分类计数原理与分步计数原理
分类和分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类加法计数原理：完成一件事情可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法注：在分类计数原理中，n 类办法中相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事. 例1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有多少种？例2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？（合理分类）二、分步乘法计数原理：完成一件事情需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的办法……，做第n 步有m n 种不同的办法，那么完成这件事共有N 种不同的方法.N=n m m m ⨯⨯⨯ 21 注：分步计数原理各步骤相互依存，只有各步骤都完成才能做完这件事.例1. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的5位数共有多少个？例2. （1）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？（2）若将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？若3位旅客到4个旅馆住宿，又是多少种住宿方法？ 例3. 将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域，要求相邻的区域不同色，问有多少种不同的涂色方法？变式训练：1、如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域 不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有多少种？2、如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有多少种？三、计数原理综合应用作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 方法：（1）列举数数法：就是完成一件事方法不是很多，一一列举出来，然后一种一种地数，这种方法适用于：数目较少的问题.（2）字典排序法：把所有的字母或数字或其它，按照顺序依次排出来，所有的字母或数字或其它排完后结束.（3）模型法：根据题意构建相关的图形，利用图形构建两个原理的模型.AB C D典型例题分析（先分类再分步.）【例1】 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？变式训练1 在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子，3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学，有多少种不同的穿法?变式训练2 有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？【例2】 有四位同学参加三项不同的竞赛.(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？变式训练1 火车上有十名乘客，沿途有五个车站，乘客下车的可能方式有多少种？变式训练2 有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同倒法?【例3】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【例4】d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？【例5】 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，各取1张，其中甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练2 设有编号①，②，③，④，⑤的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个球投入这5个盒子内，要求每个盒子内投入一个球，并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为多少【例6】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答） 654321四、课堂练习1.一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_______________种.若是选取两本书且它们不相同则有_______________种2.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有______种不同的选法.3.一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有__________种.4.从分别写有1，2，3，……，9的九张数字卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_______种不同的抽法.5.从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有______种。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理详细解析
通过分类计数原理，我们可以将一个问题分解成多个子问题，进而进行逐步 解决。而分步计数原理则是通过分阶段的计数方法，得出最终的结果。
分类计数原理的定义
分类计数原理是一种方法，通过将问题划分为若干个互不重复且穷尽的分类，然后对每个分类进行计数， 最后将计数结果相加得到总数。
分类计数原理的应用
分类计数原理常于解决组合问题、概率问题和排列组合问题。它可以帮助 我们快速计算出不同情况下的可能性数量。
分类计数原理的实例
例如，有红、黄、蓝三种颜色的球，每种颜色的球各有两个。我们想要从中 选择两个球，问有多少种可能的组合方式？通过分类计数原理，我们可以将 问题分为三个分类：红球、黄球和蓝球。然后分别计算每个分类的组合数， 并将结果相加，得到总的组合数。
分步计数原理的定义
分步计数原理是一种方法，通过将复杂的问题分解为多个简单的步骤来求解。每个步骤都可以通过简单 的计数方法得出结果，然后将各个步骤的计数结果进行相乘或相加，得到最终的解。
分步计数原理的应用
分步计数原理通常用于解决排列问题、事件序列问题和树状图问题。它可以 帮助我们更好地理解问题的结构，并找出解决问题的有效方法。
分步计数原理的实例
例如，假设一本书包含3个章节，每个章节有4个小节，每个小节有2个练习题。 我们想计算完成整本书需要多少个步骤。通过分步计数原理，我们可以分别 计算每个阶段需要的步骤数，并将结果相乘，得到最终的步骤数。
分类计数原理和分步计数原理的区别
分类计数原理着重于将问题分解为不同的互斥分类，然后计算每个分类的数量，最后将结果相加。而分 步计数原理则是将问题分解为多个不同的步骤，每个步骤通过独立的计数方法得出结果，再将各个步骤 的结果进行相乘或相加。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法 ，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的办法。
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。
特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。
不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有n 类办法，这n 类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。
二、题型剖析例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？解：（1）不同涂色方法数是：60345=⨯⨯（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d 记这四块,a 与c 可同色,也可不同色,先考虑给a,c 两块涂色,分两类(1) 给a,c 涂同种颜色共15C 种涂法,再给b 涂色有4种涂法,最后给d 涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有4415⨯⨯C 种涂法(2) 给a,c 涂不同颜色共有25A 种涂法,再给b 涂色有3种方法,最后给d 涂色也有3种，此时共有3325⨯⨯A 种涂法 故由分类计数原理知，共有4415⨯⨯C +3325⨯⨯A =260种涂法。
例2、（1）如图为一电路图，从A 到B 共有-___________条不同的线路可通电。
分类计数原理和分步计数原理
想一想：如果去掉(1)中每人限报一项的要求，又有多少种不同 的报名结果？ 我们把三个项目记为 a、 b 、 c ，这样每个人就有八种不同 选择，分别为选 a、选 b、选c、选 ab、选 ac 、选 bc、选 abc以及 不选．再用原来的分步方法，使用分步计数原理，共有 86 种不 同的投报结果．
用分步计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：
13×15=195(个)．
例3.已知集合A={-2，0 ，1 ，3}，集合B={-5，-4，2，4}．从两 个集合中各取一个元素作为点的坐标，那么在平面直角坐标系 内，位于第一、二象限中不同的点共有多少个？ 解：选法分为两类： 分析：本题要完成的事情是：选出横坐标、纵坐标组成一个点， 但没有说明从哪个集合中选出的数作为横坐标，从哪个集合中选 (1)先从A中选出一个数作为横坐标，有 3种选法，再从B中选出 出的数作为纵坐标，因此选法可分两类： (1)从A中选出一数作为横 一个数作为纵坐标，有 2 种选法（因为纵坐标必须大于 0），故 坐标 ,从 中选出一数作为纵坐标 ;(2)从 B中选出一数作为横坐标 ,从 共有3 ×B 2=6 种选法． A中选出一数作为纵坐标．而每一类选法中又分两步完成． (2)先从B中选出一个数作为横坐标，有 4种选法，再从 A中选出 一个数作为纵坐标，有2种选法，故共有4×2=8种选法． 根据分类计数原理，所有选法总数是 6+8=14种，也即位于第一、 二象限内的点共有14个．
要到达目的地,需要分成2步, 第1步。有3种不同的方法,
在第2 步，有2种不同的方法……
那么完成这件事共有：N=3×2种不同的方法.
关于分步计数原理的几点注意：
⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤
的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理 ；
分类计数原理与分步计数原理例题
分类计数原理与分步计数原理例题一、分类计数原理例题1：有4个不同的苹果和3个不同的橘子，请问由这些水果组成一串长度为7的水果串有多少种情况？解析：根据分类计数原理，我们可以将问题分解为两个步骤来考虑。
首先，我们要确定苹果的数量，假设苹果的数量为0、1、2、3或4，那么橘子的数量就是7减去苹果的数量。
1.当苹果数量为0时，橘子数量为7，这种情况只有1种。
2.当苹果数量为1时，橘子数量为6，这种情况有3种。
3.当苹果数量为2时，橘子数量为5，这种情况有3*2=6种。
4.当苹果数量为3时，橘子数量为4，这种情况有3*2*1=6种。
5.当苹果数量为4时，橘子数量为3，这种情况有3*2*1*1=6种。
所以，组成一串长度为7的水果串的种类总数为1+3+6+6+6=22种。
二、分步计数原理分步计数原理是将大问题分解为若干个小问题，然后将小问题的计数结果相乘得到最终的结果。
例题2：假设John有3个不同的帽子和4个不同的围巾，他每天只能戴一个帽子和一条围巾，请问他有多少种不同的搭配方式？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为两个小问题。
首先，我们可以计算帽子和围巾的搭配方式数量：-帽子的选择有3种，围巾的选择有4种，因此搭配方式数量为3*4=12种。
所以，John有12种不同的搭配方式。
例题3：旅行团计划去三个不同的城市，在每个城市停留的天数分别为4天、5天和6天，且天数的顺序不限，请问旅行团一共有多少种行程方案？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为三个小问题。
首先，我们可以计算每个城市的行程天数的选择数量：-第一个城市的停留天数有4天、5天和6天三种选择，第二个城市的停留天数有3种选择，第三个城市的停留天数有2种选择。
所以，旅行团一共有3*3*2=18种行程方案。
综上所述，分类计数原理和分步计数原理是解决组合问题常用的两种计数方法。
通过分解大问题为小问题，我们可以更方便地解决组合计数问题。
这两种方法可以相互结合使用，也可以单独使用，取决于具体的问题。
高二数学分类计数原理和分步计数原理2
6．某镇有三家旅店，现有5名旅客住店，则不同的投宿方法 有243种。 7．三位正整数全部印出，“0”这个铅字需要用 180 个。
8．直线l上有7个点，直线m上有8个点，则通过这些点中的 两点最多有 58 条直线。
9．事件A发生导致事件B发生，若A发生的方式有m种，B 发生的方式有n种，则A、B相继发生的方式有 mn 种。
例題講解 例1 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球， 所有这些小球的颜色互不相同． (1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
強化練習
4．72含有 12 个正约数，在这些约数中，正偶数有 9 个。
5．用五种不同的颜色给图中四个区域涂色，如果每一区域涂 一种颜色，相邻的区域不能同色，那末涂色的方法有 240 种。
6．由数字1，2，3，4，5，6中取若干个数相加，其和是偶 数的取法有 种。
28
7．由壹元币3张，伍元币1张，拾元币2张，可以组成 23 种 不同的币值。
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完 备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一 不可， 就用分步计数原理。
課前练习
1、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数 是( C ) A. 12 B.64 C.81 D.7 2、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可 能方式有 （ A ）种 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对
解：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是 从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种 方法；第二类办法是从第二个口袋内取小球，可以从4个小球中 任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种 数是N＝m1＋m2＝5＋4＝9． 答： 从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法． (2)从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第 一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步从第二个 口袋内取1个小球，有4种方法，根据分步计数原理，得到不同 的取法的种数是N＝m1×m2＝5×4＝20 答： 从两个口袋内各取1个小球，有20种不同的取法．
分类计数原理和分步计数原理
典型例题
例 1. 书架放有 3 本不同的数学书， 5 本不同的语文书， 6 本不同 的英语书。 （1）若从这些书中任取1本书，有多少种不同的取法? （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本， 有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中，取不同科目的书两本，有多少种不同 的取法？ 解：（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各一本， 需分成三个步骤完成：
第1类办法是数学书、语文书各取1本，有3×5种办法； 第2类办法是数学书、英语书各取1本，有3×6种办法； 第3类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种办法； 根据分类计数原理，不同取法的种数是 N= 3×5+3×6+5×6=63 答：若从这些书中，取不同科目的书两本，有63种不同的取法。
典型例题
一、导入 情景：
一学生从外面进入教室有多少种 走法？若进来再出去，有多少走法？
分类计数原理和分步计数原理
二、新课 情景一：
从甲地到乙地，可以乘火车，也 可以乘轮船。一天中，火车有3班，轮 船有2班。那么一天中，乘坐这些交通 工具从甲地到乙地共有多少种不同的 走法？
பைடு நூலகம்
分类计数原理
做一件事情，完成它可以有n类办法,在 第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办 法中有m2种不同的方法……在第n类办法中 有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 (此原理又称加法原理 )
例2：由1，2，3，4可组成多少个数字可以重复的
四位数？
变式1：由0，1，2，3可组成多少个数字可以重复
的四位数？
变式2：由1，2，3，4可组成多少个数字不可以
重复的自然数？
思考题：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分类计数原理与分步计数原理
一、分类计数原理
在概率论和组合数学中，分类计数原理是一种常用的计数方法。
它基于对样本空间的划分，将问题分解为若干个互不重叠的子问题，然后对每个子问题进行计数，最后将所有子问题的计数结果相加，得到问题的总计数。
分类计数原理的基本思想是将问题分解为若干个子问题，然后对每个子问题进行计数，最后将所有子问题的计数结果相加。
这种方法适用于问题的样本空间可以被划分为互不重叠的子集的情况。
分类计数原理的应用非常广泛，例如在概率问题中，可以将样本空间按照事件的性质进行划分，然后对每个子事件进行计数，从而得到事件的概率。
在组合数学中，可以将集合按照元素的性质进行划分，然后对每个子集进行计数，从而得到集合的大小。
二、分步计数原理
分步计数原理是一种计数方法，它将一个复杂的计数问题分解为若干个简单的计数问题，并通过逐步求解这些简单问题，最终得到复杂问题的计数结果。
分步计数原理的基本思想是将一个复杂的计数问题分解为若干个简
单的计数问题，然后逐步求解这些简单问题。
这种方法适用于问题的计数过程可以划分为多个步骤，并且每个步骤的计数方法相对简单的情况。
分步计数原理的应用也非常广泛。
例如，在排列组合问题中，可以将问题分解为选择元素的步骤和排列元素的步骤，然后分别计算每个步骤的计数结果，最后将两个步骤的计数结果相乘，得到问题的总计数。
在概率问题中，可以将事件的发生过程分解为多个独立的步骤，然后计算每个步骤的概率，最后将各个步骤的概率相乘，得到事件的总概率。
三、分类计数原理与分步计数原理的联系与区别
分类计数原理和分步计数原理都是常用的计数方法，它们在解决计数问题时具有一定的相似性，但也存在一些区别。
分类计数原理侧重于将问题分解为若干个互不重叠的子问题，并对每个子问题进行计数。
而分步计数原理侧重于将问题分解为多个步骤，并逐步求解每个步骤的计数结果。
分类计数原理更加注重问题的样本空间的划分，将问题分解为互不重叠的子集，然后对每个子集进行计数。
而分步计数原理更加注重问题的计数过程的划分，将问题分解为多个步骤，然后分别计算每个步骤的计数结果。
分类计数原理更加适用于问题的样本空间可以被划分为互不重叠的子集的情况，例如概率问题和组合数学问题。
而分步计数原理更加适用于问题的计数过程可以划分为多个步骤，并且每个步骤的计数方法相对简单的情况，例如排列组合问题和概率问题。
分类计数原理和分步计数原理是两种常用的计数方法，它们在解决计数问题时具有一定的相似性，但也存在一些区别。
分类计数原理侧重于将问题分解为若干个互不重叠的子问题，而分步计数原理侧重于将问题分解为多个步骤，并逐步求解每个步骤的计数结果。
两种方法在不同的问题中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地解决复杂的计数问题。