考研数学三分类模拟题2019年(52)_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三分类模拟题2019年(52)

(总分83, 做题时间90分钟)

一、填空题

1.

设D为不等式0≤x≤3，0≤y≤1所确定的区域，则=______．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 1.5

由题干可知，

2.

设常数a＞0，a≠1．已知存在但不为零，则常数b=______．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 1.5

答案:2

命作变量变换，并将a的指数函数改换成熟悉的e的指数函数，有

要使上述极限存在且不为零的充要条件是b=2，此时，上述极限为lna．由于形式不习惯，本题初看有点困难．首先将它化成习惯的形式u→0+并且以e为底的指数，提出e ulna(它趋于1)，另一因予用等价无穷小替换，问题就迎刃而解了．本题如果用洛必达法则，将带来复杂运算．

3.

已知齐次线性方程组有无穷多解，则a=______．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 1.5

答案:-5或-6

齐次方程组Ax=0有无穷多解的充分必要条件是r(A)＜n．现在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式|A|=0．

故a=-5或a=-6．

对n个未知数n个方程的齐次线性方程组作是否有非零解的判定时，既可以用秩也可以用行列式．如果方程个数与未知数个数不相等，那么一定用秩．4.

设则f'(0)=______．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 1.5

分段函数分界点处求导数应按定义做．

因

由等价无穷小替换，

所以

5.

函数展开成x的幂级数为______．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 1.5

二、选择题

1.

满足P{X＞设随机变量X～N(0，1)，对给定的α(0＜a＜1)，数u

α

}=α．若P{|X|≥x}=α，则x等于______

u

α

A．

B．

C．

．

D．u

1-α

SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

该题您未回答:х该问题分值: 4

答案:A

思路一：X～N(0，1)，Φ(-x)=1-Φ(x)．

思路二：由正态分布图可知

2.

设函数，则f(x)在(-∞，+∞)内______ • A.处处可导

• B.恰有1个不可导点

• C.恰有2个不可导点

• D.至少有3个不可导点

SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

该题您未回答:х该问题分值: 4

答案:C

当|x|＜1时，．

当|x|=1时，．

当|x|＞1时，．

由夹逼定理，即

即f

-'(1)=f'(1-0)=0≠3=f'(1+0)=f

+

'(1)，

f -'(-1)=f'(-1-0)=-3≠0=f'(-1+0)=f

+

'(-1)．

因此y=f(x)在x=±1处有两个不可导点．应选C．3.

如果级数和都发散，则______

A．必发散．

B．必发散．

C．必发散．

D．必发散．

SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D

由于发散，则发散，而|a

n |≤|a

n

|+|b

n

|，故必发散，故选D．

4.

设λ

1，λ

2

是n阶矩阵A的特征值，α

1

，α

2

分别是A的属于λ

1

，λ

2

的特

征向量，则______。

• A.λ1=λ2时，α1与α2必成比例

• B.λ1=λ2时，α1与α2必不成比例

• C.λ1≠λ2时，α1与α2必成比例

• D.λ1≠λ2时，α1与α2必不成比例

SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D

当λ

1=λ

2

时，它们为A的重数大于或等于2的特征值，其对应的线性无关的特

征向量的个数可能大于1，也可能等于1，所以不能选A、B；当λ

1≠λ

2

时，

由于对应于不同特征值的特征向量必线性无关，所以α

1与α

2

必不成比例，故

选D。

5.

设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是______．• A.|A+B|=|A|+|B|

• B.若|AB|=0，则A=O或B=O

• C.|A-B|=|A|-|B|

• D.|AB|=|A||B|

SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

该题您未回答:х该问题分值: 4

答案:D

A、C显然不对，设显然A，B都是非零矩阵，但AB=O，所以|AB|=0，B不对，选D．

6.

设，则f'(1)=______

A．

B．

C．

D．

SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

该题您未回答:х该问题分值: 4

答案:B

选B．

7.

A是m×n矩阵，A T是A的转置矩阵，若η

1，η

2

，…，η

t

是齐次方程组

A T X=0的基础解系．则r(A)等于______

•**

•**

•**

**

SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

该题您未回答:х该问题分值: 4

答案:C

A为m×n矩阵，则A T为n×m矩阵．A T X=0是由n个方程、m个未知数组成的齐次方程组．现知m-r(A T)=t，而r(A)=r(A T)，从而m-r(A)=t．故r(A)=m-t．应选C．

8.

设总体X服从正态分布N(0，σ2)，，S2分别为容量是n的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为n-1的t分布的随机变量

A．．

B．．

C．．

D．．

SSS_SIMPLE_SIN

A B C D

该题您未回答:х该问题分值: 4

答案:A

由题设知Xi～N(0，σ2)，，，与S2独立，所以．选择A．

三、解答题

1.

设连续型随机变量X的分布函数为

求使得达到最小的正整数玑

SSS_TEXT_QUSTI

该题您未回答:х该问题分值: 5

解：由于连续型随机变量X的分布函数是连续函数，因此F(x)在(-∞，+∞)内连续，当然在x=-1与x=1处也连续，于是有

0=F(-1-0)=F(-1)=a-，

1=F(1)=F(1-0)=a+．

解以a，b为未知量的二元一次方程组，可得．

当-1≤x＜1时，

由于，且只有当时为0，时大于0．比较n=2与n=3的两个值：

当n=2时，，

当n=3时，，

因此可知，当n=3时，达到最小，其最小值为1/12．

2.

设A是m×n矩阵，如果齐次方程组Ax=0的解全是方程b

1x

1

+b

2

x

2

+…+b

n

x

n

=0

的解，证明向量β=(b

1，b

2

，…，b

n

)可由A的行向量线性表出．

SSS_TEXT_QUSTI

该题您未回答:х该问题分值: 5

[证明] 因为Ax=0的解全是b

1x

1

+b

2

x

2

+…+b

n

x

n

=0的解，所以

那么．

若α

i1，α

i2

，…，α

ir

是矩阵A行向量组α

1

，α

2

，…，α

m

的极大线性无

关组，那么α

i1，α

i2

，…，α

ir

也是α

1

，α

2

，…，α

m

，β的极大线性无关

组．因此β可由α

i1，α

i2

，…，α

ir

线性表出，亦即β可由A的行向量线性

表出．

3.

设总体X的分布律为P(X=k)=(1-p)k-1p(k=1，2，…)，其中p是未知参数，

X 1，X

2

，…，X

n

为来自总体的简单随机样本，求参数p的矩估计量和极大似然估

计量．

SSS_TEXT_QUSTI

该题您未回答:х该问题分值: 5

解，令，得参数p的矩估计量为．

令得参数p的极大似然估计量为．

4.

已知齐次线性方程组

有非零公共解，求a的值及其所有公共解．

SSS_TEXT_QUSTI

该题您未回答:х该问题分值: 5

[解法一] 因为方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)有非零公共解，即把(Ⅰ)、(Ⅱ)联立所得方程组(Ⅲ)有非零解，对系数矩阵作初等行变换，有

方程组(Ⅲ)有非零解a=-1．

求出η=(2，6，2，1)T是(Ⅲ)的基础解系，所以(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共

解是kη．

[解法二] 对(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换，得

所以方程组(Ⅰ)的基础解系是η

1=(-1，2，1，0)T，η

2

=(4，2，0，1)T．

那么，(Ⅰ)的通解是k

1η

1

+k

2

η

2

=(-k

1

+4k

2

，2k

1

+2k

2

，k

1

，k

2

)T．将其代入

(Ⅱ)，有

整理为

因为(Ⅰ)，(Ⅱ)有非零公共解，故k

1，k

2

必不全为0．

因此．从而a=-1，k

1=2k

2

．

那么k

1η

1

+k

2

η

2

=k

2

(2，6，2，1)T，即(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解是k(2，6，2，

1)T．

5.

(1)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)．

(2)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且

，则存在，且

SSS_TEXT_QUSTI

该题您未回答:х该问题分值: 5

(1)作辅助函数，易验证φ(x)满足：φ(a)=φ(b)；φ(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且

根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点ξ，使φ′(ξ)=0，即

所以f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)．

(2)任取x

0∈(0，δ)，则函数f(x)满足在闭区间[0，x

]上连续，开区间

(0，x

)内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在，使得

(*)

又由于，对(*)式两边取x

→0+时的极限

故存在，且=A．

设向量α=(α

1，α

2

，…，α

n

)T，其中a

1

≠0，A=ααT．

SSS_TEXT_QUSTI

6.

求方程组AX=0的通解；

该题您未回答:х该问题分值: 3

解因为r(A)=1，所以AX=0的基础解系含有n-1个线性无关的特征向量，其基础解系为

则方程组AX=0的通解为k

1α

1

+k

2

α

2

+…+k

n-1

α

n-1

(k

1

，k

2

，…，k

n-1

为任意常

数)．

SSS_TEXT_QUSTI

7.

求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．

该题您未回答:х该问题分值: 3

解因为A2=kA，其中k=(α，α)=所以A的非零特征值为k，因为Aα=ααTα=kα，所以非零特征值k对应的线性无关的特征向量为α．

8.

SSS_TEXT_QUSTI

该题您未回答:х该问题分值: 5

解令，当0≤x≤1时，，当1＜x≤2时，，则

设x

1，x

2

，…，x

n

是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为SSS_TEXT_QUSTI

9.

求EX与EX2．

该题您未回答:х该问题分值: 5.5

[解]

可以把看成服从正态分布N(0，θ2)的随机变量X

1

的概率密度函数，所以

即

即EX2=2θ2．

SSS_TEXT_QUSTI

10.

求θ的最大似然估计量．

该题您未回答:х该问题分值: 5.5

[解] 设x

1，x

2

，…，x

n

为样本观测值，似然函数

当x

1，x

2

，…，x

n

＞0时，

令，即解得

从而θ的最大似然估计量1