高中数学:高考数学试题分类汇编 应用题

应用题

1.(四川理9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车虚配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车虚配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z= A .4650元 B .4700元 C .4900元 D .5000元 【★答案★】C

【解析】由题意设派甲,乙,x y 辆,则利润450350z x y =+,得约束条件08071210672219x y x y x y x y ≤≤??≤≤??

+≤??+≥?

+≤??

出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点75x y =??=?代入目标函数4900z =

2.(湖北理10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,

这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位:太贝

克)与时间t (单位:年)满足函数关系:30

0()2

t

M t M -

=,其中M 0为t=0时铯137的

含量。已知t=30时,铯137含量的变化率是-10In2(太贝克/年),则M (60)= A .5太贝克 B .75In2太贝克 C .150In2太贝克 D .150太贝克 【★答案★】D 3.(北京理)。根据统计,一名工作组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

???

???

?

≥<=A

x A

c A x x c x f ,,,)((A ,C 为常数)。已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A

件产品用时15分钟,那么C 和A 的值分别是 A .75,25 B .75,16 C .60,25 D .60,16 【★答案★】D 4.(陕西理)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距

10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米)。 【★答案★】2000 5.(湖北理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等

差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升。

【★答案★】67

66

6.(湖北理)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥

上的车流速度v (单位:千米/小时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆

/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明;当20200x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数.

(Ⅰ)当0200x ≤≤时,求函数()v x

的表达式;

(Ⅱ)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/

每小时)()

().f x x v x

=可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/小时) 本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。(满分

12分)

解:(Ⅰ)由题意:当020,()60x v x ≤≤=时;当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设

再由已知得

1,2000,32060,200.

3a a b a b b ?

=-?+=???

?+=??=??解得

故函数()v x 的表达式为60,020,()1

(200),202003x v x x x ≤≤??=?-≤≤??

(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得60,020,()1

(200),202003x x f x x x x ≤

当020,()x f x ≤≤时为增函数,故当20x =时,其最大值为60×20=1200;

当20200x ≤≤时,

211(200)10000

()(200)[]3323x x f x x x +-=

-≤=

当且仅当200x x =-,即100x =时,等号成立。

所以,当100,()x f x =时在区间[20,200]上取得最大值10000

.

3

综上,当100x =时,()f x 在区间[0,200]上取得最大值10000

3333

3≈。

即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时。 7.(湖南理20)。如图6,长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动,速

度为v (v >0),雨速沿E 移动方向的分速度为

()c c R ∈。E 移动时单位时间内的淋雨量

包括两部分:(1)P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与

v c -×S

成正比,比例系数为110;(2)其它面的淋雨量之和,其值为1

2,记y 为E 移动过程中的

总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=3

2时。

(Ⅰ)写出y 的表达式

(Ⅱ)设0<v ≤10,0<c ≤5,试根据c 的不同取值范围,确定移动速度v ,使总淋雨量y 最少。

解:(I )由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为

31||202v c -+,

故100315(||)(3||10)

202y v c v c v v =-+=-+,

(II )由(I )知

当0v c <≤时,55(310)

(3310)15;

c y c v v v +=-+=- 当55(103c)

10,y (3v 3c 10)15.

v v c v -<≤=-+=+时

故(310)

15,0,5(103)15,10.c v c v

y c c v v 5+?-<≤??=?

-?+<≤??

(1)当

10

03c <≤

时,y 是关于v 的减函数, 故当

min 310,20.

2c

v y ==-时 (2)当10

53c <≤时,在(

]0,c 上,y 是关于v 的减函数, 在(

],10c 上,y 是关于v 的增函数,

故当

min 50

,.v c y c ==

8.(江苏17)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片,切去

阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD 四个点重合于图中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm

(1)某广告商要求包装盒侧面积S (cm 2

)最大,试问x 应取何值?

(2)某广告商要求包装盒容积V (cm 3

)最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的

高与底面边长的比值。

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本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识,考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读

能力及解决实际问题的能力。满分14分. 解:设馐盒的高为h (cm ),底面边长为a (cm ),由已知得

.

300),30(22

260,2<<-=-=

=x x x

h x a

(1)

,1800)15(8)30(842

+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时,S 取得最大值.

(2)

).20(26),30(222

22x x V x x h a V -='+-== 由00=='x V 得(舍)或x=20.

当)20,0(∈x 时,.0)30,20(;0<'∈>'V x V 时当 所以当x=20时,V 取得极大值,也是最小值.

此时1122h a =即装盒的高与底面边长的比值为1.2

9.(福建理18)。某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格x (单位:元/千克)满足关系式

2

10(6)3a

y x x =

+--,其中3

已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克。 (I )求a 的值

(II )若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获

得的利润最大。

本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查函数与方程思

想、数形结合思想、化归与转化思想,满分13分。

解:(I )因为x=5时,y=11,所以1011, 2.2a

a +==

(II )由(I )可知,该商品每日的销售量2210(6),

3y x x =+--

所以商场每日销售该商品所获得的利润

222

()(3)[

10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-

从而,2

'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=-- '(),()f x f x

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由上表可得,x=4是函数在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点; 所以,当x=4时,函数()f x 取得最大值,且最大值等于42。

答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大。 10.(山东理21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中

间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为803π

立方米,且2l r ≥.假

设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >千元,设该容器的建造费用为y 千元. (Ⅰ)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .

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解:(I )设容器的容积为V ,

由题意知23480,

,

33V r l r V π

ππ=+=又

故3

22

248044203()333V r l r r r r r ππ-==-=-

由于2l r ≥ 因此0 2.r <≤

所以建造费用222420

2342()34,

3y rl r c r r r c r ππππ=?+=?-?+

因此21604(2),0 2.

y c r r r π

π=-+<≤

(II )由(I )得322

1608(2)20

'8(2)(),0 2.2c y c r r r r r c πππ-=--=-<<-

由于3,20,c c >->所以

332020

0,.22r r c c -

==--时

3

20

,2m c =-则0m > 所以222

8(2)'()().c y r m r rm m r π-=-++

(1)当

9

022m c <<>

即时, ∈∈当r=m 时,y'=0;

当r (0,m)时,y'<0;

当r (m,2)时,y'>0.

所以r m =是函数y 的极小值点,也是最小值点。

(2)当2m ≥即

932c <≤

时, 当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减,

所以r=2是函数y 的最小值点, 综上所述,当

9

32c <≤

时,建造费用最小时2;r =

9

2c >

时,建造费用最小时

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