用于函数逼近的神经网络
BP神经网络逼近非线性函数
应用BP 神经网络逼近非线性函一、实验要求1、逼近的非线性函数选取为y=sin(x 1)+cos(x 2) ，其中有两个自变量即x1,x2,一个因变量即y。
2、逼近误差<5% ，即：应用测试数据对网络进行测试时，神经网络的输出与期望值的最大误差的绝对值小于期望值的5% 。
3、学习方法为经典的BP 算法或改进形式的BP 算法，鼓励采用改进形式的BP 算法。
4、不允许采用matlab 中现有的关于神经网络建立、学习、仿真的任何函数及命令。
二、实验基本原理2.1神经网络概述BP 神经网络是一种多层前馈神经网络，该网络的主要特点是信号前向传播，误差反向传播。
在前向传递中，输入信号从输入层经隐含层逐层处理，直至输出层。
每一层的神经元状态只影响下一层神经元状态。
如果输出层得不到期望输出，则转入反向传播，根据预判误差调整网络权值和阈值，从而使BP 神经网络预测输出不断逼近期望输出。
BP 神经网络的拓扑结构如图所示。
2.2BP 神经网络训练步骤BP 神经网络预测前首先要训练网络，通过训练使网络具有联想记忆和预测能力。
BP 神经网络的训练过程包括以下几个步骤。
步骤 1 ：网络初始化。
根据系统输入输出序列(X,Y) 确定网络输入层节点数n 、隐含层节点数l、输出层节点数m ，初始化输入层、隐含层和输出层神经元之间的连接权值ωij，ωjk ，初始化隐含层阈值a，输出层阈值 b ，给定学习速率和神经元激励函数。
步骤 2 ：隐含层输出计算。
根据输入变量X，输入层和隐含层间连接权值ω ij 以及隐含层阈值a，计算隐含层输出H 。
2.3 附加动量法经典 BP 神经网络采用梯度修正法作为权值和阈值的学习算法， 从网络预测误差的负梯 度方向修正权值和阈值， 没有考虑以前经验的积累，学习过程收敛缓慢。
对于这个问题，可 以采用附加动量法来解决，带附加动量的算法学习公式为(k) (k 1) (k) a (k 1) (k 2)式中，ω (k)，ω(k-1) ，ω(k-2)分别为 k ，k-1，k-2 时刻的权值； a 为动量学习率，一般取值 为 0.95 。
BP神经网络通常是指基于误差反向传播算法的多层前向神经网络,神经元
利用BP 神经网络对大直径SHPB 杆弥散效应的修正研究朱 励BP 神经网络采用Sigmoid 型可微函数作为传递函数，可以实现输入和输出间的任意非线性映射，这使得它在函数逼近、模式识别、数据压缩等领域有着广泛的应用。
常规SHPB(Split Hopkinson Pressure Bar)技术是研究材料动态响应的重要实验手段，但一维应力加载是其最基本的假定，这实际上忽视了杆中质点横向运动的惯性作用，即忽视了横向惯性引起的弥散效应。
近年来，为了研究一些低阻抗非均质材料，大直径的SHPB 应用越来越多。
大直径杆中应力脉冲在杆中传播时，波形上升沿时间延长，波形振荡显著增强，脉冲峰值随传播距离而衰减。
因此大直径SHPB 杆中的弥散效应将影响到实验结果可靠性，在数据处理时必须加以修正。
利用BP 算法的数学原理，得到修整权值调整公式为：a) 调整隐含层到输出层的权值q j p i t w d b t w ij j i ij ,...,2,1,,...,2,1),()1(==∆+=+∆αη （1）其中η为学习率，α为动量率，它的引入有利于加速收敛和防止振荡。
b) 调整输入层到隐含层的权值p i n h t v e a t v hi i h hi ,...,2,1,,...,2,1),()1(==∆+=+∆αη （2）按照上面公式（1）和（2）来反复计算和调整权值，直到此误差达到预定的值为止。
在实验修正过程中，通过测量SHPB 杠上某一位置点的应力波信号，然后由公式（1）和（2）确定的修整权值推算样品端的信号。
本文确定的方法网络收敛速度快，在训练迭代至100步时，训练误差即可接近0.0001，神经网络的学习效果好。
采用BP 神经网络和瞬态有限元计算相结合，对大直径SHPB 杆几何弥散效应的修正问题进行了探索。
研究表明：采用瞬态有限元计算结果，对网络进行训练和仿真，训练效果和预示结果都比较好；BP 神经网络可以很方便地进行正分析和反分析，确定杆中弥散效应的隐式传递函数，即能方便地对弥散效应进行修正。
函数逼近在人工智能方面的应用
函数逼近在人工智能方面的应用
随着人工智能技术的不断发展，越来越多的应用场景涌现出来。
其中，函数逼近在人工智能方面的应用也越来越广泛。
函数逼近是指通过一系列已知的数据点，来构建一个函数模型，使得该模型能够在未知数据点上进行预测。
在人工智能领域，函数逼近被广泛应用于机器学习、深度学习等领域。
在机器学习中，函数逼近被用于构建分类器和回归器。
分类器是指将数据点分为不同的类别，回归器是指预测数据点的数值。
通过函数逼近，可以构建出高精度的分类器和回归器，从而实现对数据的准确预测和分析。
在深度学习中，函数逼近被用于构建神经网络模型。
神经网络模型是一种模拟人脑神经元工作方式的模型，通过多层神经元的组合，实现对数据的高级特征提取和分类。
函数逼近被用于构建神经网络中的激活函数和损失函数，从而实现对神经网络的优化和训练。
除此之外，函数逼近还被应用于图像处理、自然语言处理、推荐系统等领域。
例如，在图像处理中，函数逼近被用于构建图像的特征提取器和分类器，从而实现对图像的自动识别和分类。
函数逼近在人工智能方面的应用非常广泛，可以帮助我们构建高精度的模型，实现对数据的准确预测和分析。
随着人工智能技术的不
断发展，函数逼近的应用也将越来越广泛。
RBF神经网络
径向基函数（RBF）神经网络RBF网络能够逼近任意的非线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性，具有良好的泛化能力，并有很快的学习收敛速度，已成功应用于非线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。
简单说明一下为什么RBF网络学习收敛得比较快。
当网络的一个或多个可调参数（权值或阈值）对任何一个输出都有影响时，这样的网络称为全局逼近网络。
由于对于每次输入，网络上的每一个权值都要调整，从而导致全局逼近网络的学习速度很慢。
BP网络就是一个典型的例子。
如果对于输入空间的某个局部区域只有少数几个连接权值影响输出，则该网络称为局部逼近网络。
常见的局部逼近网络有RBF网络、小脑模型（CMAC）网络、B样条网络等。
径向基函数解决插值问题完全内插法要求插值函数经过每个样本点，即。
样本点总共有P个。
RBF的方法是要选择P个基函数，每个基函数对应一个训练数据，各基函数形式为，由于距离是径向同性的，因此称为径向基函数。
||X-X p||表示差向量的模，或者叫2范数。
基于为径向基函数的插值函数为：输入X是个m维的向量，样本容量为P，P>m。
可以看到输入数据点X p是径向基函数φp的中心。
隐藏层的作用是把向量从低维m映射到高维P，低维线性不可分的情况到高维就线性可分了。
将插值条件代入：写成向量的形式为，显然Φ是个规模这P对称矩阵，且与X的维度无关，当Φ可逆时，有。
对于一大类函数，当输入的X各不相同时，Φ就是可逆的。
下面的几个函数就属于这“一大类”函数：1）Gauss（高斯）函数2）Reflected Sigmoidal（反常S型）函数3）Inverse multiquadrics（拟多二次）函数σ称为径向基函数的扩展常数，它反应了函数图像的宽度，σ越小，宽度越窄，函数越具有选择性。
完全内插存在一些问题：1）插值曲面必须经过所有样本点，当样本中包含噪声时，神经网络将拟合出一个错误的曲面，从而使泛化能力下降。
径向基函数（RBF）神经网络
径向基函数（RBF）神经⽹络RBF⽹络能够逼近任意的⾮线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性，具有良好的泛化能⼒，并有很快的学习收敛速度，已成功应⽤于⾮线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。
简单说明⼀下为什么RBF⽹络学习收敛得⽐较快。
当⽹络的⼀个或多个可调参数（权值或阈值）对任何⼀个输出都有影响时，这样的⽹络称为全局逼近⽹络。
由于对于每次输⼊，⽹络上的每⼀个权值都要调整，从⽽导致全局逼近⽹络的学习速度很慢。
BP⽹络就是⼀个典型的例⼦。
如果对于输⼊空间的某个局部区域只有少数⼏个连接权值影响输出，则该⽹络称为局部逼近⽹络。
常见的局部逼近⽹络有RBF⽹络、⼩脑模型（CMAC）⽹络、B样条⽹络等。
径向基函数解决插值问题完全内插法要求插值函数经过每个样本点，即。
样本点总共有P个。
RBF的⽅法是要选择P个基函数，每个基函数对应⼀个训练数据，各基函数形式为，由于距离是径向同性的，因此称为径向基函数。
||X-X p||表⽰差向量的模，或者叫2范数。
基于为径向基函数的插值函数为：输⼊X是个m维的向量，样本容量为P，P>m。
可以看到输⼊数据点X p是径向基函数φp的中⼼。
隐藏层的作⽤是把向量从低维m映射到⾼维P，低维线性不可分的情况到⾼维就线性可分了。
将插值条件代⼊：写成向量的形式为，显然Φ是个规模这P对称矩阵，且与X的维度⽆关，当Φ可逆时，有。
对于⼀⼤类函数，当输⼊的X各不相同时，Φ就是可逆的。
下⾯的⼏个函数就属于这“⼀⼤类”函数：1）Gauss（⾼斯）函数2）Reflected Sigmoidal（反常S型）函数3）Inverse multiquadrics（拟多⼆次）函数σ称为径向基函数的扩展常数，它反应了函数图像的宽度，σ越⼩，宽度越窄，函数越具有选择性。
完全内插存在⼀些问题：1）插值曲⾯必须经过所有样本点，当样本中包含噪声时，神经⽹络将拟合出⼀个错误的曲⾯，从⽽使泛化能⼒下降。
神经网络为什么可以拟合任何函数
神经网络为什么可以拟合任何函数神经网络是一种基于神经元模型的计算模型，用于解决各种机器学习和人工智能问题。
它的一个重要特性是它可以拟合任何函数，这使得神经网络成为现代机器学习的核心工具之一。
那么，为什么神经网络可以拟合任何函数呢？本文将对这个问题进行探讨。
1. 神经网络的灵活性神经网络通过多层神经元之间的连接和每个神经元的权重来表示函数的输入和输出之间的关系。
通过调整权重和偏差，神经网络可以学习到任意复杂度的函数。
这使得神经网络具有很高的灵活性，可以适应各种非线性的函数映射关系。
2. 多层连接的效应神经网络通常由多层神经元组成，每一层都通过权重连接到下一层。
这种层次结构在神经网络中引入了一个新的维度，使得神经网络能够学习到更多复杂的函数。
通过增加神经元的数量和层数，神经网络可以更好地逼近复杂的函数。
3. 激活函数的作用激活函数是神经网络中的一个重要组成部分，它引入了非线性特性，使得神经网络可以处理非线性函数。
常见的激活函数如Sigmoid函数、ReLU函数等，它们能够将输入映射到一个非线性的输出空间。
这种非线性特性对于拟合复杂的函数是至关重要的。
4. 反向传播算法神经网络的训练通常通过反向传播算法来实现，该算法可以有效地调整每个神经元的权重和偏差。
反向传播算法是基于梯度下降的优化算法，通过计算误差的导数来更新权重和偏差。
通过这种方式，神经网络可以不断地调整自身的参数，逐渐逼近目标函数，从而实现对任意函数的拟合。
5. 数据的多样性神经网络所需的训练数据通常是多样性和大量的。
通过提供足够的数据样本，神经网络可以从中学习到数据的分布规律，从而更好地适应数据中的噪声和差异。
这种数据的多样性可以帮助神经网络更好地拟合任意复杂度的函数。
6. 神经网络的规模神经网络的规模是指神经元的数量和网络的层数。
通过增加神经元的数量和层数，神经网络可以提高自身的表示能力，从而能够拟合更复杂的函数。
然而，增加网络的规模也可能导致过拟合的问题，需要通过正则化等方法进行调节。
一类神经网络逼近全实轴上函数：稠密性、复杂性与构造性算法
出 了全 实 轴 上 连续 函数 的神 经 网络 逼 近 的构 造 性 算 法 ， 揭 示 了 网 络 逼 近 速度 与 网 络拓 扑结 构之 问 的关 系． 并
关键 词
神 经 网 络 ； 实 轴 ； 近 ； 度 ； 续 模 全 逼 速 连
ＴＰＩ ８ ＤＯＩ号 ：ｉ ． ７ ４ Ｓ ． ． ０ ６ ２ １ ． ０ ８ ０ ３２ ／ Ｐ Ｊ １ １． ０ ２ ０ ７ ６
中 图 法分 类号
Ａｐｐ ｏ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｎｃ ｉ ｎ Ｄｅ ｉ ｅ ｎ Ｆｕ ｌＡｘ ｓ ｏ ａ ｙ ａ Ｃｌ ｓ ｆ ｒ ｘ ｍ ｔｏ ｆ Ｆｕ ｔｏ ｆｎ ｄ ｏ ｌ ｉ ｆ Ｒｅ ｌｂ ａ ｓ ｏ
Ｎｅ ｒ ｌＮｅ ｗｏ ｋ ｕ ａ ｔ ｒ ｓ：Ｄｅ ｓ ｔ ｎ ｉｙ，Ｃｏ ｐ ｅ ｉｙ ａ ｄ Ｃｏ ｔ ｕ ｔｖ ｇ ｒ ｔ ｍ ｍ ｌ ｘ ｔ ｎ ｎｓ ｒ ｃ ｉ ｅ Ａｌ ｏ ｉｈ
是定 义在 全 实 轴 （ 无 界 集 ） ． 中 针 对 此 问 题 ， 究 了 全 实 轴 上 的连 续 函 数 的插 值 神 经 网 络 逼 近 问 题 ． 先 ， 或 上 文 研 首 利
用 构 造 性 方 法 证 明 了神 经 网络 逼 近 的稠 密 性 定 理 ， 可 逼 近 性 ． 次 ， 函数 的 连 续 模 为 度 量 尺 度 ， 计 了插 值 神 即 其 以 估 经 网络 逼 近 目标 函数 的速 度 ． 后 ， 用 数 值 算 例 进 行 仿 真 实 验 ． 中 的 工 作 扩 展 了神 经 网 络 逼 近 的 研 究 内 容 ， 最 利 文 给
ｉ ｔ ｒ ａ ｏ ｏ ａ ｔ ｓ ｔ ｂ ｅ ｒ ｌ ｅ ｗｏ ｋ ． Ｈ ｏ ｖ ｒ ｈ ａ ｇ ｔ ｆ ｎ ｔ ｎ ｒ ｆｅ ｅ ｉ ｅ ｎ ｅ ｖ ｌ（ ｒ ａ ｃ ｍｐ ｃ ｅ ） ｙ ｎ ｕ ａ ｔ ｒ ｓ ｎ ｗｅ ｅ ，ｔ ｅ ｔ ｒ ｅ ｕ ｃ ｉ ｓａ ｅ ｏ ｔ ｎ ｄ ｆｎ ｄ ｏ ｏ ｈ ｕ ｌ ｘ ｓｏ ｅ ｌ ｏ ｎ ｕ ｂ ｕ ｄ ｄ ｓ ｔ ｎ ｐ ａ ｔｃ ｌ ｐ ｌ ａ ｉ ｎ ． Ａｃ ｏ ｄ ｎ ｏ ｔ ｉ ｒ ｂ ｅ ， ｎ ｔ ｅｆ ｌ ａ ｉ ｆｒ ａ （ ｒａ ｎ ｏ ｎ ｅ ｅ ）ｉ ｒ ｃ ｉａ ｐ ｉ ｔ ｓ ａ ｃ ｏ ｃ ｒ ｉ ｇｔ ｈｓｐ ｏ ｌｍ
RBF神经网络
的权向量为：W = [w , w
1
b j为节点的基宽度参数 ， 且为大于零的数 。 网络 为节点的基宽度参数， 且为大于零的数。
2
⋯wj ⋯wm ]
k时刻网络的输出为： 时刻网络的输出为：
y m ( k )=wh = w1h1+w 2 h2+ ⋯⋯ +w m hm
设理想输出为y(k)， 设理想输出为y(k)，则性能指标函数为：
∂y (k ) ∂ym (k ) ≈ = ∂u (k ) ∂u (k )
m
∑w h
j =1
c1 j − x1 b2 j
j j
其中取 x1 = u(k) 。
6 RBF网络逼近仿真实例 RBF网络逼近仿真实例
使用RBF网络逼近下列对象：
y (k ) = u (k ) +
3
y ( k − 1) 1 + y ( k − 1)
Ii
wij
I
j
I1
. . .
R1
. . .
. .u .
u ..
R
j
. . .
1
1
.
V1
C1
. . .
j
j
.
Vj
.
u ..
Cj
i
i
.V
i
Ri
.
Ci
Hopfield网络模型 Hopfield网络模型
RBF神经网络 RBF神经网络
信息工程学院 Alen Fielding
1 RBF神经网络 RBF神经网络
径向基函数(RBF径向基函数(RBF-Radial Basis Function)神经网络 Function)神经网络 是由J Moody和 Darken在80年代末提出的一种神经 是由J.Moody和C.Darken在80年代末提出的一种神经 网络,它是具有单隐层的三层前馈网络。 网络,它是具有单隐层的三层前馈网络。由于它模拟 了人脑中局部调整、相互覆盖接收域（或称感受野了人脑中局部调整、相互覆盖接收域（或称感受野Receptive Field）的神经网络结构，因此，RBF网络 Field）的神经网络结构，因此，RBF网络 是一种局部逼近网络， 是一种局部逼近网络 ， 它能够以任意精度逼近任意 连续函数，特别适合于解决分类问题。 连续函数，特别适合于解决分类问题。