【九年级】2017北师大版数学九年级上册2
【关键字】九年级
2.4用因式分解法求解一元二次方程设计人：陈培
一、选择题
1. 下列多项式不能在实数范围内分解的是
A. B.
C. D.
2. 两个连续正整数的和的平方比它们的平方和大112，则这两个正整数是
A. 5，6
B. 7，8
C. 8，9
D. 6，7
3. 某印刷厂一月印50万册，二，三月共印132万册，问2、三月平均每月增长的百分数是
A. 20%
B.
C. 10%
D. 15%
4. 某工厂计划在长24米，宽20米的空地中间划出一块32平方米的长方形建一住房，并且四周剩余地一样宽，那么这宽度应是
A. 14米
B. 8米
C. 14米或8米
D. 以上都不对
2、填空题
5. 因式分解
①＝
②＝
③＝
④＝
⑤＝
6. 一个两位数等于它个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数是_________。
7. 某药品经两次降价，从原来每箱60元降为每箱48.6元，平均每次降价率为_________。
8. 有两个数不等，和17，积比小点数的平方大30，用方程求这两数，设_________，根据题意，列方程得_________。
9. 一矩形面积132cm2，周长46cm，则矩形长是_________，宽是_________。
10. 连续两个正奇数的平方和等于202，这两个奇数中较小的是_________。
三、解答题：
11. 已知二次三项式是一个完全平方式，求m的值。
12. 面积为150m2的矩形鸡场，长边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，若篱笆长35m，求鸡场的长和宽。
13. 一批上衣原来每件500元，第一次降价，销售甚慢，第二次大幅降价的百分率是第一次的2倍，结果以每件240元价格迅速售出，求每次降价的百分率。
14. 在长为a的线段AB上有一点C，且AC是AB、BC的比例中项，求线段AC的长。
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2017年九年级数学上册(北师大版)全册教案及反思
第一章 特殊平行四边形1.掌握菱形、矩形、正方形的概念,以及它们之间的关系.2.理解菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他相关结论.3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.经历图形的分类、性质探讨的过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.通过“猜想——总结——证明——应用”的数学活动提升科学素养.3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体验,促进其良好数学观的形成.本章主要渗透归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路的能力.【重点】菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.【难点】平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别.本章教学时间约需8课时,具体分配如下:1 菱形的性质与判定理解菱形的概念,了解它与平行四边形之间的关系.1.经历菱形的性质定理与判定定理的探索过程,进一步发展合情推理能力.2.能够用综合法证明菱形的性质定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.【重点】1.菱形的概念和性质.2.探索菱形的判定方法【难点】菱形的概念和性质在生活中的应用.第课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.【教师准备】1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.2.多媒体课件.3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.【学生准备】复习平行四边形的性质导入一:请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题:(1)投影图片中有平行四边形吗?(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质?【师生活动】复习平行四边形的定义及性质.导入二:1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?一、情景交流结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.二、学生活动,归纳概念思路一请口答下列问题.(1)上述图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.思路二【师】同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的▱ABCD 相比较,还有不同点吗?【生】投影图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意两条邻边也相等.【师】同学们观察得很仔细,像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.三、共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?【生】菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?【学生活动】分小组折纸探索答案.组长组织,并汇总结果.【教师活动】教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.【师生结论】(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等.【验证提升】证明菱形性质【师】通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨的逻辑证明.【教师活动】如图所示,在菱形ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC⊥BD.【师生共析】(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.【学生活动】写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.指名学生在黑板上演示证明过程.证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).∵AB＝AD,∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD,∴ΔABD是等腰三角形.∵四边形ABCD是菱形,∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵OB＝OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.【教师活动】展示学生的证明过程,进行恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力.【教师活动】请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质.【学生活动】小组交流,共同总结.【教师活动】多媒体课件展示定理:菱形的四条边相等.定理:菱形的对角线互相垂直.最后强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.四、展示交流【教师活动】例题讲解.(教材例1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD ＝60°,BD＝6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.〔解析〕因为菱形的邻边相等,一个内角是60°,这样就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB＝3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB＝OD＝BD＝³6＝3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°,∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.在RtΔAOB中,由勾股定理,得:OA2＋OB2＝AB2,∴OA＝＝3,∴AC＝2OA＝6.[知识拓展] (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.1.如图所示,在菱形ABCD中,AB＝5,∠BCD＝120°,则对角线AC的长是( )A.20B.15C.10D.5解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB＝CB,CD∥BA,所以∠ABC＝180°-∠BCD＝180°-120°＝60°,所以ΔABC是等边三角形,所以AC＝AB＝5.故选D.2.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD＝60°,则AC＝cm.解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB＝AD＝2 cm.又因为∠BAD＝60°,所以ΔABD是等边三角形,所以BD＝AB＝2 cm,所以OB＝BD＝1 cm,所以OA＝(cm),所以AC＝2 cm.故填2.3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD＝BC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么?解:四边形ABCD是菱形.理由:∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵CD＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形.4.如图所示,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E.求证∠AFD ＝∠CBE.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB＝CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE,∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.在菱形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.第1课时菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质:菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直例1一、教材作业【必做题】教材第4页随堂练习.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在菱形ABCD中,AB＝5 cm,则此菱形的周长为 ( )A.5 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm2.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角的度数比为( )A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶13.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线的长分别为AC＝6,BD＝8,则此菱形的边长为 ( )A.5B.6C.8D.104.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB＝8,E是CD的中点,则OE的长等于.5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC ＝.6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE＝DF.求证∠AEF＝∠AFE.【能力提升】7.如图所示,两个全等菱形的边长均为1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动,行走2015 cm后停下,则这只蚂蚁停在点.8.已知菱形ABCD的边长为6,且∠A＝60°,如果点P是菱形内一点,且PB＝PD ＝2,那么AP的长为.9.如图所示,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AB＝4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.(1)求∠ABD的度数;(2)求线段BE的长.【拓展探究】10.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC＝6,BD＝8,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE＋PF的最小值,则这个最小值是( )A.3B.4C.5D.611.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证AE＝EC;(2)当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由. 【答案与解析】1.C(解析:因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为5³4＝20(cm).故选C.)2.C(解析:如图所示,因为菱形的周长为8 cm,所以AD＝2 cm.因为高DE＝1 cm,所以DE＝AD,所以∠A＝30°,所以∠ADC＝180°-30°＝150°,所以菱形两邻角的度数比为5∶1.故选C.)3.A (解析:因为四边形ABCD是菱形,所以OA＝AC＝3,OB＝BD＝4,∠AOB＝90°,所以AB＝＝5.故选A.)4.4(解析:因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,且AD＝AB＝8.又因为E是CD的中点,所以OE是ΔACD的中位线,所以OE＝AD＝AB＝4.故填4.)5.5 (解析:因为点A,B在数轴上对应的数为-4和1,所以AB＝1-(-4)＝5.因为四边形ABCD是菱形,所以BC＝AB＝5.故填5.)6.证明:在菱形ABCD中,有AB＝AD,∠B＝∠D.在ΔABE和ΔADF中,,∴ΔABE≌ΔADF.∴AE＝AF.∴∠AEF＝∠AFE.7.G(解析:因为两个全等菱形的边长均为1 cm,所以蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序走一圈的路程为8³1＝8(cm),2015÷8＝251(cm)……7(cm),所以当蚂蚁走完第251圈后再走7 cm正好到达G点.)8.2或49.解:(1)在菱形ABCD中,AB＝AD,∠A＝60°,∴ΔABD为等边三角形.∴∠ABD＝60°.(2)由(1)可知BD＝AB＝4.又∵O为BD的中点,∴OB＝2.又∵OE⊥AB,∠ABD ＝60°,∴∠BOE＝30°.∴BE＝1.10.C11.证明:(1)如图所示,连接AC,∵BD是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC,∴AE＝EC.(2)点F是线段BC的中点.理由如下.∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°,∴ΔABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC,∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°,∴∠EAC＝30°.∴AF是ΔABC中∠BAC的平分线,∴BF ＝CF,∴点F是线段BC的中点.本课时的主要教学内容为菱形的定义和性质.学生已经学习了平行四边形的性质,这是本课时知识的基础.关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的.本课时授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”.课堂上的折纸活动,可以让学生直观感知图形的特点,还可以激发学生学习的兴趣和积极性.教师应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师要引导学生积极思考,抓住表面现象中的本质.在性质的证明和应用过程中,教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较,优化证明方法,有利于提高学生的逻辑思维水平.随堂练习(教材第4页)解:根据菱形的对角线互相垂直,可知ΔAOB是直角三角形,由勾股定理可求出OB＝3 cm,再根据菱形的对角线互相平分可得BD＝2OB＝6 cm.习题1.1(教材第4页)1.证明:在菱形ABCD中,AB＝BC,BC∥AD,∴∠B＋∠BAD＝180°,∵∠BAD＝2∠B,∴∠B＝60°,又∵BA＝BC,∴ΔABC是等边三角形.2.解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AD＝DC＝CB＝BA,AC⊥BD,AO＝AC＝³8＝4,DO＝BD＝³6＝3,在RtΔAOD中,由勾股定理,得AD＝＝5. ∴菱形ABCD的周长为4AD＝4³5＝20.3.证明:在菱形ABCD中,AD＝AB,AC⊥BD,∴AC平分∠DAB,同理,CA平分∠DCB,BD 平分∠ABC和∠ADC.4.解:共有4个等腰三角形,分别为ΔBAD,ΔBCD,ΔADC,ΔABC.共有4个直角三角形,分别为ΔAOB,ΔAOD,ΔCOD,ΔBOC.(1)在折纸过程中,教师要与学生探讨折纸的方法,明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴,便于学生正确迅速地找出菱形中的对称关系.掌握数学知识离不开“实践——认识——再实践——认识”这个重要的学习方法,通过说理论证可以使学生充分理解菱形的性质,在这个过程中,教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性.(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本课时类比以前学过的平行四边形的有关概念、性质,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.(3)本课时重难点、易错点的掌握要通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养合作意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.(2014²莆田中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝120°.点E是AB的中点,点F是AC上的一动点,则EF＋BF的最小值是.〔解析〕如图所示,连接DE,EC,DF,则BF＝DF.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD＝120°,∴∠ABC＝60°.∴ΔABC为等边三角形.∵E是AB的中点,∴CE⊥AB,∴CE⊥CD.在RtΔBEC中,∠ABC＝60°,BC＝4,∴BE＝BC＝2,CE＝＝2.在RtΔECD中,CE＝2,DC＝4,∴ED＝2.根据两点之间线段最短,可知EF＋DF的最小值为2.∴EF＋BF的最小值为2.故填2.第课时1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.尝试从不同角度寻求菱形的判定方法,并能有效地解决问题,尝试比较不同判定方法之间的差异,并获得判定四边形是菱形的经验.启发引导学生理解探索结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯.【重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.【难点】明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.【教师准备】木条和橡皮筋【学生准备】复习上课时的相关知识.导入一:人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?导入二:什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?教师提示:判定方法应该从三个方面分析:边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.那么,菱形的判定有什么方法呢?[设计意图]通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法.一、由菱形的定义判定【学生活动】明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【思考】除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?二、菱形的判定(1)思路一已知:在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC.∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形(菱形的定义).【思考】从上述证明过程中,你得出什么结论?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思路二【学生活动】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?猜想:四边形的对角线互相平分.(2)继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?猜想:当木条互相垂直时,平行四边形的一组邻边相等,此时四边形为菱形.(3)你能证明你的猜想吗?猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.已知:在▱ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,∴AB＝BC,∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.三、菱形的判定(2)思路一学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?请你画一画.通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形.证明上述结论.[设计意图]采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证明培养学生的几何思维.思路二问题我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D 为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.【学生活动】(1)观察画图的过程,你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?学生思考后,展开讨论寻找原因.原因:这个四边形的四条边相等,根据菱形定义即可判定.(2)你能得出什么结论?学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形.[设计意图]通过教师画图演示,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究的问题形象化、具体化,培养学生的形象思维能力.利用平行四边形的判定和菱形的定义判定该四边形是菱形,进一步提高学生的抽象思维能力.本活动进一步体现了试验几何和论证几何的有机结合.猜想:四条边相等的四边形是菱形.如图所示,在四边形ABCD,已知AB＝BC＝CD＝DA.求证四边形ABCD是菱形.证明:∵AB＝CD,BC＝AD,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).又∵AB＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).[设计意图]由菱形的定义得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形,并激发学生探究的欲望.[知识拓展] 四条边相等的四边形是菱形.在▱ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,AB＝,OA＝2,OB＝1.求证▱ABCD是菱形.证明:在ΔAOB中,∵AB＝,OA＝2,OB＝1,∴AB2＝AO2＋OB2.∴ΔAOB是直角三角形,即∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).[知识拓展] (1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理.1.下列命题正确的是( )A.对角线互相平分的四边形是菱形B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形答案:D2.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( )A.等腰梯形B.正方形C.长方形D.菱形答案:D3.如图所示,在ΔABC中,AD⊥BC于D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求证四边形AEDF是菱形.解析:首先判定四边形AEDF是平行四边形,然后连接EF证明EF⊥AD,利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判定.证明:∵点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,∴DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.连接EF,如图所示,∵点E,F分别是AB和AC的中点,∴EF∥BC.又∵AD⊥BC,∴AD⊥EF,∴平行四边形AEDF是菱形.第2课时1.根据菱形的定义进行判定2.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.定理:四条边相等的四边形是菱形例1例2一、教材作业【必做题】教材第7页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是( )A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B.四条边都相等的四边形是菱形C.一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形2.已知▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB＝BC;③AC平分∠BAD;④AO＝DO.使得▱ABCD是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示,如果要使▱ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是.4.如图所示,点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边满足条件: 时,四边形EFGH是菱形.【能力提升】5.如图所示,在ΔABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC 交AC于点F.求证四边形DECF是菱形.6.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF ⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,求证四边形BEDF是菱形.【拓展探究】7.如图所示,分别以ΔABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF,请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?(2)当ΔABC满足什么条件时,四边形ADEF为菱形?(3)当ΔABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在?【答案与解析】1.B2.C3.AB＝AD(答案不唯一)4.AB＝CD。
北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程 含答案
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为（）A.－1或B.1或C.1或D.1或2、解一元二次方程x²-4x+1=0，用配方法可变形为( )A. B. C. D.3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）．A.x 2-2x-99=0化为(x-1) 2=100B.x 2+8x+9=0化为(x+4) 2=25C.2t 2-7t-4=0化为D.3y 2-4y-2=0化为4、用配方法解方程x2﹣2x﹣2＝0，原方程应变形为( )A.( x+1) 2＝3B.( x﹣1) 2＝3C.( x+1) 2＝1D.( x﹣1) 2＝15、用配方法解一元二次方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）A.（x﹣2）2﹣3＝0B.（x+4）2＝15C.（x+2）2＝15D.（x+2）2＝36、用配方法解方程：x2-4x+2=0，下列配方正确的是（）A.（x-2）2=2B.（x+2）2=2C.（x-2）2=-2D.（x-2）2=67、用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（）A. B. C. D.8、用配方法解方程，配方正确的是（）A. B. C. D.9、用配方法解方程时，原方程应变形为（）A. B. C. D.10、用配方法解一元二次方程x2＋3＝4x，下列配方正确的是（）A.(x＋2) 2＝2B.(x－2) 2＝7C.(x＋2) 2＝1D.(x－2) 2＝111、用配方法解方程x2-6x-1=0，方程应变形为（）A.（x+3）2=10B.（x-6）2=1C.（x-3）2=10D.（x-3）2=912、用配方法解方程x2﹣4x+1=0，下列配方正确是（）A.（x﹣2）2=5B.（x+2）2=5C.（x﹣2）2=3D.（x+2）2=313、用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0时，下列配方正确的是（）A.（x﹣1）2+1＝0B.（x+1）2+1＝0C.（x﹣1）2﹣1＝0D.（x﹣1）2﹣2＝014、对于任意实数，代数式x2-4x+5的值是一个（）A.非负数B.正数C.负数D.无法确定15、若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为（x-2）2+k=0，则b、k的值分别是（）A.0、5B.0、1C. 、1D. 、5二、填空题(共10题，共计30分)16、都匀市体育局要组织一次篮球赛．赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛?设应邀请x支球队参加比赛，则列方程为：________。
02一元二次方程的应用-学生版
教学辅导教案1．用适当的方法解方程：（1）2（x+2）2﹣8=0；（2）x（x﹣3）=x；（3）x2=6x﹣；（4）（x+3）2+3（x+3）﹣4=0．2．已知关于x的方程（a2﹣1）x2+（1﹣a）x+a﹣2=0（1）当a为何值时，该方程为一元二次方程？（2）当a为何值时，该方程为一元一次方程？3．解方程，有一位同学解答如下：解：这里a=，b=，c=∴b2﹣4ac=（﹣∴=∴第1页共14页请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果．1．新苑小区的物业管理部门为了美化环境在小区靠墙的一侧设计了一块长方形花圃（如图所示），墙长25，花圃三边外围用篱笆围起，栽上花，共用篱笆40．（1）花圃的面积能达到200 m2吗？（2）花圃的面积能达到250 m2吗？（3）你能根据所学的知识求出花圃的最大面积吗？此时，篱笆该怎样围？2．如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m、宽20m的矩形草坪上修筑两横两纵四条小路，横、纵路的宽度之比为3：2，若要使余下的草坪面积是原来草坪面积的，则路宽分别为多少？3．有﹣块长32cm，宽14cm的矩形铁皮．（1）如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为280cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．（2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为180的有盖盒子？如果能，请求出盒于的体积；如果不能，请说明理由．4．如图所示，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AB=15，AO=12，P从A出发，Q从O出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度各自向O，B点运动，当运动时间为多少秒时，四边形BQP A的面积是∴POQ面积的8倍．8．某旅游团结束时，其中一个游客建议大家互相握手言别，细心的小明发现，每两个参加旅游的人互握一次手，共握了66次手，问这次旅游的游客人数是多少？【几何方面应用】1．有一块长为a，宽为b的长方形铝片，四角各截去一个相同的边长m的正方形，折合成一个没有盖的盒子，则此盒子的容积v的表达式应该为（）A．v=m2（a﹣m）（b﹣m）B．v=m（a﹣m）（b﹣m）C．v=m（a﹣2m）（b﹣2m）D．v=m（a﹣2m）（b﹣2m）2．从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁皮的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm2，则截去小正方形的边长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．三角形一边的长是该边上高的2倍，且面积是32，则该边的长是（）A．8B．4C．4D．84．某工厂计划在长24米、宽20米的空地中间划出一块32平方米的长方形建一住房，并且四周剩余空地一样宽，那么这宽度应是（）A．14米B．8米C．14米或8米D．以上都不对5．如图所示，把底面直径为60mm米，高为200mm的圆柱形钢材，锻压成底面为正方形，高为157mm的长方体零件毛坯，那么零件毛坯的底面正方形的边长为（）（π取3.14）A．30mm B．40mm C．50mm D．60mm6．如图所示，使用墙的一边，再用13m的竹篱笆围三边，围成一个面积为20m2矩形，设墙的对边长为xm，可得长，宽分别为（）A．5m，4m B．5m，4m或8m，mC．m，8m D．m，5m7．一块面积为600平方米的长方形土地，它的长比宽多10米，求长方形的长与宽，若设长方形的长为x米，则它的宽为米，根据题意的方程为．8．如图，在Rt∴ABC中，∴C=90°，点P以1cm/s的速度由点A向终点C运动，点Q以2cm/s的速度由点C向终点B运动，当其中一点到达自己的终点时，另一点随之停止运动．现已知AC=12cm，BC=9cm，设运动了t秒时，S∴PQC=S∴ABC，则t的值为．9．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽．（1）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽；（2）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽；（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？10．如图，在梯形ABCD中，AD∴BC，∴C=∴D=90°，BC=16，CD=12，AD=21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t 为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？【代数方面应用】1．某种商品经过两次降价，由每件100元降低了19元，则平均每次降价的百分率为（）A．9%B．9.5%C．8.5%D．10%2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了促进销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定适当地降价，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天 多销售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价（ ）元．A ．10B ．20C ．10或20D ．无法确定3．某种商品经过两次降价后，由原来价格10元降到现在价格8.1元，则这种商品平均每次降价的百分率为（ ）A ．10%B ．25%C ．80%D ．90%4．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为（ ）A ．20%B ．30%C ．50%D ．120%5．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）A.x (x ﹣1)=10B.102)1(=-x xC.x (x +1)=10 D ．102)1(=+x x 6．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队。
北师大版九年级数学上册[全册2]
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反比例函数教学目标：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
教学程序：一、导入：1、从现实情况和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加强对函数概念的理解，导入反比例函数。
2、U=IR，当U=220V时，（1）你能用含R的代数式表示I吗？当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？（3）变量I是R的函数吗？为什么？答：①I = U R②当R越来越大时，I越来越小，当R越来越小时，I越来越大。
③变量I是R的函数。
当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因此I 是R的函数。
二、新授：1、反比例函数的概念一般地，如果两个变量x, y之间的关系可以表示成y=kx(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的自变量x 不能为零。
2、做一做一个矩形的面积为20cm2，相邻两条边长分别为xcm和ycm，那么变量y是变量x 的函数吗？是反比例函数吗？解：y=20x，是反比例函数。
三、课堂练习：P133，12四、作业：P133，习题5.1 1、2题反比例函数的图象与性质教学目标：使学生会作反比例函数的图象，并能理解反比例函数的性质。
培养提高学生的计算能力和作图能力。
教学重点、难点：作反比例函数的图象。
理解反比例函数的性质。
教学程序：一、复习：1、函数有哪几种表示方法？答：图象法、解析法、列表法2、一次函数y=kx+b有什么性质？答：一次函数y=kx+1的图象是一条直线。
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
二、新授：1、作反比例函数y=4x的图象：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。
连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y=4x的图象。
2、你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可简化计算，又便于描点。
3、作反比例函数y=－4x的图象。
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3.解题步骤：以具体例题为例，讲解配方法的解题步骤，使学生掌握配方法的应用。
4.练习：布置不同类型的题目，让学生运用配方法求解，巩固所学知识。
5.小结：对本节课所学内容进行总结，强调配方法在求解一元二次方程中的重要性。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.配方法的基本原理及其在一元二次方程中的应用。
2.掌握配方法求解一元二次方程的步骤，并能熟练运用。
3.能够将实际问题抽象为一元二次方程，运用配方法解决实际问题。
（二）教学难点
1.理解配方法的推导过程，尤其是一元二次方程中常数项和一次项的配平。
2.对不同类型一元二次方程的配方法求解，如：x²+bx+c=0、ax²+bx+c=0（a≠1）等。
4.案例教学，提高应用能力：通过讲解具体例题，让学生在实际问题中运用配方法，提高学生的应用能力。
5.精讲精练，巩固知识：在课堂上进行针对性讲解，课后布置适量作业，帮助学生巩固所学知识。
6.关注个体差异，因材施教：针对不同水平的学生，设计不同难度的题目，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
7.反馈与评价，持续改进：在教学过程中，及时收集学生的反馈，了解学习效果，调整教学方法，以提高教学效果。
8.拓展思维，提高素养：引导学生从多个角度思考问题，培养学生的发散思维和数学素养。
9.课后反思，提升自我：鼓励学生在课后进行反思，总结自己在学习配方法过程中的优点和不足，不断提升自我。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.回顾一元二次方程的一般形式，引导学生思考：我们已经学过哪些求解一元二次方程的方法？这些方法有什么局限性？
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5.家长协助监督孩子完成作业，关注孩子的学习进度和困惑，与孩子共同探讨解决问题的方法。
4.培养学生团结协作、互相帮助的精神，提高学生的团队协作能力。
在教学过程中，教师应注重引导学生主动参与、积极思考，关注学生的个体差异，因材施教，使学生在掌握知识与技能的基础上，形成良好的情感态度与价值观。同时，教师还应结合学生的实际情况，设计丰富多样的教学活动，提高课堂教学的趣味性和实用性，为学生提供展示自我、发展个性的平台。
二、学情分析
北师大版数学九年级上册的学生，在之前的学习中已经掌握了一元二次方程的基本概念和解法，具备了一定的数学基础。在此基础上，学生对配方法求解一元二次方程的学习有以下特点：
1.学生已经熟悉一元二次方程的一般形式，但对配方法的运用尚不熟练，需要教师在教学过程中进行引导和指导。
2.学生的逻辑思维能力逐渐成熟，但部分学生可能对配方法的推导过程感到困惑，需要教师耐心讲解，帮助学生理解。
4.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在课堂上得到发展。
（2）注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高学生的数学素养。
（3）激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与课堂讨论，形成良好的学习氛围。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.首先，通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的基本概念和解法，为新课的学习打下基础。
3.学生在学习过程中，对于实际问题的转化和求解存在一定难度，需要教师通过实例分析，引导学生将数学知识应用于实际问题。
4.学生的学习兴趣和动力存在差异，教师应关注学生的个体差异，激发学生的学习积极性，提高课堂参与度。
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4.预习作业：
（1）预习下一节课的内容，了解一元二次方程的根的判别式及其应用。
（2）尝试完成课本习题2.3第1题，为下一节课的学习打下基础。
5.总结反思：
（1）要求学生认真总结本节课所学内容，反思自己在课堂学习中的优点和不足，为今后的学习提供借鉴。
3.针对配方法求解一元二次方程的解的性质，如解的个数、符号等，进行讲解，并举例说明。
（三）学生小组讨论，500字
1.将学生分成小组，每组选一个组长，负责组织讨论。提出问题：“请同学们结合刚才学习的配方法，尝试解决以下实际问题。”
2.每个小组领取一个实际问题，如“某同学在投篮时，篮球的轨迹呈抛物线，求篮球达到最高点时的高度”。小组成员共同探讨，运用配方法求解。
4.通过实际问题的解决，培养将数学知识应用于实际生活的意识，提高数学素养。
（三）情感态度与价值观
1.增强对数学学科的兴趣，认识到数学在生活中的广泛应用，提高学习数学的积极性。
2.培养勇于探索、善于思考的品质，面对数学问题，不畏惧，敢于挑战。
3.养成良好的学习习惯，如预习、复习、独立思考、合作交流等，形成积极向上的学习态度。
（2）针对自己在作业中出现的错误，认真分析原因，及时纠正，提高解题能力。
在教学开始时，通过一个与学生生活息息相关的问题，如“某同学在投篮时，篮球的轨迹呈抛物线，求篮球达到最高点时的高度”，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程，激发学生学习兴趣。
2.自主探究，合作交流
将学生分成小组，让他们自主探究配方法的基本步骤，并在小组内进行交流讨论。在此过程中，教师巡回指导，关注学生的解题思路和计算准确性。
2.提高作业：
北师大版九年级数学上册2
-学会计算判别式（b^2 - 4ac），并根据判别式的值判断方程的根的情况。
（二）过程与方法
1.通过实际问题导入，激发学生对一元二次方程学习的兴趣，引导学生主动探究方程的解决方法。
-利用生活实例或数学故事引入，提高学生的学习动机。
-采用小组合作、讨论交流的方式，让学生参与到探索一元二次方程解法的活动中。
3.讲解判别式的意义：让学生知道判别式（b^2 - 4ac）的作用，并通过实例演示如何根据判别式的值判断一元二次方程的根的情况。
（三）学生小组讨论
在这一环节，我会将学生分成小组，让他们针对以下问题进行讨论：
1.一元二次方程在实际生活中的应用。
2.因式分解法和配方法求解一元二次方程的步骤和技巧。
3.判别式在一元二次方程中的应用。
4.思考总结题：要求学生写一篇关于一元二次方程学习心得的小短文，内容包括对一元二次方程概念的理解、解法的掌握、学习过程中遇到的困难及解决办法等。这有助于学生进行自我反思，提升学习策略。
5.小组讨论题：提前布置一道小组讨论题目，让学生在课后进行小组合作，共同探讨一元二次方程的某个深入话题，例如“一元二次方程的根与系数之间的关系”。小组需要记录讨论过程，并在课堂上分享讨论成果。
4.一元二次方程在现实生活中的应用。
五、作业布置
为了巩固学生对一元二次方程的理解和应用，以及提高他们的数学思维能力，我将布置以下作业：
1.基础巩固题：从课本中选择5道具有代表性的基础题目，要求学生运用因式分解法解一元二次方程。这些题目应涵盖不同的应用场景，以便学生能够理解一元二次方程在实际问题中的广泛性。
2.能力提升题：设计3道提高难度的题目，其中包括至少一道需要使用配方法解的题目，以及一道涉及判别式的题目。这些题目旨在让学生在解决更复杂问题时，运用和巩固所学知识。
17北师大版中学数学九年级上第二章一元二次方程2
第二章 一元二次方程6 应用一元二次方程第1课时 几何（行程）问题教学目标1.掌握列一元二次方程解决几何问题、行程问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.2.理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、分析问题，并能运用所学的知识解决问题.教学重难点重点：学会用列方程的方法解决有关形积（行程）问题.难点：如何找出图形的面积、体积问题及行程问题中的等量关系.教学过程导入新课问题1：如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.梯子顶端下滑1m 时，梯子底端滑动的距离大于1m ，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？(1) (2)解:设梯子顶端下滑x m 时，梯子底端滑动的距离与顶端下滑的距离相等.由题意得：222(8)(6)10x x -++=，解得x 1＝0(不符合题意,舍去)，x 2＝2，所以梯子顶端下滑2m 时，梯子底端滑动的距离与顶端下滑的距离相等.问题2：如果梯子长度是13m ，梯子顶端与地面的垂直距离为12m ,那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？解：假设梯子顶端下滑x m 时，梯子底端滑动的距离与梯子顶端下滑的距离 相等.则222(12)(5)13x x -++=，解得x 1＝0(不符合题意,舍去)，x 2＝7，所以梯子顶端下滑7m 时，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等.探究新知一、知识讲解1.面积问题与一元二次方程例1 要对一块长60m ，宽40 m 的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化.设计方案 如图所示，矩形P ，Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P ，Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P ，Q 两块绿地周围教学反思的硬化路面的宽.解：设P ，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽为x m. 根据题意，得(60－3x )·(40－2x )＝60×40×14，解得x 1＝10，x 2＝30. 检验：如果硬化路面的宽为30m ，那么2×30＝60＞40，所以x 2＝30不符合题意，舍去，故x ＝10. 故P ，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽为10m. 2.行程问题与一元二次方程 例2如图,某海军基地位于A 处,在其正南方向200n mile 处有一重要目标B ,在B 的正东方向200n mile 处有一重要目标C .小岛D 位于AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛F 位于BC 的中点.一艘军舰从A 出发,经B 到C 匀速巡航,一艘补给船同时从D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处,那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1n mile )解：连接DF .∵ AD ＝CD , BF ＝CF ,∴ DF 是△ABC 的中位线.∴ DF ∥AB ，且DF ＝21AB .∵ AB ⊥BC ,AB ＝BC ＝200 n mile ,∴ DF ⊥BC ,DF ＝100n mile ，BF ＝100n mile . 设相遇时补给船航行了x n mile ,那么 DE ＝x n mile ,AB + BE ＝2x n mile , EF ＝ AB + BF - (AB + BE ) ＝ (300 - 2x )n mile . 在Rt △DEF 中，根据勾股定理可得方程 x 2 ＝ 1002+(300-2x )2，整理，得3x 2-1200x +100 000 ＝ 0.解这个方程，得1200118.4x =，2200x =舍去）. 教学反思所以，相遇时补给船大约航行了118.4n mile . 二、练习巩固，拓展提高1.从一块正方形的木板上锯掉2 m 宽的长方形木条,剩下的面积是48 m 2,则原来这块木板的面积是(Ｂ )A.100 m 2B.64 m 2C.121 m 2D.144 m 2解析：设原正方形的边长是x m ,根据题意可得x (x -2)＝48,解得x 1＝8,x 2＝-6(不合题意,舍去),所以原来这块木板的面积是64 m 2.故选B.2.一块矩形菜地的面积是120 m 2,如果它的长减少2 m ,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是 12 m .解析:设矩形菜地的长为x m ,则宽为(x -2)m ,由题意得x (x -2)＝120,解得x 1＝12,x 2＝-10(舍去),故原菜地的长为12 m .3.如图所示，A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，AD ＝6 cm ，P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3 cm /s 的速度向点B 运动，一直到达点B 为止，点Q 以2 cm /s 的速度向点D 运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动.(1)P ，Q 两点从出发开始几秒时，四边形PBC Q 的面积为33 cm 2? (2)P ，Q 两点从出发开始几秒时，点P 和点Q 的距离第一次是10 cm ?解：(1)设P ，Q 两点从出发开始x s 时，四边形PBC Q 的面积为33 cm 2，根据题意得PB ＝AB －AP ＝(16－3x ) cm ，C Q ＝2x cm .故12(2x ＋16－3x )×6＝33，解得x ＝5. 故P ，Q 两点从出发开始5s 时，四边形PBC Q 的面积为33 cm 2.(2)设P ，Q 两点从出发开始y s 时，点P 和点Q 的距离第一次是10 cm .如图，过Q 点作Q M ⊥AB 于点M ，则BM ＝C Q ＝2y cm ，故PM ＝(16－5y ) cm . 在Rt △PM Q 中，PM 2＋M Q 2＝P Q 2，∴ (16－5y )2＋62＝102.解得y 1＝85，y 2＝245. ∵ 所求的是第一次满足条件的时间，∴ y ＝85. 故P ，Q 两点从出发开始85s 时，点P 和点Q 的距离第一次是10 cm . 课堂练习1.在矩形ABCD 中,AB ＝6 cm ,BC ＝12 cm ,点P 从点A 开始以1 cm /s 的速度沿AB 边向点B 移动,点Q 从点B 开始以2 cm /s 的速度沿BC 边向点C 移动,如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，几秒后△PB Q 的面积等于8 cm 22.等腰直角△ABC 中,AB ＝BC ＝8 cm ,动点P 从A 点出发,沿AB 向B 移动,通过点P 引平行于BC ,AC 的直线与AC ,BC 分别交于点R ，Q.当AP 等于多少厘米时,平行四边形P Q CR 的面积等于16 cm 23.如图所示,一根木棍OE 垂直平分柱子AB ,AB ＝200 cm ,OE ＝260cm ,一只老鼠C 由柱子底端A 点以2 cm /s 的速度向顶端B 点爬行,同时,另一只老鼠D 由O 点以3 cm /s 的速度沿木棍OE 爬行.问:是否存在这样的时刻,使两只老鼠与O 点组成的三角形的面积为1 800 cm 2教学反思参考答案 1.解：设x s 后△PB Q 的面积等于8 cm 2. 根据题意，得()1×2682x x -=， 整理，得x 2-6x +8＝0，解这个方程，得x 1＝2,x 2＝4，所以2s 或4s 后△PB Q 的面积等于8 cm 2..2.解：设AP ＝x cm ，则PR ＝x cm ，PB ＝（8-x ）cm ，根据题意得x (8-x )＝16，整理得x 2-8x +16＝0，解这个方程得x 1＝x 2＝4..答：当AP ＝4 cm 时，平行四边形P Q CR 的面积为16 cm 2.3.解：存在.理由如下:(1)当老鼠C 在AO 上运动时,设两只老鼠同时爬行经过x s ,两只老鼠与O 点组成的△COD 的面积为1 800 cm 2,即S △OCD ＝1 800 cm 2， 则AC ＝2x cm ,OC ＝(100-2x ) cm ,OD ＝3x cm . 由S △OCD ＝12OC ·OD ,得12(100-2x )·3x ＝1 800, 整理,得x 2-50x +600＝0.解得x 1＝20,x 2＝30.(2)当老鼠C 在OB 上运动时,设两只老鼠同时爬行经过y s ,两只老鼠与O 点组成的△C ′OD ′的面积为1 800 cm 2,即C OD S ''△＝1 800 cm 2.则AC ′＝2y cm ,OC ′＝(2y -100) cm ,OD ′＝3y cm .由C OD S ''△ ＝12OC ′·OD ′,得12(2y -100)·3y ＝1 800. 整理,得y 2-50y -600＝0,解得y 1＝60,y 2＝-10(舍去),综合以上两种情况,在20 s ,30 s 或60 s 时,两只老鼠C ,D 与O 点组成的三角形的面积为1 800 cm 2. 课堂小结(学生总结，老师点评)列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种； (2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的根；(4)“验”，即验证是否符合题意； 教学反思(5)“答”，即回答题目中要解决的问题.教学反思布置作业课本习题2.9板书设计6应用一元二次方程第1课时几何（行程）问题。