - (x^2-1)Q_{n-2}(x) + (n+1)P_{n-2}(x)= (2n-1)/n * P_{n-1}(x) - (x^2-1)Q_{n-2}(x) + (n+1)/n * P_{n-2}(x)接下来，我们证明R_n(x)的递推关系式：R_0(x) = (x^2-1)Q_0(x) - 0 = x^2 - 1R_1(x) = (x^2-1)Q_1(x) - 1(1+1)P_1(x) = x^2 - 1 - 2x^2 = -x^2 - 1R_n(x) = (x^2-1)Q_n(x) - n(n+1)P_n(x)= (x^2-1)[(2n-1)/n * P_{n-1}(x) - (x^2-1)Q_{n-2}(x) + (n+1)/n * P_{n-2}(x)] - n(n+1)P_n(x)= (x^2-1)(2n-1)/n * P_{n-1}(x) - (x^2-1)^2Q_{n-2}(x) + (x^2-1)(n+1)/n * P_{n-2}(x) - n(n+1)P_n(x)= [(x^2-1)(2n-1)/n * P_{n-1}(x) - n(n+1)P_n(x)] - (x^2-1)^2Q_{n-2}(x) + (x^2-1)(n+1)/n * P_{n-2}(x)= R_{n-1}(x) - (x^2-1)^2Q_{n-2}(x) + (x^2-1)(n+1)/n * P_{n-2}(x)我们可以看出，R_n(x)的递推关系式与P_n(x)的递推关系式非常相似，只是多了一个(x^2-1)^2Q_{n-2}(x)的项。
Legendre函数
Legendre函数阿德利昂·玛利·埃·勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家，生于巴黎，卒于巴黎。
约1770年毕业于马扎兰学院。
1775年任巴黎军事学院数学教授。
1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当选为巴黎科学院院士。
1787年成为伦敦皇家学会会员。
勒让德 (Legendre)曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）并列为法国数学界的“三L”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了卓越的贡献。
勒让德的主要研究领域是分析学(尤其是椭圆积分理论)、数论、初等几何与天体力学，取得了许多成果，导致了一系列重要理论的诞生。
勒让德是椭圆积分理论奠基人之一。
在L.欧拉提出椭圆积分加法定理后的40年中，他是仅有的在这一领域提供重大新结果的数学家。
但他未能像N.H.阿贝尔和C.G.J.雅可比那样洞察到关键在于考察椭圆积分的反函数，即椭圆函数。
在关于天文学的研究中，勒让德引进了著名的“勒让德多项式”，发现了它的许多性质。
他还研究了B函数和Γ函数，得到了Γ函数的倍量公式。
他陈述了最小二乘法，提出了关于二次变分的“勒让德条件”。
勒让德对数论的主要贡献是二次互反律，这是同余式论中的一条基本定理。
他还是解析数论的先驱者之一，归纳出了素数分布律，促使许多数学家研究这个问题。
在物理大地测量中，Legendre函数主要是伴随着球坐标系中求解Laplace方程而出现的，通过分离变量的方法得到，这里主要叙述一些Legendre函数的性质。
此方程即为勒让德方程。
假设勒让德方程的解为级数形式，通过求解得到具体前5项表达式形式：勒让德多项式还可以用另外我们熟知的形式：此公式成为罗德里格斯（Rodrigues-罗巨格）公式，比较常用。
勒让德多项式的积分表达形式为：下面再简单的给出其性质，最重要的要算递推公式了。
一阶导数的递推公式：一些特殊取值的性质：勒让德多项式的零点：Pn(x)的n个零点都是实的，且在(-1,1)内；Pn-1(x)的零点与Pn(x)的零点相互分离。
第六章---数理方程勒让德多项式
y2
x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n
1)(n
3)(n 5!
2)(n
4)
x5
(2k 1 n)(2k 3 n) (1 n)(n 2) (n 2k) x2k1 (2k 1)!
6. 3 勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
将6.2中的递推公式写成
ak
(k 2) (k 1) (n k)(k n 1)
2)!
6. 3 勒让德多项式
an4
(2n 4)! 2!2n (n 2)!(n
4)!
一般地当 n 2k 0 时，有
6.1 勒让德方程的引出
第二个方程为
d 2
d 2
cot
d
d
n
n
1
m2
sin2
0
令 x cos ，并记 P( x) (cos )
1 x2
d2P dx 2
2x
dP dx
n
n
1
m2 1 x2
P
0
k0
(k c 2)(k c 1)ak2 [(k c)(k c 1) n(n 1)ak 0
a k0 k2
(k
(k＋c)(ck)(k
cc1)a1k)xk
c2
n(n
(k＋c 1)(k c 2)
0 1)
ak
勒让德多项式归一化
勒让德多项式归一化（原创版）目录1.勒让德多项式的基本概念2.勒让德多项式归一化的定义3.勒让德多项式归一化的方法4.勒让德多项式归一化的应用正文1.勒让德多项式的基本概念勒让德多项式（Legendre polynomial）是一种特殊的多项式，用于描述球坐标系中的函数。
在数学、物理和工程领域中，勒让德多项式被广泛应用。
勒让德多项式的基本形式为：Pn(x) = Rn(x) / Rn(1)，其中 Rn(x) 是勒让德多项式的 n 阶导数，Rn(1) 是勒让德多项式在 x=1 处的值。
2.勒让德多项式归一化的定义勒让德多项式归一化是指将勒让德多项式进行标准化处理，使得它在某个区间内具有特定的性质，如归一化常数、正交性等。
勒让德多项式归一化的目的是为了将复杂的函数表示为简单的多项式形式，从而方便进行求解和分析。
3.勒让德多项式归一化的方法常见的勒让德多项式归一化方法有以下几种：（1）直接积分法：通过对勒让德多项式进行积分，可以得到其归一化后的形式。
这种方法适用于较简单的勒让德多项式。
（2）正交化方法：通过对勒让德多项式进行正交化处理，使得它们满足正交条件。
正交化方法包括：格拉米 - 施密特正交化、勒让德正交化等。
这种方法适用于较复杂的勒让德多项式。
（3）单位化方法：通过对勒让德多项式进行单位化处理，使得它们满足归一化条件。
单位化方法通常用于具有特定边界条件的问题。
4.勒让德多项式归一化的应用勒让德多项式归一化在许多领域具有广泛的应用，如：（1）在数值分析中，勒让德多项式归一化可用于求解微分方程、插值和逼近问题。
（2）在物理学中，勒让德多项式归一化可用于描述原子、分子和凝聚态系统的波函数。
（3）在工程领域中，勒让德多项式归一化可用于优化控制系统、信号处理和数据压缩等问题。
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编辑版word 勒让德（legendre）多项式及其性质 一． 勒让德多项式 勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下： 2'''(1)2(1)0xyxynny
其中n为非负实数 （1.1）
它的幂级数解如下：
12yyy （1.2）
其中：
2241200(1)(2)(1)(3)[1]2!4!kkknnnnnnyaxaxx
（1.3）
213522110(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!kkknnnnnnyaxaxxx
（1.4）
由达朗贝尔判别法可知，当0n不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a与1a可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y和
2y都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。
上面（1.3）和（1.4）幂级数当||1x时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当n取非负整数时，1y和2y中有一个便退化为n次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数na，所得的多项式称为n阶勒让德多项式或第
一类勒让德函数，记作nPx，下面我们来推导勒让德多项式nPx的表达式。 ① 当n为正偶数时
1y退化为n次多项式。为求得nPx的表达式，在1y中我们通过na来表示其它各项的系数。
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：
2(2)(1)()(1)kkkkaaknkn
（1.5）
在（1.5）式中取2kn，得： 编辑版word
2(1)2(21)nnnnaan
（1.6）
习惯上取na为 2(2)2(!)nnnan （1.7） 于是有： 2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)nnnnnnnannnnnn
(22)!2(1)!(2)!nnnn
（1.8）
在（1.5）式中取4kn，并利用2na之值得： 42(2)(3)4(23)nnnnaan
2(2)(3)(22)!(1)4(23)2(1)!(2)!nnnnnnn
g
2(24)!(1)2(2!)(2)!(4)!nnnn
（1.9）
一般地，我们有 222!12!()!(2)!mnmnnmamnmnm
（0,1,,2nm） （1.10）
我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的1y记作()nPx，可得：
220(22)!()(1)2!()!(2)!nmnmnnmnmpxxmnmnm
（1.11）
这就是当n为正偶数时勒让德多项式。 ② 当n为正奇数时
2y退化为n次多项式，我们把2y记作()nPx，同理可得： 编辑版word
1220(22)!()(1)2!()!(2)!nmnmnnmnmpxxmnmnm
（1.12）
把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得 []220(22)!()(1)2!()!(2)!nmnmnnmnmpxxmnmnm
（1.13）
其中[]2n表示2n的整数部分 由上述讨论可知，当n为非负整数时，1y和2y中有一个是n阶勒让德多项式，而另一个是无穷
级数，记作()nQx，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：
12()()nnycPxcQx （1.14）
特别当0,1,2,3,4,5n时，由（1.11）和（1.12）式得：
0()1Px 1()Pxx
2
2
1()(31)2Pxx
33
1()(53)2Pxxx 42
4
1()(35303)8Pxxx 53
5
1()(637015)8Pxxxx
它们的图形如下： 编辑版word 二． 勒让德多项式的性质
首先介绍一下勒让德多项式的母函数： 试将函数 122(,)(12)xzxzz （1.15）
展开成z的幂级数
0(,)nnnxzAz （1.16）
可以证明(,)xz级数展开式中n
z的系数恰好是勒让德多项式，最终得到
1220(,)(12)()nnnxzxzzPxz
（1.17）
因此称(,)xz为勒让德多项式的母函数。 1．()(1)()nnnPxPx （1.18） 编辑版word
将式（1.17）中的x以x代入，z以z代入，立即得到此结果。此式说明()
nPx的奇偶性
由n而定，当n为偶数时，()
nPx为偶函数，当n为奇数时，()nPx为奇函数。
2．(1)1,(1)(1)nnnPP （1.19） 将1x代入式（1.17），得到
10(1)(1)nnnzPz
而 10(1)nnzz
所以 (1)1nP 由上式和（1.18）立即得到 (1)(1)(1)nnnPP 3．勒让德多项式的递推公式： 11(1)()(21)()()0nnnnPxnxPxnPx （1.20）
'''11()()2()()nnnnPxPxxPxPx
（1.21）
''1()()(1)()nnnPxxPxnPx （1.22）
''1()()()nnnxPxPxnPx （1.23）
''11()()(21)()nnnPxPxnPx （1.24）
现在我们来证明（1.20）及其它的导数公式，将母函数(,)xz分别对,xz微分，得到 3222(12)12zzxzzxxzz
3222()(12)12xzxzxzzzxzz
得到下列两个恒等式
2(12)0xzzzx
（1.25） 编辑版word
2(12)()0xzzzxz
（1.26）
又从式（1.25）和（1.26）得到 ()0zzxzx （1.27）
将（1.17）两端分别对,xz微分，得到 '0()nnnPxzx
（1.28）
11()nnnnPxzz
（1.29）
然后将它们带入（1.27），得到 ''111()[()()]nnnnnnnxPxznPxPxz
于是得到()
nPx与导数之间的关系式
''1()()()nnnxPxPxnPx
其它的导数公式这里不在一一证明。 将式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到
110[(1)()(21)()()]0nnnnnPxnxPxnPx
上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到 11(1)()(21)()()0nnnnPxnxPxnPx 这就是递推公式，由0()Px，1()Px可以推出2()Px，由1()Px，2()Px可以推出3()Px，…..
4．勒让德多项式的正交性： 勒让德多项式在[-1,1]上正交，即 112()()21nmPxPxdxn
当nm时 （1.30）