陕西省西安地区陕师大附中八校2019届高三数学3月联考试卷理(含解析)
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，，标准差分别为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix ＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵∴−−=3(−−)；∴=−−.故选：C.【此处有视频，请去附件查看】5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C.6.如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）＝sinxB. f（x）＝e xC. f（x）＝x3﹣3xD. f（x）＝x|x|【答案】D【解析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 31【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得．故选：B．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．8.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，不等式f（）+f（）＞f（）+f（）等价为（﹣）[f（）﹣f（）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．故有 g（）＝g（）＝2，即 cos2＝cos2＝﹣1，又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，则应有 2＝3π，2＝﹣3π，故﹣2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．9.已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C：中，圆C的半径为，，，∴在等边中，，，故选C．方法二：设，则，记，令，得，，故选C．考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值．10.抛物线x2＝ y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 21【答案】B【解析】试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列．11.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝ [﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝_____．【答案】【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为_____．【答案】[0，11]【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域，如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以z max＝﹣5×（﹣2）+0＝10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.在的展开式中，常数项为_____．【答案】-40【解析】【分析】根据，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【详解】解：∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•6•）（x﹣2），∴常数项是 20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．【答案】2π【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：，利用正弦定理得：，即：，由于：，解得：．由于，所以：，整理得：，所以：．当且仅当时，的面积有最小值.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC 交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【详解】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2x，OE，∴B（2，2x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），（﹣2，2x，﹣x），（2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴8＝0，解得x（舍）或x，∴，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量（0，1，0），（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200．【解析】【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【详解】（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，2a12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|，由|AB|6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．设A（，），B（，），则，．由|AB|6，整理得：，原点O到AB的距离d．∴．当时，△AOB面积有最大值为9．综上，△AOB面积的最大值为9．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．【答案】（1）（e，+∞）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f′（x）＝e x﹣ax．函数f（x）＝e x有两个极值点⇔f′（x）＝e x﹣ax ＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设＜，+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【详解】（1）解：f′（x）＝e x﹣ax．∵函数f（x）＝e x有两个极值点．∴f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．g′（x），可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g （x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）（x﹣1），令函数u（x），（0＜x）．u′（x）．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝0．∴h（x）＞h（1）＝0．∴．因此+＞2成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【答案】（1）曲线C：y2＝4x，顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）8【解析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|即可得出．【详解】（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（ t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝8．【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值．【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x ﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．试题解析：(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．【此处有视频，请去附件查看】。
陕西省2019届高三数学第三次联考试题理含解析
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.，则（）1.，已知B. A.C. D.D 【答案】【解析】【分析】. 分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B进而求并集即可，【详解】，D.则.故应选【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.已知复数（是虚数单位），则的实部为（2. ）D. C.B. A.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.．的实部为【详解】∵，∴z ．故应选B【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.）（，则已知3.D. B. A. C.【答案】B【解析】【分析】，结合条件得正切，代入求解即可.由【详解】由已知得，.B.故应选. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，“弦化切”是本题的关键，属于基础题），则与4.的夹角为（已知向量， C.D.A. B.A 【答案】【解析】【分析】. 直接由向量的夹角公式代入求解即可得出答案与的夹角；又；【详解】；为．故选：A．【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题.，则线段的焦点，的中点5.已知是该抛物线上的两点，是抛物线到准线的距离为（）D. 3C. 1B. A.B 【答案】【解析】【分析】．进而得，从而得中点横坐标，，由抛物线的定义可得.进而得解，准线方程【详解】∵是抛物线，的焦点，∴，根据抛物线的定义可得，设，，.∴的中点横坐标为，，∴线段解得的中点到准线的距离为∴线段B..故应选【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.，的面积为，则三，三个内角，若6.已知的对边分别为角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定A 【答案】【解析】【分析】，结合，进而得由三角形的面积公式和余弦定理化简条件可得. 的范围可得解角A，【详解】∵，∴，，可得，∴可得，可得，可得：∵，∴， A.故应选解得：【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，属于中档题.）（阅读如图所示的程序框图，则输出的7.A. 30B. 29C. 90D. 54D 【答案】【解析】【分析】，直到满足条件，退出循环，即可得解和S.模拟程序的运行，不断计算i，执行循环体，；，，【详解】模拟程序的运行，可得；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，，执行循环体，；，，执行循环体，不满足条件，退出循环，输出的值为此时，满足条件54.D.故应选【点睛】本题主要考查了循环结构的计算功能，正确识别何时循环结束是解决这类问题的关键，属于基础题.，则枚硬币均正面向上的次数为4次，设2的数学期望是28.同时抛掷枚质地均匀的硬币（）D. C. 2A. 1B.A 【答案】【解析】【分析】枚正面向上的概率，进而利用二项分2枚质地均匀的硬币，恰好出现2先计算依次同时抛掷．布求数学期望即可.枚正面向上的概率为，【详解】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2.∴，∴A.故应选. 【点睛】本题主要考查了二项分布的应用，属于基础题的中点，则上的射影为已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，9.在底面与）所成的角的余弦值为（异面直线 B. C.A.D.【答案】B【解析】【分析】，进而通过计算所成的角（或其补角）即为异面直线的各边长，与易知利用余弦定理求解即可.、，【详解】设的中点为，连接、所成的角（或其补角）；即为异面直线与易知的侧棱与底面边长为1，设三棱柱，，则，.由余弦定理，得B.故应选【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好做，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.函数的图像大致为（）10.B. A.D. C.【答案】B【解析】当时A，，义域，为排除定采试题分析：用排除法，函数B.，排除D，当时，，故选，排除C. 考点：函数图象的，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲11.已知双曲线，则双曲线线的渐近线方程为（截得的弦长为（）为双曲线的离心率）A. B.C. D.D 【答案】【解析】【分析】和由，从而可，得方程和双曲线相交得弦长为，化简可得.，进而可得渐近线方程得的下焦的准线：【详解】∵抛物线，它正好经过双曲线点，截得的弦长为，∴准线被双曲线，∴∴，，∴，∴的渐近线方程为∴双曲线.故应选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程及双曲线的通经长，及双曲线的渐近线的求解，属于基础题.，当时，已知函数的奇函数，且满足是定义域为12.上的解的个数是（在区间），则方程C. 7B. 5A. 3 D. 9D 【答案】【解析】【分析】进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得时的根为由条件通过解方程可得，. 的解得个数【详解】∵当时，，.，解得，则令是周期为，∴函数4∵的周期函数.是定义域为的奇函数，又∵函数，，上，∴在区间，，在区间上的解有0，1，2，3，4，5，则方程6，7，8共9个.D.故应选时有定义必有x=0【点睛】本题主要考查了利用函数的性质求方程的根，奇函数在，.是解本题的关键，属于易错题的周期函数，必有4是周期为奇函数20二、填空题（每题5分，满分分，将答案填在答题纸上）．______已知函数13.，则处的切线方程是的图像在10【答案】．【解析】【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.【详解】由已知切点在切线上，所以，.切点处的导数为切线斜率，所以，所以【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.，则的最大值是______． 14.满足已知实数14 【答案】【解析】【分析】.作出不等式的可行域，通过平移直线，当纵截距最大时即可所求作出可行域如图，【详解】由约束条件，解得，联立时，直线在化目标函数轴上的截为，由图可知，当直线过距最大，有最大值为14.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.则____．将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，15.【答案】【解析】【分析】，，即可得解通过函数图象平移得到.为偶函数，进而由的图像，个单位得到的图像向左平移【详解】将函数.，所以，其图像关于，又轴对称，所以有【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移及奇偶性，属于基础题.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接16.，则该三棱柱体积的最大值为______．球的体积为【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用. 勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，解得，则，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，，∴，∴．∴时“＝”成立．∴．当且仅当∴三棱柱的体积．故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．PABCPAPBPCPAaPBb，＝，＝两两互相垂直，且，，构成的三条线段，，，若球面上四点(2)．2222caPCcRb求解．＋＝＝，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4＋三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分，17.满足已知正项等比数列.的通项公式；）求数列（1项和，求数列）记.的前（2【答案】（）．（2）．1 【解析】【分析】，解出基本量即可得到数列(1) 由题意得的通项公式；. ）知，由（ (2) 1，利用裂项相消法求和，由已知，1【详解】（）设数列的公比为q由题意得，．所以解得，．．因此数列的通项公式为）知，1 ，2）由（（∴．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：；（（2） 3）；(1)；此外， 4（；）需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：（万年产量7.46.776.67.17.2件）；）根据表中数据，求关于的线性回归方程（1（2）若近几年该产品每千克的价格（单位：，元）与年产量满足的函数关系式为且每年该产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7. 56②【解析】【分析】，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（1）求得样本中心点t=7）年该农产品的产量； t=7代入线性回归方程，即可预测该地区2019（）①将（2727yyyyS×10+4.5=（–0.3②由题，先表示出，销售额（=4.5–0.3））×10ySy=7.5，可得结果. 取得最大值，只有y=7.56最靠近可知，当=7.5时，函数【详解】（1）由题意，得，，=（–2.5）×（–0.4）+（–1.5）×（–0.3） +0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，222222=17.5．0.5）+2.5+0.5=（–2.5） +（–1.5）+1.5+（–，得，由，得，又ty的线性回归方程为关于．∴t）知，当1=72时，，）①由（（所以预测2019年该农产品产量为7.56万吨．727ySyyyy）×10（–×10=0.3（元）②当年产量为+4.5时，销售额4.5=（–0.3，）的yyS，，7.2，7.4当，=75时，函数7.56}取得最大值，又因∈{6.6，6.7，7，7.1ty =7时，即2019年销售额最大．计算得当=7.56，即【点睛】本题主要考查了线性回归方程，公式的熟练以及计算的仔细是解题的关键，属于较. 为基础题，AC的中E，D，分别是ABC平面的所有棱长都是2，19.如图，三棱柱点．求证：平面；求二面角的余弦值．）2）见解析； .（1【答案】（【解析】【分析】；1，进而证得平面（）利用线面垂直的判定和性质，得到的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二和面DBE）建立空间直角坐标系，求面2（．面角的余弦值.）∵（1AC【详解】的中点，∴，，D是，∴平面平面平面ABC∵ABC，，∴平面∴．，分别是ACD，EAD≌△ACE的中点，易证得∴△A 又∵在正方形中，1DA+∠CAE=90° ,即．∴∠ADA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A11平面．又，∴，则又中点F，以DF，DA，DB为x，y，z2（轴建立空间直角坐标系）取，，，，，，，的一个法向量为DBE，设平面则，，令，则的一个法向量为，设平面，则，令，则，观察可知为锐角，设二面角的平面角为．的余弦值为故二面角．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定和应用空间向量求二面角的余弦值，在解题的过程中，注意对角的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.，且过点20..已知椭圆的离心率为 1）求椭圆的标准方程；（，当，并延长交椭圆于点作直线与椭圆交于另一个点是左焦点，连接（2）过右顶点. 面积最大时，求直线的方程.2）【答案】（1；）（【解析】【分析】）根据条件列方程，进而可得椭圆方程；1 （，将直线与椭圆联立，结合韦达定理，可得）由（2又斜率不存在时，，可得，，，令.从而得最大值，）设椭圆方程为【详解】（1，解之得，由题意知：所以椭圆方程为.，，当直线斜率存在时，所在直线为设，由题知，2（），①，.，，代入①式得，，，则令时，.当斜率不存面积最大时，轴，此时直线的斜率为故当垂直于，则直线的方程：.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的解法，着重考查了运算能力，属于中档题.，为自然对数的底数，，21..已知函数，求函数（1）若的单调区间；. ）若有2，方程个解，求的值（）单调增区间为【答案】（10.，单调减区间为；（2）【解析】【分析】（1）求函数导数，结合定义域即可得单调区间；在区间内单调递增，（2，求函数的导数可得）设，整理得，，结合条件.的范围可得解，结合基本不等式及，其定义域为1）当，时，【详解】（，，得，解解，得，的单调增区间为.，单调减区间为所以函数）设2 ，（个零点，有由题意知．，，∵，，则记内单调递增知.在区间，又∵，内存在唯一的零点，∴在区间，即，.于是单调递减；时，当，单调递增，.时，当∴，时，取等号当且仅当.，得，由即.∴没有零点.，即函数【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性及零点，涉及“隐零点”的解法，是解题的关键，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立已知直线的参数方程为（为参数）的极坐标方程为.极坐标系，曲线）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；1 （，求.（不同于原点）（2）若直线，与直线交于点的值与曲线交于点.）2）1【答案】（:（;;: 【解析】．【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B(2) 到原点的距离，作差得出|AB|．）∵（1，∴，【详解】的直角坐标方程为C．∴曲线，∴．的参数方程为（t∵直线l为参数）的极坐标方程为．∴直线l得的极坐标方程2（，）将代入曲线C点的极坐标为．∴A，解得．的极坐标方程得将代入直线l点的极坐标为∴B，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.）解不等式1（；，使得不等式成立，求实数（2的取值范围）.）2（；【答案】（1）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；即，只需恒成立，设2（）去绝对值得，对于. 可得解，可化为1（【详解】），或或∴．或或无解.分别解得所以不等式的解集为.，2. ）由题意：（成立，只需，，，要想设，在上单调递增，∴∵，∴的取值范围为，∴∴.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。
2019届陕西省西安地区八校高三3月联考数学(理)试卷及解析
对于B， ，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C， ，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；
对于D， ，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；
故选：D．
7．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（ ）
【详解】
由条形统计图得到：
在这次考试各科成绩 转化为了标准分，满分900分 中，
甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，
设甲乙两位同学成绩的平均值分别为 ，
标准差分别为 ， ，
则 ， ．
故选：A．
3．1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（ ）
A．64B．42C．32D．21
【答案】B
【解析】试题分析： ，∴ ，∴过点 的切线方程为 ，令 ，得 ，可得 ，又 ，所以 ．
11．已知双曲线 的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（ ）
∴ −− =3( −− )；
∴ = −− .
故选：C.
5．《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）
A．18B．20C．21D．25
【答案】C
【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织 尺布，则 ，解得 ，所以 ，故选C.
2019届陕西省西安地区高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高三3月联考数学(理)试题(解析版)
解：∵ （x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15• 6• ）（x﹣2），
∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，
故答案为：﹣40．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16．如图，已知圆柱和半径为 的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．
【详解】
将正三棱柱 沿侧棱展开，如图所示；
在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．
由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为 ，
所以矩形的长等于 ，宽等于7，
由勾股定理求得 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化 空间问题转化为平面问题，化曲为直 的思想方法．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】 直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．
利用 的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．
【详解】
在 的内角A，B，C的对边分别为 ，且 ．
整理得： ，
利用正弦定理得： ，
即： ，
又 ，x2∈[﹣2π，2π]，∴2 ，2 ∈[﹣4π，4π]，要使 ﹣2 取得最大值，
则应有2 ＝3π，2 ＝﹣3π，
故 ﹣2 取得最大值为 +3π＝ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．
9．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（ ）
陕西省西安地区陕师大附中高新一中铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学(理)试题(解析版)
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，，标准差分别为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵∴−−=3(−−)；∴=−−.故选：C.5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C.6.如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）＝sinxB. f（x）＝e xC. f（x）＝x3﹣3xD. f（x）＝x|x|【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 31【答案】B【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得．故选：B．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．8.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用余弦函数的图象的值域，求出，的值，可得的最大值．【详解】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．故有g（）＝g（）＝2，即cos2＝cos2＝﹣1，又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，则应有2＝3π，2＝﹣3π，故﹣2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的值域，属于中档题．9.已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C：中，圆C的半径为，，，∴在等边中，，，故选C．方法二：设，则，记，令，得，，故选C．考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值．10.抛物线x2＝ y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 21【答案】B【解析】试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列．11.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝_____．【答案】【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为_____．【答案】[0，11]【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域，如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以z max＝﹣5×（﹣2）+0＝10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.在的展开式中，常数项为_____．【答案】-40【解析】【分析】根据，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【详解】解：∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•6•）（x﹣2），∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．【答案】2π【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：，利用正弦定理得：，即：，由于：，解得：．由于，所以：，整理得：，所以：．当且仅当时，的面积有最小值.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE 将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE ﹣B的余弦值都为定值．【详解】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2x，OE，∴B（2，2x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），（﹣2，2x，﹣x），（2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴8＝0，解得x（舍）或x，∴，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量（0，1，0），（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200．【解析】【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【详解】（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k 的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，2a12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|，由|AB|6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．设A（，），B（，），则，．由|AB|6，整理得：，原点O到AB的距离d．∴．当时，△AOB面积有最大值为9．综上，△AOB面积的最大值为．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．【答案】（1）（e，+∞）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f′（x）＝e x﹣ax．函数f（x）＝e x有两个极值点⇔f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x ＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设＜，+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【详解】（1）解：f′（x）＝e x﹣ax．∵函数f（x）＝e x有两个极值点．∴f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．g′（x），可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x ＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．g（1）=e,得到函数草图如图所示.a＞e时，方程f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）（x﹣1），令函数u（x），（0＜x＜2）．u′（x）．可得函数u（x）在（0，2）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴h′（x）（x﹣1）,h（x）在（0，1）内单调递减．∴h（x）＞h（1）＝0,∴．因此+＞2成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【答案】（1）曲线C：y2＝4x，顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）8【解析】【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|即可得出．【详解】（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝8．【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值．【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．试题解析：(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学试题(解析版)
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
12.已知函数 是定义域为 的奇函数，且满足 ，当 时， ，则方程 在区间 上的解的个数是（）
A.3B.5C.7D.9
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件通过解方程可得 时的根为 ，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得 的解得个数.
【详解】∵当 时， ，
令 ，则 ，解得 .
∵ ，∴函数 是周期为4的周期函数.
【详解】∵ 是抛物线 的焦点，∴ ，准线方程 ，
设 ， ，根据抛物线的定义可得 ， ，
∴ .
解得 ，∴线段 的中点横坐标为 ，
∴线段 的中点到准线的距离为 .故应选B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.
6.已知 的面积为 ，三个内角 的对边分别为 ，若 ， ，则三角形是（）
A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定
【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.
2.已知复数 （ 是虚数单位），则 的实部为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.
【详解】∵ ，∴z的实部为 ．
故应选B．
【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设 ，
=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．
陕西西安八校2019高三联考试题-数学(理)
陕西西安八校2019高三联考试题-数学（理）2018届高三年级联考数学〔理〕试题本试卷分第1卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共150分、考试时间120分钟。
本卷须知1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上、2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0、5毫米的黑色中性〔签字〕笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清晰、3、请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内作答，超出答题区域书写的答案无效、4、保持纸面清洁，不折叠，不破损、5、假设做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写、第一卷〔选择题共50分〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50俞、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、是实数，那么实数m=1、假如复数2m i mi()(1)A、一2B、2C、-1D、l2、直角△ABC中，AB〔1，1〕，AC=〔2，k〕那么实数k的值为A、0B、-2或0C、-2D、23、条件p：关于x的不等式2x mx m R的解集为R；条件q：指数函数10()f〔x〕=〔m+3〕x为增函数、那么p是q的A、充要条件B、既不充分也不必要条件C、充分不必要条件D、必要不充分条件4、一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为A、23B、13C、2D、15、某学生不记得了自己的QQ号，但记得QQ号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，因此用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为A 、18B 、24C 、6D 、12 6、假设函数21()log ()2a f x x ax 有最小值，那么实数a 的取值范围是A 、〔1，2〕B 、[2，+∞〕C 、〔0，1〕D 、〔0，1〕〔1，2〕7、在数列{n a }中，a 1=1，a 2=5，21(*)n n n a a a n N ，那么a 2007= A 、4B 、-1C 、1D 、5 8、如图，椭圆22221(0)xy a b a b 及两条直线2212:,:a a l x l x c c，其中22c a b ，且12,l l 分别交x 轴于C 、D 两点、从1l 上一点A 发出一条光线通过椭圆的左焦点F 被石轴反射后与2l 交于点B 、假设AF ⊥BF ，且∠ABD=75°，那么椭圆的离心率等于A 、622B 、312C 、624D 、319、如图，圆O:x 2+y 2=2内的正弦曲线y=sinx 与x 轴围成的区域记为M 〔图中阴影部分〕，随机向圆O 内投一个点P ，那么点P 落在区域肘内的概率是A 、22B 、32C 、24D 、3410、如右下图，正三角形PAD 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，0为正方形AB-CD的中心，M 为正方形ABCD 内一点，且满足MP=MC ，那么点M 的轨迹为第二卷〔非选择题共100分〕【二】填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分、将答案填写在题中的横线上、11、某程序框图如下图，该程序运行后输出的值是。
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学
理科数学参考答案
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陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学试卷含详解
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B进而求并集即可.【详解】，，则.故应选D.【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数（是虚数单位），则的实部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】∵，∴z的实部为．故应选B．【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合条件得正切，代入求解即可.【详解】由已知得，.故应选B.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，“弦化切”是本题的关键，属于基础题.4.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由向量的夹角公式代入求解即可得出答案.【详解】；；又；与的夹角为．故选：A．【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题.5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A. B. C. 1 D. 3【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义可得，进而得，从而得中点横坐标，进而得解.【详解】∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，设，，根据抛物线的定义可得，，∴.解得，∴线段的中点横坐标为，∴线段的中点到准线的距离为.故应选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.6.已知的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则三角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积公式和余弦定理化简条件可得，进而得，结合角A 的范围可得解.【详解】∵，，∴，可得，可得，∴可得，∵，可得：，∴，解得：故应选A.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，属于中档题.7.阅读如图所示的程序框图，则输出的（）A. 30B. 29C. 90D. 54【答案】D【解析】【分析】模拟程序的运行，不断计算i和S，直到满足条件，退出循环，即可得解.【详解】模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；此时，满足条件，退出循环，输出的值为54.故应选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的计算功能，正确识别何时循环结束是解决这类问题的关键，属于基础题.8.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可.【详解】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，∴，∴.故应选A.【点睛】本题主要考查了二项分布的应用，属于基础题.9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知即为异面直线与所成的角（或其补角），进而通过计算的各边长，利用余弦定理求解即可.【详解】设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）；设三棱柱的侧棱与底面边长为1，则，，，由余弦定理，得.故应选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好做，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.10.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：采用排除法，函数定义域为，排除A，当时，，排除D ，当时，，排除C，故选B.考点：函数的图象. 11.已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由和双曲线相交得弦长为，得方程，化简可得和，从而可得，进而可得渐近线方程.【详解】∵抛物线的准线：，它正好经过双曲线的下焦点，∴准线被双曲线截得的弦长为，∴，∴，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为.故应选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程及双曲线的通经长，及双曲线的渐近线的求解，属于基础题.12.已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则方程在区间上的解的个数是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】由条件通过解方程可得时的根为，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得的解得个数.【详解】∵当时，，令，则，解得.∵，∴函数是周期为4的周期函数.又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，，，，，则方程在区间上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8共9个.故应选D.【点睛】本题主要考查了利用函数的性质求方程的根，奇函数在x=0时有定义必有，奇函数是周期为4的周期函数，必有是解本题的关键，属于易错题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数的图像在处的切线方程是，则______．【答案】10【解析】【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.【详解】由已知切点在切线上，所以，切点处的导数为切线斜率，所以，所以.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.14.已知实数满足，则的最大值是______．【答案】14【解析】【分析】作出不等式的可行域，通过平移直线，当纵截距最大时即可所求.【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为14.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，则____．【答案】【解析】【分析】通过函数图象平移得到为偶函数，进而由，，即可得解.【详解】将函数的图像向左平移个单位得到的图像，其图像关于轴对称，所以有，，又，所以.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移及奇偶性，属于基础题.16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴．∴，∴，∴．当且仅当时“＝”成立．∴三棱柱的体积．故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】(1)由题意得，解出基本量即可得到数列的通项公式；(2)由（1）知，，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公比为q，由已知，由题意得，所以．解得，．因此数列的通项公式为．（2）由（1）知，，∴．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：年份2013 2014 2015 2016 2017 2018年份代码 1 2 3 4 5 6年产量（万6.6 6.7 77.1 7.2 7.4件）（1）根据表中数据，求关于的线性回归方程；（2）若近几年该产品每千克的价格（单位：元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7. 56②【解析】【分析】（1）求得样本中心点，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（2）①将t=7代入线性回归方程，即可预测该地区2019（t=7）年该农产品的产量；②由题，先表示出，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107可知，当y=7.5时，函数S取得最大值，只有y=7.56最靠近y=7.5，可得结果.【详解】（1）由题意，得，，=（–2.5）×（–0.4）+（–1.5）×（–0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．由，得，又，得，∴y关于t的线性回归方程为．（2）①由（1）知，当t=7时，，所以预测2019年该农产品产量为7.56万吨．②当年产量为y时，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107（元），当y=75时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，计算得当y=7.56，即t=7时，即2019年销售额最大．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，公式的熟练以及计算的仔细是解题的关键，属于较为基础题.19.如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC，的中点．求证：平面；求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定和性质，得到平面，进而证得；（2）建立空间直角坐标系，求面DBE和面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）∵，D是AC的中点，∴，∵平面ABC，∴平面平面ABC，∴平面，∴．又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．又，∴平面．又，则（2）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面DBE的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为锐角，故二面角的余弦值为．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定和应用空间向量求二面角的余弦值，在解题的过程中，注意对角的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.20.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右顶点作直线与椭圆交于另一个点，是左焦点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列方程，进而可得椭圆方程；（2）由，将直线与椭圆联立，结合韦达定理，可得，令，可得，又斜率不存在时，，从而得最大值.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意知：，解之得，所以椭圆方程为.（2）由题知，当直线斜率存在时，设所在直线为，，，，①，，.代入①式得，令，则，，当斜率不存时，.故当面积最大时，垂直于轴，此时直线的斜率为，则直线的方程：.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的解法，着重考查了运算能力，属于中档题.21.已知函数，，，为自然对数的底数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，方程有个解，求的值.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）0.【解析】【分析】（1）求函数导数，结合定义域即可得单调区间；（2）设，求函数的导数可得在区间内单调递增，，，结合条件，整理得，结合基本不等式及的范围可得解.【详解】（1）当时，，其定义域为，，解，得，解，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）设，由题意知有个零点，∵，，记，则，知在区间内单调递增.又∵，，∴在区间内存在唯一的零点，即，于是，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，当且仅当时，取等号.由，得，∴，即函数没有零点.即.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性及零点，涉及“隐零点”的解法，是解题的关键，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.【答案】（1）:;:;（2）.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵，∴，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．∴直线l的极坐标方程为．（2）将代入曲线C的极坐标方程得，∴A点的极坐标为．将代入直线l的极坐标方程得，解得．∴B点的极坐标为，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2），使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）去绝对值得，对于恒成立，设，只需即可得解. 【详解】（1）可化为，∴或或，分别解得或或无解.所以不等式的解集为.（2）由题意：，.设，要想，成立，只需，∵，∴在上单调递增，∴，∴，∴的取值范围为.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。
2019年陕西师大附中、西安高中、西工大附中等八校高考数学模拟试卷(文科)(3月份)-含详细解析
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}，C={x∈N|3x∈A}，则B∩C=（）A. 2，B. 6，C.D.2.右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为甲，乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A. 甲乙甲乙B. 甲乙甲乙C. 甲乙甲乙D. 甲乙甲乙3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix=cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A. B.C. D.5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 256.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为=kx+b，则（）A. k与r的符号相同B. b与r的符号相同C. k与r的符号相反D. b与r的符号相反7.如果对定义在R上的奇函数y=f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y=f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. B. C. D.8.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 319.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=4，且x1，x2∈[-2π，2π]，则x1-2x2的最大值为（）A. B. C. D.10.已知圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.11.抛物线x2=y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2=32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 2112.已知双曲线：＞，＞的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x=1，则|PF|=______．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=-5x+y的最大值为______．15.设函数，则函数f（log210）=______．16.如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，A1，B1，C1，D1四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，PA的中点，底面是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P-EFB的体积．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值及方差s2；（3）当质量指标值位于（80，122.5）时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．20.已知椭圆C过点，，两个焦点，，，．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求△AOB 面积的最大值．21.已知函数f（x）=e x-ax（a∈R）有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个零点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．23.已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={1，2，3，6，9}， B={3x|x ∈A}={3，6，9，18，27}， C={x ∈N|3x ∈A}={1，2，3}， ∴B∩C={3}． 故选：D ．先分别求出集合A ，B ，C ，由此能求出B∩C ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A【解析】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定， 设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙， 则＞，σ甲＜σ乙．故选：A ．甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】B【解析】解：由题意可得，e 2i=cos2+isin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．由已知可得e2i=cos2+isin2，再由三角函数的象限符号得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.【答案】A【解析】解：；∴；∴．故选：A．根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5.【答案】C【解析】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，∴k与r的符号相同．故选：A．根据相关系数知相关系数的性质：|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小．r为正，表示正相关，回归直线方程上升，选出正确结果．本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，当相关系数大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．7.【答案】D【解析】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）=sinx，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）=e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3-3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=x|x|=，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f （x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为=4，所以矩形的长等于4×6=24，宽等于7，由勾股定理求得d==25．故选：B．将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．9.【答案】A【解析】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）=sin（2x-+）+1=-cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）=4，则g（x1）=g（x2）=2，或g（x1）=g（x2）=-2（舍去）．故有g（x1）=g（x2）=2，即cos2x1=cos2x2=-1，又x1，x2∈[-2π，2π]，∴2x1，2x2∈[-4π，4π]，要使x1-2x2取得最大值，则应有2x1=3π，2x2=-3π，故x1-2x2取得最大值为+3π=．故选：A．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1-2x2的最大值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，得：（x-1）2+（y-2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为等边三角形的高，．故选：B．化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．11.【答案】B【解析】解：∵y=2x2（x＞0），∴y′=4x，∴x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），整理，得4a i x-y-2a i2=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1=a i，∴{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，∴a2+a4+a6=32+8+2=42．故选：B．由y=2x2（x＞0），求出x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1=a i，所以{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．12.【答案】C【解析】解：F2（c，0），直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|==b，即有|OP|==a，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|=2|OP|=2a，|MF2|=2b，可得|MF2|-|MF1|=2a，即为2b-2a=2a，即b=2a，可得e====．故选：C．求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由y=2x2，得x2=，则p=；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+=2+=，故答案为：．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.【答案】10【解析】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：-5x+y=0，再作一组平行于l0的直线l：-5x+y=z，当直线l经过点A时，z=-5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（-2，0），所以z max=-5×（-2）+0=10．z=-5x+y的最大值为：10．故答案为：10．作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的最值即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.【答案】【解析】解：∵函数，∴函数f（log10）=f（log210-1）=f（log210-2）=f（log210-3）=-1==．故答案为：．10）=f（log210-1）=f（log210-2）=f（log210-3）=-1，由此推导出函数f（log能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】4【解析】解：设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．由勾股定理得，即，得a2=6-2h2，其中，所以，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V=a2h=（6-2h2）h=-2h3+6h，其中，构造函数f（h）=-2h3+6h，其中，则f′（h）=-6h2+6，令f′（h）=0，得h=1．当0＜h＜1时，f′（h）＞0；当时，f′（h）＜0．所以，函数V=f（h）在h=1处取得极大值，亦即最大值，则V max=f（1）=4．因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理h2+r2=3，得出a2=6-2h2，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值．本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题．17.【答案】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，且．整理得：（a+b）（sin A-sin B）=（c-b）sin C，利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A=．（2）由于，，所以：a2=b2+c2-2bc cos A，整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以：△ =3．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】（1）证明：在直角梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，在△BCH中，有BH=CH=2，∴∠BCH=45°．又在△DAB中，有AD=AB=2，∴∠ADB=45°．∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°．∴BC⊥BD．∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PD⊂平面PCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：∵AB∥CD，且AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，则CD∥平面PAB，在Rt△PDA中，由AD=PD=2，可得D到PA的距离为，即D到平面PAB的距离为．又E为PC的中点，可得E到平面PAB的距离为．在Rt△PAB中，由AB=2，PA=，且F为PA的中点，可得△ △ =．∴V P-EFB=V E-PBF=．【解析】（1）过点B作BH⊥CD于H，证明BC⊥BD．PD⊥BC，通过直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PBD；（2）求出E到平面PAB的距离及三角形PBF的面积，利用等积法求三棱锥P-EFB的体积．本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）内的频率为：1-（0.006+0.026+0.022+0.008）×10=0.38，由此能补全频率分布直方图如下：（2）质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．质量指标值的样本方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104．（3）当质量指标值位于（80，122.5）时，认为该产品为合格品，质量指标值位于（80，122.5）的频率为：+=0.95．∴该产品为合格品的概率为0.95．【解析】（1）由频率分布直方图求出[95，105）内的频率为0.38，由此能补全频率分布直方图．（2）由频率分布直方图求出质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差．（3）求出质量指标值位于（80，122.5）的频率，由此能求出该产品为合格品的概率．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（1）由题意可设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），半焦距c．则c=2，+=1，a2=b2+c2．联立解得：c=2，a=6，b2=12．∴椭圆C的标准方程为：=1．（2）直线l与x轴平行时，把y=±3代入椭圆方程可得：+=1，解得x=±3，可得△AOB 面积S==9．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）．原点到直线AB的距离d==3，化为：m2=9（1+t2）．联立，化为：（t2+3）y2+2tmy+m2-36=0，△=4t2m2-4（t2+3）（m2-36）＞0，y1+y2=-，y1y2=．则|AB|===6•，令t2+3=n≥3，则△AOB面积S=d•|AB|=×3×6•=9=9≤9×=6，当且仅当n=6，t=时，△AOB面积取得最大值6．【解析】（1）由题意可设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），半焦距c．可得c=2，+=1，a2=b2+c2．联立解出即可得出．（2）直线l与x轴平行时，把y=±3代入椭圆方程可得：+=1，解得x，可得△AOB面积S=9．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）．原点到直线AB的距离d==3，化为：m2=9（1+t2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（t2+3）y2+2tmy+m2-36=0，利用根与系数的关系可得|AB|=，令t2+3=n≥3，可得△AOB面积S=d•|AB|．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）由f（x）=e x-ax，得f'（x）=e x-a，当a＜0时，f（x）在R上为增函数，函数f（x）最多有一个零点，不符合题意，所以a＞0．当a＞0时，f'（x）=e x-a=e x-e ln af'（x）＜0⇔x＜ln a；f'（x）＞0⇔x＞ln a；所以f（x）在（-∞，ln a）上为减函数，在（ln a，+∞）上为增函数；所以f（x）min=f（ln a）=a-a lna；若函数f（x）有两个零点，则f（ln a）＜0⇒a＞e；当a＞e时，f（0）=1＞0，f（1）=e-a＜0；f（3a）=（e a）3-3a2＞0；由零点存在定理，函数f（x）在（0，1）和（1，3a）上各有一个零点．结合函数f（x）的单调性，当a＞e时，函数f（x）有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为（e，+∞）．（2）证明：由（1）得a＞e，0＜x1＜x2；由ex1=ax1，ex2=ax2得x1=ln a+ln x1，x2=ln a+ln x2；所以x2-x1=ln x2-ln x1=ln；设=t（t＞1），则，解得x1=，x2=；所以x1+x2=，当t＞1时，x1+x2＞2⇔＞2⇔ln t-＞0；设h（t）=ln t-，则h'（t）=，当t＞1时，h'（t）＞0；于是h（t）在（1，+∞）上为增函数；所以，当t＞1时，h（t）＞h（1）=0，即ln t-＞0；所以x1+x2＞2．【解析】（1）利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a的范围；（2）由e x1=ax1，e x2=ax2得x1=lna+lnx1，x2=lna+lnx2；得到所以x1+x2=；构造函数h（t）=lnt-，求证即可．本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2．|AB|=|t1-t2|===8．【解析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.【答案】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．【解析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
陕西省西安地区等八校2019届高三3月联考数学(理)试题(解析版)
2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，，标准差分别为，则（）A. B.C. D.【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【解析】∵∴−−=3(−−)；∴=−−.故选：C.5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C.6.如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）＝sinxB. f（x）＝e xC. f（x）＝x3﹣3xD. f（x）＝x|x|【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 31【答案】B【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得．故选：B．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．8.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用余弦函数的图象的值域，求出，的值，可得的最大值．【详解】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．故有g（）＝g（）＝2，即cos2＝cos2＝﹣1，又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，则应有2＝3π，2＝﹣3π，故﹣2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的值域，属于中档题．9.已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C：中，圆C的半径为，，，∴在等边中，，，故选C．方法二：设，则，记，令，得，，故选C．考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值．10.抛物线x2＝ y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 21【答案】B【解析】试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列．11.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝_____．【答案】【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为_____．【答案】[0，11]【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域，如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以z max＝﹣5×（﹣2）+0＝10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.在的展开式中，常数项为_____．【答案】-40【解析】【分析】根据，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【详解】解：∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•6•）（x﹣2），∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．【答案】2π【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：，利用正弦定理得：，即：，由于：，解得：．由于，所以：，整理得：，所以：．当且仅当时，的面积有最小值.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE 将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE ﹣B的余弦值都为定值．【详解】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2x，OE，∴B（2，2x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），（﹣2，2x，﹣x），（2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴8＝0，解得x（舍）或x，∴，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量（0，1，0），（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200．【解析】【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【详解】（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，2a12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|，由|AB|6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．设A（，），B（，），则，．由|AB|6，整理得：，原点O到AB的距离d．∴．当时，△AOB面积有最大值为9．综上，△AOB面积的最大值为．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．【答案】（1）（e，+∞）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f′（x）＝e x﹣ax．函数f（x）＝e x有两个极值点⇔f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x ＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设＜，+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【详解】（1）解：f′（x）＝e x﹣ax．∵函数f（x）＝e x有两个极值点．∴f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．g′（x），可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．g（1）=e,得到函数草图如图所示.a＞e时，方程f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）（x﹣1），令函数u（x），（0＜x＜2）．u′（x）．可得函数u（x）在（0，2）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴h′（x）（x﹣1）,h（x）在（0，1）内单调递减．∴h（x）＞h（1）＝0,∴．因此+＞2成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【答案】（1）曲线C：y2＝4x，顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）8【解析】【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|即可得出．【详解】（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝8．【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值．【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．试题解析：(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。