高中数学：高考数学试题分类汇编 应用题

应用题

1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【★答案★】C

【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219x y x y x y x y ≤≤??≤≤??

+≤??+≥?

+≤??

画

出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点75x y =??=?代入目标函数4900z =

2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，

这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝

克）与时间t （单位：年）满足函数关系：30

0()2

t

M t M -

=，其中M 0为t=0时铯137的

含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【★答案★】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为

???

???

?

≥<=A

x A

c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A

件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【★答案★】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距

10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【★答案★】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等

差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。

【★答案★】67

66

6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥

上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆

/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．

（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x

的表达式;

（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/

每小时）()

().f x x v x

=可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时） 本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分

12分）

解：（Ⅰ）由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设

再由已知得

1,2000,32060,200.

3a a b a b b ?

=-?+=???

?+=??=??解得

故函数()v x 的表达式为60,020,()1

(200),202003x v x x x ≤≤??=?-≤≤??

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1

(200),202003x x f x x x x ≤

当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200；

当20200x ≤≤时，

211(200)10000

()(200)[]3323x x f x x x +-=

-≤=

当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。

所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值10000

.

3

综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值10000

3333

3≈。

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。 7.（湖南理20）。如图6，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速

度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为

()c c R ∈。E 移动时单位时间内的淋雨量

包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与

v c -×S

成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为1

2，记y 为E 移动过程中的

总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=3

2时。

（Ⅰ）写出y 的表达式

（Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少。

解：（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为

31||202v c -+，

故100315(||)(3||10)

202y v c v c v v =-+=-+，

（II ）由（I ）知

当0v c <≤时，55(310)

(3310)15;

c y c v v v +=-+=- 当55(103c)

10,y (3v 3c 10)15.

v v c v -<≤=-+=+时

故(310)

15,0,5(103)15,10.c v c v

y c c v v 5+?-<≤??=?

-?+<≤??

（1）当

10

03c <≤

时，y 是关于v 的减函数， 故当

min 310,20.

2c

v y ==-时 （2）当10

53c <≤时，在(

]0,c 上，y 是关于v 的减函数， 在(

],10c 上，y 是关于v 的增函数，

故当

min 50

,.v c y c ==

时

8.（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去

阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm

（1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2

）最大，试问x 应取何值？

（2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3

）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的

高与底面边长的比值。

本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读

能力及解决实际问题的能力。满分14分. 解：设馐盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得

.

300),30(22

260,2<<-=-=

=x x x

h x a

（1）

,1800)15(8)30(842

+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时，S 取得最大值.

（2）

).20(26),30(222

22x x V x x h a V -='+-== 由00=='x V 得（舍）或x=20.

当)20,0(∈x 时，.0)30,20(;0<'∈>'V x V 时当 所以当x=20时，V 取得极大值，也是最小值.

此时1122h a =即装盒的高与底面边长的比值为1.2

9.（福建理18）。某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式

2

10(6)3a

y x x =

+--，其中3

已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。 （I ）求a 的值

（II ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获

得的利润最大。

本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思

想、数形结合思想、化归与转化思想，满分13分。

解：（I ）因为x=5时，y=11，所以1011, 2.2a

a +==

（II ）由（I ）可知，该商品每日的销售量2210(6),

3y x x =+--

所以商场每日销售该商品所获得的利润

222

()(3)[

10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-

从而，2

'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=-- '(),()f x f x

由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点； 所以，当x=4时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42。

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。 10.（山东理21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中

间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π

立方米，且2l r ≥．假

设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器的建造费用为y 千元． （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．

解：（I ）设容器的容积为V ，

由题意知23480,

,

33V r l r V π

ππ=+=又

故3

22

248044203()333V r l r r r r r ππ-==-=-

由于2l r ≥ 因此0 2.r <≤

所以建造费用222420

2342()34,

3y rl r c r r r c r ππππ=?+=?-?+

因此21604(2),0 2.

y c r r r π

π=-+<≤

（II ）由（I ）得322

1608(2)20

'8(2)(),0 2.2c y c r r r r r c πππ-=--=-<<-

由于3,20,c c >->所以

当

332020

0,.22r r c c -

==--时

令

3

20

,2m c =-则0m > 所以222

8(2)'()().c y r m r rm m r π-=-++

（1）当

9

022m c <<>

即时， ∈∈当r=m 时,y'=0;

当r (0,m)时,y'<0;

当r (m,2)时,y'>0.

所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点。

（2）当2m ≥即

932c <≤

时， 当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减，

所以r=2是函数y 的最小值点， 综上所述，当

9

32c <≤

时，建造费用最小时2;r =

当

9

2c >

时，建造费用最小时