物资调运问题的优化模型

物资调运问题的优化模型

肖凤莲 涂礼才 何三才

摘 要:

本题所说的是防洪抗涝物质调运问题.在此问题中我们求各企业、物资仓库及国家级储备库之间物资的运费每一百件最少的路线，把附件2（生产企业，物资仓库及国家级储备库分布图）的分布图转化为数学直观简图（见模型求解中图1），所得图是连通图，设为()E V G ,=，各个边的权为相连两点每百件物资的运费。我们利用“破圈法”和“最短路"求任意企业、物资仓库及国家级储备库两两之间及仓库与仓库之间的最优路线,显然我们建立的数学(简单图形)模型是可行的、合理的。得出最优路线见表二、三、四、五。 我们根据实际情况，在保证国家级储备库的情况下,采用就近原则，在此基础上建立线性规划模型（如下）：

)))

()(())

()()(((min 11

11

1111

11∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑∑=++==++==++=====?+?+?+?+??=b

i c

b b k k i k

i a i c

b b k k i ik

b

i c

b b k j i b i b

j j i j i j

i a

i b

j j i j i w z

y x

q w z w z

y x p A F

运用Lingo 软件对我们所建立线性规划问题进行计算。

再把天数为20带入上述线性规划，运用Lingo 运用软件进行计算，可以得到

业2—6—40—储备库1，其他中断路段对物资运输的路线无影响。建立线性规划，运用Lingo 运用软件求解，其结果见问题4的求解。

此模型简单易懂，容易推广。运用了LINGO 数学软件,提高了计算的速度.

解得的结果符合实际.

关键词：破圈法、最短路、线性规划模型、Lingo 。

一、问题的重述

我国地域辽阔,气候多变，各种自然灾害频频发生,特别是每年在长江、淮河、嫩江等流域经常爆发不同程度的洪涝灾害，给国家和人民财产带来重大损失，防洪抗涝成为各级政府的一项重要工作。某地区为做好今年的防洪抗涝工作，根据气象预报及历史经验，决定提前做好某种防洪抗涝物资的储备。

已知该地区有生产该物资的企业三家，大小物资仓库八个，国家级储备库两个，各库库存及需求情况见附件1，其分布情况见附件2.经核算该物资的运输成本为高等级公路2元/公里?百件，普通公路1。2元/公里?百件，假设各企业、物资仓库及国家级储备库之间的物资可以通过公路运输互相调运。

（1）请根据附件2提供的信息建立该地区公路交通网的数学模型.

(2)设计该物资合理的调运方案，包括调运量及调运线路，在重点保证国家级储备库的情况下,为给该地区有关部门做出科学决策提供依据。

(3）根据你的调运方案，20天后各库的库存量是多少？

（4）如果汛期下列路段因洪水交通中断,能否用问题二的模型解决紧急调运的问题，如果不能,请修改你的模型。

中断路段： 14—23,11—25,26—27，9—31

二、模型的假设

1、物资从各企业调运到每个仓库的运输时间不计,即运输能力足够大；

2、在满足仓库和储备库的库存要求之下，我们可以任意的进行物资调运；

3、调运过程无任何意外情况发生；

4、企业之间物资的生产互不影响;

5、企业与企业不存在运输关系；

6、仓库与仓库、储备库与储备库之间权值相同;

7、仓库与储备库之间可以相互运输。

三、符号说明

向仓库

：表示企业j

i

x

运输的货物量；

)

:

(百件

单位

j i

向仓库

表示企业

：j

i

y

运输的最短路程；

)

:

(公里

单位

j i

：k

i

x

表示企业

向储备库

:

(百件

单位

运输的货物量；

)

k i

表示企业

：k

向储备库

i

y

(公里

)

:

单位

运输的最短路程；

k i

表示仓库

：j

向仓库

i

z

(百件

)

运输的货物量；

:

单位

ij

):(公里单位运输的最短路程；

向仓库表示仓库：j i w ij

):(百件单位运输的货物量；向储备库表示仓库：k i z ik ):(公里单位运输的最短路程；向储备库表示仓库：k i w ik ):(百件单位现有的库存量；表示企业：i M i ):(百件单位的最大库存量；

：表示企业i M i x a m

):(百件单位的最大库存量；：表示储备库k C k x a m ):(百件单位的最大库存量；表示仓库：j C j x a m ):(百件单位的最低库存量；表示仓库：j C j n i m ):(;min 百件单位的最低库存量表示储备库：k C k ):(百件单位的预测库存量；

表示仓库：j Y j

):(;百件单位的预测库存量表示储备库：k Y k ):(百件单位的现有库存量；

表示仓库：j X j

):(;百件单位的现有库存量表示储备库：k X k ):(天单位的生产时间；表示企业：i T i ):(;

百件单位每天的产量表示企业：i B i

）百件元（单位：费；表示每公里运输物资的： A

：表示企业的个数；a ：表示仓库的个数；b ：表示储备库的个数；c ：表示仓库的权值；p ：表示储备库的权值；q

四、模型的分析和建立

我们根据题目及附件1中的数据信息加以分析,把实际图形转化为数学图形，再根据图论知识，将数学图放在图论中，进行假设与分析，从而建立了比较优化的数学模型。我们分析得到：合理的调运方案实际上就是在满足仓库、储备库各自需求的前提下，要求总运费最少，因此建立了一个线性规划模型。因为高等级公路和普通公路的路程价钱不同，为了使计算过程简单化，我们结合高等级公路和普通公路的路程价钱的比例关系将高等级公路路程转化为普通公路路程，所以我们就避免了路程和价钱同时考虑的现象，从而我们就将价钱和里程的关系转化为单一的里程问题，因此简化了问题。所以我们需要求出企业与物资仓库之间的最短路ij y ,企业与国家级储备库之间的最短路ik y ,物资仓库与国家级储备库之间的最短路ik w ，物资仓库与物资仓库之间的最短路ij w ，而最短路路线可以根据附

件2由图论中的“破圈法1"统计出来。我们的目的是在满足仓库、储备库各自的需

求下，要求总运费最少，即可以转化为转移物资和路程的长度之积。

首先我们只考虑的运输关系为:企业与物资仓库,企业与国家级储备库。建立目标函数1为：

))()((min 11

111k i a

i c

b b k k

i j i a

i b

j j i y x

q y x p A F ?+??=∑

∑∑∑=++===

然后经过分析我们考虑到了物资仓库与国家级储备库还存在着运输关系，因此我们将目标函数1做了进一步的修改，得到目标函数2：

)))

()(())()(((min 11

11

11

112∑

∑∑

∑∑

∑∑∑=++==++==++===?+?+

?+??=b

i c

b b k k i k

i a

i c

b b k k i ik

b

i c

b b k j i j

i a

i b

j j i j i w z

y x

q w z

y x p A F

综合上面的分析，最后我们得出了物资调运的线形规划模型： 目标函数：

)))

()(())

()()(((min 11

11

1111

11∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑∑=++==++==++=====?+?+?+?+??=b

i c

b b k k i k

i a i c

b b k k i ik

b

i c

b b k j i b i b

j j i j i j

i a

i b

j j i j i w z

y x

q w z w z

y x p A F

约束条件:

???

?

?

?

??

???

+≥+≤++≤≤++≤∑∑∑∑∑∑∑∑========3110931813181max 3181max i k ik i j ij i i i i i k k ik ik k i i j

j ij ij j x x T B M C X z x Y C X z x Y

五、模型的求解

我们由图论知识可以把题中给的生产企业,物资仓库及国家级储备库分布

图进行简化可以得以下的简图：

图1

结合上图，我们要找到生产企业、物资仓库及国家级储备库每两两之间的最短路，所以我们使用“破圈法”—-任取一个圈，从圈中去掉一条权（图中为每两点间的距离）最大的边(但如果有两条或两条以上的边上的权都是最大的边，则任意的去掉其中一条)。在余下的图中，重复这个步骤，直至得到一个不含圈的图为止。我们求企业2到仓库1的方法如下：

由图知：企业2到仓库1之间的路径有5条,此图为连通图，但为了求他

们之间的最短路,因此应去掉该图中的权(任意两点之间的距离）最大的边,由“破圈法”得到最终图形为下图1：

所以由最短路的相关知识可以得到企业2到仓库1的最短路程为：5821 y ， 路径为：41（企业2）—42—28 （仓库1）。

同理得：ik ij ik ij w w y y ,,,及相关路径（见附件1:表二、表三、表四、表五) 根据以上算出的数据，由题意可得首先应该重点保证国家级储备库；再是考虑公路区间长短及运输货物的费用,采用就近原则进行货物调运。又因为各处发生洪涝灾害的情况是突发的，对时间并没有限制，有附录表1中的数据得到各仓库和储备库的现有库存量都超过最底库存量，所以假定仓库与仓库之间、仓库与储备库之间不进行货物的调运，各个企业之间也不会相互联系的.那么现在只有企业与仓库，企业和储备库才有运输关系，因此我们根据图论中的最短路和破圈法可以得到各个企业和仓库、储备库的调运关系，如下表所示：

企业i 运输目的地 企业1 仓库2 仓库5 储备库1

企业2 仓库1 仓库7 储备库1 储备库2

企业3 仓库3 仓库4 仓库6 仓库8 储备库2

由附录中的表1可知，从仓库1到仓库8和两个储备库的储量来看他们现有的库存都是介于最低库存和预测库存之间,因此我们要从企业调运物资来使得他

们的库存达到预测库存以上。

对于企业1要使得他的库存来满足仓库2、仓库5和储备库1的预测库存，就必须的生产，那么企业一至少要生产多少天才可以达到仓库2、仓库5和储备库1的预测库存呢。 有25.1840))()()((995522=÷-+-+-X Y X Y X Y 天，企业1至少要生产18。25天才可以满足仓库2、仓库5和储备库1的存储量达到预测库存以上；同理可以得企业2要生产22天才可以满足仓库1、仓库7和储备库2的存储量达到预测库存以上，企业3要生产22天才可以满足仓库3、仓库4、仓库6、仓库8和储备库2的存储量达到预测库存以上.

1、问题二的求解:

有前面的模型和现在分析的情况可以得到一个新的模型： 目标函数：

A y x

y x

y x

F j j j j

j j j j

j j j ji

??+

?+

?=∑∑∑∑∑∑======))()()((

min 310.8.6.4.310

.8.6.4.33210.9.7,110

.9.7.1219.5.19

.5.11'

约束条件：

?????

??

????

?

???

?????

???==-≤-≥?+≤+

≥?+≤≥?+≤≥∑∑∑∑∑∑======10.....1;3,2,1)()(max 10,8,6,4,3310,8,6,4,3310,9,7,1210,9,7,129

.5.219.5.21j i Y C x X Y x T C X x X x T C X x X x T C X x X x k j j i i k j i j i i j j j j j j i i j j j j j i i j j j j j j 企业1到仓库2、仓库5和储备库1的最短路程为：125，80,100公里;企业2

到仓库1、仓库7、储备库1和储备库2的最短路程为:58，118，131。1,148公里；企业3到仓库3、仓库4、仓库6、仓库8和储备库2的最短路程为：123，75，145，93，102公里。在附录表1中有i j i k C C X Y ,,,max 的值i T 的取值为22天。

把数据和目标条件和约束条件放在Lingo 软件去解： 解得最小费的最优解为：315876

最优解为：

700

,100,

20,

120,0,

0,0,110,300,1000,0,33031038363433210292721191512============x x x x x x x x x x x x

即：企业1向仓库2运输330百件，企业1向储备库1运输1000百件；

企业2向仓库1运输300百件，企业2向仓库7运输110百件； 企业3向仓库4运输120百件，企业3向仓库6运输20百件， 企业3向仓库8运输100百件,企业3向储备库2运输700百件。

2、问题三的求解：

我们是规定的20天完成，那么又可以得一个目标规划模型：

A

y x

y x

y x

F j j j j

j j j j

j j j ji

??+

?+

?=∑∑∑∑∑∑======))()()((min 310.8.6.4.310

.8.6.4.33210.9.7,110

.9.7.1219.5.19

.5.11'约束条件：

?????

??

????

?

???

?????

???==-≤-≥?+≤≥?+≤≥?+≤≥∑∑∑∑∑∑======10.....1;3,2,1)()(max 10,8,6,4,3310,8,6,4,3310,9,7,1210,9,7,129

.5.219.5.21j i Y C x X Y x T C X x X x T C X x X x T C X x X x k j j i i k j i j i i j j j j j j i i j j j j j i i j j j j j j 企业1到仓库2、仓库5和储备库1的最短路程为：125，80，100公里；企

业2到仓库1、仓库7、储备库1和储备库2的最短路程为:58,118,131。1，148公里；企业3到仓库3、仓库4、仓库6、仓库8和储备库2的最短路程为：123,75，145,93,102公里。在附录表1中有j i k C X Y max ,,的值，T 的值取20天。

把数据和目标条件和约束条件放在Lingo 软件去解：

那么最小费用的优解为：302532 最优解为：

700

,100,

20,

120,0,

00,550,110,300,1000,0,33031038363433210292721191512============x x x x x x x x x x x x

即：企业1向仓库2运输330百件，企业1向储备库1运输1000百件；

企业2向仓库1运输300百件，企业2向仓库7运输110百件， 企业2向储备库1运输550百件；企业2向储备库2运输0百件; 企业3向仓库4运输120百件，企业3向仓库6运输20百件， 企业3向仓库8运输100百件，企业3向储备库2运输700百件.

3、问题四的求解：

由于汛期路段14—23，11—25，26-27，9—31，因洪水交通中断,26-27影响到了企业1到储备库1,企业2到储备1的路线；我们把这条边去掉,然后在用破圈法和最短路进行计算可得：企业1到储备库1的最短路：6.23411=y ，4——20-—13--27;企业2到储备库1的最短路：2740641,

3.13129------=y 。现

在根据题意可得,我们应该选者企业2到储备库1的路线即：

2740641,

3.13129------=y ,然后对我们先前的模型的数据进行改变可以

的：

)()()(min 310.8.6.4.310

.8.6.4.33210.9.7,110

.9.7.121.5.15

.11'j j j j

j j j j

j j j ji

y x

y x

y x

F ?+

?+

?=

∑∑∑∑∑∑======

约束条件：

?????

??

????

?

???

?????

???==-≤-≥?+≤≥?+≤≥?+≤≥∑∑∑∑∑∑======10.....1;3,2,1)()(max 10,8,6,4,3310,8,6,4,3310,9,7,1210,9,7,125

.215.21j i Y C x X Y x T C X x X x T C X x X x T C X x X x k j j i i k j i j i j j j j

j j i j j j j j i j j j j j j 这里的T=20，用问题三的求解方法对问题四的求解得结果为； 那么最小费用的优解为：324234 最优解为：

700

,100,

20,

120,0,

0,550,110,300,0,200,40031038363433210292721191512============x x x x x x x x x x x x

即：企业1向仓库2运输400百件，企业1向仓库5运输200百件;

企业2向仓库1运输300百件，企业2向仓库7运输110百件，

企业2向储备库1运输550百件,企业2向储备库2运输0百件；

企业3向仓库4运输120百件，企业3向仓库6运输20百件，

企业3向仓库8运输100百件，企业3向储备库2运输700百件。

六、模型的结果和分析

我们在本问题的求解中没有考虑各个仓库之间的调运关系，也没有考虑仓库和储备库之间的调运关系，而在实际生活当中它们的关系是存在的。但在特殊的情况下有特殊的处理，灾害具有突发性，不是人们所能控制的,所以我们在处理这道题的过程当中就没有必要去考虑各个仓库之间的调运关系、仓库和储备库之间的调运关系。在运输货物的时候是需要时间的,然而我们在题中也没有考虑时间的关系，因此我们还可以增加货物调运过程中的时间因素，并且为了预防某些路段因紧急情况而不能使用，则应该设有预备方案，从而确保防洪工作做得更好.

在现实生活中,每一次运输的运输量会有一定的限制，在某种情况还会因为运量的多少而改变运费，例如运量过少，负责运输单位会因运输过程中的物质耗费而亏本，因此负责运输单位会为确保其利益，增加本次运输费用，故无形中就会增加单位货物的运输费用。所以在模型的改进中，应该考虑这个因素，从而使该模型更具有现实性

七、模型的评价及推广

优点：

我们利用图论有关知识把复杂的交通路线图简化为带权图，再根据权的大小及“破圈法”和“最短路”来判定欲求两点的最短路径，即为调运路线。根据实际情况(就近原则）来确定具体的调运方案，既有理论依据，又符合实际要求.

缺点：

我们在运算中假设仓库与仓库之间没有调运，利用直观就近原则可能忽略了其它的调运路线，使得我们的调运方案具有局限性,从而使总路费存在误差。我们考虑在调运过程中与时间无关的情况,但是在实际情况中，如果遇到紧急情况时,可能使得防洪物质短缺或者路段被冲断，从而被迫我们必须得改变调运路线，导致运费改变。

本文是关于物资调运问题,在实际的社会当中涉及许多领域，就此模型进行推广。此模型可以推广到商品的发放问题中。但还需要考虑更多的因素,如运输过程中商品的变质期限、商品的保鲜费用、市场变动情况等等.其中最短路问题是重要的最优化问题之一，他不仅可以直接应用与解决生产实际的许多问题，如：管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新、南水北调工程和西气东输等问题。

参考文献:

［1］萧树铁,数学实验，北京：高等教育出版社，2002，2。

［2] 李大潜,中国大学生数学建模竞赛，北京：高等教育出版社,1998,8. [3］许国志，运筹学，北京：清华大学出版社,2005,6。

［4] 何聪，规划论，成都：四川大学出版社，2005,9。