高中数学人教A版必修2解析几何第一章《直线和方程》知识点归纳

(一个象限也不过)直线一． 倾斜角（直线和x 轴正半轴的夹角） 1．范围：θ∈[0，π)2．斜率：ax+by+c=0 ⇒ K=tan θ= -ab K=tan θ : 若θ=π2 ，K 不存在（K=∞）若θ≠π2 ，K= tan θ 若K ＞0，则θ=arctanK若K ＝0，则θ=0若K ＜0，则θ=π+ arctanK二． 直线的五种解析式1. 点斜式（x 0,y 0）, K :y - y 0 = K （x- x 0） (K ≠∞)2. 斜截式（0,b ）, K :y=kx+b (K ≠∞)3. 两点式（x 1,y 1），（x 2,y 2）：y−y 1y 2−y 1= x−x 1x 2−x 1(K ≠0, ≠∞，不横不竖)4. 截距式（0,a ）, （0,b ）:x a + xb =1 (K ≠0, ≠∞，不横不竖不原点) 5. 一般式：ax+by+c=0 （a ，b 不同时为0）三． 直线经过象限 1. xa+ xb =1（1）.截距式过三个象限 （2）. K ≠0, ≠∞，不横不竖不原点 2.y=a (a ≠0) x ≠a (a ≠0) y=kx (k ≠0, ∞)过两个象限 3. y=0x=0四．中点坐标公式1.（x1,y1），（x2,y2）⇒（x1+x22，y1+y222）2.知：（x1,y1），（x2,y2），如何作对称轴？设对称轴上任意一点坐标为（x,y）√（x−x1）2−(y−y1)2 = √（x−x2）2−(y−y2)2五．三角形的五心1.内心（I）（1）.内切圆圆心（2）.内心到三角形三边距离相等（三边等距）（3）.三个角平分线的交点（角分线交点）2.外心(O)(1).外接圆圆心(2）.顶点到外心的距离相等（顶点等距）(3）.三条边中垂线交点（中垂线交点）3.重心（G）（1）.三条边中线交点（中线交点）（2）.物理重心（3）. |GA|⁚ |GE|=|GC|⁚|GH|=|GB|⁚|GF|=2⁚1（4）.G(x G,y G) x G =x A+x B+x C3 y G=y A+y B+y C3（5）.重心到三角形三个顶点的距离的平方和（|GA|2+ |GB|2+ |GC|2）①．推导（3）取GB 和GC 的中点分别为I,J ，连HF,FJ,JI,HI HF 交AE 于点N ，I J 交AE 于点M ， 在△ABC 中，∵H,F 分别为AB ，AC 的中点 ∴HF=12 BC ，HF ∥ BC在△GBC 中，∵I ,J 分别为GB ，GC 的中点 ∴I J =12 BC ，I J ∥ BC∴四边形HF I J 为平行四边形 ∴GH=GJ =12GC , ∴GF=GI =12GB∵GM=GN,∴GE=2GM,AG=GN+AN= GN+ GN+2GM=4 GM ∴GE=12 GA②推导（4）G(x G ,y G )，A(x A ,y A )，B(x B ,y B ), C(x C ,y C ) 根据中点坐标公式，得E （x B +x C2，y B +y C2）AG ⃑⃑⃑⃑⃑ = 23AE⃑⃑⃑⃑⃑ （x G -x A，y G -y A ）= 23（x B +x C2– x A ，y B +y C2– y A ）x G -x A =23（x B +x C2– x A ）x G =23（x B +x C2 – x A ）+x A =23x B +x C –2x A 2+3x A 3= x A +x B +x C3同理可得： y G=y A +y B +y CC3推导（5）：|GA|2+ |GB|2+ |GC|2=（x G – x A）2+（y G – y A）2+（x G – x B）2+（y G – y B）2+（x G – x C）2+（y G – y C）2=3 x G2-2（x A+x B+x C）x G+x A2+x B2+x C2 +3 y G2-2（y A+ y B+y C）y G +y A2+y B2+y C2当x G=-−2（x A+x B+x C）2∙3=x A+x B+x C3时，3 x G2-2（x A+x B+x C）x G+x A2+x B2+x C2最小当y G=-−2（y A+y B+y C）2∙3=y A+y B+y C3时，3 y G2-2（y A+y B+y C）y G +y A2+y B2+y C2最小x G，y G4.垂心（H）：三条边的高的交点（高线交点）4.旁心（J）：一个内角的平分线，2个外角平分线六．点到直线的距离1.（x0，y0） ax+by+c=0 d=00√a2+b2 2. （x0，y0）,到x轴的距离：| y0|到y轴的距离：| x0|七.如何判断两直线平行或垂直1.平行：充分条件：K1=K2充要条件：a1b2-a2b1=0 {a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0 2.垂直：充分条件：K1K2=-1充要条件：a1a2-b1b2=0 {a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0八．两平行直线的距离（先化成斜率相同，再求距离）ax+by+c1=0ax+by+c2=0d=12√a2+b2九．如何求点在直线上的投影点知：P（x0，y0） L:ax+by+C=0设P′（x1，y1）{ax1+by1+c=0 y1−y0x1−x0∙(−ab)=−1十．如何求直线外点关于直线对称的点1.PP′⊥L →y1−y0x1−x0∙(−ab)=−12.中点在L上→x0+x12a + y0+y12b + C十一.知：直线L：ax+by+C=0，A（x0，y0），求L关于点A对称的直线？新直线L1与L平行、即可设L1：ax+by+c1=0d1 =d2 ：00√a22 = 001√a22十二.知：L1、 L，求L1关于L对称的直线？1.联立{LL1求交点O，2.在L1上取一点A，作A关于L对称点A′3.联结A′O，两点式求L2题外十三.两条直线到角和倾斜角的关系1. 到角：L 1→L 2 , L 1逆时针转至与L 2重合时的角2. 倾斜角是到角的特殊情况3. 已知倾斜角а，求L 1 →L 2的到角θ？（1）. (2). (3).若а2=а1 若а1＞а2 若а2＞а1则θ= 0 则 θ=а1-а2 则 θ=π+а2-а1（L 1与L 2平行时，到角为0） 十四.到角公式：tan θ（L 1 →L 2）=K 2−K 11+K 2K 1推导：tan θ=tan （а2-а1）=tan θ2−tan θ11+tan θ2tan θ1=K 2−K 1 1+K 2K 11.夹角：tan θ（L 1 →L 2）=|K 2−K 11+K 2K 1|2.若L 1⊥L 2，θ=π2K 2K 1=-1 十五.直线的参数方程:{x =x 0+t cos ay =y 0+t sin a推导：已知一条直线过M 0(x 0, y 0),倾斜角а，在直线上任取一点M （x,y ）,则M 0M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（x,y ）-(x 0, y 0)= （x-x 0,y- y 0) 设e =(cos а,sin а) ,∵ M 0M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥e , ∴存在实数t ∈R ，使得M 0M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =t e ,即 （x-x 0,y- y 0)=t(cos а,sin а)， 即{x −x 0= t cos аy − y 0=t sin а⇒ {x =x 0+t cos ay =y 0+t sin a1.t的几何意义：|t|等于t对应的点到直线所过定点的距离2.若A、B为直线L上两点，M为AB的中点，其对应的参数分别为t1、t2、t0。

（1）. t0=t1+t22|（2）.|PM|=|t0|=|t1+t22（3）. |AB|=|t2−t1|（4）. |PA|·|PB|=|t1|·|t2|=|t2·t1|注：以上四个结论，“t”可“+”,“-”,均是根据t的几何意义推导十六.直线系方程1.平行直线系：（1）.图（2）.解析式：x+2y+c=0或y=3x+b（3）.斜率相等2.旋转直线系：（1）.图（2）.解析式： y-1=k（x-2）或x=2（3）.恒过定点（1，2）注：做题时，要配合画图十七. 极坐标方程1．极坐标系定义：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系． O点成为极点，Ox成为极轴（ρ）．平面上任一M(x,y)xθρ点 M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标，ρ叫极径，叫极角。

说明：1.ρ≥0，θ∈R2.ρ=0时，M为极点，θ∈R3.当ρ≥0，θ∈[0,2π)时，平面上的点（除极点外），与极坐标(ρ,θ)一一对应。

4.ρ＜0，规定(ρ,θ)= (-ρ,θ+π)2.几个特殊位置直线的极坐标方程θ=θ和θ=π+θρc osθ=dρc osθ=-d ρsinθ=dρsinθ=-d推导：ρc osθ=-dρc os（π-θ）=d→ρc os（-θ）=d→ρc osθ=-d3．极坐标系与直角坐标系的互化t（1）.把直角坐标系的原点作为极点， x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位（2）.{x=ρcosθy=ρsinθ（2）. {ρ2=x2+y2tanθ=yx。