第一章 计数原理导学案

第一章 计数原理导学案

第一课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）

问题1 用前6个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少 种不同的号码？

问题2 用前6个大写的英文字母和一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少 种不同的号码？

问题3 上述两类计数问题中的“一件事情”分别是什么？根据你的思考，完成分类加法计数原理与分步乘法计数原理.

归纳

1．分类加法计数原理

做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法,在第二类办法中有

m 2种不同的方法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理

做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有m 1种不同的方法，做第二个步骤有m 2种不同的方法……做第n 个步骤有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法.

解题步骤

1、明确“完成一件事”；

2、确定如何完成这件事（分类、分步）；

3、应用计数原理（分类加法、分步乘法）；

4、求解。

学以致用

1、在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A ,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况

如下：

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

变式：在上题中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有1046=+种.这种算法对吗？

【小结：分类要做到“不重不漏”】

2、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

变式：要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的选法？

练1. 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产品有4种，外地产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有 种不同的选法.

练2. 某班有男生30人，女生20人，现要从中选出男，女各1人代表班级参加比赛，共有 种不同选法.

练3.乘积()()n n b b b a a a +???+++???++2121展开后，共有 项.

练4. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有 种不同的选法.

练5. 一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数号码.

练6. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名. ⑴ 从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

⑵ 从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

练7. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地

有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少条不同的路线？

练8. 如图，一条电路从A 处到B 处接通时，可有多少条不同的线路？

第二课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2）

复习1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？

复习2：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组.

⑴ 选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？⑵ 每组选1名组长，有多少种不同的选法？

探究任务一：两个原理的应用

问题：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A ～G 或U ～Z , 后两个要求用数字1～9.问最多可以给多少个程序命名？

变式：积()()()4321321321c c c c b b b a a a +++++++展开后共有多少项？

【小结：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理.】

例1 核糖核酸（RNA ）分子是生物细胞中发现的化学成分.一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4中不同的碱基，分别是A ,C ,G ,U 表示.在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意位置上的碱基与其他位置的碱基无关.假设有一类RNA 分子有100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？

变式：电子元件很容易实现电路的通与断，电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或两个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：

要用多少个字节表示？

例2 计算机编程人员在编好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径，以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？

变式：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？

练1. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？

练2. 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（各位上的数允许重复）

练3. 从5名同学中选出正，副组长各一名，共有 种不同的选法.

练4. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有 个.

练5. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成 个不同的分数，可以构成 个不同的真分数.

练6. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合 ｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有 个.

练7. 有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是 .

练8. 设x,y *

∈N ，4x y +≤，则在直角坐标系中满足条件的点()M x,y 共有 个；

练9.在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y 轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有 条.

练10. 有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是 .

练11.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有 种.

练12. 用1，2，3三个数字，可组成 个无重复数字的自然数.

练13. 一个班级有8名教师，30位男同学，20名女同学，从中任选教师代表和学生代表各一名，共有不同的选择种数为 .

第三课时 排列（1）

复习1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字，并且2个字母必须合成一组出现，4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？

复习2：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？

问题1：上面复习1，复习2中的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？

新知1：排列的定义

一般地，从n 个 元素中取出m （ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.

试试： 写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列.

新知2 排列数的定义

从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示.

试试： 从4个不同元素a ，b, c ，d 中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

问题：

⑴ 从n 个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？

⑵ 从n 个不同元素中取出3个元素的排列数是少？

⑶ 从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的排列数是多少？

新知3 排列数公式

从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的排列数=m

n A

新知4 全排列

从n 个不同元素中 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为=n n A

※ 典型例题

例1计算：⑴410A ; ⑵ 218A ; ⑶ 4

41010A A ÷.

变式：计算下列各式：

⑴215A ; ⑵ 6

6A

⑶ 2

83

8

2A

A -; ⑷

66

8

8A A .

例2若17161554m

n A =???

??，则n = ，m = ．

变式:乘积(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 ．（,n N ∈）

例3 求证： 1

1--=m n m n nA A

变式 求证： 7

766778878A A A A =+-

小结：排列数m n A 可以用阶乘表示为m

n A =

练2. 从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？

练3. 计算：=+2

43545A A ; .

练4. 计算：=+++4

4342414A A A A ；

练5. 某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行 场比赛；

练6.5人站成一排照相，共有 种不同的站法；

练7.从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数.

练8.. 求证：1

1211--++=-n n n n n n A n A A

练9.一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？

练10.一部记录片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？一部记录片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？

第四课时 排列（2）

复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同

复习2：排列数公式：

m

n

A ＝ （,,m n N m n *∈≤） 全排列数：n n A ＝ ＝ .

复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是

探究任务一：排列数公式应用的条件 问题1：

⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ ⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

新知1：排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.

新知2：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等.

例1 （1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？ （2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？ （3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？ （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？

变式：：某小组6个人排队照相留念．

(1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？ (2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？

(3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？ (4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？ (5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？

例2 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数. （1）没有重复数字的四位偶数？

（2）比1325大的没有重复数字四位数？

变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字， ⑴ 能组成多少个没有重复数字的四位奇数？

⑵ 能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？

练1.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？

练2. 在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？

练3有4位男学生3位女学生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？ （1）7个人排成一排，4个男学生必须连在一起；

练4 某农场为了考察3个水稻品种和5个小麦品种的质量，要在土质相同的土地上进行试验，应该安排的试验区共有 块.

. 某人要将4封不同的信投入3个信箱中，不同的投寄方法有 种.

练5. 用1，2，3，4，5，6可组成比500000大、且没有重复数字的自然数的个数是 .

练6. 现有4个男生和2个女生排成一排，两端不能排女生，共有 种不同的方法.

练7. 在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排一次考试，则不同的排法有 种.

练8．一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？

练9.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？

第五课时 组合（1）

复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是 和 .

复习2：排列数的定义：

从 个不同元素中，任取 个元素的 排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号 表示

复习3：排列数公式：m

n A = （,,m n N m n *∈≤）

探究任务一：组合的概念

问题：从甲，乙，丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

新知：一般地，从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

试试：试写出集合{}a,b,c,d,e 的所有含有2个元素的子集.

小结：组合与元素的顺序 关，两个相同的组合需要 个条件，是 ；排列与组合有何关系？

探究任务二．组合数的概念：

从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合．．数．

．用符号 表示． 探究任务三 组合数公式

m

n

C ＝ ＝

我们规定：=0

n C

（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方法？列出所有可能情况； （2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方法？

变式： 甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛： （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况.

例2 计算：（1）4

7C ； （2）710C

变式：求证：1

1+?-+=m n m

n C m

n m C

练1.计算：

⑴ 26C ； ⑵ 3

8C ； ⑶ 26

37C C -； ⑷ 253823C C -.

练2. 已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.

练3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种选法？

练4.. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．

练5.. 设集合{}A a,b,c,d,e ,B A =?，已知a B ∈，且B 中含有3个元素，则集合B 有 个.

练6.. 计算：3

10C = .

练7.. 从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ：n = .

练8.. 写出从a,b,c,d ,e 中每次取3个元素且包含字母a ，不包含字母b 的所有组合

练9..计算：

⑴ 215C ； ⑵ 283

6C C ÷

练10.. 圆上有10个点：

⑴ 过每2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？

⑵ 过每3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？

第六课时 组合（2）

复习1：从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示.

复习2： 组合数公式：

m

n

C ＝ ＝

探究任务一：组合数的性质

问题1：高二（6）班有42个同学

⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？ ⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？ ⑶ 上面两个问题有何关系？

新知1：组合数的性质1：m

n n

m n C C -=． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．

，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -= 试试：计算：1820C

问题2 从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类是不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素与1a 组成的，共有 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素组成的，共有 个．从中你能得到什么结论？

新知2 组合数性质2 m n C 1+＝m n C +1

-m n

C

※ 典型例题

例1（1）计算：6

9

584737C C C C +++；

变式1：计算2

100252423...C C C C ++++

例2 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2

-n m C

变式2：证明：11

1m m m n n n C C C ++++=

小结：组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛，但在使用时要看清公式的形式. 例3解不等式()3

2

1010n n-C n -<∈+C N .

练3 ：解不等式：46n n

C C <

练1.若54221

6444

x x C -C C C -=+，求x 的值

练2. 解方程：

（1）3

213

113-+=x x C C （2）3

33

22

210

1+-+-+=+x x x x x A C C 练3. 9089

10099C -C ＝

练4 若23

1212n n-C C =，则n =

练5.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；

练6. 若778

1n n n C C C +=+，则n = ；

练7. 化简：998

1m m m C -C C ++= .

练8 计算：

⑴ 197

200C ; ⑵ 21-+?n n n n C C

练9. 壹圆，贰圆，伍圆，拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？

练10. 若128

n n C C =，求21n C 的值

第七课时 组合（3）

复习1：⑴ 从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．，用符号 表示；从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示. ⑵ m

n A ＝ m

n C ＝ ＝ m n A 与m

n C 关系公式是

复习2：

组合数的性质2：．

探究任务一：排列组合的应用

问题：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：

⑴这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？

⑵如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？

新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.

试试：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段多少条？

例1 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.

⑴有多少种不同的抽法？

⑵抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

⑶抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

变式：在200件产品中有2件次品，从中任取5件：

⑴其中恰有2件次品的抽法有多少种？

⑵其中恰有1件次品的抽法有多少种？

⑶其中没有次品的抽法有多少种？

⑷其中至少有1件次品的抽法有多少种？

例2 现有6本不同书，分别求下列分法种数：

⑴分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；

⑵分给3个人，一人3本，一人2本，一人1本；

⑶平均分成三堆.

变式：6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？

例3 现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用一种

颜色，问共有几种不同的着色方法？

变式：某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，

共有多少种邀请方法?

练1. 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？

练2. 高二（1）班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动,

（1）其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?

（2）其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种?

（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种?

（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种?

练3.. 凸五边形对角线有 条；

练4.. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥，可得不同的三棱锥有 个；

练5..要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学，不同方法的种数是 ； 练6..有5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是 ；

练7.. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的五位数？

练8.. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法？

练9.. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛. ⑴ 如果4人中男生和女生各选2名，有多少种选法？

⑵ 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？

⑶ 如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ ⑷ 如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？

第八课时 二项式定理（1）

复习1： 积()()n n b b b a a a +???+++???++2121 展开后，共有 项.

复习2：在n=1,2,3时，写出 n

b a )(+的展开式.

1)(b a += ,

2)(b a += , 3)(b a += ，

①1

)(b a +展开式中项数为 ，每项的次数为 ；

②2

)(b a +展开式中项数为 ，每项的次数为 ，

a 的次数规律是 ，

b 的次数规律是 . ③3)(b a +展开式中项数为 ，每项的次数为 ，

a 的次数规律是 ，

b 的次数规律是 .

复习3：4个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个从每个容器中取一个球，有 不同的结果，其中取到4个红球有 种不同取法，取到3个红球1个黑球有 种不同取法，取到2个红球2个黑球有 种不同取法，取到4个黑球有 种不同取法.

探究任务一： 二项式定理

问题1： 猜测 n

b a )(+展开式中共有多少项？分别有哪些项？各项系数分别是什么？

新知：

++???++=+--r r n r n n n n n n b a C b a C a C b a 110)( n

n n b C +???（*∈N n ）

n b a )(+的展开式，其中r

n

C （r ＝0，1，2，…，n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用符号 表示，即通项为展开式的第 项.

试试：写出=+6)1(x ，

⑴ 展开式共有 项，

⑵ 展开式的通项公式是 ；

⑶ 展开式中第4项的二项式系数是 ，第四项系数是 . 例1 用二项式定理展开下列各式： ⑴ 4)1(x -； ⑵ 6)12(x

x -

变式：写出 4

)11(x

+

的展开式.

例2 ⑴ 求6)21(x +展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数；

⑵ 求9

)1(x

x -展开式中3x 的系数.

变式：求9)33(x

x + 展开式中的常数项和中间项.

练1. ⑴ 求()6

32b a +展开式中的第3项系数和二项式系数.

练2. ⑴ 求9

212x x ?

?- ??

?的展开式中的常数项；

⑵ 若()12n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求n 及()12n x +展开式中含3

x 的项．

练3.. ()11

2a b +的展开式中第3项的二项式系数为 第3项系数为 ；

练4.. 10)1(-x 展开式的第6项系数是（ ）

(A) 6

10C (B) 610C - (C) 5

10C (D)5

10C -

练5.. 在()6

12x -的展开式中，含3

x 项的系数是 ；

练6.. 在5

的展开式中，其常数项是 ；

练7.. ()12

x a +的展开式中倒数第4项是 .

练8.. 求()

102

332b a -展开式中第8项；

练9.. 求6

??的展开式中的常数项.

练10..求15)21(x -展开式的前4项；

练11..（04年全国卷）8

1?

??? ?

?-x x 展开式中5x 的系数是 .

第九课时 杨辉三角与二项式系数的性质

复习1：写出二项式定理的公式：

⑴ 公式中r

n C 叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.

⑵ 在n b a )(+展开式中，共有 项，各项次数都为 ，a 的次数规律是 ，

b 的次数规律是 ，各项系数分别是 .

复习2：求10

2???? ?

?-x x 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.

探究任务一：杨辉三角

问题1：在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？

()1b a +

()2b a + ()3b a + ()4b a +

()5b a +

()6b a +

新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是

探究任务二 二项式系数的性质

问题2：设函数()r

n C r f =，函数的定义域是 ，函数图象有何性

质？（以n ＝6为例）

新知2：二项式系数的性质

⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是2

n r =.

试试：

① 在(a ＋b)6

展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项

② 若()

n b a +的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n ＝ .

反思：为什么二项式系数有对称性？

⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .

当n 是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；

当n 是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.

试试：n b a )(+的各二项式系数的最大值是

⑶ 各二项式系数的和：

在n b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到 =+???++???++n

n r n n n C C C C 10 即 =+???++???++n n r n n n C C C C 21

※ 典型例题

例1求()10

12x +的展开式中系数最大的项．

变式：在二项式(x-1)11

的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.

小结：在n

b a )(+展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.

例2 证明：在n b a )(+展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

变式：⑴ 化简:11

11

511311111C C C C +???+++ ; ⑵ 求和：n

n

n n n n C C C C 2222210+???+++.

练1. ① 在(1+x)10

的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即可） ② 在(1-x)11

的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 . （用符号表示即可）

练2. 若()7722107

21x a x a x a a x +???+++=-，则=+???++721a a a ，=+++7531a a a a

=+++6420a a a a .

练3.. 在12

x ?

+ 的展开式中，系数最大的项是第 项；

练4.. 在()99

1x -的展开式中，二项式系数最大的是第 项，项系数最小的项是第 项；

练5.. 计算109182

9

10101033331C C C -+--+=

练6.. 若()92

9012912x a a x a x a x -=+++

+，则129a a a ++

+＝ ；

练7.. 化简：=+???+++???++++++1

1

110110n n n n n n

n n C C C C C C

练8.. ⑴ 求

12

33???

? ??-x x 展开式的中间一项； ⑵ 求()

15

x

y y x -展开式的中间两项.

练2.. 已知()n

x +1的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.

第十课时二项式定理（练习）

复习1：⑴ n

b a )(+＝

展开式中r

n C 叫做第 项的 系数，通项公式是 ，展开式中共有 项.

⑵ 二项式系数的三个性质：

对称性是指 增减性：当r 满足 时，r

n C 是增函数；

最值：当n 是偶数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；当n 是奇数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；

复习2：求9

1()x x

-的展开式中3

x 的系数及它的二项式系数，并求展开式中二项式系数最大的项和系数最

大的项.

探究任务一：整除性问题，余数问题

问题：2008

101除以100的余数是多少？

新知：整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧，余数要为正整数.

试试： 2009

8除以7的余数是

反思：99

6除以7的余数是多少？

※ 典型例题

例1 用二项式定理证明：()11-+n

n 能被2

n 整除.

变式：证明100

99能被1000整除.

例2 求(

)

()5

6

121-+x x 展开式中6x 系数.

变式：求()()4

5

3121x x +-展开式中按x 的升幂排列的第3项.

小结：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算.

例3 (

)

100

32

3+x 展开式是关于x 的多项式，问展开式中共有多少个有理项？

变式：已知

n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数

项；（2）求展开式中所有的有理项

练1. ()()()()6

3

2

1111x x x x ++???++++++展开式中2

x 的系数（05湖南）.

练2. 如果812221221=+???+++n n n n n C C C ，则n

n n n C C C +???++21＝ .

练3. ()n

x 21-展开式中各项系数的和是 ；

练4. 今天是星期三，再过2009

8是星期 .

练5. 10

211??

? ??-x 展开式的5

x 系数是 ；

练6. 已知()()2

6

11-+ax x 展开式中3

x 系数是56，则实数a 的值为 ；

练7. 求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数. 练8. 求()

()10

211x x x -++展开式中的4

x 的系数.

练9. 用二项式定理证明95555

+能被8整除.

第十一课时《计数原理》复习

复习1：加法原理的使用条件是

和 ；乘法原理的使用条件是 和 .

复习2：排列中的元素满足的两个条件是

和 ；组合中元素只需要满足条件 ，与元素的顺序 关.

复习3：n

b a )(+＝

展开式中第1+r 项的二项式系数是 ，通项公式是 ，二项式系数的性质有三个是 ， 和 .

探究任务一：基础知识

1. 学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是

2.安排6名歌手演出顺序，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是

3. 有5人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，不同分法的种数是

4. 正十二边形的对角线的条数是

5.()n

x 21+(

)

*

∈N n 的展开式中，系数最大的项是第 项.

6. 有4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，则可能的结果数是（ ）

A. 34A

B.3

4C C.43 D.34

7. 已知11-+n n C ＝21，那么n ＝ ；

8.（07北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )

A.4

102126)(A A B.242610A A C.42126

10)(A D.242610A

A ．0

B ．1 C.2 D.3

10.（07重庆文科第15题）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答）

例1 有10个不同的小球，其中4红球，6个白球. 若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，现从10个球中任取4个，使总分不低于5分的取法有多少种？

变式：三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为多少？

例2 已知23)n x 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式中二项式系数最大的项

变式：⑴ 在(1－x )5

－(1－x )6

的展开式中，含x 3

的项的系数是 （ ） A 、－5 B 、 5 C 、10 D 、－10

⑵ 求(1－2x)8展开式中二项式系数最大的项；

练1. 有4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有 （ ） A .2880 B.3080 C.3200 D.3600

练2. 一种汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不能相同，不同的牌照号码的个数是 .

练3. 310(1)(1)x x -+的展开式中，5

x 的系数是

练4.一个集合有8个元素，这个集合含有3个元素的子集有 个；

练5. 平面内有n 条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有 个交点；

练6. 书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部排在同一层，如果不使同类的书分开，一共有 种排法；

练7. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数,这样的五位数共有 个；

练8. 已知集合A ＝{}4321,,,a a a a ，B ＝{}321,,b b b ，可以建立从集合A 到集合B 的不同映射的个数 是 ，可以建立从集合B 到集合A 的映射又 有 .

练9已知()

n

x +1的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n 的值.

练10. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的数 ⑴ 能够组成多少个六位奇数？

⑵ 能够组成多少个大于201345的正整数？