2015-2016学年高中数学 2.5第1课时 等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5
∴bn＝2n 1an＝(2n－1)· 2n 1.
－ －
(2)由(1)得 bn＝(2n－1)· 2n－1， ∴Tn＝1×20＋3×21＋5×22＋„＋(2n－1)×2n－1， 2Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋„＋(2n－1)×2n， 1)×2n，
n－1 4 × 1 － 2 n ∴Tn＝(2n－1)×2 －1－ ， 1－2
一般地，若{bn}成等差数列，{cn}成等比
数列，an＝bn·cn，求数列{an}的前n项和Sn可用乘公比错位相减
(2015· 太原市二模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，S3＝9，数列{bn}中 b1＝1，b3＝20.
bn (1)若数列a 是公比 n
q>0 的等比数列，求 an，bn；
一天，小林和小明做“贷款” 游戏，他们签订了一份合同．从签 订合同之日起， 在整整一个月(30 天) 中，小明第一天贷给小林 1 万元， 第二天贷给小林 2 万元„„以后每 天比前一天多贷给小林 1 万元．而小林按这样的方式还贷：小 林第一天只需还 1 分钱， 第二天还 2 分钱， 第三天还 4 分钱„„ 以后每天还的钱数是前一天的两倍．
2．等比数列前 n 项和公式与函数的关系 我们已知等差数列前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数，可依据二 次函数的图象与性质解决等差数列的有关问题，那么等比数列 的前 n 项和 Sn 是 n 的函数吗？ 当公比 q≠1 时，我们已经知道等比数列的前 n 项和公式 a11－qn a1 n a1 Sn＝ ，它可以变形为 Sn＝(－ )q ＋ ，设 A＝ 1－q 1－q 1－q a1 ，上式可写成 Sn＝－Aqn＋A，由此可见，非常数等比数列 1－q 的前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的， 而指数式的系数与常数项互为相反数．反过来也成立．
方程思想；解答本题(1)用首项和公差依据等差数列通项公式及 前n项和公式列方程组求解；(2)先求首项b1和公比q，再代入前 n项和公式求解．
[解析]
(1)设{an}的公差为 d，则由已知条件得 a1＋2d＝
3×2 9 3 2,3a1＋ 2 d＝2，化简得 a1＋2d＝2，a1＋d＝2，解得 a1＝1，d n－1 n＋1 1 ＝2，故通项公式 an＝1＋ 2 ，即 an＝ 2 . 15＋1 (2)由(1)得 b1＝1，b4＝a15＝ 2 ＝8.设{bn}的公比为 q，
－
qSn－1 据此你能得出用 a1，q 表示 Sn 的公式吗？ a1－anq Sn ＝ a1 ＋ qSn － 1 ＝ a1 ＋ q(Sn － an) ， 解 出 Sn ＝ ＝ 1－q a11－qn . 1－ q
(3)当 q≠1 时，计算 Sn－qSn，想一想你能用 a1 和 q 表达 Sn 吗？ a2 a3 an (4)由等比数列的定义，得a ＝a ＝„＝ ＝q，想一想依 a － 1 2 n 1 据等比性质可得出什么结论？ a2＋a3＋„＋an Sn－a1 根据等比性质，得 ＝ ＝q， a1＋a2＋„＋an－1 Sn－an
∴q＝2.
1－26 ∴a1＝1，∴S6＝ ＝63. 1－2 解法 2：由题意知，S2，S4－S2，S6－S4 成等比数列，即(S4 －S2)2＝S2(S6－S4)，即 122＝3(S6－15)，∴S6＝63.
[方法规律总结]
下标成等差的等差、等比数列的项或前n
项和的问题，常考虑应用等差、等比数列的性质求解．
解得 a1＝1，a4＝8
或者 a1＝8， a4＝1， 而数列{an}是递增的等比数列， 所以 a1＝1， a4 a4＝8，即 q ＝a ＝8，所以 q＝2，因而数列{an}的前 n 项和 Sn 1
3
a11－qn 1－2n ＝ ＝ ＝2n－1. 1 －q 1－2
等比数列前n项和的性质 (2014·大纲全国卷文，8) 设等比数列 {an}的前 n 项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
在正项等比数列 {an} 中， Sn 是其前 n 项和，若 S10 ＝ 10 ， S30
＝130，则S20的值为________．
[答案] 40 [解析] 由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， 得(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)， 解方程得S20＝40或S20＝－30，∵S20>0，∴S20＝40.
3．等差数列{an}的前 n 项和公式是：
na1＋an 1 Sn＝ ＝na1＋2n(n－1)d 2
倒序相加法 ． ___________________________求和方法是____________
1．等比数列的前 n 项和 已知等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和为 Sn＝a1＋a1q＋ a1q2＋„＋a1qn－1， (1)若 q＝1，则 Sn 与 a1 有何关系？ (2)当 q≠1 时，易知 Sn＝a1＋q(a1＋a1q＋„＋a1qn 2)＝a1＋
错位相减法求数列的前n项和
2n－1 1 3 5 7 求数列2，4，8，16，„， 2n 的前 n 项和．
1 1 1 1 [分析] 本题中的数列是由数列 1,3,5,7， „与2， „ 4， 8， 16， 的各项对应相乘得到的，前面的数列是等差数列，后面的数列 是等比数列，可用错位相减法求和．
2n－1 1 3 5 [解析] 设 Sn＝2＋22＋23＋„＋ 2n ， 2n－1 3 5 则 2Sn＝1＋2＋22＋„＋ n－1 . 2 ① ②
课堂探究学案
等比数列求和公式
(2015· 重庆文， 16)已知等差数列{an}满足 a3＝2， 9 前 3 项和 S3＝2. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足 b1＝a1， b4＝a15， 求{bn}的前 n 项和 Tn.
[分析]
考查等差(等比)数列的通项公式及前n项和公式及
合同开始生效了，第一天小林支出1分钱，收入1万元；第
二天，他支出 2分钱，收入 2万元；第三天，他支出 4 分钱，收 入3万„„到了第10天，他共得55万元，付出的总数只有10元2 角3分．到了第20天，小林共得210万元，而小明才支出了1 048 575分，共1万元多一点．小林想：要是合同订两个月，三个月 该多好！果真是这样吗？我们一起来帮他算一算．
(2015·安徽理，14)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋
a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．
[答案] 2n－1
[解析] 考查 1.等比数列的性质； 2.等比数列的前 n 项和公 式．
a1＋a4＝9， 由题意， a3＝8. a2· a1＋a4＝9， ∴ a4＝8， a1·
(2)在(1)的条件下，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
[解析] (1)由题意得 S3＝3a2＝9，∴a2＝3， 又∵a1＝1，∴d＝2，∴an＝2n－1，
bn b1 b3 20 bn ∴a ＝1，a ＝ 5 ＝4，∴数列 a 的公比 q＝2，∴a ＝2n－1， n n 1 3
2n－1 1 1 1 1 ①－②，得－Sn＝－1－2(2＋22＋23＋„＋ n－1)＋ 2n ＋ 2n 1－2 2n－1 2n＋3 ＝－1－2＋ n－2＋ 2n ＝－3＋ 2n ， 2 1 2n＋3 ∴Sn＝3－ 2n .
[方法规律总结] 法．
A．31
C．63 [分析]
B．32
D．64 已知S2，S4，可列出关于a1，q的方程组求解；观
察下标可以发现，2,4,6成等差列，故可应用性质求解． [答案] C
[解析] 解法 1：由条件知：an>0，且
a1＋a2＝3， a1＋a2＋a3＋a4＝15， a11＋q＝3， ∴ 2 3 a 1 ＋ q ＋ q ＋ q ＝15， 1
① ②
①－②得，－Tn ＝1 ＋2×21＋2×22＋„＋ 2×2n－1－(2n－
∴Tn＝(2n－3)×2n＋3.
n b 1 － q b 1 4 3 则 q ＝b ＝8，从而 q＝2.故{bn}的前 n 项和 Tn＝ ＝ 1－q 1
1×1－2n n ＝2 －1. 1－2
[方法规律总结] 在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n， Sn 中， a1， q 是最基本的元素， 当条件与结论间的联系不明显时， 均可以用 a1，q 列方程组求解．
即数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前 n 项和 公式为 Sn＝－Aqn＋A，(A≠0，q≠0，且 q≠1，n∈N*) 当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1 是 n 的正比例 函数．
等比数列{an}的前n项和Sn＝2×3n＋a，则a等于( A．3 C．0 [答案] D B．1 D．－2
S6 S9 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若S ＝3，则S ＝( 3 6 A．2 8 C．3 7 B．3 D．3
)
[答案] B
S6－S3 S6 [解析] ∵S ＝3，∴S6＝3S3，∴ S ＝2， 3 3 S9－S6 2 ∵S3，S6－S3，S9－S6 成等比，∴ S ＝2 ， 3 ∴S9＝4S3＋S6＝7S3， S9 7S3 7 ∴S ＝3S ＝3，∴选 B． 6 3
an＋1 ＝q， a 1．如何用数学语言表述等比数列的定义？若___________ n
其中 n∈N*，q是非零常数 ，则称数列{an}为等比数列． ________________________
n－1(n∈N*) a ＝ a · q n 1 2．等比数列的通项公式是：____________________.
[ 分析 ] 出S5. 由 a1 ， a9 可求出 q ，再用等比数列前 n 项和公式求
1 [解析] ∵a1＝27，a9＝243， 1 243 1 8 ∴q ＝ 27 ＝38， 1 又∵q<0，∴q＝－3， 15 a11－q5 27[1－－3 ] 61 ∴S5＝ ＝ 1 ＝3. 1－q 1－－3
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2.5.1等比数列前n项和公式(第1课时)
若q=1，则 S3=3 a1 , S 6 6a1 , S 9 9a1 由 a1 0可得S3 S 6 2S 9，与题设矛盾
q 1 a1 (1 q ) a1 (1 q ) 2a1 (1 q ) 1 q 1 q 1 q
3 6 9
整理，得q3+q6=2q9
各个格子里的麦粒数依次是:
1, 2, 22, 23, 24, 25,…,263,
发明者要求的麦粒总数就是: 1+ 2+22+23+24+25+…+263.
通项: an=2n-1
前n项和:Sn
等比数列的求和
引入新课
1 2 2 2
2 3
2
4
263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 ,, 2 .
它是以１为首项公比是２的等比数列， 麦粒的总数为:
2
3
63
S64 1 2 2 2 2 .
2 3 63
S64 1 2 2 2 2 的方法 . (1) ,就 2 3 63 是错位相 2S64 2(1 2 2 2 2 ). 减法 ! 2 3 63 64 (2) 即2S64 2 2 2 2 2 .
1 243
.
已知等比数列an 中,
练习１.
2或-3
1 a1 2 , S3 14.则q
a3 8或18 2 a1 1, a4 216 则 q -6 , S4 185
a1、q、n、a n、sn
等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和课件 新人教A版必修
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
C.11－－xxn，x≠1， n，x＝1
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
答案：C
3．设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和A．2
B．4
15
17
C. 2
D. 2
答案：C
4．等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝8，则 S5＝________． 答案：248 5．等比数列{an}中，a1＝－1，a4＝216，则前 4 项和 S4＝ ________． 答案：185
法二：由性质 Sm＋n＝Sn＋qnSm， 得 S20＝S10＋q10S10， 即 30＝10＋10q10，所以 q10＝2. 所以 S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70. (2)由题意，得SS奇奇＋－SS偶偶＝＝－802，40， 解得SS奇 偶＝ ＝－ －81060，. 所以 q＝SS偶奇＝－－18600＝2. [答案] (1)70 (2)2
第二章 数列
2．5 等比数列的前 n 项和
第 1 课时 等比数列的前 n 项和
第二章 数列
1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式推导思路． 2. 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单 问题． 3．掌握等比数列前 n 项和公式的有关性质．
1．等比数列的前 n 项和公式
已知量
首项、公比与项数
(2)设数列{an}的首项为 a1，公比为 q，所有奇数项、偶数项之和 分别记作 S 奇，S 偶，由题意可知， S 奇＋S 偶＝4S 偶，即 S 奇＝3S 偶． 因为数列{an}的项数为偶数，所以有 q＝SS偶 奇＝13. 又因为 a1·a1q·a1q2＝64，所以 a31·q3＝64，即 a1＝12，故所求通项 公式为 an＝12×13n－1.
高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时
由 a1＋a2＋a3＝6，且 q＝－12，得 a1＝8，
可得 a2＝a1q＝8×－12＝－4，
a1（1－q7） 所以 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝ 1－q －a1－a2＝811－－－ －12127－8－(－4)＝181. 答案：A
2．等比数列前 n 项和公式的变式 若{an}是等比数列，且公比 q≠1，则前 n 项和 Sn＝ 1－a1q(1－qn)＝A(qn－1)，其中 A＝q－a11.
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前 n 项和时可直接套用公式 Sn
＝a1（11－－qqn）来求．(
所以 a4＝a1q3＝8×123＝1， S6＝a1（11－－qq6）＝8×11－－12126＝643.
归纳升华 (1)等比数列前 n 项和公式为 Sn＝a1（11－－qqn）(q≠1)， 当 q＝1 时，Sn＝na1.
a1－anq (2)等比数列另一个前 n 项和公式为 Sn＝首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列，则
其前 n 项和为 Sn＝na.( ) (3)若某数列的前 n 项和公式为 Sn＝－aqn＋a(a≠0，
q≠0 且 q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．( )
解析：(1)错误．在求等比数列前 n 项和时，首先应看公 比 q 是否为 1，若 q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2) 正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数 列，所以前 n 项和为 Sn＝na.(3)正确．根据等比数列前 n 项 和公式 Sn＝a1（11－－qqn）(q≠0 且 q≠1)变形为：
Sn＝1－a1 q－1－a1 q
qn(q≠0
且
q≠1)，若令
可得 a2＝a1q＝8×－12＝－4，
a1（1－q7） 所以 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝ 1－q －a1－a2＝811－－－ －12127－8－(－4)＝181. 答案：A
2．等比数列前 n 项和公式的变式 若{an}是等比数列，且公比 q≠1，则前 n 项和 Sn＝ 1－a1q(1－qn)＝A(qn－1)，其中 A＝q－a11.
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前 n 项和时可直接套用公式 Sn
＝a1（11－－qqn）来求．(
所以 a4＝a1q3＝8×123＝1， S6＝a1（11－－qq6）＝8×11－－12126＝643.
归纳升华 (1)等比数列前 n 项和公式为 Sn＝a1（11－－qqn）(q≠1)， 当 q＝1 时，Sn＝na1.
a1－anq (2)等比数列另一个前 n 项和公式为 Sn＝首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列，则
其前 n 项和为 Sn＝na.( ) (3)若某数列的前 n 项和公式为 Sn＝－aqn＋a(a≠0，
q≠0 且 q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．( )
解析：(1)错误．在求等比数列前 n 项和时，首先应看公 比 q 是否为 1，若 q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2) 正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数 列，所以前 n 项和为 Sn＝na.(3)正确．根据等比数列前 n 项 和公式 Sn＝a1（11－－qqn）(q≠0 且 q≠1)变形为：
Sn＝1－a1 q－1－a1 q
qn(q≠0
且
q≠1)，若令
等比数列PPT课件优质
1
1
248
2
2
等比数列，所以S10=
1 [1 (1 22
1 1
)10 ]
1 1
023 . 024
2
2.等比数列 3，3，3，…从第3项到第7项的和为
.
248
【解析】方法一：此等比数列的第3项到第7项仍然构成等比数
列，新等比数列的首项为 ，公比为 ，从第3项到第7项的和
3
1
8
为S=
3 8
[1 (1 2
2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和
1.理解并掌握等比数列前n项和公式及推导方法. 2.掌握等比数列前n项和性质，并能应用性质解决有关问题.
等比数列前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、末项、项数与公比
选用
__n_a_1 _ q 1
__n_a_1 _ q 1
公式
Sn
探究3：在推导Sn= a1(1－qn ) (q≠1)的过程中，限制了q≠1， 1－q
当q=1时，Sn等于多少呢？
提示：当q=1时，数列中的每一项都相等，所以其前n项和
Sn=na1.
【探究总结】等比数列前n项和公式的关注点 (1)q≠1时前n项和公式的推导采用的是错位相减法. (2)在等比数列的通项公式与前n项和公式中共含有5个量，若 知道其中3个可求另2个. (3)求等比数列{an}的前n项和时，要注意公比是否为1，要分 情况选取合适的公式求解.
探究2：若数列{an}为等比数列，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(其中Sk， S2k-Sk，S3k-S2k均不为零)成等比数列吗？若成等比数列，公比 为多少？
提示：Sk=a1+a2+…+ak， S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=qk(a1+a2+…+ak)， S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=q2k(a1+a2+…+ak)， 显然Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也成等比数列，且新等比数列首项为 Sk，公比为qk.
2.5等比数列的前n项和课件人教新课标4
等比数列
Sn
a1 1 qn 1q
q 1
a1 anq 1q
推导方法
倒序相加
错位相减
【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑
公比是否为1 .
求和：
(x
1) y
(x2
1 y2
)
(xn
1 yn
)
(x 0).
an+1=Aan+B的数列通项
例：求数列{an}的通项公式 （1）在{an}中，a1=2,an+1=3an+2 （2）在{an}中，a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0
40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以国王
是不可能同意发明者的要求。
等比数列的前n项和
设等比数列 a1, a2 , a3,, an ,
它的前n项和是 Sn a1 a2 a3 an 即 Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1. ⑴
⑴×q, 得
qSn a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 a1qn. ⑵
na1 ,
a1 1 qn ,
1 q
{ 已知 a1, an , q 则 Sn
na1 ,
a1 anq ,
1 q
( q=1). (q≠1). ( q=1). (q≠1).
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。
填表
数列
等差数列
前n 项和 公式
Sn
na1
2
an
nn 1
na1 2 d
两边同乘公比２， 得
2S64 2 4 8 16 263 264.
将上面两式列在一起，进行比较
等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)
高中数学
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
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改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
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改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和课件新人教A版必修5
a1＝180， 或 5 q＝－ . 6
1 n＋1 5 从而 Sn＝ ×5 － 或 4 4 1 Sn＝
5n － 080×1－ 6
11
.
2 a 1＋a1q ＝10， (2)法一 由题意知 3 5 5 a q ＋a1q ＝ ， 4 1
[跟踪训练] 1．在等比数列{an}中， (1)若 a1＝ 2，an＝16 2，Sn＝11 2，求 n 和 q； (2)已知 S4＝1，S8＝17，求 an. 【导学号：91432217】
等比数列基本量的运算
在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； 5 (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求 S5； 4 (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q. 【导学号：91432216】
[解]
(1)由题意知
a11＋q＝30， 2 a11＋q＋q ＝155， a1＝5， 解得 q＝5，
再由合比定理， a2＋a3＋a4＋…＋an 则得 ＝q， a1＋a2＋a3＋…＋an－1 Sn－a1 即 ＝q，进而可求 Sn. Sn－an
[基础自测] 1．思考辨析 a11－qn (1) 求 等 比 数 列 {an} 的前 n 项 和时 可 直 接 套 用 公式 Sn ＝ 来 1－q 求．( )
(3)因为 a2an－1＝a1an＝128， 所以 a1，an 是方程 x2－66x＋128＝0 的两根．
a1＝2， 从而 an＝64 an＝2， 或 a1＝64.
a1－anq 1 又 Sn＝ ＝126，所以 q 为 2 或 . 2 1－q
[规律方法] 1．在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中，已知其中的三个量， 通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的 具体应用． 2．在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要对公比 q＝1 或 q≠1 进行判 断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．