分类计数原理与分部计数原理(导学案)(最新整理)
分类分步原理导学案
分类计数原理与分步计数原理导学案【使用说明】1 仔细阅读教材，深入理解后独立完成导学案，有疑问的问题用红笔画上； 2 通过自主预习，交流研讨，展示提升完成学习任务。
【学习目标】1、掌握分类计数原理与分步计数原理，2、能用这两个原理分析和解决一些简单问题．3、会根据实际问题合理分类或分步。
【学习重点】两个计数原理的应用。
【学习难点】理解两个计数原理的内容及它们的区别。
【预习案】一、请同学们看下面的问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？一般地，有如下原理：分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法二、再看下面的问题．从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法（如图）？分析：这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地．分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法三、想一想：两个原理中对“完成一件事”的要求有什么不同？ 分类加法计数原理与分布计数原理有什么区别和联系？【探究案】例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2 本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例2在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？变式：在电键组A、B组成的串联电路中，如图，要接通电源使灯发光的方法有几种？例3一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？例4集合，．从、中各取1个元素作为点的坐标．（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？【检测案】【课堂小结】。
数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》导学案
数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》导学案导学案：分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、导入数学是一门重要的学科，它不仅帮助我们掌握必要的计算技能，还培养了我们的逻辑思维和解决问题的能力。
今天，我们将学习数学中的两个重要原理，分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
通过学习这两个原理，我们可以更好地解决实际生活中的问题。
下面，我们一起来学习吧！二、学习目标1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念；2.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用方法；3.运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
三、新知呈现1.分类加法计数原理分类加法计数原理是一种通过将问题划分为若干个情况，然后逐一计数，最后将每个情况的计数相加，得到整个问题的计数的方法。
具体应用步骤如下：(1)将问题划分为若干个情况；(2)分别计数每个情况的可能性；(3)将每个情况的计数相加，得到整个问题的计数。
例如：小明有3条领带，2件衬衫和4条裤子，在上学时可以任意搭配。
求小明上学时可以有多少种不同的穿着方式？解：根据问题，我们可以将问题划分为以下几个情况：情况1：领带为1条，衬衫为1件，裤子为1条；情况2：领带为1条，衬衫为1件，裤子为2条；情况3：领带为1条，衬衫为2件，裤子为1条；情况4：领带为1条，衬衫为2件，裤子为2条；情况5：领带为2条，衬衫为1件，裤子为1条；情况6：领带为2条，衬衫为1件，裤子为2条；情况7：领带为2条，衬衫为2件，裤子为1条；情况8：领带为2条，衬衫为2件，裤子为2条；情况9：领带为3条，衬衫为1件，裤子为1条；情况10：领带为3条，衬衫为1件，裤子为2条；情况11：领带为3条，衬衫为2件，裤子为1条；情况12：领带为3条，衬衫为2件，裤子为2条。
通过计数每个情况的可能性，我们可以得到答案：12种。
2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理是一种通过将问题分解成若干个步骤，然后按照每个步骤的可能性进行计数，最后将每个步骤的计数相乘，得到整个问题的计数的方法。
分类分步计数原理(导学案) (2)
重庆市合川太和中学高2014级数学“五环节”教学导学案 学生姓名§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【学习目标】1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；2.会利用两个原理解决一些简单的计数问题；3.通过学习感受这两个原理的重要作用，提高归纳概括的能力.【学习重点】分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理).【学习难点】正确区分分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理).【学习过程】一、自学（约6分钟）自学课本P3—P5，然后回答下面问题：1.问题1 从重庆到成都，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？列式说明.2.问题2 从重庆到成都，除了问题1的乘火车、汽车外也可以乘飞机.如果一天中飞机有2班.那么，一天中，乘坐这些交通工具从重庆到成都共有多少种不同的走法？列式说明.3.完成表1，归纳问题1、2的共同点，请用自己的语言归纳出这种计数原理.表14.问题3 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？列式说明.5.问题4 某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？列式说明.已知{}2,3,7x ∈，{}3,4,8y ∈--，则xy 可表示不同的值的个数为（ ）A 、8B 、12C 、10D 、9表26.完成表2，归纳问题3、4的共同点，请用自己的语言归纳出这种计数原理.7．有一项活动需在3名教师、8名男生和5名女生中选人参加.(1)从中选出一名代表参加活动，共有多少种不同的选法？(2)从中选出教师、男、女生各一名代表参加活动，共有多少种不同的选法？二、互学（约14分钟）（一）组内交流（约7分钟）在组长的组织下，交流“自学”中的7个问题，要求每人必须发言，最后小组推荐一位代表发言.（二）全班交流（约7分钟）各组代表全班交流展示发言。
分类计数原理与分步计数原理教案
分类计数原理与分步计数原理教案●教学目标（一）教学知识点1.分类计数原理.2.分步计数原理.（二）能力训练要求1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容.2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题.3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用.4.提高分析问题、解决问题的能力.（三）德育渗透目标要求学生在现实生活中面对复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力，从而认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性.●教学重点分类计数原理与分步计数原理.●教学难点正确运用分类计数原理与分步计数原理.●教学方法启发引导式在两个基本原理的教学过程中，应启发学生由特殊情形归纳出一般原理，这一过程遵循由简单到复杂的认知规律，而且在基本原理的语言叙述上，也采用了生活化的语言，使学生易于理解.其次，要引导学生通过寻求两个原理的区别来理解原理.其一，认识到理解分类计数原理的关键是分类标准的确定，然后在确定的标准下分类，而完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.其二，分步计数原理应根据问题的特点先确定一个分步的标准，还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这n个步骤后这件事才算完成.●教学准备投影片三张第一张：问题一及图示（记作§10.1.1 A）第二张：问题二及图示（记作§10.1.1 B）第三张：本节例题（记作§10.1.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］从引言部分大家了解到，排列组合是完成某项工作的方法种数的知识，在实际生产生活中有着十分广泛的应用，而学习排列组合知识，首先要熟悉分类计数原理与分步计数原理这两个关于计数的基本原理，它们是在人们大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律.它们不仅是指导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终.下面，我们将通过实例给出两个基本原理，并结合实例进一步熟悉两个原理.Ⅱ.讲授新课［师］首先，我们来看问题一.（给出投影片§10.1.1 A）问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？图示：［师生共析］要完成从甲地到乙地这件事，从交通工具上可以有两类选择，即乘火车或者乘汽车，无论乘坐哪一类都可达到目的.若乘火车有3种走法，若乘汽车有2种走法.由于每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法，如图所示.［师］在上述的分析过程中，就体现了分类计数原理.（板书原理内容）分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+m2+…+m n种不同的方法.1［师］对于分类计数原理，我们应注意以下几点.（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；（3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.［师］接下来，我们再看问题二.（给出投影片§10.1.1 B）问题二：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？［师］问题二与问题一同是研究从甲地到乙地的不同走法，但是，我们要注意找出这两个问题的不同之处.［生］在前一问题中，采用乘火车或乘汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地.而在这个问题中，必须经过先乘火车，后乘汽车两个步骤，才能从甲地到达乙地.［师］很好，下面我们就按照上述思路来完成问题二的解答.［师生共析］要完成从甲地到乙地这件事，需要分成两个步骤，即第一步乘火车，第二步乘汽车.因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，并且两步依次完成后才能达到目的，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2=6种不同的走法.［师］从如下的图示中，我们可以具体地看到这6种走法.图示：所有走法火车1——汽车1火车1——汽车2火车2——汽车1火车2——汽车2火车3——汽车1火车3——汽车2［师］在问题二的分析过程中，就体现了分步计数原理.（板书原理内容）分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×m2×…×m n种不同的方法.1［师］对于分步计数原理，我们还应注意以下几点.（1）分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；（2）分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；（3）分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成n个步骤后这件事才算完成.［师］下面，我们结合例题来一起体会两个基本原理的正确运用.［例1］电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果？分析：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑.解：分两大类：（1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有：30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果，因此共有不同结果17400+11400=28800种.［师］大家在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合理分步，一般情形是先分类后分步.［例2］4张卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？分析：分三步确定百位、十位、个位，注意到首位不能为0，且正反两面可用.解：分三个步骤：第一步：首位可放8－1=7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数.根据分步计数原理，可以组成N=7×6×4=168个数.［师］分类计数原理和分步计数原理是排列组合的理论基础，这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理.用分类计数原理的关键在于恰当分类，分类要做到“不重不漏”，应用分步计数原理的关键在于分步，要正确设计分步程序.［师］下面我们通过课堂练习来进一步熟悉基本原理的应用.Ⅲ.课堂练习练习：课本P861.解：（1）分两类：第一类：从5人中选1人，有5种选法；第二类：从4人中选1人，有4种选法；根据分类计数原理，共有不同选法：N=5+4=9种.（2）分两步：第一步：从A村去B村，有3种走法；第二步：从B村去C村，有2种走法；根据分步计数原理，共有不同走法：N=3×2=6种.2.解：（1）分三类：第一类：从高一学生中选，有3种选法；第二类：从高二学生中选，有5种选法；第三类：从高三学生中选，有4种选法.根据分类计数原理，共有：N=3+5+4=12种.（2）分三步：第一步：从高一学生中选，有3种选法；第二步：从高二学生中选，有5种选法；第三步：从高三学生中选，有4种选法.根据分步计数原理，共有：N=3×5×4=60种.3.解：分三步：第一步：从第一个括号中选，有3种选法；第二步：从第二个括号中选，有4种选法；第三步：从第三个括号中选，有5种选法；根据分步计数原理，共有：N=3×4×5=60种不同项.Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求大家正确理解分类计数原理与分步计数原理，并能正确运用两个基本原理分析、解决生产、生活中的实际应用.Ⅴ.课后作业（一）课本习题10.11.解：分两类：第一类：选本地产品有4种选法；第二类：选外地产品有7种选法；根据分类计数原理有：N=4+7=11种选法.2.解：分两大类：第一大类：由甲地经乙地到丁地，又可分为两步：第一步：甲到乙有2种走法；第二步：由乙到丁有3种走法；由分步计数原理，第一类共有2×3=6种走法；第二大类：由甲地经丙地到丁地，又可分为两步：第一步：甲到丙有4种走法；第二步：由丙到丁有2种走法；由分步计数原理，第二类共有4×2=8种走法；再根据分类计数原理，从甲到丁共有：N=6+8=14种不同走法.3.解：构造分数分两步：第一步：分子从1，5，9，13中选取，有4种选法；第二步：从4，8，12，16中选分母，有4种选法.由分步计数原理，有不同分数N=4×4=16种.构造真分数分四类：第一类：1作分子，分母有4种选法；第二类：5作分子，分母有3种选法；第三类：9作分子，分母有2种选法；第四类：13作分子，分母有1种选法.由分类计数原理，共有N=4+3+2+1=10个不同真分数.（二）1.预习课本P例1～例3.852.预习题纲：（1）熟悉基本原理应用；（2）各例题中分类或分步的标准是什么.。
教案(分类计数原理与分步计数原理)
1.分类计数原理如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.分步计数原理如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.3.分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(√)(3)在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成.(√)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n种方法.(√)(5)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(√)1.(教材改编)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有________种.答案 2解析传递方式有甲→乙→丙→甲；甲→丙→乙→甲.2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为________.答案 5解析5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种.答案48解析按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48种.4.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，则这样的四位数共有________个.(用数字作答)答案14解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4个四位数.“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6个四位数.“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4个四位数.综上所述，共可组成14个这样的四位数.5.(教材改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种.答案32解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种).题型一分类计数原理的应用例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人.(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解(1)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法.根据分类计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法.(2)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法.综上知，共有30＋30＋20＝80种选法.思维升华分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.(2015·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个.答案120解析由题意知，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A34＝72个；若万位是4，则有2×A34＝48个，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120个.题型二分步计数原理的应用例2(1)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种.(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.答案(1)12(2)120解析(1)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有6种不同排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法.因此共有6×2×1＝12种不同的排列方法.(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种.引申探究1.本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729种.2.本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216种.(1)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花________元.(2)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为________.答案(1)8 640(2)100解析(1)从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选1个号有6种选法，根据分步计数原理，得共有8×9×10×6＝4 320种，所以至少需花4 320×2＝8 640(元).(2)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法.根据分步计数原理，三位数的个数为5×5×4＝100. 题型三两个计数原理的综合应用例3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即可得出结论.由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法.当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有3＋2＋2＝7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种.方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色.第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步、分类计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420种.方法三按所用颜色种数分类.第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法.由分类计数原理，得不同的染色方法种数为A55＋2×A45＋A35＝420.思维升华(1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.(2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键.(3)分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成.(4)较复杂的问题可借助图表完成.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种.答案30解析由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况.如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；这时最后两个点也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；这时最后两个点有3种情况.所以方法共有3×(2×2＋2×3)＝30种.13.对两个基本计数原理认识不清致误典例(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有________种.(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种.易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算.解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算.解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步计数原理可得共有43种方法，即64种.(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7种.答案(1)64(2)7温馨提醒(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择.(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.[方法与技巧]1.分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.2.分类标准要明确，做到不重复不遗漏.3.混合问题一般是先分类再分步.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.[失误与防范]1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.3.确定题目中是否有特殊条件限制.A组专项基础训练(时间：40分钟)1.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________.答案18解析三位数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇.对于(1)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(2种选择)，共12种；对于(2)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(1种选择)，共6种，即12＋6＝18.2.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有________种.答案 5解析记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212,21212121两种；有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种，共5种摆法.3.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为________.答案240解析分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个.故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个.4.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________.答案14解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点.5.从－2、－1、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c 的系数a、b、c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为________.答案 6解析分三步：第一步c＝0只有1种方法；第二步确定a，a从－2、－1中选一个，有2种不同方法；第三步确定b，b从1、2、3中选一个，有3种不同的方法.根据分步计数原理得1×2×3＝6种不同的方法.6.2015北京世界田径锦标赛上，8名女运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种. 答案 2 880解析分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.所以安排方式有4×3×2＝24种.第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种.所以安排这8人的方式有24×120＝2 880种.7.如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相接的三角形，则三条线段一共至少需要移动________格.答案9解析如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，根据平移的基本性质知：左边的线段向右平移3格，中间的线段向下平移2格，最右边的线段先向左平移2格，再向上平移2格，此时平移的格数最少为3＋2＋2＋2＝9，其他平移方法都超过9格，∴至少需要移动9格.8.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有________种.答案9解析编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字3，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字4，共有3种不同填法.于是由分类计数原理，得共有3＋3＋3＝9种不同的填法.9.有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加，(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？(3)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同选法？解(1)只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17种.(2)分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6＋8＝14种选法，由分步计数原理知，总方法数为3×14＝42种.(3)教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种.由分步计数原理知总方法数为3×6×8＝144种.10.为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种抽调方法.故共有C 17＋A 27＋C 37＝84种抽调方法.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种.答案 12解析 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2种选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6种选派方法.由分步计数原理，不同选派方案共有2×6＝12种.12.已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，定义函数f ：M →N .若点A (1，f (1))、B (2，f (2))、C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且 DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，则满足条件的函数f (x )有________种.答案 12解析 由DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，说明△ABC 是等腰三角形，且BA ＝BC ，必有f (1)＝f (3)，f (1)≠f (2).当f (1)＝f (3)＝1时，f (2)＝2、3、4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝2，f (2)＝1、3、4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝3，f (2)＝2、1、4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝4，f (2)＝2、3、1，有三种情况.因而满足条件的函数f (x )有12种.13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个.答案(1)90(2)9×10n解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个.(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.结合分步计数原理，知有9×10n种填法.14.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3种，此时共有6×3＝18种；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2种；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法.15.将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同涂色方法？解方法一本题利用了分步计数原理求涂色问题.给出区域标记号A，B，C，D，E(如图)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有1种.因此应先分类后分步.①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种；②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种.故共有48＋24＝72种不同的涂色方法.方法二按用3种或用4种颜色分两类，第一类用3种，此时A与E，B与D分别同色，于是涂法种数为A34＝24；第二类用4种，此时A与E，B与D有且只有一组同色，涂法种数为2A44＝48.由分类计数原理知涂法总数为24＋48＝72种.。
分类计数原理与分步计数原理导学案
课题：分类计数原理与分步计数原理（第一课时）一、学习目标（一）、知识目标1、归纳出分类计数原理和分步计数原理。
2、能根据具体问题的特征，选择分类计数原理或分步计数原理解决一些简单的实际问题。
（二八能力目标培养学生归纳推理和抽象概括能力，培养学生由特殊到一般及类比联想的学习方法，培养学生分类讨论的思想方法。
（三）情感目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于自主探索和合作学习的精神，同时体会两个原理在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发学生求知欲望。
二、预习检查分类计数原理的定义：____________________________________________________________________ .分步计数原理的定义：____________________________________________________________________ ;分类计数原理与分步技术原理的共同点： ____________________________________________________ .分类计数原理与分步技术原理的不同点： ____________________________________________________ .问题1:某校运动场有6条跑道，现要安排6名同学进行100米比赛，规则是一人一条道次，问一共有多少种不同的安排方案？问题2:暑假期间，某同学想去宜州旅游，一天中快巴客车有2班，普通客车有3班，那么他要乘这些交通工具从南丹到宜州共有多少种不同的走法？引申：如果他还有4辆出租车可以选择呢？推广：如果该同学从南丹到宜州的交通工具有n类，第一类ml种不同的方法，第二类有m2种不同的方法，…，第n类有mn种不同的方法，那么他从南丹到宜州共有多少种不同的方法？问题3:某同学临时接到任务，必需先到金城江办事，办完事再从金城江去宜州，从南丹到金城江他能选用的汽车有5班，从金城江到宜州能选用的火车有2列。
第一章计数原理复习教案学生1
第一章计数原理复习导学案一．学习目标1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．二．知识网络第一课两个原理一．知识梳理1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．二．基础自测1.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？2.（09重庆卷）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．3.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种.4.（09全国卷）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有5.（09浙江卷）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．三．典例剖析例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？练习：1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?练习：2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？例3（16分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？练习：3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？四．自主检测一．选择题1．（09北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．6482.（08·全国Ⅰ文）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A．6种B．12种C．24种D．48种3.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60B. 48C. 42D. 36二、填空题4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种.答案325.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有个.答案 5 9046.若一个m,n均为非负整数的有序数对（m,n)，在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m,n)为“简单的”有序数对，m+n称为有序数对（m,n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 .答案300三、解答题7.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？8.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？9.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数.10.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？第二课排列与组合一．知识梳理排列组合1．概念2．公式3．性质二．基础自测1.（09北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为；2.（09湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有种.（用式子表示）4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是（用式子表示）.5.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.三．典例剖析例1六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.练习：1.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.例2男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.练习：2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？练习：3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本； （3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.四．自主检测 一．选择题1.（08上海）组合数C r n（n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A ．r +1n +1C r -1n -1 B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1 D ．n r C r -1n -12. （09全国卷Ⅱ）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。
12.1分类计数原理与分部计数原理(导学案)
12.1分类计数原理和分步计数原理一、提出问题：从甲地到乙地，有三类不同的办法：乘火车、乘汽车、乘轮船。
一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 二、分析问题：各种不同的走法如下：（1） 乘火车⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩第①班第②班第③班第④班 共有________________种（2） 乘汽车⎧⎨⎩第①班第②班 共有________________种（3） 乘轮船⎧⎪⎨⎪⎩第①班第②班第③班 共有________________种显然，上述每一种方法都可以从甲地到乙地，一天中完成这件事共有三类办法，共有 4+2+3=9种不同的走法。
想一想：1.某火车站，进站台需要上楼。
该车站有楼梯4座，电梯2座，自动扶梯1座。
一位旅客要进站台，共有几种不同走法？共 4+2+1=7 种不同走法。
2.从A 城到某一旅游景区B 地，每天有火车5次，公交大客车15次，租公交车小客车25次，某人在一天中若乘坐上述交通工具，从A 到B 共有多少种不同的走法？ 5+15+25=45 种不同走法 三、提升（提出概念） 一般地，有如下原理：分类计数原理如果做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，无论通过哪一类的那一种方法，都可以完成这件事，那么完成这件事共有123nN m m m m =++++种不同走法.四、提出问题有A 村去B 村的道路有4条，有B 村去C 村的道路有2条.从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的方法？ 五、分析问题→→∙∙∙→→①②①③②④A 村B 村C 村有 428⨯= 种不同的走法 各种不同的走法如下：∙→∙∙①①②A 村B 村C 村∙→∙∙①②②A 村B 村C 村∙→∙∙①③②A 村B 村C 村∙→∙∙①④②A 村B 村C 村一般地，有如下原理：分布计数原理如果做一件事，完成它需要分n 步骤, 做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法。
分类计数原理、分步计数原理
分类计数原理、分步计数原理授课难点：1．解决学生思考过程中对加法，分步计数原理理解产生的误区。
2．帮助学生找到“重”，“漏”产生的原因。
一、概念与规律1．分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法。
在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中m2种不同的方法，……，第n类办法中有m n种不同方法。
那么完成这件事共有N=m1+m2+……+m n种不同的方法。
2．分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m1·m2·……m n种不同的方法。
3．分类计数原理和分步计数原理的共同点是，它们都是研究完成一件事情，共有多少种不同的方法；不同点在于完成一件事情的方式不同，分类计数原理是在“分类完成”，即任何一类办法中任何一种方法都能独立完成这种事。
分步计数原理是在“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情。
二、例题讲解例1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同。
（1）从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取1个4球，有多少种不同的取法。
解：（1）从两个口袋中任取一个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1+m2=5+4=9(种)。
（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步在第二个口袋内取1个小球，有4种方法。
根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2=5×4=20(种)。
即：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法；从两个口袋内各取1个小球，有20种不同取法。
分类计数原理和分步计数原理教案
10.1分类计数原理和分步计数原理松四中赵芹【教学目标】1.了解学习本章的意义，激发学生的兴趣；2.理解分类计数原理和分步计数原理，培养学生归纳概括的能力；3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题【教学重点】理解分类计数原理和分步计数原理，培养学生归纳概括的能力【教学难点】会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题【教学方法】类比、探究、讲练结合及多媒体教学【教学课时】一课时【教学过程】先观察课题“分类计数原理和分步计数原理”，发现这两个原理只有一字之差，一个“分类”，一个“分步”，我们要带着这样三个问题开始进入学习：1、这两个原理是用来干什么的？2、这两个原理应该怎样区别？3、这两个原理应该怎样去使用？引入新课引例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。
一天中，火车有3班, 汽车有2班。
那么一天中乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问：这个引例要解决的问题是什么？答：计算从甲地到乙地的方法总数。
（确定事件）问：完成从甲地到乙地的关键是什么？答：选择不同交通工具。
（确定完成该事件的关键）问：从甲地到乙地方法总数是多少？答：5种。
（确定方法总数）变题1：若从甲地到乙地还有4班飞机可乘，此时又有多少种不同走法？变题2：若完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同方法，在第2类中有2m 种不同方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同方法。
每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情共有 多少种不同方法？分类计数原理（加法原理）：若完成一件事，有n 类办法，在第1类办法 中有1m 种不同方法，在第2类中有2m 种不同方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同方法。
每一类方法中的每一种方法均可直接完成这件事，那么完成这件事情共有n m m m N +++= 21种不同方法。
引例 2：从甲地到乙地，先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。
一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?问：这个引例要解决的问题又是什么？答：计算从甲地到乙地的方法总数。
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⎪ ⎩
12.1 分类计数原理和分步计数原理
一、提出问题：
从甲地到乙地，有三类不同的办法：乘火车、乘汽车、乘轮船。
一天中，火车有 4 班，汽车有 2 班，轮船有 3 班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 二、分析问题：
各种不同的走法如下：
⎧第①班 ⎪第②班 （1） 乘火车⎨
⎪第③班 ⎪⎩第④班 ⎧第①班
（2） 乘汽车⎨
⎩第②班 ⎧第①班 ⎪
（3） 乘轮船⎨第②班
⎪第③班 共有 种
共有
种
共有 种
显然，上述每一种方法都可以从甲地到乙地，一天中完成这件事共有三类办法，共有
4+2+3=9 种不同的走法。
想一想：
1. 某火车站，进站台需要上楼。
该车站有楼梯 4 座，电梯 2 座，自动扶梯 1 座。
一位旅客要进站台，共有几种不同走法？
共 4+2+1=7 种不同走法。
2. 从 A 城到某一旅游景区 B 地，每天有火车 5 次，公交大客车 15 次，租公交车小客车 25 次， 某人在一天中若乘坐上述交通工具，从 A 到 B 共有多少种不同的走法？
5+15+25=45
种不同走法
三、提升（提出概念） 一般地，有如下原理：
分类计数原理
如果做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办
法中有 m 2 种不同的方法，…，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，无论通过哪一类的那一
种方法，都可以完成这件事，那么完成这件事共有
N = m 1 种不同走法.
+ m 2 + m 3 + + m n
四、提出问题
有A 村去B 村的道路有 4 条，有 B 村去C 村的道路有 2 条.从 A 村经B 村去C 村，共有多少
种不同的方法？
五、分析问题
①
②①
→→
A村••B村•C村
③②
→→
④
有 4 ⨯ 2 = 8 种不同的走法
各种不同的走法如下：
①
A村•→
②
A村•→
③
A村•→
①
•B村
②
①
•B村
②
①
•B村
②
•C村
•C村
•C村
④
A 村• →
①
• B 村
②
• C 村
一般地，有如下原理：
分布计数原理
如果做一件事，完成它需要分 n 步骤, 做第一步有 m 1 种不同的方法，做第二步有 m 2 种不同
的方法，…，做第 n 步有 m n 种不同的方法。
必须经过每一个步骤才能完成这件事，那么完
成这件事共有
N = m 1 ⨯ m 2 ⨯ m 3 ⨯ ⨯ m n
种不同走法.
例题 1
甲班有三好生 8 人，乙班有三好生 6 人，丙班有三好生 9 人.
（1） 由这三个班任选一名三好生，出席市三好生表彰大会，有多少种不同的选法？ （2） 由这三个班各选一名三好生，出席市三好生表彰大会，有多少种不同的选法？
思考：如何用所学知识解决？分类？分步？还是分类和分步结合？
例题 2
由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个两位偶数？ 分析： 法一 分类法二 分步
延伸：还有其它方法吗？
各位数字是 1 的两位数有 4 个各位数字是 2 的两位数有 4 个各位数字是 3 的两位数有 4 个各位数字是 4 的两位数有 4 个各位数字是 5 的两位数有 4 个课后练习：1，2，3
12.2排列的定义
一、提出问题
1.由A、B、C 三个球队中产生冠亚军队各一名，共有多少种不同的结果？思考：如何用所学知识解决？分类？分步？还是分类和分步结合？
很明显先分步：
第一步：
第二步：
根据原理：
结论：
分析：结果：冠军亚军冠军亚军
先确定A 冠军再确定亚军
1.A 队
2.B 队
3.C 队
2.由数字1，2，3 这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？
思考：如何用所学知识解决？分类？分步？还是分类和分步结合？
很明显可用分步：
第一步：
第二步：
根据原理：
结论：
分析：结果：
先确定十位数字再确定各位数字
3.小结：
上面的两个问题虽然是不同的的两个问题，但是当我们把所研究的对象（问题中的各球队，各数字）统一成为元素，就会发现它们的共同点：
（1）从3 个元素中每次任意选出2 个元素；
（2）对所取的元素，按一定的顺序（冠军——亚军，十位数字——个位数字）排成一列；（3）求一共有多少种不同的排法。
二、提升（提出概念）
一般地，如果从n 个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做
从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
特别地，当m=n 时，也就是说把n 个不同的元素全部取出来的一个排列，叫做n 个不同元素中的一个全排列.
根据排列的定义，如果两个排列里所含的元素不仅相同，而且排列的顺序也完全一样，那么它们是相同排列，否则就是不同排列。
以后本书中所说的“所有排列”就是指所有的不同排列。
例：学出从a,b,c,d 这四个字母中，取出三个字母的所有排列。
思考：分类？分步？两者结合？
很明显可用分步：
第一步：
第二步：
第三步：
根据原理：
结论：
排列方法：结果：
先确定十位数字再确定各位数字
课后练习：1，2，3
n 3 3
一、提出定义
12.3 排列计算公式
从从 n 个不同的元素中，取出 m （m ≤n ）个元素的所有排列的个数，叫做
从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记为 A m .
特别地，当 m =n 时，也就是说把 n 个不同的元素全部取出来的一个排列，叫做
例：从 3 个不同的元素取出 2 个元素的排列数表示为 A 2 ，3 个不 同元素的全排列数表示为 A 3
下面我们研究计算排列数的公式先看两个具体的排列数计算
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。