函数的极值与导数习题
tf 学经出书中.此內客单独堆曲»I H11 ■ "1 ・ I *■ I I I I I ■ H ■r ■ ■ ? °1 ・・ Iill 5 r I ・ ir‘rr ・ I■ ■ i I ・ r i I 11 ■ r ■ I ■ ■ H ■p・ 1［学业水平训练］1 •下列四个函数中，能在 x =0处取得极值的函数是()①y = x 3②y = x 2+ 1 ③y = | x |④y = 2A.①② B.②③ C.③④D.①③解析：选B.①④为单调函数，不存在极值. 2.已知函数y = x — ln(1 +x 2)，则函数y 的极值情况是()A 有极小值B.有极大值C.既有极大值又有极小值 D 无极值122x x 一 1解析：选 D . ■/ y ' = 1 —2(x + 1) ' = 1 — 2= 一21 + x x +1 x + 1令 y ' = 0,得 x = 1,当 x > 1 时，y ' > 0, 当 x v 1 时，y ‘ > 0, •••函数无极值. 3. (2014高考课标全国卷n )函数f (x )在x = x o 处导数存在.若 p ： f ' (x o ) = 0; q ： x =X o 是f ( x )的极值点，贝U ( )A. p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是 q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，也不是 q 的必要条件解析：选C.当f '(X 0)= 0时，x = X 0不一定是f (x )的极值点， 比如，y = x 在x = 0时，f ' (0) = 0,但在x = 0的左右两侧 f ' (x )的符号相同，因而 x = 0不是y = x 3的极值点. 由极值的定义知，x = X 0是f (x )的极值点必有f '(X 0)= 0. 综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件. 4. 已知函数f (x ) , x € R 有唯一极值，且当 x = 1时，f (x )存在极小值，贝U ( )A. 当 X € ( — a, 1)时， f ' (x ) >0; 当 x € (1 , + a )时， f ' (X ) v 0B. 当 x € ( — a, 1)时， f ' (x ) >0; 当 x € (1 , + a )时， f ' (X ) > 0C. 当 X € ( — a, 1)时， f ' (x ) v 0; 当 x € (1 , + a )时， f ' (x ) > 0D. 当 X € ( — a, 1)时，f ' (x ) v 0; 当 x € (1 , + a )时， f ' (x ) v 0 解析：选C. f (x )在x = 1时存在极小值，则当x v 1时，f ' (x ) v 0；当x > 1时，f ' (x ) > 0.325. 已知函数f (x ) = 2x + ax + 36x — 24在x = 2处有极值，则该函数的一个递增区间是 ( ) A. (2,3) B. (3 ,+ a ) C. (2 , + a ) D. ( —a, 3)解析：选B.因为函数f (x ) =2x 3+ ax 2+ 36x — 24在x = 2处有极值，所以有f ' (2) = 0, 而f ' (x ) = 6x 2+ 2ax + 36,代入得a =— 15.现令f ' (x ) >0，解得x >3或x v 2，所以函数 的一个增区间是(3 ,+ a ).6. ____________________________________ 函数y = 3x 3— 9x + 5的极大值为 . 解析：y ‘ = 9x 2— 9.令 y ‘ = 0,得 x = ±1.駐课时作业y单调 递增/ 极大 值单调 递减\极 小值单调 递增/从上表可以看出B,当 x =— 1时，函数y 有极大值 33X ( — 1) — 9X ( — 1) + 5 = 11. 答案：117•已知函数f (x ) = ax 3+ bx 2+ c ,其导数f ' (x )的图象如图所示，则函数的极小值是解析：由图象可知，当 x v 0时, 当 0v x v 2 时，f ' (x ) >0,故x = 0时函数f (x )取极小值f (0) = C. 答案：c2&已知f (x ) = x 3+ ax 2+ bx + c 在x = 1与x =— 3时都取得极值，则2解析:T f ' (x ) = 3x + 2ax + b ,2令f ' (x ) = 0,由题设知X 1= 1与X 2=— 3为f ' (x ) = 0的解.1 a = —2b = — 29. 求下列函数的极值：2 —xIn x(1) f (x ) = x 2e —; (2) f (x )=——解：(1)函数的定义域为R—x 2 — x— xf (x ) = 2x e — x e = x (2 — x )e . 令 f ' (x ) = 0,得 x = 0或 x = 2.当x 变化时，' () , ()的变化情况如表:x (—m, 0) 0 (0,2) 2 (2 ,+ ^) f ' (x ) 一+ 0 一f (x )/ 4e 一24当x = 2时，函数有极大值，且 f (2) =一2.eIn x⑵ 函数f (x )=——的定义域为(0 ,+ 8),xa =2 2b21 — In x 1 — In xf (x ) = ------- 2 .令 f (x ) = 0,即 ------- 2 = 0,得 x = e.x x由表可知，当x = e 时，函数的极大值是e10. 已知函数y = ax 3+ bx 2，当x = 1时，有极大值 3. (1) 求a , b 的值； (2) 求函数y 的极小值. 解：⑴ y ' = 3ax 2+ 2bx ,由题意，得当x = 1时，y ' | x =1 = 3a + 2b = 0, y | x =1= a + b = 3,3a + 2b = 0, 即a +b = 3,解得 a =— 6, b = 9.32(2)由(1)知 y = — 6x + 9x , 则 y ' =— 18x + 18x . 令 y ' = 0,得 x = 0 或 x = 1, 经检验知x =0是函数的极小值点， 故y 极小值=y | x =0= 0.［高考水平训练］3. .1. 若函数y = x — 3ax + a 在(1,2)内有极小值，则实数 a 的取值范围是( )A. 1 < a < 2B. 1 v a < 4C. 2<a < 4D. a >4 或 a < 1解析：选B.y ' = 3x 2— 3a.当a < 0时，f ' (x ) > 0,函数y = x 3— 3ax + a 为单调函数， 不合题意，舍去；当a >0时，y ' = 3x 2— 3a = 0? x = ± a ,不难分析当1 < a < 2,即卩1< a <4时，函数 y = x 3—3ax + a 在(1,2)内有极小值.2. (2014绵阳高二检测)函数y = f (x )的导函数的图象如图所示，给出下面四个判断.① f (x )在区间［—2, — 1］上是增函数； ② x =— 1是f (x )的极小值点；③ f (x )在区间［—1,2］上是增函数，在区间［2,4］上是减函数； ④ x = 3是f (x )的极小值点. 其中，所有正确判断的序号是 __________ .解析：由题中函数 y = f (x )的导函数的图象可知：f (x )在区间［—2, — 1］上是减函数， 在［—1,2］上为增函数，在［2,4］上为减函数.f (x )在x =— 1处取得极小值，在x = 2处取得 极大值.故②③正确.答案：②③323. 已知函数y = x + 3ax + 3bx + c 在x = 2处有极值，且其图象在x = 1处的切线与直线 6x + 2y + 5= 0 平行.X (0 , e)e (e ,+ a )f ' (x ) + 0一f (x )/1 e当x 变化时，f ' ( ) , ()的变化情况如表：1(1) 求函数的单调区间；(2) 求函数的极大值与极小值的差. 解：y' = 3x + 6ax+ 3b.•/ X= 2是函数的极值点，•••12+ 12a+ 3b= 0,即 4 + 4a + b= 0,①又图象在x = 1处的切线与直线6x+ 2y + 5 = 0平行, •-y' |x=i = 3 + 6a+ 3b= —3，即卩2a+b + 2= 0.② 由①②解得a=—1, b= 0,此时y' = 3x2—6x= 3x( x —2).(1)令y' > 0,得3x(x —2) > 0,解得X V 0或x> 2,令y' V 0,得3x( x—2) V 0,解得0V x v 2,•函数的单调减区间为(0,2)，单调增区间为(一a, 0) , (2 , + ).⑵由(1)可以断定x = 0是极大值点，x= 2是极小值点，又y = f (x) = x3—3x2+ c, •- y极大值一y极小值=f(0) —f(2) = c —(8 —12+ c) = 4.4.设a 为实数，函数f (x) = x3—x2—x + a.(1)求f(x)的极值；⑵当a在什么范围内取值时，曲线y= f (x)与x轴仅有一个交点？2解：(1) f ' (x) = 3x —2x — 1.1令f ' (x) = 0,则x=—3或x= 1.当x1 5所以f (x)的极大值是f ( —3) = + a,3 2 7极小值是f (1) = a— 1.(2)函数f(x) = x —x —x + a= (x —1) (x+ 1) + a—1, 由此可知，x取足够大的正数时，有f (x) > 0, x取足够小的负数时，有 f (x) v 0,曲线y = f(x)与x轴至少有一个交点.1 5由(1)知f (x)极大值=f ( —3) = 27+ a,f (x)极小值=f (1) = a—1.T曲线y = f (x)与x轴仅有一个交点,•f(x) 极大值V 0 或f (x) 极小值> 0,5 亠即27 + a v 0 或a— 1 > 0,5•a v —”或a> 1,•••当a€ ( —a,5—27)U (1,+a)时，曲线y= f (x)与x轴仅有一个交点.。
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
函数极值练习题
函数极值练习题[注意：以下内容仅供参考，具体题目和解答可以根据需要自行设置。
]1. 求以下函数的极值：(1) 函数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$(2) 函数 $g(x)=\sin(x)+\cos(x)$(3) 函数 $h(x)=x^4-4x^2+3$2. 解答：(1) 函数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$ 的极值点可以通过求导和判断导数的正负来确定。
求导得到 $f'(x)=6x^2-6x-12$，令导数为零，解方程 $6x^2-6x-12=0$，得到 $x=2$ 或 $x=-1$。
求导数的符号表可以得到以下结果：当 $x<-1$ 时，$f'(x)>0$，即函数单调增加；当 $-1<x<2$ 时，$f'(x)<0$，即函数单调减少；当 $x>2$ 时，$f'(x)>0$，即函数单调增加。
因此，当 $x=-1$ 时，函数取得极小值；当 $x=2$ 时，函数取得极大值。
(2) 函数 $g(x)=\sin(x)+\cos(x)$ 是一个周期函数，通过观察该函数的图像可以发现它的最大值是 1，最小值是 -1。
因此，函数 $g(x)$ 的极大值是 1，极小值是 -1。
(3) 函数 $h(x)=x^4-4x^2+3$ 是一个四次函数，可以通过求导和判断导数的零点来确定极值点。
求导得到 $h'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)$，令导数为零，解方程$4x(x^2-2)=0$，得到 $x=0$ 或 $x=\sqrt{2}$ 或 $x=-\sqrt{2}$。
求导数的符号表可以得到以下结果：当 $x<-\sqrt{2}$ 时，$h'(x)<0$，即函数单调减少；当 $-\sqrt{2}<x<0$ 时，$h'(x)>0$，即函数单调增加；当 $0<x<\sqrt{2}$ 时，$h'(x)<0$，即函数单调减少；当 $x>\sqrt{2}$ 时，$h'(x)>0$，即函数单调增加。
(完整版)极值、最值与导数习题(附答案)
极值、最值与导数
1.若函数f(x)=2x3－3x2+c的极大值为6，那么c的值为( )
A.0
B.5
C.6
D.1
2.设函数2
()ln
f x x
x
=+，则( )
A .
1
2
x=为f(x)的极大值点 B .
1
2
x=为f(x)的极小值点
C .x=2为f(x)的极大值点
D .x=2为f(x)的极小值点
3.函数f(x)=(x－3)e x的单调递增区间是________.
4.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，给出下列命题：
①－2是函数y=f(x)的极值点; ②1是函数y=f(x)的极值点;
③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零; ④y=f(x)在区间(－2，2)上单调递增. 则正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)
5.已知函数f(x)=－x3+3x2+9x－2.
(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)求f(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值.
答案：
1.C
2.D
3.(2，+∞)
4.①④
5. (Ⅰ)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，+∞).
(Ⅱ)函数f(x)在闭区间[－2，2]上的最大值为f(2)=20，最小值为f(－1)=－7.。
导数与极值最大值与最小值问题练习题
导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。
通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。
本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。
练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。
解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。
对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。
即，3x^2 - 12x + 9= 0。
通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。
然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。
当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。
综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。
练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。
解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。
根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。
将导数g'(x)置为零，求得极值点。
即，e^x - 4 = 0。
通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。
接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。
g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。
因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。
练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。
(完整版)导数--函数的极值练习题
导数--函数的极值练习题一、选择题1.下列说法正确的是( )A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是 ( )①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2x A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 3.函数y =216x x+的极大值为( ) A.3 B.4 C.2 D.54.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为( )A.0 B.1 C.2 D.45.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为( ) A.e －1 B.0 C.－1 D.1 6.y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于( )A.6B.0C.5D.17．对可导函数,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 8.下列函数中, 0=x 是极值点的函数是( )A.3x y -= B.x y 2cos = C.x x y -=tan D.x y 1=9.下列说法正确的是( )A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C. 对于12)(23+++=x px x x f ,若6||<p ,则)(x f 无极值;D.函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在最值.10.函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为( ) A.)3,3(- B.)11,4(- C. )3,3(-或)11,4(- D.不存在 11.函数|6|)(2--=x x x f 的极值点的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D.3个 12.函数xxx f ln )(=( ) A.没有极值 B.有极小值 C. 有极大值 D.有极大值和极小值二．填空题：13.函数x x x f ln )(2=的极小值是 14.定义在]2,0[π上的函数4cos 2)(2-+=x ex f x的极值情况是15.函数)0(3)(3>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则)(x f 的减区间是16.下列函数①32x y =,②x y tan =,③|1|3++=x x y ,④xxe y =,其中在其定义区间上存在极值点的函数序号是17.函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________. 18.曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值.19.函数y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为___________. 20.若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则a =___________,b =___________.三．解答题21.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值.22.函数f (x )=x +xa+b 有极小值2，求a 、b 应满足的条件.23.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 在x =2处有极值，其图象在x ＝1处的切线垂直于直线y =31x -2 （1）设f(x)的极大值为p ，极小值为q ，求p-q 的值；（2）若c 为正常数，且不等式f(x)>mx 2在区间（0,2）内恒成立，求实数m 的取值范围。
函数的极值与导数习题
[学业水平训练] 1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的函数是() ①y＝x3②y＝x2＋1③y＝|x|④y＝2xA．①②B．②③C．③④D．①③解析：选B.①④为单调函数，不存在极值．2．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是() A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：选D．∵y′＝1－11＋x2(x2＋1)′＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1，令y′＝0，得x＝1，当x＞1时，y′＞0，当x＜1时，y′＞0，∴函数无极值．3．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则() A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C．当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．4．已知函数f(x)，x∈R有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则()A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：选C．f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.5．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)解析：选B.因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个增区间是(3，＋∞)．6．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．解析：y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11. 答案：117．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导数f ′(x )的图象如图所示，则函数的极小值是________． 解析：由图象可知，当x ＜0时，f ′(x )＜0， 当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0，故x ＝0时函数f (x )取极小值f (0)＝C ． 答案：c8．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x 1＝1与x 2＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧－23a ＝1－23b 3＝1×(－23)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－2. 答案：－12－29．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 2e －x ；(2)f (x )＝ln x x .解：(1)函数的定义域为R . f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0.当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e2.(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，即1－ln xx 2＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：由表可知，当x ＝e 时，函数的极大值是1e.10．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求a ，b 的值；(2)求函数y 的极小值． 解：(1)y ′＝3ax 2＋2bx ，由题意，得当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3，解得a ＝－6，b ＝9. (2)由(1)知y ＝－6x 3＋9x 2， 则y ′＝－18x 2＋18x . 令y ′＝0，得x ＝0或x ＝1， 经检验知x ＝0是函数的极小值点， 故y 极小值＝y |x ＝0＝0.[高考水平训练]1．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜2 B ．1＜a ＜4 C ．2＜a ＜4 D ．a ＞4或a ＜1解析：选B.y ′＝3x 2－3a .当a ≤0时，f ′(x )≥0，函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去； 当a ＞0时，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析当1＜a ＜2，即1＜a ＜4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值．2．(2014·绵阳高二检测)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下面四个判断． ①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中，所有正确判断的序号是________．解析：由题中函数y ＝f (x )的导函数的图象可知：f (x )在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数．f (x )在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．故②③正确．答案：②③3．已知函数y ＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，且其图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行． (1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差．解：y ′＝3x 2＋6ax ＋3b . ∵x ＝2是函数的极值点， ∴12＋12a ＋3b ＝0， 即4＋4a ＋b ＝0，①又图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， ∴y ′|x ＝1＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0.② 由①②解得a ＝－1，b ＝0， 此时y ′＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． (1)令y ′＞0，得3x (x －2)＞0， 解得x ＜0或x ＞2， 令y ′＜0，得3x (x －2)＜0， 解得0＜x ＜2，∴函数的单调减区间为(0,2)，单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．(2)由(1)可以断定x ＝0是极大值点，x ＝2是极小值点，又y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋c ， ∴y 极大值－y 极小值＝f (0)－f (2)＝c －(8－12＋c )＝4.4．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f (－13)＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0，x 取足够小的负数时，有f (x )＜0， 曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f (－13)＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0， ∴a ＜－527或a ＞1，∴当a ∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
导数在求值(极值、最值)中的应用
补充习题1.1.11、判定下列函数奇偶性？A ．)12sin()(++=x x x fB ．)1ln()(2++=x x x f C ．xe x xf x-=)( D ．xxx x f sin 1)(2⋅-=2、判断下列说法是否正确(1)复合函数y=f[g(x)]的定义域即为u= g(x) 的定义域.(2)若y=y(u)为偶函数，u=u(x)为奇函数，则y=y[u(x)] 为偶函数. (3) 设⎩⎨⎧<+≥=010)(x x x xx f ，由于y=x 和y=x+1都是初等函数，所以f(x) 是初等函数.(4)设y=arcsinu,u=2x +2,这两个函数可以复合成一个函数y=arcsin(2x +2). 3、下列函数的定义域：(1)211xx y --=； (2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin x x xy 4、设)(x f y =的定义域为[]2,1,求)ln 1(x f -的定义域.5、指出下列初等函数由哪些基本初等函数复合而成？(1)xey 12sin=; (2)))1ln(arccos(2-=x y . (3)y=)35(si n 2+x6、将下列函数复合成一个函数(1)y=sinu,u=v ,v=2x-1 (2)y=lgu,u=1+v,v=2x补充习题1.1.21、.用铁皮做一个容积为的圆柱形罐头筒，试将它的全面积表示成底半径的函数，并确定此函数的定义域.2、某厂生产产品1000吨，定价为130元/吨.当售出量不超过700吨时，按原定价出售；超过700吨的部分按原价的九折出售.试将销售收入表示成销售量的函数.3、某手表厂生产一只手表的可变成本为15元，每天的固定成本为2000元。
如果每只手表的出厂价为20元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？补充习题1.2.11、下列函数f(x)在x 的何种趋势时是无穷小量？在x 的何种趋势时f(x)是无穷大量？ （1）f(x)=12-+x x ; (2) f(x)=lgx (3) f(x)=222xx +2、利用无穷小量的性质，求下列函数的极限 （1）xx x 1sinlim 2→ （2）x xx arctan 1lim∞→（3）11lim1-+→x x x （4）xx x x 1cos)2(lim 2+→补充习题 1.2.2.1求下列函数的极限1．)1311(lim 31xxx ---→ 2. 1392lim323++-∞→x x x x3. 231lim 221+--→x x x x 4. )1(lim 22+-+∞→x x x x5 xxx 3s i n lim 2x +→ 6. xx x 3sin )21ln(lim+→7 . xe xx 3tan 1lim-→ 8. xx arcsin 13-1limx -→补充习题 1.2.2.2求下列函数的极限1.xx x x sin 2cos 1lim-→ 2. xx x 1tanlim ∞→3. 3sinlim22xx x → 4 xx xx )3lim +∞→（5. xx x x )11lim +-∞→（6. ]ln )2[ln(lim n n n n -+∞→补充习题 1.2.2.31、求函数321)(2--+=x x x x f 的连续区间，并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x →及)(lim 3x f x -→。
大学函数练习题
大学函数练习题题目一：求函数的极值1. 给定函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4，求f(x)的极值点及对应的极值。
解析：为了求函数的极值，首先需要求解导数为零的点。
对函数f(x)求导可得f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
将f'(x)设置为0并解方程，可以得到x = -1和x = 3两个根。
接下来，我们可以通过计算f(-1)、f(3)和f(x)在这两个点的导数值，来判断这些点是否为极值点。
当x = -1时，f(-1) = 15，而f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) - 12 = 0。
所以x = -1是一个极小值点。
当x = 3时，f(3) = 22，而f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 0。
所以x = 3也是一个极小值点。
因此，f(x)的极小值分别为x = -1时的f(-1) = 15，和x = 3时的f(3) = 22。
题目二：求函数的渐近线2. 给定函数g(x) = (x^2 - 9) / (x - 3)，求g(x)的水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线。
解析：首先，我们需要判断函数g(x)是否有水平渐近线。
水平渐近线的存在取决于函数在无穷远处的行为。
当x趋向于正无穷大时，g(x)的表达式可以简化为g(x) = (x^2 - 9) / x。
根据极限的概念，当x趋向于正无穷大时，g(x)无穷接近于x，因此函数g(x)的水平渐近线是y = x。
接下来，我们需要判断函数g(x)是否有垂直渐近线。
垂直渐近线的存在取决于函数在某一点的极限是否为无穷大。
当x趋向于3时，g(x)的分母(x - 3)趋向于零，而分子(x^2 - 9) = (x - 3)(x + 3)不趋向于零。
因此，这个函数g(x)在x = 3处没有定义，也即在x = 3处有一个垂直渐近线。
最后，我们需要判断函数g(x)是否有斜渐近线。
斜渐近线的存在取决于函数在无穷远处的行为。
高中数学高考总复习---函数的最值和及值巩固练习题(基础、提高)含答案解析
(Ⅰ)求 a、b 的值；
(Ⅱ)若对于任意的 x∈[0，3]，都有 f(x)<c2 成立，求 c 的取值范围。
14.（2015 金凤区校级一模）已知函数
.
（1）求
的单调区间和极值;
(2)若对任意
，
恒成立，求实数 的最大值.
15. （2016 海淀区模拟）已知函数
.
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若关于 的不等式
14
②当
时，由（1）知
，
所以
随 的变化情况如下表：
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以 的极大值点为 ，极小值点为 。
综上所述，当
时，
有一个极大值点
，没有极小值点；
当
时， 有一个极大值点 ，一个极小值点 。
16.【解析】
（1）由已知，函数 f(x)的定义域为(0,+∞)，
，
所以
．
当
时，g(x)在区间
在区 间
上单调递减；
当
时，g(x)在区间(0,+∞)上单调递增．
（2）由
，解得
上单调递增， ．
12
令
．
则 故存在 x0∈(1,e)，使得 令
， ．
，
由
知，函数 u(x)在区间(1,+∞)上单调递增．
所以
．
即 a0∈(0,1)．
当 a=a0 时，有
，
由（1）知，函数 f＇(x)在区间(1,+∞)上单调递增．
故当 x∈(1,x0)时，有 f＇(x0)＜0，从而 f(x)＞f(x0)=0； 当 x∈(x0，+∞)时，有 f＇(x0)＞0，从而 f(x)＞f(x0)=0； 所以，当 x∈(1,+∞)时，f(x)≥0．
导数与函数的极值、最值 最新习题(含解析)
导数与函数的极值、最值课时作业一、选择题1．如图2是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：图2①－2是函数y＝f(x)的极值点；②1是函数y＝f(x)的极值点；③y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①③B．②④C．②③D．①④解析：根据导函数图象可知，－2是导函数的零点且－2的左右两侧导函数符号异号，故－2是极值点；1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致；0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，导函数在(－2，2)上恒大于或等于零，故为函数的增区间，所以选D.答案：D2．设f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，则函数f(x)()A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值C．有无数个极值D．没有极值解析：由f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，得f′(x)＝x－1＋sin(1－x)．设g(x)＝x－1＋sin(1－x)，则g′(x)＝1－cos(1－x)≥0.所以g(x)为增函数，且g(1)＝0.所以当x∈(－∞，1)时，g(x)<0，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，则f(x)单调递增．又f′(1)＝0，所以函数f(x)仅有一个极小值f(1)．故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝()A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎨⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f （1）＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 即⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值．不符合题意．∴a ＝4.故选C. 答案：C 4．函数f (x )＝2＋ln x x ＋1在[1e ，e]上的最小值为 ( ) A ．1 B.e 1＋e C.21＋e D.31＋e解析：∵f ′(x )＝x ＋1x －（2＋ln x ）（x ＋1）2＝1x－1－ln x （x ＋1）2，∴当e ≥x >1时，f ′(x )<0；当1e ≤x ＜1时，f ′(x )＞0. 所以f (x )的最小值为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （1e ），f （e ）＝min{e 1＋e ，31＋e }＝e 1＋e ，选B.答案：B5．若函数f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0，62)B ．(1，62)C ．(－62，62)D ．(63，1)∪(1，62) 解析：∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x ， ∴f ′(x )＝2(a ＋1)e 2x －2e x ＋a －1，∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点， ∴f ′(x )＝0有两个不等实根，设t ＝e x >0，则关于t 的方程2(a ＋1)t 2－2t ＋a －1＝0有两个不等正根，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －12（a ＋1）>0，22（a ＋1）>0，4－8（a －1）（a ＋1）>0⇒1<a <62，∴实数a 的取值范围是(1，62)，故选B. 答案：B 6.图1如图1，可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )，设h (x )＝f (x )－g (x )，则下列说法正确的是( )A ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极大值点B ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极小值点C ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是h (x )的极值点D ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0是h (x )的极值点解析：由题意可得函数f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， ∴h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， ∴h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)， ∴h ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<f ′(x 0)， 故h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x >x 0时，f ′(x )>f ′(x 0)， 故h ′(x )>0，h (x )单调递增．∴x ＝x 0是h (x )的极小值点．故选B. 答案：B7．若函数g (x )＝mx ＋sin xe x 在区间(0，2π)内有一个极大值和一个极小值，则实数m 的取值范围是 ( )A ．[－e －2π，e －π2)B ．(－e －π，e －2π)C ．(－e π，e －5π2) D ．(－e －3π，e π) 解析：函数g (x )＝mx ＋sin xe x ， 求导得g ′(x )＝m ＋cos x －sin xe x. 令f (x )＝m ＋cos x －sin x e x，则f ′(x )＝－2cos xe x .易知，当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(π2，3π2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(3π2，2π)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 且f (0)＝m ＋1，f (π2)＝m －e －π2，f (3π2)＝m ＋e －3π2， f (2π)＝m ＋e －2π，有f (π2)<f (2π)，f (0)>f (3π2)．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （π2）＝m －e －π2<0，f （2π）＝m ＋e －2π≥0，解得－e－2π≤m <e －π2.故选A.答案：A8．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 ( )A ．－4，－15B ．5，－15C ．5，－4D ．5，－16 解析：由题意知y ′＝6x 2－6x －12， 令y ′>0，解得x >2或x <－1，故函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，当x＝0时，y＝5；当x＝3时，y＝－4；当x＝2时，y＝－15.由此得函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，－15.故选B.答案：B9．若函数f(x)＝13x3－⎝⎛⎭⎪⎫1＋b2x2＋2bx在区间[－3，1]上不是单调函数，则f(x)在R上的极小值为()A．2b－43 B.32b－23C．0 D．b2－16b3解析：由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3，1]上不是单调函数，所以－3<b<1.由f′(x)>0，解得x>2或x<b；由f′(x)<0，解得b<x<2.所以f(x)的极小值为f(2)＝2b－43.故选A.答案：A10．已知函数f(x)＝ln x＋a，g(x)＝ax＋b＋1，若∀x>0，f(x)≤g(x)，则ba的最小值是()A．1＋e B．1－e C．e－1D．2e－1解析：由题意，∀x>0，f(x)≤g(x)，即ln x＋a≤ax＋b＋1，即ln x－ax＋a≤b＋1，设h(x)＝ln x－ax＋a，则h′(x)＝1x－a，当a≤0时，h′(x)＝1x－a>0，函数h(x)单调递增，无最大值，不合题意；当a>0时，令h′(x)＝1x－a＝0，解得x＝1a，当x∈(0，1a)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(1a，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(1a)＝－ln a＋a－1，故－ln a＋a－1≤b＋1，即－ln a＋a－b－2≤0，令ba＝k，则b＝ak，所以－ln a＋(1－k)a－2≤0，设φ(a)＝－ln a＋(1－k)a－2，则φ′(a)＝－1a＋(1－k)，若1－k≤0，则φ′(a)<0，此时φ(a)单调递减，无最小值，所以k＜1，由φ′(a)＝0，得a＝11－k，此时φ(a)min＝ln(1－k)－1≤0，解得k≥1－e，所以k的小值为1－e，故选B.答案：B11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15 C．10 D．15解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，∴－12＋4a＝0，解得a＝3，∴f′(x)＝－3x2＋6x，f(x)＝－3x3＋3x2－4，∴n∈[－1，1]时，f′(n)＝－3n2＋6n，当n＝－1时，f′(n)最小，最小为－9，当m∈[－1，1]时，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，所以当m＝0时，f(m)最小，最小为－4，故f(m)＋f′(n)的最小值为－9＋(－4)＝－13.故选A.答案：A12．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝16x3－12mx2＋x在(－1，2)上是“凸函数”，则f(x)在(－1，2)上() A．既有极大值，也有极小值B．没有极大值，有极小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值解析：由题设可知，f″(x)<0在(－1，2)上恒成立，由于f ′(x )＝12x 2－mx ＋1，从而f ″(x )＝x －m ，所以有x －m <0在(－1，2)上恒成立，故知m ≥2，又因为m ≤2，所以m ＝2，从而f (x )＝16x 3－x 2＋x ，f ′(x )＝12x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝2－2∈(－1，2)，x 2＝2＋2∉(－1，2)，且当x ∈(－1，2－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2－2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝2－2处取得极大值，没有极小值．答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f (x )在[12，2]上的最大值等于________．解析：∵函数f (x )＝1－xx ＋ln x ， ∴f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2.故f (x )在[12，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增， 又∵f (12)＝1－ln2，f (2)＝ln2－12，f (1)＝0， f (12)－f (2)＝32－2ln2>0，∴f (x )max ＝1－ln2，故答案为1－ln2. 答案：1－ln214．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2处取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0 ①，又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， 所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0 ②， 联立①②可得a ＝－1，b ＝0， 所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当f ′(x )>0时，x <0或x >2； 当f ′(x )<0时，0<x <2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f (0)＝c ， 极小值为f (2)＝c －4，故函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4， 故答案为4. 答案：415．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析：由f ′(x )＝6x 2－2ax ＝0，得x ＝0或x ＝a3，因为函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点且f (0)＝1，所以a 3>0，f (a 3)＝0，因此2(a 3)3－a (a3)2＋1＝0，a ＝3.从而函数f (x )在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)，f (x )min ＝min{f (－1)，f (1)}＝f (－1)，f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.答案：－316．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1，(1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝________；(2)若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， ∴f ′(1)＝3a ＋9＝6，∴a ＝－1.函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0在(－1，3)内有不同的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）＝－a ＋9>0，f ′（3）＝7a ＋33>0，－1<－2a 6<3，∴－337<a <－3.答案：－1 (－337，－3) 三、解答题17．已知函数f (x )＝x ＋ax ln x (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )＝x ＋ax ln x 存在极大值，且极大值点为1，证明：f (x )≤e －x ＋x 2. 解：(1)由题意x >0，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ，①当a ＝0时，f (x )＝x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a >0时，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递增，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )<0，当x ∈(e －1－1a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，e －1－1a )上单调递减，函数f (x )在(e －1－1a ，＋∞)上单调递增；③当a <0，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递减，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －1－1a 上单调递增，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞上单调递减． (2)由f ′(1)＝0，得a ＝－1，令h (x )＝e －x ＋x 2－x ＋x ln x ，则h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x ，h ″(x )＝e －x ＋2＋1x >0，∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，∵h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e －1e ＋2e －1＜0，h ′(1)＝－e －1＋2＞0， ∴∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得h ′(x 0)＝0，即－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0. ∴当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (x 0)．由－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，得e －x 0＝2x 0＋ln x 0， ∴h (x 0)＝e －x 0＋x 20－x 0＋x 0ln x 0 ＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)．当x 0＋ln x 0<0时，ln x 0<－x 0⇒x 0<e －x 0 ⇒－e －x 0＋x 0<0，所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0<0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0>0时，ln x 0>－x 0⇒x 0>e －x 0⇒－e －x 0＋x 0>0， 所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0>0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0＝0时，ln x 0＝－x 0⇒x 0＝e －x 0⇒－e －x 0＋x 0＝0， 得－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，故x 0＋ln x 0＝0成立， 得h (x 0)＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)＝0，所以h (x )≥0， 即f (x )≤e －x ＋x 2.18．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间和最小值；(2)若函数F (x )＝f （x ）－a x 在[1，e]上的最小值为32，求a 的值； (3)若k ∈Z ，且f (x )＋x －k (x －1)>0对任意x >1恒成立，求k 的最大值． 解：(1)f (x )的单调增区间为[1e ，＋∞)，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ， f (x )min ＝f (1e )＝－1e .(2)F (x )＝ln x －ax ，F ′(x )＝x ＋a x 2，(ⅰ)当a ≥0时，F ′(x )>0，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉[0，＋∞)，舍去．(ⅱ)当a <0时，F (x )在(0，－a )在上单调递减， 在(－a ，＋∞)上单调递增，①若a ∈(－1，0)，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉(－1，0)，舍去；②若a ∈[－e ，－1]，F (x )在[1，－a ]上单调递减，在[－a ，e]上单调递增，所以F (x )min ＝F (－a )＝ln(－a )＋1＝32，解得a ＝－e ∈[－e ，－1]；③若a ∈(－∞，－e), F (x )在[1，e]上单调递减， F (x )min ＝F (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e 2∉(－∞，－e)，舍去．综上所述， a ＝－ e.(3)由题意得，k (x －1)<x ＋x ln x 对任意x >1恒成立，即k <x ln x ＋x x －1对任意x >1恒成立． 令h (x )＝x ln x ＋x x －1，则h ′(x )＝x －ln x －2（x －1）2， 令φ(x )＝x －ln x －2(x >1)，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，因为方程φ(x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一的实根x 0，且x 0∈(3，4)，当1<x <x 0时，φ(x )<0，即h ′(x )<0，当x >x 0时，φ(x )>0，即h ′(x )>0.所以函数h (x )在(1，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．所以h (x )min ＝h (x 0)＝x 0（1＋ln x 0）x 0－1＝x 0（1＋x 0－2）x 0－1＝x 0∈(3，4)，所以k <g (x )min ＝x 0， 又因为x 0∈(3，4)，故整数k 的最大值为3.19．高三模拟考试)已知函数f (x )＝－4x 3＋ax ，x ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，求实数a 的取值集合．解：(1)f ′(x )＝－12x 2＋a .当a ＝0时，f (x )＝－4x 3在R 上单调递减；当a <0时，f ′(x )＝－12x 2＋a <0，即f (x )＝－4x 3＋ax 在R 上单调递减；当a >0时，f ′(x )＝－12x 2＋a ＝0，解得x 1＝36a ，x 2＝－3a 6，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6时，f ′(x )<0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6时，f ′(x )>0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． (2)∵函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，∴对任意x ∈[－1，1]，f (x )≤1恒成立，即－4x 3＋ax ≤1对任意x ∈[－1，1]恒成立，变形可得ax ≤1＋4x 3.当x ＝0时，a ·0≤1＋4·03，即0≤1，可得a ∈R ；当x ∈(0，1]时，a ≤1x ＋4x 2，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2min， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时， g ′(x )>0. 因此，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3， ∴a ≤3.当x ∈[－1，0)时，a ≥1x ＋4x 2，则a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2max， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2，当x ∈[－1，0)时，g ′(x )<0，因此，g (x )max ＝g (－1)＝3，∴a ≥3.综上，a＝3.∴a的取值集合为{3}。