等腰直角三角形旋转

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旋转的等腰直角三角形

【变式典型题】

原题：如图所示，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点，求证：MDB MBD ∠=∠．

变式1 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转?45，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式2 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转?90，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式3 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转?135，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式4 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转?180，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式5 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转?270，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式6 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转?315，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

【练习】

1．在ABC ?中，?=∠90ACB ，AC=BC ．直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，求证：①CEB ADC ???；②BE AD DE +=；

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

A D E B

M C

A D E

C A

E B

M C B

M C A D

A D

E B

C A

D E

C A

B M

C A

O (G)

E B D C

图1

M 图2

E D

M 图3

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2．（1）如图1，若点P 为正方形ABCD 边上一点，以PA 为一边作正方形AEFP ，连BE 、DP ，并延长DP 交BE 于点H ．求证：BE DH ⊥．

（2）如图2，将正方形AEFP 逆时针旋转，使点P 落在正方形ABCD 内，其余条件不变，（1）的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

3．在ABC ?中，AD 是中线，O 为AD 的中点，直线l 过O 点，过A 、B 、C 三点分别作直线l 的垂线，垂足分别为G 、E 、F ，当直线l 绕O 点旋转到与AD 垂直时（如图1）易证：BE+CF=2AG ．

当直线l 绕O 点旋转到与AD 不垂直时，在图2、图3两种情况下，线段BE 、CF 、AG 又是怎样的数量关系？请写出你的猜想，并以图3的猜想给予证明．

思考题：

把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图1），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角形ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：?<

（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；

（2）连接HK ，在上述旋转过程中，设x BH =，

GKH ?的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，

并写出自变量x 的取值范围；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使

GKH ?的面积恰好等于ABC ?面积的

？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由．

作业完成时间：30分钟

1、如图所示，在密度均匀的铁片中挖去一圆形铁片，现要将这一铁片分成重量相等的两块，请问你有怎样的分法？并说明作图的道理．

2、现有如图所示的方角铁片，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案．

3、如图所示，请将一直角梯形形状的地块，分成面积相等的两地，问如何

分．

4、如图所示的一块空地，?=∠=∠90B A ，AE ∥BC ，AB ∥CD ，现要在这一空地上砌一堵墙（要求墙长最短），将这块地分成面积相等的两块．

思考题：如何把任意四边形面积两等分？

C E G(O)

B F 图1

C G(O) B

图2 K

A E F H

B C D P 图1

E F H B C D

P 图2

图2 A C

D E

N M

图1

A B

等腰三角形中的旋转题

https://www.360docs.net/doc/916628860.html, 彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第 1 页共 1 页搜资源上网站等腰三角形中的旋转题 □ 江苏徐伯良等腰三角形的性质和判定,有助于解决与之相关的若干问题.请看,它们在解决旋转问题中的应用: 例1如图1，等边△ABC 中，有一点P,连结PA 、PB ，把△ABP 顺时针旋转 60°，使边AB 与边BC 得重合，连结CQ ．，试判断△BPQ 的形状，并说明理由．析解: △BPQ 是等边三角形.理由如下: 由题意可知,BP=BQ ,∠PBQ=60°，所以△BPQ 是等边三角形. 例2 如图2，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 析解:如图3所示,当线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．且使点D 恰好落在BC 上时，OP=OD, ∠DOP=60°，在△COD 中, ∠C+∠COD +∠CDO=180?,∠C=60°，而∠COD+∠DOP +∠AOP=180?,∠DOP=60°，所以∠ CDO =∠AOP , 又在△COD 中, ∠A=∠C=60°，可得△COD ≌△APO, 则AP=CO=AC-AO=6.故,选C. 例3 如图4，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 为中线．现将一直角三角板的直角顶点放在点O 上并绕点O 旋转，若三角板的两直角边分别交AC ，CB 的延长线于点G ，H ．（1）试写出图中除AC ＝BC ，OA ＝OB ＝OC 外其他所有相等的线段；（2）请从你所写的所有相等线段中任选的一组,说明相等的理由．我选择的相等线段是:_________=_________．析解:（1）根据等腰三角形的轴对称性以及三角形全等方面的知识, 可以推测,图中除AC ＝BC ，DA ＝DB ＝DC 外其他所有相等的线段有:CG=BH,AG=CH, D G=D H. （2）在△ABC 中，由∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD=DB 可知, CO=OB,C O ⊥AB, ∠ABC ＝45°．而∠COG+∠GOB ＝90°，∠BOH+∠GOB ＝90°，所以∠COG ＝∠BOH ，又∠ABC ＝∠OCB=45°，所以∠OBH ＝180?-45°=135?,∠GOC ＝90?+45°=135?. 于是, ∠GCO=∠OBH ,所以△GCO ≌△HBO, 则CG=BH. 图 4 图 3 图 2 图1

等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题(精华)

等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题（精华） 1、图（1）中，C点为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM 相等吗？说明理由；如图（3）C点为线段AB外一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由． 2、如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．

3、如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．（根据△ACD≌△BCE，得出AD=BE，AM=BN；又△AMC≌△BNC，可得CM=CN，∠ACM=∠BCN，证明∠NCM=∠ACB=60°即可证明△CMN是等边三角形；） 1、（锦州）如图A，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF 和BE．（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；（2）将图A中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图B，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图A中的△ABC 绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．（3）此小题图形不惟一，如图第（1）中的结论仍成立．（4）根据以上证明、说理、画图，归纳如下：如图A，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C 为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE．

等腰直角三角形例题

有关等腰直角三角形的几何证明题（2013.12.30FZX）（郭方媛）【知识要点】等腰直角三角形是几何证明的特殊图形，它的性质（两腰相等、两底角等于45°）在证明中作用重大，充分应用其性质能达到轻松解题的效果。【例】、如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，AC=BC，D为AB的中点，点M、N分别在AC、CB的延长线上，且MD⊥DN，连MN．（1）求证：DM=DN；（2）若∠DMC=15°，BN=1，求MN的长．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）连接CD，求出CD=BD，∠CDM=∠BDN，∠MCD=∠ DBN，证△DCM≌△DBN，推出即可；（2）求出CM=BN=1，∠MNC=30°，根据含30度角的直角三角形性质推出即可．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．【1】已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【2】如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．【3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D

是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．【4】如图，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC角平分线BD于D，AC，BD交于E．AF 为BC中线，交BE于G．（1）求证：BE=2CD；（2）CE和BG大小如何？不必证明．【5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF．（3）求证：BD=BF 【6】等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC 于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论

等腰直角三角形的旋转

（图1）（图2）（图3）等腰直角三角形的旋转 1.如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，以BC 为边作等腰Rt △BCD ，连接AD ，把△ACD 绕D 点，逆时针方向旋转900 ，得到△EBD 。（1）画出△EBD ；（2）当BC=4时，连接AE ，求△ABE 的面积；（3）当BC 的长度发生变化时，请直接写出AD 长的取值范围。 ( 备用图） 2.(1)如图1， △ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，求证：△ACD ≌△BCE. (2) 如图2，将图1中△DCE 绕点C 逆时针旋转n °(0＜n ＜45)，使∠BED=90°，又作△DCE 中DE 边上的高CM ，请完成图2，并判断线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，在正方形ABCD 中，CD=5，若点P 满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A 到BP 的距离．

3.如图(1)，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =AB =4， D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt△AD 1E 1，如图(2)，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）求证：BD 1= CE 1；（2）当∠=1CPD 2∠1CAD 时，求1CE 的长；（3）连接PA,PAB ?面积的最大值为．（直接填写结果） 4.在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △A 1B 1C 1中,斜边B 1C 1中点O 也是BC 的中点。 (1)如图1，则AA 1与CC 1的数量关系是；位置关系是。 (2)如图2，将△A 1B 1C 1绕点O 顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。 (3)如图3，在（2）的基础上，直线AA 1、CC 1交于点P ，设AB=4，则PB 长的最小值是。 B P E 1B C E D D 1A 1 11 1图1

(完整版)等腰直角三角形中的常用模型

等腰直角三角形中的常用模型模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作 BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。（1）求证：BE-CF=EF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。 1.如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90o，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。（1）求证：M 为BE 的中点（2）若PC=2PB ，求 MB PC 的值（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形： 3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。（1）求证：BG=AF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45o，∠BAC =90o，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE . G G B A C D E F (2)(1)F E D C B A F D A A (2)F E D C A A B C D E F (1)(2)(3)(1)D D E E C E A A A B

旋转第二篇：两个等腰直角三角形

旋转试题篇：抓基本图形，看变化接着上一篇旋转，这篇选取其中一个特例---等腰直角三角形进行讲解。如图，△ABC和三角形ADE为等腰直角三角形，△ABC固定不动，△ADE绕顶点A顺时针旋转。不难想象，△ADE的顶点旋转轨迹如图乙所示：D、E始终在在以点A为圆心、AD长为半径的圆上，且长度不变。图甲图乙在旋转的过程中，我们发现，△ADE的位置可以大致分为三种情况：情况①：一边在△ABC内一边在△ABC外，如图1所示：情况②：一边在△ABC上，如图2所示：情况③：两边都在△ABC外，如图3所示：图1图2图3 这三种情况，几何题中，是很常见的，且贯穿整个初中。请看题：一、对接情况①的常考题。【题1】⑴问题发现：如图⑴，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE。填空，∠AEB的度数为；线段AD,BE之间的数量关系为； ⑵拓展探究如图⑵，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由。

【题2】如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．二、对接情况②的常考题。【题3】在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上的一点，点E在BC上，且AE=CF； ⑴求证：Rt△ABE≌Rt△CBF; ⑵若∠CAE=30°，求∠ACF的度数。【题4】如图所示，H是△ABC的高AD,BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC； ③BH=AC；④CE=CD中，正确的有。三、对接情况③的常考题。【题5】如图①，已知△ABC，以△ABC的边AB、AC为边，分别向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接CD、BE、DE。（1）试说明：△ADC≌△ABE；（2）判断CD与BE有怎样的位置关系；（3）试判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由。

等腰直角三角形中的常用模型

-- 等腰直角三角形中的常用模型模型一:一条直线(不与三角形的边重合)过等腰直角三角形的直角顶点 (1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边,必定可以构造一对全等的直角三角形: 例１.如图：Rt ΔＡBC 中,∠BAC =90o,AB ＝AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作ＢE ⊥ＡＤ于点E ，过C 作C Ｆ⊥A Ｄ于点F 。（1)求证：BE －ＣＦ=EF ； (2)若D 在BC 的延长线上(如图（2）)，（1)中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。１．如图1,等腰Rt △ABC 中，A Ｂ=CB ,∠ABC =90o,点P 在线段BC 上(不与B 、C 重合）,以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ,连CQ 交ＡB 于M 。 (１)求证:M 为B Ｅ的中点 (２）若P Ｃ＝２ＰB,求MB PC 的值（２）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边,必定可以构造一对全等的直角三角形: 3、如图:Rt ΔＡBC 中,∠BAC =90o,ＡＢ=ＡＣ，点D 是ＢC 上任意一点,过B 作B Ｅ⊥A Ｄ于点Ｅ，交ＡC 于点Ｇ,过C 作CF ⊥AC 交A Ｄ的延长线与于点Ｆ。 (1)求证:BG=AF ；（2)若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1)中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。变式１：如图,在R t △ＡＢC 中，∠ＡC Ｂ＝45o，∠BAC ＝90o,AB=AC ,点Ｄ是A Ｂ的中点，A Ｆ⊥ＣＤ于H 交BC 于Ｆ，B Ｅ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证:BC 垂直且平分ＤE ． G G B A C D E F (2)(1)F E D C B A D E F F E D (2)(1)C C A B B A (2)F E D C B A A B C D E F (1)(2)(3)(1)D D E E C E A A A B

一个等腰直角三角形的旋转问题的探究

图 2 图 1 图 3 图 5 图4 图 6 图 7 一个等腰直角三角形旋转问题的探讨原题：在△ABC 中，AC=BC,∠ACB=90O , △ADE 为等腰直角三角形，DE ⊥AD 。M 为线段EB 的中点, 连结DM 、CM 。请探究DM 与CM 的关系（如图1）。证明分析：利用直角三角形斜边中线性质和三角形的内外角和定理不难证明DM 与CM 垂直且相等。问题：把等腰直角△ADE 绕点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，其它条件不变，则上述命题的结论仍然成立吗？一、特殊位置时结论的证明旋转一：当线段AD 旋转到线段AC 上时（如图2）。证明分析（如图3）：设线段AE 与线段BC 的延长线相交于点N 。由直角三角形斜边中线性质可得，AM ＝EM ；由等腰直角三角形的定义可得，AD=ED ，所以，根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可得DM ⊥AE ，可证DM ∥AB 。同理，CM ∥AN ，综合可证△CDM 是等腰直角三角形。于是，命题得证。旋转二：当E 、D 、B 三点旋转到同一条直线上时（如图4）。证明分析（如图5）：延长AD 至N ，使DN=DM ，连结CN 。△EDA 是等腰直角三角形，所以可证得AN=EM=BM 。由三角形内角和可证∠NAC=∠CBM ，用“SAS ”证明△CBM ≌△CAN 。得∠MCB=∠NCA ，证出∠NCM=90O ，再由△CBM ≌△CAN 可得∠N=∠DMC,由四边形内角和可证得∠N=∠DMC =90O ，从而证明四边形DMCN 为正方形。于是命题得以证明。旋转三：当点E 、A 、B 三点在同一条直线上时（如图6）。

初中数学破题致胜微方法(等腰直角三角形中的手拉手模型)等腰直角三角形手拉手的旋转

等腰直角三角形手拉手的旋转例：已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,点D 在直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ，如图，当点D 在线段BC 上时，求证：（1）CF=BD; （2）CF ⊥ BD; 分析：根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，正方形的性质可得AD=AF, ∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF ，再利用“边角边”证明△ABD 和△ACF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD ，全等三角形的对应角相等可得∠ACF=∠ABD ，然后求出∠BCF==90°,再根据垂直的定义证明即可. 证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=45°, ∵四边形ADEF 是正方形，∴AD=AF,∠DAF==90°， ∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF, 在△ABD 和△ACF 中，AB AC BAD CAF AD AF =??∠=∠??=? ，∴△ABD ≌△ACF ，所以CF=BD. （2）∠ACF=∠ABD, ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∴CF ⊥BD; 总结：（1）两个相似的共直角顶点的等腰直角三角形，旋转所形成的全等三角形相对孤立的边的关系是垂直且相等，如图，△BCD ≌△ECA ，则AE=BD.AE ⊥BD,

（2）延伸：两个共顶点的全等三角形旋转90°时，对应的孤立边的位置关系是垂直且相等,如图，BC=DE.BC⊥DE. 练习：1.如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交CD于点F,BD 分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由 2.如图,已知F是正方形ABCD中BC边上一点,延长AB到E,使得BE=BF,试用旋转的性质说明:AF=CE且AF⊥CE.

等腰直角三角形中的常用模型复习过程

等腰直角三角形中的常用模型

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 等腰直角三角形中的常用模型模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。（1）求证：BE-CF=EF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。 1.如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90o，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。（1）求证：M 为BE 的中点（2）若PC=2PB ，求MB PC 的值（2全等的直角三角形： 3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。（1）求证：BG=AF ； D E F F E D (2) (1) C C A B B A (2) F E D C B A A B C D E F (1) (2) (3) (1) D D E E C E A A A B

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3 （2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45o，∠BAC =90o，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE . 变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点， AF ⊥BD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。变式3：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 、E 是AC 上两点且AD=CE ，AF ⊥BD 于点G ，交BC 于点F 连接DF ，求证：∠1=∠2。模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形 A B C D E F (2) (1) F E D C B A G G B A C D E F (2) (1) F E D C B A

初中数学破题致胜微方法(等腰直角三角形中的手拉手模型)等腰直角三角形手拉手模型的补全【含解析】

等腰直角三角形手拉手模型的补全例：如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC =135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ．（1）① 依题意补全图形； ② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离． D A B C P D C A B 图1 图2 分析：（1）②∠ADC +∠CDE =180°．根据旋转的性质即可解答（2）根据旋转的性质，可证明A 、D 、E 三点在同一条直线上，得到AE=AD+DE ，再根据旋转，实质得到两个等腰直角三角形手牵手相似，则可证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE ，又CD=CE,∠DCE=90°，CM⊥DE，得到DE=2CM ，∴AE=BE+2CM. （3）作AF⊥BP 于F ，此图可看成不完整的等腰直角三角形手牵手，则相当于△ADP 绕点A 顺时针旋转90°，∴作AH⊥BP 于H ，如图，形成三角形△ABD 和△AHP 手牵手，∴△ABH≌△ADP，∴BP=BH+HP=PD+2AF，在Rt△BPD 中借助勾股定理可得AF =

解：（1）① 依题意补全图形（如下图）； ② ∠ADC+∠CDE=180°．（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：∵ 线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE， ∴ CD=CE，∠DCE=90°．∴ ∠CDE=∠CED=45°．又∵ ∠ADC=135°，∴ ∠ADC+∠CDE=180°， ∴ A、D、E三点在同一条直线上. ∴ AE=AD+DE. 又∵ ∠ACB=90°，∴ ∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．又∵ AC=BC，CD=CE，∴ △ACD≌△BCE．∴ AD=BE． ∵ CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴ DE=2CM． ∴ AE=BE+2CM．

基础训练(二)等腰直角三角形的旋转

基础训练（二）等腰直角三角形的旋转 [直角对直角] 1、如图1，在等腰Rt△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，若将△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置。（1）点M、P、N分别是DE、DC、BC的中点，连接MN、PM、PN，判断△PMN的形状；（2）将△ADE绕A点在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，说明S△PMN的最大面积。

2、在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，AC=4，D、E分别为AB、AC的中点。若Rt△ADE绕A 点逆时针旋转，得到△ADE，如图1，设旋转角为α（0<α<180°），记BD与CE交于P。（1）探求BD、CE的数量关系和位置关系；（2）如图2，CE=2时，求α；

[锐角对锐角] 1、已知等腰直角三角形△ABC与△DEC中，CE=DE，AB=AC，∠CED=∠CAB=90°。（1）将△DCE绕C点旋转至如图1位置，N是BD中点，试探求EN与AN的关系并证明；（2）如图2，M是CD的中点，BE交AM于F，求AM与BE的数量关系。

2、等腰直角三角形△ABC与△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，连接EC、BF，点D为BF中点，连接CD。（1）如图1，当点E落在AB边上时，探求线段EC与CD的数量关系，并证明；（2）将△AEF绕点A顺时针旋转至图2位置，探求线段EC与CD的数量关系，并证明。

如图1，△ABC与△DCE均为等腰Rt△，∠BAC=∠DCE=90°，点O为DE中点，连AD，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连AF。（1）当D在线段AC上时，如图1，判断线段AF与AO的数量关系和位置关系；（2）若AB=4，CE=2，在图1的基础上，将△CED绕C点继续逆时针旋转到某一位置如图2，此时平行四边形ABFD 为菱形，求AF的长度。如图，AB垂直平分CD于O，AB=BC，E是BC延长线上一点，F为DB延长线上一点，连接AE、AF，∠EAF=∠EBF。（1）探求BE、BF、OB之间的关系；（2）若OB=4，OA=1，BF=6，求S△ABE。

一次函数与等腰直角三角形

一次函数与等腰直角三角形 1，如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3），则B点的坐标是________． 2，如图1,把一块等腰直角三角尺放入一个固定的“U”型槽ADEB中,使三角尺的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动,已知 . (1)在滑动过程中,与是否全等?请说明理由. (2)在滑动过程中,四边形ABED的面积是否发生变化?为什么? (3)利用(1)中所得结论,尝试解决下列问题:如图2,已知直线与y轴交于点A,与x轴交于点B,将直线绕着A点顺时针旋转得到直线,试求直线的函数解析式.

3，已知直线与y轴交于点A,将直线绕A点顺时针旋转至,求的解析式. 4，【模型建立】 (1)如图1,等腰直角三角形ABC中,,,直线ED经过点C,过A作于点D,过B作于点E. 求证:; 【模型应用】(2)①已知直线与坐标轴交于点A、B,将直线绕点A逆时针旋转至直线,如图2,求直线的函数表达式; ②如图3,长方形ABCO,O为坐标原点,点B的坐标为,点A、C分别在坐标轴上,点P 是线段BC上的动点,点D是直线上的动点且在第四象限.若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点D的坐标.

5，如图①,四边形OACB为长方形, , ,直线l为函数的图象. (1)点C的坐标为 (2)若点P在直线l上, 为等腰直角三角形, ,求点P的坐标; 小明的思考过程如下: 第一步:添加辅助线,如图②,过点P作轴,与y轴交于点N,与AC的延长线交于点M; 第二步:证明; 第三步:设,列出关于m的方程,进而求得点P的坐标. 请你根据小明的思考过程,写出第二步和第三步的完整解答过程; (3)若点P在直线l上,点Q在线段AC上(不与点A重合), 为等腰直角三角形,直接写出点P的坐标.

两个等腰直角三角形旋转2教学文稿

两个等腰直角三角形旋转2

精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除已知△ ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F 为BE 中点，连接DF 、CF ．（1）如图1，当点D 在AB 上，点E 在AC 上，请直接写出此时线段DF 、CF 的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°时，若AD=1， AC=，求此时线段CF 的长（直接写出结果）．【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF ，根据∠DFE=2∠DCF ，∠BFE=2∠BCF ，得到∠EFD +∠EFB=2∠DCB=90°，DF ⊥BF ．（2）延长DF 交BC 于点G ，先证明△DEF ≌△GCF ，得到DE=CG ，DF=FG ，根据AD=DE ，AB=BC ，得到BD=BG 又因为∠ABC=90°，所以DF=CF 且DF ⊥BF ．（3）延长DF 交BA 于点H ，先证明△DEF ≌△HBF ，得到DE=BH ，DF=FH ，根据旋转条件可以△ADH 为直角三角形，由△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB 的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH ，再求出DF ，由DF=BF ，求出得CF 的值．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F 为BE 中点， ∴DF=BE ，CF=BE ， ∴DF=CF ． ∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45° ∵BF=DF ， ∴∠DBF=∠BDF ， ∵∠DFE=∠ABE +∠BDF ， ∴∠DFE=2∠DBF ，同理得：∠CFE=2∠CBF ， ∴∠EFD +∠EFC=2∠DBF +2∠CBF=2∠ABC=90°， ∴DF=CF ，且DF ⊥CF ．（2）（1）中的结论仍然成立．

等腰直角三角形旋转

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- 3 - / 4 旋转的等腰直角三角形【变式典型题】原题：如图所示，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点，求证：MDB MBD ∠=∠．变式1 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转?45，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式2 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转?90，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式3 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转?135，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式4 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转?180，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式5 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转?270，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式6 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转?315，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？【练习】 1．在ABC ?中，?=∠90ACB ，AC=BC ．直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，求证：①CEB ADC ???；②BE AD DE +=；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． A D E B M C A D E B C A D E B M C B M C A D E A D E B M C A D E B M C A D E B M C A O (G) E B D C F l 图1 A C B M 图2 N E D A C B M 图3 N E D

等腰直角三角形

11 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为（根号2加1），所以r:R=1:（根号2加1）。目录 1关系 2线段 3解三角形 4勾股定理 5证明方法 6定理 7相关定理

8梅涅劳斯9特殊等腰

高：顶点到对边垂足的连线。角平分线；顶点到两边距离相等的点所构成的直线。中位线：任意两边中点的连线。 3解三角形在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有（1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r) （2）余弦定理。 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA cosA=c^2+b^2-a^2/2cb b^2=a^2+c^2-2ac*CosB cosB=a^2+c^2-b^2/2ac c^2=a^2+b^2-2ab*CosC cosC=a^2+b^2-c^2/2ab 4勾股定理如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C 满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：AB=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理） 5证明方法证法1 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

等腰直角三角形旋转

旋转的等腰直角三角形【变式典型题】原题：如图所示，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点，求证：MDB MBD ∠=∠．变式1 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转 ?45，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式2 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转?90，其余条件不变，结论 MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式 3 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转?135，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式4 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转?180，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式5 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转?270，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式6 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转?315，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？【练习】 1．在ABC ?中，?=∠90ACB ，AC=BC ．直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，求证：①CEB ADC ???；②BE AD DE +=；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． C l 图1 B B

等腰直角三角形在解题中的应用

等腰直角三角形在解题中的应用等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，它集等腰三角形和直角三角形的性质于一身，此外还形成了自己的独特性质，正是等腰直角三角形的这些特殊性质，使其应用非常的广泛.下面就其应用作出归纳，供学习时借鉴. 1.直角顶点在正方形的中心旋转生成等腰直角三角形例1 （2018?遵义）如图1，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 分别在AB 、BC 上（AE ＜BE ），且∠EOF=90°，OE 、DA 的延长线交于点M ，OF 、AB 的延长线交于点N ，连接MN ．（1）求证：OM=ON ．（2）若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．解析：（1）因为四边形ABCD 是正方形，所以OA=OB ，∠DAO=45°，∠OBA=45°，所以∠OAM=∠OBN=135°，因为∠AOM+∠BOM =90°，∠BON+∠BOM =90°，所以∠AOM=∠BON ，所以△OAM ≌△OBN （ASA ），所以OM=ON ；（2）如图1，过点O 作OH ⊥AD 于点H ，因为正方形的边长为4，所以OH=HA=AM=2，解法1 ：因为E 为OM 的中点，所以HM=4，则OM=2242+=25，所以MN=2OM=210．解法2 ：因为△OAM ≌△OBN ，所以AM=BN=2，所以AN=AB+BN=6, 所以MN=2262+=210．点评：第一问的解答抓住一个要点即充分利用已知的直角和正方形对角线构成的直角，构造符合同角的余角相等的原理等式，为三角形的全等提供一个有力的 “角”要素. 第二问实质是不论三角形MON 怎样运动，三角形MON 都是等腰直角三角形,这一点很重要. 在求斜边MN 的长时，可以选择不同方法，为变式思维训练提供“场所”.

等腰直角三角形中的常见模型

中考复习专题1 姓名：________________ 等腰直角三角形中的常用模型【复习说明】 1．本节课针对成都市中考中A 卷20题（10分）以及B 卷5道填空题之一（4分）可能出现的题目； 2．本节课涉及三个模型，分析思考时要注意不同状态的辅助线添加方式以及对应的证明方式．【涉及知识点回顾】——等腰直角三角形的几何特征 ①角的特征：____________________________________________________________________________ ②边的特征：____________________________________________________________________________ 模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点 ★（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边．．．．．．．．．，必能构造一对全等的直角三角形：【例1】【A 卷20题前两问】如图：Rt △ABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F ．（1）若D 在线段BC 上（如图（1）），求证：BE-CF=EF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并证明． C B A B C D E F (1)(2) F E D C B A

【课堂练习1】【B 卷填空】如图，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ， ∠ABC =90o，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M ．若3 4BP PC ，则MB PC 的值为________． ★（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边．．．．．．．．．．，必能构造一对全等的直角三角形：【例2】【A 卷20题前两问】如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是 BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F ．（1）若D 在线段BC 上（如图（1）），求证：BG=AF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并证明．【课堂练习2】【B 卷填空】等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝ 90°，点D 、E 是AC 上两点，且AD=CE ，AF ⊥BD 于点G ，交 BC 于点F ，连接FE 并延长，交BD 延长线于H ．若∠ABD =21°，求∠H 的度数为_________ °． C G B A C D E F (2) G B (1)F E D C B A A

等腰直角三角形旋转

等腰三角形中的旋转题

等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题(精华)

等腰直角三角形例题

等腰直角三角形的旋转

(完整版)等腰直角三角形中的常用模型

旋转第二篇：两个等腰直角三角形

等腰直角三角形中的常用模型

一个等腰直角三角形的旋转问题的探究

初中数学破题致胜微方法(等腰直角三角形中的手拉手模型)等腰直角三角形手拉手的旋转

等腰直角三角形中的常用模型复习过程

初中数学破题致胜微方法(等腰直角三角形中的手拉手模型)等腰直角三角形手拉手模型的补全【含解析】

基础训练(二)等腰直角三角形的旋转

一次函数与等腰直角三角形

两个等腰直角三角形旋转2教学文稿

等腰直角三角形旋转

最新版《等腰直角三角形中的常用模型》(超详细)

等腰直角三角形

等腰直角三角形旋转

等腰直角三角形在解题中的应用

等腰直角三角形中的常见模型