折纸作三等分角证明
折纸几何公理
折纸几何公理本操作，也叫做折纸几何公理。
假定所有折纸操作均在理想的平面上实行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作：1. 已知 A 、 B 两点，能够折出一条经过 A 、 B 的折痕2. 已知 A 、 B 两点，能够把点 A 折到点 B 上去3. 已知 a 、 b 两条直线，能够把直线 a 折到直线 b 上去4. 已知点 A 和直线 a ，能够沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，能够沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a 上6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，能够把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。
例如，操作1 实际上相当于连接已知两点，操作2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作4 则相当于过已知点作已知线的垂线。
真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。
正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。
更有趣的是，操作5 的解很可能不止一个。
在绝大部分情况下，过一个点有两条能把点A 折到直线a 上的折痕。
操作6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多能够有三个解！一组限定条件能同时产生三个解，这让操作6 变得无比灵活，无比强大。
利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作6 有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。
也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！尺规作图到底局限在哪里相比于折纸的几何操作，尺规作图就显得有些不够“强大”了。
不妨让我们先来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：过已知两点作直线给定圆心和圆周上一点作圆寻找直线与直线的交点寻找圆与直线的交点寻找圆与圆的交点这5项操作看上去变化多端，但前3项操作都是唯一解，后两项操作最多也只能产生两个解。
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例发布时间：2021-02-04T10:55:50.120Z 来源：《中小学教育》2021年2月1期作者：金晓强[导读]金晓强浙江省嘉兴海宁市丁桥镇初级中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2021）02-041-02新课标指出，数学教学必须注意从学生的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会到数学就在身边，对数学产生亲切感。
这就要求教师有一双善于发现的眼睛，挖掘身边的数学资源，为学生提供一个有趣的、与自身息息相关的学习内容，使学生在探究、发现的过程中，提升观察力、创造力。
在数学实验中，学生能够学习自己需要的、喜欢的数学，在学中玩，在玩中学，真正体现“学为中心”的理念。
一、问题缘起几何学习是初中数学学习的一大难点，但也是学生热爱数学的一个关键点。
然而现今的数学教育中，应试教育占据绝对主导，课堂上唯解题论、课外唯分数论的现象比比皆是，忽略了学生数学素养的培养，学生真正的能力得不到培养。
有许多学生平时解题能力很强，但在综合性考试中成绩却不尽如人意，原因无非是成为了“解题机器”，不具备相应的数学能力，面对从未谋面的新题型就无从下手。
基于这样的数学现状，笔者通过深入研究《用正方形纸折30°角》这节拓展课，试图从身边的几何入手，教学生一种数学思维、一种解决问题的方法。
二、教学实践这节课是在八年级学习完教材“全等三角形的判定”、“等腰三角形”等知识后，拓展研究的一个课题。
教材内容如下：1.生活中的折纸引入课题。
2.引例：用正方形纸片折30°角的三种方案，其中第一种方案是直接三折，操作时只能通过尝试折叠；第二种方案是先对折，再把一条边折到折痕上；第三种方案是对折后，把另一条边折到折痕中，实质跟方案二无异。
然后分别证明其正确性，篇幅较大。
3.两个关于折叠问题的证明和计算题，与引例没有直接联系。
角三等分
角三等分和平前言一百多年来，国内外数学界一致认为用尺规（尺指的是不带刻度的直尺，规指的是圆规，简称为尺规）作图将一任意角三等分已被证明了这是一个“作图不能问题”的结论是完全正确的。
其实这个结论肯定是错误的，我就能，肯定能推翻这个错误的结论。
下面我用角三等分和剖析角三等分及解两种不同的解题方法中的一种方法即角三等分来证明用尺规作图可将一任意角三等分，並对大小各不相等的角进行角三等分尺规作图达2470多次，装订成册24本，验证了这个理论是完全正确的。
让角三等分无解的结论彻底破灭，也为角的其他等分的解决打下基础，角三等分也是角尺规等分法中的一部分。
由于本人水平有限，如有错误和缺欠，恳请给以指正。
2011-4-3 和平一角三等分∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α三等分。
以∠α角顶点o为圆心，以任意长为半径画圆为A圆（图中只画圆的一部分），见图3-1，A 圆交∠α两边分别是A点和B点，在A圆上作∠AOB=∠BOC=∠AOD=∠α=1/3∠DOC,设∠OCD=∠β,2∠β+3∠α=180°.如果3∠α大于或等于180°时，先将∠α缩小偶数倍的角再扩大3倍的角小于180°为止。
连接CD交OA线上G点，作∠AOB角平分线OH,∠AOH=∠HOB=1/2∠AOB=1/2∠α，连接BD交OH 线上H1点，连接BG並延长交OD线上P点，连接AP交CD线上F点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、H1A、AD、AB、BC,求证：∠H1Gb2=1/3×1/2∠α=1/3∠GOH1=1/3×1/2∠AOB。
在△OGH1中，分别作OG和GH1边的垂直平分线交于O2点，连接O2O, 以O2点为圆心，以O2O为半径经过O、G、H1三点的圆为B圆（图中只画圆的一部分）,GD=GB,ABGD为菱形，H1A=H1G=H1B，证明省略，B圆也经过B点，∠H1GB=∠H1BG=∠GBD=1/2∠α，∠DH1G=∠H1GB+∠H1BG=∠α=∠GOB,∠DH1G=∠GOB, ∠GOB+∠GH1B=180°，O、G、H1、B四点共圆，又∵O、G、H1三点可确定一个圆均在B圆上，∴B点也在B圆上。
折叠一张三角形纸片,把三角形的三...
折叠一张三角形纸片,把三角形的三...折叠一张三角形纸片,把三角形的三角拼在一起,就得到一个著名的几何定理,请你写出这一定理的内容_________折叠一张三角形纸片,把三角形的三角拼在一起,就得到一个著名的几何定理,请你写出这一定理的内容：三角形的内角和为180度。
折叠一涨三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论。
三角形的三个内角和等于180度采纳哦如图所示：折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，什么定理？三角形内角和定理：三角形三个内角之和为180角和三角形的关系，线和三角形的关系。
几何定理！正弦定理 :baike.baidu./view/147231.?wtp=tt余弦定理 :baike.baidu./view/52606.htm三角形几何定理三角形的中线连接，形成的三角形的周长是原三角形的一半。
三角形的中线连接，形成的三角形的面积是原三角形的 1/4 。
怎么用一张三角形纸片折出这个三角形的重心分别取两边中点，以中点和对面定点折叠，两条折痕的交点就是重心重心是3边中线的交点关于三角形几何定理第三章三角形公式定理第三章三角形1 三角形的有关概念和性质1.1三角形的内角和在同一平面内,由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形.组成多变形的那些线段叫做多边形的边.相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角.三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180在原来图形上添画的线叫做辅助线依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫做斜边.推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和1.2三角形的有关线段三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高2 全等三角形2.1全等三角形的证明边边边有三边对应相等的两个三角形全等边角边有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等角边角有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等定理有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等2.2直角三角形全等的判定定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等3 等腰三角形3.1等腰三角形及其性质三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角定理等腰三角形的底角相等推论等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边定理有两个角相等的三角形是等腰三角形定理一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等等边三角形定理1 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60等边三角形定理2 三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形定理3 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形3.2线段的垂直平分线与角平分线定理线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等定理和一条线段两个端点距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可以看成是所有和线段两段距离相等的点的 *** 定理点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的 ***3.3 轴对称定义如果点A,B在直线l的两侧,且l是线段AB的垂直平分线,则称点A,B关于直线l互相对称,点A,B互称为关于直线l的对称点,直线l 叫做对称轴定义在平面上,如果图形F的所有点关于平面上的直线l成轴对称,直线l叫做对称轴定义在平面上,如果存在一条直线l,图形F的所有点关于直线l的对称点组成的图形,仍是图形F自身,则称图形F为轴对称图形,直线l是它的一条对称轴定理（1）对称轴上的任意一点与一对对称点的距离相等（2）对称点所连线段被对称轴垂直平分推论两个图形如果关于某直线称轴对称,那么这两个图形是全等形3.4三角形中的不等关系定理三角形的外角大于和它不相邻的任一内角定理三角形任何两边的和大于第三边推论三角形任何两边的差小于第三边定理在一个三角形中,如果两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大定理在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大在一个三角形中,一条边大于另一条边的充要条件是,这条边所对的角大于另一条边所对的角希望对您有所帮助！把等边三角形的三个角拼在一起得到一个什么角画一画等边三角形的每一个角都是60度，三个角加起来就是一个平角把等边三角形的三个角拼在一起得到一个（）角，把平行四边形的四个角拼在一起得到一个（）角。
尺规三等分任意角画法和证明
〈〈用直尺和圆规把一个任意角分成三个相等的小角的画法和证明〉〉（1）在图[1]中，圆心角AOB，圆心是O，边OA=OB是半径，弧AB。
（2）在AB弧上任意截取一段AC弧，再任意截取一段BD弧，令BD弧=2AC 弧，剩余一段CD弧；剩余CD弧=AB弧-AC弧-BD弧=AB弧-3AC弧，（BD弧=2AC弧），请看图[1]。
（3）连C点和D点，CD线段为剩余弧CD的弦；因为剩余弧CD很短与CD 弦重合成一段线段，所以，我们只要把CD弦三等分，剩余弧CD也就被三等分了，请看图[1]。
（4）大家知道CD弦是一段线段，我们用“平行线等分线段定理”把CD弦等分成三段：CH=HK=KD，因为，剩余弧CD很短与CD弦重合成一段线段，所以，CD弧也被同时三等分为：CH弧=HK弧=KD弧，请看图[1]，H点和K点便是CD 弦上的两个三等分点同时也是剩余弧CD上的两个三等分点，所以，剩余弧CD=3CH 弧（CH弧=HK弧=KD弧），请看图[1]。
（5）因为，AB弧=AC弧+BD弧+CD弧=3AC弧+3CH弧（BD弧=2AC弧，剩余弧CD=3CH弧），所以，AB弧=3（AC弧+CH弧）=3AH弧，请看图[1]。
所以，1/3AB弧=AH弧，请看图[1]，所以，H点是AB弧上的一个三等分点，请看图[1]。
（6）以H点为原点、以HA弧长为标准长在BH弧上截取一段弧HM，截点为M，则M点和H点便是AB弧上的两个三等分点，所以，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，请看图[1]。
（7）连OH和OM，OH和OM把圆心角AOB分成三个小圆心角：小圆心角AOH、小圆心角HOM和小圆心角MOB，请看图[1]。
（8）在圆心角AOB中，依据圆心角、弧、弦的关系定理：因为：小圆心角AOH对应AH弧，小圆心角HOM对应HM弧，小圆心角MOB对应MB弧，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，所以：小圆心角AOH=小圆心角HOM=小圆心角MOB=1/3圆心角AOB（依据圆心角、弧、弦的关系定理，等弧对等角），请看图[1]，所以，任意角AOB被尺规三等分了。
正方体体对角线三等分点证明
正方体体对角线三等分点证明正方体体对角线三等分点证明正方体是一种六个面都是正方形的多面体，它有12条棱和8个顶点。
本文将介绍如何证明正方体的体对角线可以被三等分。
一、定义1.1 正方体正方体是一种六个面都是正方形的多面体，它有12条棱和8个顶点。
1.2 体对角线在几何学中，一个多面体的对角线是连接两个不相邻顶点的线段。
对于一个正方体，它有四条对角线，其中一条称为“体对角线”，它连接了相对的两个顶点，并穿过了立方体中心。
二、问题描述如何证明正方体的体对角线可以被三等分？三、证明过程3.1 假设假设AB为正方形ABCDEF的边长，O为正方形ABCDEF中心，G为ABCD四个顶点的重心，则OG=AG=BG=CG=1/3AB。
3.2 证明首先考虑平面上一个以AB为边长的正方形ABCDEF。
由于O为ABCDEF中心，则AO=BO=CO=DO=EO=1/2AB。
又因为G为ABCD四个顶点的重心，则AG=(AO+OG)/2=(1/2AB+OG)/2，即OG=2/3AG。
因此，OG=AG/3，同理可证BG、CG也等于AB的1/3。
接下来考虑正方体的情况。
我们可以将正方体分成两个相等的四面体，其中每个四面体的顶点分别为A、B、C、D和E、F、G、H。
由于正方体是等边长的，所以每个四面体都是等边长的。
因此，在每个四面体内部，对角线OG可以被三等分。
现在我们需要证明OG也可以被三等分。
我们将ABCD四个顶点看作一个整体，并将它们重合到一个点上。
同理，我们将EFGH四个顶点也看作一个整体，并将它们重合到另一个点上。
这样一来，我们得到了两个平面图形：一个是以ABCD为边长的正方形ABCDEF；另一个是以EFGH为边长的正方形EFGHKL。
由于两个平面图形都是等边长的正方形，并且它们共享一条对角线OG （即正方体的体对角线），因此我们可以使用之前得出的结论：在一个以边长为AB的正方形中，如果O是中心，则OG=AG/3。
因此，在整个立方体中，OG也可以被三等分。
三等分角教案
数学活动—三等分角教案教学任务分析教学流程安排教学过程设计一、课题引入：尺规作图三等分角是古希腊数学的三大难题之一，而如今数学上已证实了这个问题无解（借助坐标系可证明60°角不可以用尺规作图三等分）.若将条件放宽，可以将一给定角三等分. 例如通过折纸的方法，或使用其它工具，或者可以配合其他曲线使用.尺规作图三等分任意角是古希腊几何作图三大难题之一，通过史料介绍，可以激发学生的好奇心和探究欲.二、 课题探究问题1：如何三等分直角？1. 量角器2. 含30°角的三角尺3. 折纸操作步骤：（1） 长方形纸片命名为ABCD ；（2） 将纸片对折，使得AD 与BC 重合，折痕为EF ；（3） 翻折左上角，使折痕通过点B ，且点A 落在EF 上，折痕记为BN ；（4） △ABM 为以长方形的宽为一边的等边三角形，射线BM ，BN即为∠ABC 的三等分线.小结：你能概括一下数学活动的过程吗？希望学生通过问题1的解决，了解用折纸的方法解决问题的原理，以及思路：折纸的原理就是全等变换，另外，折之前先通过草图分析点或线的性质，进而折出相应的点或线.同时，经历观察思考、动手操作、实践检验和推理证明的数学活动过程，积累数学活动经验.动手操作是难点，给学生留出足够的动手时间.证明过程中用到本章所学全等的相关知识，增强应用意识.导入：其它行业用到的工具. 问题2：勾尺三等分任意锐角 阅读材料：勾尺的直角顶点为P ，“宽臂”的宽度．．=PQ=QR=RS ，勾尺的一边为MN ，且满足M ，N ，Q 三点共线（所以PQ ⊥MN ）． （1）请根据下面的操作步骤，利用手中的勾尺三等分任意锐角ABC ∠.第一步：画直线DE 使DE ∥BC ，且这两条平行线的距离等于PQ ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P 落在DE 上，使勾尺的MN 边经过点B ，同时让点R 落在ABC ∠的BA 边上；第三步：标记此时点Q 和点P 所在位置，作射线BQ 和射线BP ．BAC（2）证明ABC ∠的三等分线是射线BQ 和射线BP ．问题2的导入，让学生了解不同行业运用工具解决问题，让学生有意识设计工具解决问题，增强应用意识. 通过阅读材料，完成操作过程，培养学生的阅读理解能力.动手操作依然是难点，通过操作勾尺，提高动手操作能力.组内互助，完成操作过程. 在帮助同伴的同时，体验成功的乐趣，收获更加深刻的理解. 最后，运用本章所学的全等及相关知识给出证明，一方面，发展学生严谨的逻辑思维；另一方面，增强学生的应用意识.。
七年级数学上册6.2角知识拓展用折纸法三等分任意角素材苏科版
用折纸法三等分任意角在《三分角问题》一文中，我们已证明过，利用尺规作图是不能三等分任意角的．但是，利用折纸法是可以三等分任意角的．其步骤是:（1）在一个正方形纸片上折出给出的角∠PBC，将ABCD对折记折痕为EF;再将EBCF对折,折痕为GH(如图（1））;(2）翻折左下角使B重合在GH上记为B′，且使E重合BP上记为E′，点G折后的点记为G′，折痕记为XY（见图（2)）;(3）折B、G’和B、B'，则BB’、BG’为∠PBC的三等分线(见下图（3））．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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折纸作三等分角证明
一、前言
折纸是一种有趣的手工艺，它可以用简单的纸张和折叠方式创造出各
种形状和图案。
其中，三等分角是一个比较有趣的主题，许多人都想
知道如何用折纸来证明三等分角。
本文将介绍如何用折纸作三等分角
的证明方法。
二、基础知识
在开始讲解如何用折纸作三等分角之前，我们需要了解一些基础知识。
1. 什么是三等分角？
三等分角指将一个角度平均分成三份，每份大小相等的情况。
将60度的角度平均分为3份，则每份为20度。
2. 折纸中常用的术语
在折纸中，有一些常用的术语需要了解：
① 折线：指在纸张上画出来的线段，表示需要将纸张沿着该线段进行
折叠。
② 折痕：指由于沿着折线进行折叠而产生的痕迹。
③ 点：指在纸张上画出来的点，表示需要将两条折线对齐并重合在该
点处。
④ 角：指由两条相交的直线所形成的空间部分。
三、证明方法
下面将介绍两种用折纸作三等分角的证明方法。
1. 利用正五边形
我们需要准备一个正五边形。
将正五边形的一个顶点对折到对边的中点处，并将其压平，得到一个三角形。
接下来，将该三角形的底边向内折叠，使其与上方的两条线段重合，得到一个新的三角形。
再次将该三角形的底边向内折叠，使其与上方的两条线段重合，得到一个更小的三角形。
重复以上步骤直至无法再次折叠为止。
最后得到的三角形所对应的角度就是原来正五边形每个顶点所对应的角度除以3。
由于正五边形每个顶点所对应的角度为360度/5=72度，因此每个顶点所对应的角度除以3为24度。
因此我们成功地用折纸作出了24度角，即实现了三等分角。
2. 利用黄金比例
另一种证明方法是利用黄金比例。
在一张长宽比为黄金比例（即1：1.618）的纸张上画出一条线段AB，并在该线段上取一点C。
接下来，在纸张上画出一条与线段AB垂直的线段DE，并让其与线段AB相交于点F。
将纸张沿着线段AF折叠，使点C和点D重合。
此时，纸张上的线段BF就是原来角度的三等分线。
为了证明这个结论，我们可以利用黄金比例的性质。
由于线段AB与线段BF是垂直的，因此它们之间的夹角为90度。
又因为
AC/AB=1/1.618，所以AC=0.618AB。
同理，BD=0.618BF。
由于三等分角的定义是将一个角度平均分成三份，因此我们需要证明
BF/AB=1/3。
根据上面所述的黄金比例性质可得：
BD/BF=0.618
AC/AB=0.618
(BD+AC)/(BF+AB)=1
代入BD=0.618BF和AC=0.618AB可得：
(0.618BF+0.618AB)/(BF+AB)=1
整理得：
3BF=(2+√5) AB
BF/AB=(2+√5)/3≈0.927
即BF约等于原来角度的三等分线长度的0.927倍，满足三等分角的定义。
四、总结
本文介绍了两种用折纸作三等分角的证明方法：利用正五边形和利用黄金比例。
这两种方法都是基于一些几何定理和折纸技巧，通过折叠纸张来实现三等分角。
这些证明方法不仅有趣，而且能够帮助我们更好地理解几何学中的一些概念和定理，同时也能锻炼我们的手工能力和创造力。