分类计数原理
计数原理
计数原理一、知识导学1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法.注：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复.2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法. 注：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理二、典型习题导练1.有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（ ）种..A 3 .B 12 .C 60 .D 不同于以上的答案2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种3.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）.A 300种 .B 240种 .C 144种 .D 96种4.同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 （ ）.A 23种 .B 11种 .C 9种 .D 6种5.设集合{}54321，，，，=I ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）.A 50种 .B 49种 .C 48种 .D 47种6.从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有____个7三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到_______个不同的三位数（6不能作9用）.8集合A＝｛1,2，3,4｝，集合B＝｛－1，－2｝，可建立______个以A为定义域B为值域的不同函数9. 用0，1,2，3,4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？答案：1 解析每次取一本书分三类：取一本中文书有5种，取一本数学书有4种，取一本英语书有3种，共有5+4+3=12种. 答案B2解析：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种. ∴应选D．3 解析能去巴黎的有4个人，依次能去伦敦、悉尼、莫斯科的有5个、4个、3个，∴不同的选择方案有：4×5×4×3=240种，∴选.B4 解析设4人为甲、乙、丙、丁分步进行，第一步，让甲拿，有三种方法，第二步，没拿到卡片的人去拿，有三种方法，剩余两人只有一种拿法，所以共有3×3=9种方法.答案C5 答案B6解析：根据构成的等差数列的公差，分为公差为±1、±2、±3、±4四类.公差为±1时，有8×2＝16个；公差为±2时，满足要求的数列共6×2＝12个；公差为±3时，有4×2＝8个；公差为±4时，只有2×2＝4个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个7解析：解法一第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有32＝8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×1＝6个不同的三位数.由分步计数原理，共可得到8×6＝48个不同的三位数.解法二：第一步，排百位有6种选择，第二步，排十位有4种选择，第三步，排个位有2种选择.根据分步计数原理，共可得到6×4×2＝48个不同的三位数.注：如果6能当作9用，解法1仍可行.8解析：函数是特殊的映射，可建立映射模型解决.B从集合A 到集合B 的映射共有42=16个，只有都与－1，或－2对映的两个映射不符合题意，故以A 为定义域B 为值域的不同函数共有16－2＝14个.9解析：（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个.（2）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个.（3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个.（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个（5）分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120个；②千位数字为5，百位数字为0,1，2,3之一时，共有4×4×3＝48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有2×3＝6个；④还有5420也是满足条件的1个.故所求自然数共120＋48＋6＋1＝175个评注：排数字问题是最常见的一种题型，要特别注意首位不能排0.非常规计数方法 一.数形结合思想例1.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?二.分类讨论思想 例2.在六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻不同色，请问一共有多少种涂法。
分类计数原理
分类计数原理
分类计数原理是一种处理统计数据的方法，用于确定不同类别的个数。
该原理可以应用于各种问题，例如统计某一事件发生的概率、分析产品销售情况以及研究人口特征等。
通过分类计数原理，我们可以更好地理解数据，找出规律，并支持决策制定。
分类计数原理的核心思想是将数据按照不同的特征或属性进行分类，并计算每个类别的个数。
通过对不同类别进行统计，我们可以获取各个类别的数量，并据此进行进一步分析。
具体而言，分类计数原理通常遵循以下步骤：
1. 确定数据的特征或属性：首先，我们需要确定要统计的数据的特征或属性。
这可以是任何可以区分不同类别的特征，例如产品类型、地区、性别等。
2. 创建分类标准：根据确定的特征或属性，我们可以创建相应的分类标准。
例如，如果我们要统计不同产品类型的销售数量，可以创建以产品类型为标准的分类。
3. 进行分类计数：根据分类标准，我们对数据进行分类，并计算每个类别的个数。
这可以通过手工计数或使用计算机软件进行自动计数完成。
4. 分析和应用结果：根据分类计数的结果，我们可以进行进一步的数据分析和应用。
例如，我们可以比较不同类别之间的数
量差异，分析不同类别的趋势，或者根据统计结果做出相关决策。
总的来说，分类计数原理是一种简单有效的统计方法，可以帮助我们更好地理解和处理数据。
通过应用该原理，我们可以获得对数据的清晰概览，并从中找到有价值的信息，支持我们做出准确的分析和决策。
分类计数原理与分步计数原理详细解析
通过分类计数原理，我们可以将一个问题分解成多个子问题，进而进行逐步 解决。而分步计数原理则是通过分阶段的计数方法，得出最终的结果。
分类计数原理的定义
分类计数原理是一种方法，通过将问题划分为若干个互不重复且穷尽的分类，然后对每个分类进行计数， 最后将计数结果相加得到总数。
分类计数原理的应用
分类计数原理常于解决组合问题、概率问题和排列组合问题。它可以帮助 我们快速计算出不同情况下的可能性数量。
分类计数原理的实例
例如，有红、黄、蓝三种颜色的球，每种颜色的球各有两个。我们想要从中 选择两个球，问有多少种可能的组合方式？通过分类计数原理，我们可以将 问题分为三个分类：红球、黄球和蓝球。然后分别计算每个分类的组合数， 并将结果相加，得到总的组合数。
分步计数原理的定义
分步计数原理是一种方法，通过将复杂的问题分解为多个简单的步骤来求解。每个步骤都可以通过简单 的计数方法得出结果，然后将各个步骤的计数结果进行相乘或相加，得到最终的解。
分步计数原理的应用
分步计数原理通常用于解决排列问题、事件序列问题和树状图问题。它可以 帮助我们更好地理解问题的结构，并找出解决问题的有效方法。
分步计数原理的实例
例如，假设一本书包含3个章节，每个章节有4个小节，每个小节有2个练习题。 我们想计算完成整本书需要多少个步骤。通过分步计数原理，我们可以分别 计算每个阶段需要的步骤数，并将结果相乘，得到最终的步骤数。
分类计数原理和分步计数原理的区别
分类计数原理着重于将问题分解为不同的互斥分类，然后计算每个分类的数量，最后将结果相加。而分 步计数原理则是将问题分解为多个不同的步骤，每个步骤通过独立的计数方法得出结果，再将各个步骤 的结果进行相乘或相加。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法 ，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的办法。
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。
特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。
不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有n 类办法，这n 类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。
二、题型剖析例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？解：（1）不同涂色方法数是：60345=⨯⨯（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d 记这四块,a 与c 可同色,也可不同色,先考虑给a,c 两块涂色,分两类(1) 给a,c 涂同种颜色共15C 种涂法,再给b 涂色有4种涂法,最后给d 涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有4415⨯⨯C 种涂法(2) 给a,c 涂不同颜色共有25A 种涂法,再给b 涂色有3种方法,最后给d 涂色也有3种，此时共有3325⨯⨯A 种涂法 故由分类计数原理知，共有4415⨯⨯C +3325⨯⨯A =260种涂法。
例2、（1）如图为一电路图，从A 到B 共有-___________条不同的线路可通电。
分类计数原理和分步计数原理
分步计数原理的核心思想是“分步”，即根据事件的某些特征将 其分成不同的步骤，然后分别计算每一步中的方法数，最后将这 些方法数相乘得到复杂事件的总方法数。
两者关系与区别
关系
分类计数原理和分步计数原理都是解决复杂事件计数问题的方法，它们的核心思想都是将复杂事件进行分解，然 后分别进行计算。
04 计数原理在算法中的应 用
动态规划算法
最优子结构
动态规划算法通过把原问题分解为若干个子问题，并求解子 问题的最优解，进而得到原问题的最优解。这种通过子问题 的最优解来推导原问题最优解的方法体现了分类计数原理的 思想。
状态转移方程
动态规划算法中，通常定义一个状态转移方程来描述子问题 之间的关系。这个方程可以帮助我们计算出每个子问题的最 优解，并最终得到原问题的最优解。状态转移方程的构建和 求解过程体现了分步计数原理的思想。
路线规划问题
从起点到终点需要经过三个城市，每两个城市之间都有多 条路线可选。根据加法原理和乘法原理，可以计算出从起 点到终点所有可能的路线组合数。
彩票选号问题
一张彩票需要选择7个号码，每个号码可以是1~49中的任 意一个。根据乘法原理，共有 $49 times 48 times 47 times 46 times 45 times 44 times 43 $ 种不同的选号方 式。
组合问题
排列与组合的区别
排列是把元素按顺序排列，而组合是 把元素无顺序地组合起来。
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n）的所有排列的个数，叫做从n 个元素中取出m个元素的组合数。
概率统计问题
古典概型
如果每个样本点发生的可能性相 等，则事件A发生的概率等于事件 A包含的样本点个数与样本空间包
分类计数原理和分步计数原理
分类计数原理和分步计数原理一、知识梳理1、分类计数原理：完成一件事，有n 类办法，在一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法..........在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有m m m N n+⋅⋅⋅++=21种不同的方法 对于分类计数原理，我们应该注意以下几点：(1)分类原理又叫加法原理；(2)在分类时，标准要明确：(3)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法2、分步计数原理完成一件事需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的 方法，做第二步有m 2种不同的方法..........做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有m m m N n∙∙∙= 21 种不同的方法对于分步计数原理我们还要注意以下几点：(1)分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成，所以分步计数原理原理又称乘法原理；(2)分步时，应根据问题的特点，确定一个分步的标准；(3)分步时还要注意，满足完成一件事必须并且只有连续完成n 个步骤后这件事才算完成例题1、国庆节期间，某家庭欲从甲地去乙地旅游，一天中从甲地有火车3班，有汽车2班可以到达乙地，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法？2:一班有学生56人，其中男生有38人，从中选取1名男生和1名女生作代表，参加学校组织的社会调查团，选取代表的方法有多少种？3、在3张卡片的正反两面上，分别写着1和2,4和5,7和8，将它们并排组成三位数，一共能组成多少个不同的三位数？4、二次函数cy+=2，其中{}5,4,3,2,1,0+axbxba，则可以得,∈,c到多少个不同的二次函数？5、用4种不同的颜色给如图所示的图形上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？6、将3种农务全部种植在下图的5块实验田中，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？7、如图，所示的是某城市中M,N两地间整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中矩形的边前进，则某人从M地经过A到N地有多少不同的走法？8、把5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？9、如图所示，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（）A.288种B.264种C.240种D.168种10、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A.10种B.20种C.36种D.52种11、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A.24种B.18种C.12种D.6种12、三只口袋内袋有大小不同的小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，另一只装有7个红色小球，若从三只口袋中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？13、已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，第一，第二象限内不同点的个数为（）A、18B、16C、14D、1014、4个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？15、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？16、由0，1，2，3，4，5，6这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？17 、将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的5个区域，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？18、用0，1，2，3，4这5个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）四位密码？5X4X3X2=120（2）四位数？4X4X3X2=96（3）四位奇数？19、如图所示的5X3个方格中有多少个矩形？20、某单位职工义务献血，在体验合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少不同的选法？21、三人传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（）A.6种B.8种C.10种D.16种22、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A,B两种作物，每种作物种植1垄，为有利作物生长，要求A,B两种作物的间隔不少于6垄，则不同的选择方法有多少种？23、四张卡片的正反面分别有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？24、书架上原来并排放着5张不同的书，现要再插入3本不同的书，不同的插法的种数有多少种？25、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前7位数字固定，从0000⨯⨯⨯⨯共10000个号码，⨯⨯⨯⨯⨯到9999⨯⨯⨯⨯⨯规定：凡卡号的后四位带有数字“4”和“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数多少个？。
分类计数原理的实例
分类计数原理的实例
分类计数原理（也称为分步计数原理）是数学中用于计算多个步骤中不同选项的总数的方法。
它表达为：如果一件事情可以分解为若干个相互独立的步骤，而每个步骤都有若干个选项，那么整个事情的总数就是每个步骤选项的乘积。
以下是一些分类计数原理的实例：
例子1：顾客点餐
假设一家餐馆有3种主菜、4种汤和2种甜点，顾客可以选择其中一种主菜、一种汤和一种甜点。
使用分类计数原理，我们可以计算所有不同点餐组合的总数为3 ×4 ×2 = 24。
例子2：密码锁
假设一个密码锁有3个拨盘，每个拨盘上有10个数字（0-9）。
使用分类计数原理，我们可以计算所有不同的密码组合总数为10 ×10 ×10 = 1000。
例子3：组队比赛
假设有8个人参加篮球比赛，其中4个人要组成一个队伍。
使用分类计数原理，我们可以计算不同的队伍组合总数为C(8,4) = 8! / (4! ×(8-4)!) = 70。
例子4：排列组合
假设有5个人参加比赛，奖牌分为金牌、银牌和铜牌。
使用分类计数原理，我们
可以计算不同的奖牌排列组合总数为P(3,3) = 3! = 6。
这些例子展示了在不同情境下如何使用分类计数原理来计算不同选项的总数。
通过将复杂问题分解为简单的步骤，并使用乘法原理将这些步骤组合起来，我们可以更有效地计算结果。
分类计数原理、分步计数原理
分类计数原理、分步计数原理授课难点：1．解决学生思考过程中对加法，分步计数原理理解产生的误区。
2．帮助学生找到“重”，“漏”产生的原因。
一、概念与规律1．分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法。
在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中m2种不同的方法，……，第n类办法中有m n种不同方法。
那么完成这件事共有N=m1+m2+……+m n种不同的方法。
2．分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m1·m2·……m n种不同的方法。
3．分类计数原理和分步计数原理的共同点是，它们都是研究完成一件事情，共有多少种不同的方法；不同点在于完成一件事情的方式不同，分类计数原理是在“分类完成”，即任何一类办法中任何一种方法都能独立完成这种事。
分步计数原理是在“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情。
二、例题讲解例1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同。
（1）从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取1个4球，有多少种不同的取法。
解：（1）从两个口袋中任取一个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1+m2=5+4=9(种)。
（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步在第二个口袋内取1个小球，有4种方法。
根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2=5×4=20(种)。
即：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法；从两个口袋内各取1个小球，有20种不同取法。
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排列数
组合数
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为Cnm
注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”
排列Permutation Formula (排列公式):
组合Combination Formula (组合公式)
从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。
例28封相同的信放到4个不同的邮筒中，每个邮筒至少1封。问有多少种方法？
例34封信放到3个邮筒，问有多少种方法？（提示：邮筒是位置。）
例4
二项展开式的性质
(1)项数：n+1项
(2)指数：各项中的a的指数由n起依次减少1，直至0为止；b的指出从0起依次增加1，直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于n 。
(3)二项式系数：
各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和
例1某校组织学生分4个组从3处风景点中选一处去春游,则不同的春游方案的种数是：（提示：关键是将什么设为盒子，什么设为球。显然这里应该是将景点设为盒子或位置，而将组设为球或人。）
分 类 计 数 原 理
分 步 计 数 原理
做一件事，完成它有n类不同的办法。第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法……，第n类办法中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn种方法。
做一件事，完成它需要分成n个步骤。第一步中有m1种方法，第二步中有m2种方法……，第n步中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1m2…mn种方法。