微分方程——欧拉方程
2019年-66二阶常系数线性微分方程、欧拉方程-PPT精选文档
t s e ( 4 2 t) 。
例
（略） 用手将悬挂着的质量为 m 的弹簧从静止
开始拉长， 当点 突然放手， O 的位移为 x x 时， 0 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
2 特征方程 2 5 0 ，
特征根 1 2 i ， 1 2 i ， 1 2
x 所求通解为 y e ( C cos 2 x C sin 2 x ) 。 1 2
例
2 d s ds 求方程 2 s0满足初始条件的解 2 d t d t
d s s t 4 ， 0 d t
y p y q y 0
的特征方程为
2 p q 0 。
( 1 )
2 )特 征 实 方 重 程 根 ， 有则 1 2
2 p 4 q0 ，
2 p p 4 q p e 是方程 ( 1 ) 的一个解。 1
解
2 。
t 0
2 特征方程 2 1 0 ，
特征根 1 ， 1 2
所求通解为 s e( C C t ) 。 1 2
t
d s 由初始条件 s 4 ， 2 得 C 4 ， C 2 ， 1 2 t 0 d tt 0
故所求特解为
( i ) x x i x x
y e e e e (cos x i sin x ) 。
1
由线性方程解的性质：
1 x y ( y y ) e cos x ， 1 2 2
1
1 x y ( y y ) e sin x 1 2 2 i
6.6 二阶常系数线性微分方程、欧拉方程
是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通 解为
y C1 y1 C 2 y2 C1e
1 x
C 2e
2 x
。
二阶常系数齐线性微分方程
y p y q y 0
的特征方程为
(1)
2 p q 0 。
2) 特征方程有实重根 1 2 ，则
1 2 (实重根)
y e 1 x (C1 C 2 x )
1, 2 i (共轭复根) y e x (C1 cos x C 2 sin x )
例
求方程 y 2 y 3 y 0 的通解。
解
特征方程
特征根
2 2 3 0 ，
1 ，2 。
单根
你认为方程应该 有什么样子的特解？
二重根
一对共轭复根
假设方程 x y p y q y e Pn ( x ) 有下列形式的特解：y e x u( x ) ，则
( 2)
y e x u e x u ，
2 x x x y e u 2 e u e u ，
一对共轭k 重复根
1, 2 i
2k项 e x [(C1 C 2 x C k x k 1 ) cos x
( D1 D2 x Dk x k 1 ) sin x ]
例 解
d3 y d2 y dy 求方程 3 3 y 0 的通解。 3 2 dx dx dx
解
取 x 轴如如图所示。
由力学的虎克定理，有
f k x 。 （ 恢复力与运动方向相反 ）
O
x0
由牛顿第二定律，得
d2 x m 2 k x 。 dt
欧拉方程
泛函的欧拉方程(by zhengpin1390)(二)、泛函的欧拉方程欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。
（1）最简单的欧拉方程：设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如的变分，若其满足以下条件：c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。
(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。
则函数y。
(x) 满足微分方程：上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。
（2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程一般来说，对于下述泛函：在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：（3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程对于下述泛函：其欧拉方程组为：（4）多元函数的泛函及其欧拉方程此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函：其欧拉方程为：泛函分析泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
它是20世纪30年代形成的。
从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
泛函分析的产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。
这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。
这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。
随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。
到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。
比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。
2.4欧拉运动方程及其积分概述
z
中心点处沿三个方向的单位质量彻体力： fx , fy , fz
2.4.1 欧拉运动方程
x方向的表面力为：
p dx p dx p p dydz p dydz dxdydz x 2 x 2 x
x 方向的彻体力为：
f x dxdydz
的围线 L的环量仍等于 S 面上各点的二倍角速度与面积 dS
点积：
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
V ds 2 dS rot V dS
L S S
展开即：
(udx vdy wdz)
L
w v u w v u ( ) cos(n, x) ( ) cos(n, y ) ( ) cos(n, z )dS y z z x x y s
z
γ
dS
2
S
z
dS
dS
S
平面问题的涡通量
空间问题的涡通量
在三维空间问题中，涡通量就是：
2 dS 2 cos dS
S S
式中的S 是任意形状空间曲面，γ是曲面上微面积 dS 的法 线和ω的轴线之间的夹角。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切的联系。 为说明这个联系，首先考察二维流场。
说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环量均等于 零。但是对有旋流动，上述结论并不成立，绕任意一条封闭曲 线的速度环量一般不等于零。
§ 速度之二倍，如平面问题中
的2ωz ， 称为涡量，涡量是个纯运动学的概念。
在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度 ωx ,ωy ,ωz ,三者合为一个合角速度是：
著名的微分方程
著名的微分方程
以下是一些著名的微分方程：
1. 欧拉方程（Euler's equation）：描述了理想流体的运动。
它
是一个二阶非线性常微分方程。
2. 黑-斯科达方程（Black-Scholes equation）：用于金融领域的
期权定价模型，描述了证券价格变化的随机过程。
3. 热传导方程（Heat equation）：描述了温度分布随时间和空
间的变化，常用于描述热传导现象。
4. 波动方程（Wave equation）：描述了波动现象，比如声波、电磁波等在空间中传播的方式。
5. 拉普拉斯方程（Laplace's equation）：描述了没有源或汇的
场的静态分布，常出现在电势、温度等问题中。
6. 斯托克斯方程（Stokes equation）：描述了低速流体流动的
运动方程。
7. Navier-Stokes方程（Navier-Stokes equation）：描述了流体
的运动，是流体力学领域的基本方程之一。
8. 昆虫飞行方程（Equation of insect flight）：用于描述昆虫在
飞行中的空气动力学行为的微分方程。
以上只是一小部分著名的微分方程，微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学、经济学等各个领域。
欧拉方程推导过程
欧拉方程推导过程欧拉方程是数学中的一个重要概念，它描述了函数的一些基本性质。
欧拉方程是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，它在微积分、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将详细介绍欧拉方程的推导过程。
一、函数的定义在推导欧拉方程之前，我们首先需要了解函数的定义。
函数是一种映射关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
具体来说，如果有两个集合X和Y，那么一个函数f可以表示为：f:X→Y其中X是自变量集合，Y是因变量集合。
对于任意一个x∈X，f(x)表示x在函数f下的取值。
二、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某一点附近可以用多项式逼近的性质。
具体来说，如果有一个n+1次可导函数f(x)，那么对于任意实数x0和正整数n，有：f(x)=f(x0)+\frac{f'(x0)}{1!}(x-x0)+\frac{f''(x0)}{2!}(x-x0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x0)}{n!}(x-x0)^n+R_n(x)其中Rn(x)是余项，它表示了函数f(x)在x0处的误差。
当x趋近于x0时，余项Rn(x)的大小趋近于0，因此可以用泰勒公式来近似表示函数f(x)。
三、欧拉方程的定义欧拉方程是描述函数性质的一个重要方程，它具有如下形式：a_0y(x)+a_1y'(x)+a_2y''(x)+...+a_ny^{(n)}(x)=f(x)其中a0,a1,...,an和f(x)都是已知函数或常数。
这个方程中的n称为方程的阶数。
四、欧拉方程推导过程现在我们来推导欧拉方程。
假设有一个二阶线性微分方程：ay''(x)+by'(x)+cy(x)=f(x)其中a,b,c和f(x)都是已知函数或常数。
我们需要将这个微分方程转化为欧拉方程。
首先，我们令y=e^(mx)，其中m是一个常数。
对于这个函数，有：y'=me^(mx)y''=m^2e^(mx)将上述结果代入原微分方程中，得到：am^2e^(mx)+bme^(mx)+ce^(mx)=f(x)将e^(mx)提取出来，并除以a，得到：m^2+\frac{b}{a}m+\frac{c}{a}=\frac{f(x)}{a}e^{-mx}现在我们令z=e^(mx)，则有：m=\frac{\ln z}{x}将上述结果代入欧拉方程中，得到：\frac{d^2}{dx^2}(z)=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d}{dz}\right)^2(z)-\frac{1}{x}\left(\frac{d}{dz}\right)(z)这就是欧拉方程的一般形式。
.欧拉(euler)齐次方程方法
文章题目：探讨欧拉（Euler）齐次方程方法及其应用一、欧拉（Euler）齐次方程方法简介欧拉齐次方程方法是数学中常用的一种求解微分方程的方法，它主要适用于一阶线性微分方程。
欧拉齐次方程方法的核心思想是将微分方程转化为一个以积分的形式表示的方程，从而通过积分求解出微分方程的解析解。
欧拉齐次方程方法在工程、物理、经济、生物等领域都有着广泛的应用，因此深入理解并掌握欧拉齐次方程方法对于解决实际问题具有重要意义。
二、欧拉齐次方程方法的具体步骤1. 首先, 对给定的微分方程进行变量代换，将其转化为欧拉形式。
2. 其次, 解出转化后的欧拉方程的通解，得到一个包含待定常数的通解表达式。
3. 最后, 利用已知的初始条件或边界条件，求解待定常数，得到微分方程的特解。
三、欧拉齐次方程方法在实际问题中的应用欧拉齐次方程方法可以应用于很多实际问题，比如弹簧振子的运动方程、放射性物质的衰变规律、生物种群的增长模型等。
通过欧拉齐次方程方法的求解，可以得到这些实际问题的精确解，从而更好地理解和预测实际问题的发展规律。
四、欧拉齐次方程方法的个人观点和理解我认为欧拉齐次方程方法是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们更深入地理解微分方程的解析解，同时也可以应用于解决实际问题。
通过掌握欧拉齐次方程方法，我们可以更好地应对工程、物理、经济、生物等领域中的复杂问题，为实际问题的解决提供有力的数学支持。
总结与回顾欧拉齐次方程方法是一种解决微分方程的重要方法，它在实际问题中具有广泛的应用。
通过对欧拉齐次方程方法的深入探讨和理解，我们可以更好地应对复杂的实际问题，并为问题的解决提供可靠的数学支持。
以上便是我对欧拉齐次方程方法的一些个人观点和理解，希望能对你有所帮助。
如果还有其他问题，欢迎随时和我交流讨论。
欧拉（Euler）齐次方程方法是微分方程中的重要工具，它可以用于解决许多不同领域的实际问题。
通过欧拉齐次方程方法，我们可以求解微分方程的解析解，从而更好地理解和预测实际问题的发展规律。
欧拉方程求通解例题
欧拉方程求通解例题一、问题描述设一阶线性微分方程为：$ax^2y'' + bxy' + cy = 0$，其中$a,b,c$均为常数，且$a\neq 0$。
求解该一阶线性微分方程的通解。
二、解答过程由题目给出的一阶线性微分方程为：$ax^2y'' + bxy' + cy = 0$令$y=x^m$，则可得到：$y''=m(m-1)x^{m-2}$，$y'=mx^{m-1}$。
将上述结果带入原方程，得到：$ax^2m(m-1)x^{m-2} + bxx^{m-1}m + cyx^m = 0$化简得到：$am(m-1)x^m + bmx^m + cyx^m = 0$再次化简得到：$x^m(am(m-1)+bm+c) = 0$由于$x>0$，所以上式中的括号内必须等于0，即：$am(m-1)+bm+c = 0$这是关于$m$的二次方程，解得$m_1$和$m_2$。
根据求根公式，可得：$m_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$m_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$因此，原方程的通解可以表示为：$y=c_1x^{m_1} + c_2x^{m_2}$其中$c_1$和$c_2$为任意常数。
至此，欧拉方程求通解的例题解答完毕。
三、总结本文通过一个例题展示了如何求解欧拉方程的通解。
首先，我们假设解为$y=x^m$，然后将其代入原方程化简得到关于$m$的二次方程。
通过求根公式求得$m_1$和$m_2$，最后将通解表示为$y=c_1x^{m_1} + c_2x^{m_2}$，其中$c_1$和$c_2$为任意常数。
这个方法可以用于解决一阶线性微分方程形式为$ax^2y'' + bxy' + cy = 0$的问题。
通过学习和掌握这个例题，我们可以更好地理解欧拉方程的求解方法，为更复杂的问题解答打下基础。
高阶常系数线性微分方程、欧拉方程
λ2 + 2λ + 1 = 0 ,
特征根
所求通解为
λ1 = λ2 = 1,
y = e t (C1 + C2 t ) .
由初始条件 s 故所求特解为
t =0
ds = 4, dt
= 2 得 C1 = 4 , 2 = 2 , C
t =0
s = e t (4 + 2 t ) .
例
用手将悬挂着的质量为 m 的弹簧从静止状态
t =0
从而, 从而,所求运动规律为 x = x0 cos a t , ( a =
二,n 阶常系数齐线性微分方程
形如 y ( n ) + p1 y ( n 1) + + pn 1 y′ + pn y = 0 ( 1′ ) 的方程, 阶常系数齐线性微分方程, 的方程,称为 n 阶常系数齐线性微分方程, 其中 p1 ,, pn
解
特征方程
特征根
λ4 + β 4 = 0 ,
λ1, 2 =
y=e
β
2
β
2
x
( 1 ± i) ,λ3, =- 4
β
2
( 1 ± i) ,
所求通解为
(C1 cos
β
2
β
2
x + C2 sin
β
2
x)
+e
x
(C3 cos
β
2
x + C4 sin
β
2
x ).Biblioteka 三,二阶常系数非齐线性微分方程
形如
y′′ + p y′ + q y = f ( x) ( 2)
第五节 二阶常系数线性微分方程
欧拉方程推导
1 p dvx X x dt
在y、z轴上也可以得到同样的关系，即得到欧拉方程
dv x 1 p x dt dv y 1 p Y y dt dv z 1 p Z z dt X
欧拉方程由欧拉于1755年首次提出，是流体力学中的 一个重要方程：①建立了作用在理想流体上的力与流体运 动加速度之间的关系，是研究理想流体各种运动规律的基础。 ②对可压缩及不可压缩理想流体的稳定流或非稳定流都是 适用的，在不可压缩流体中的密度ρ为常数：在可压缩流 体中密度是压力和温度的函数，即ρ=f（p , T）。
推导理想流体运动微分方程 即欧拉方程
dvx 1 p X x dt dv y 1 p Y y dt dv z 1 p Z z dt
以X轴为例，进行受力分析，微元体受的力 为表面力（压力）和质量力 a
n
dy
d
.A
??xxmaf4dtdtdvdvdxdydz??dxdydz??dydzdydzdxdxxxppppdydzdydzdxdxxxppppdxdydz?dxdydzx?xxx????????????????????????????????22112211????5dxdydz??dxdydz?dxdydz?dxdydz?得单位质量流体的得单位质量流体的得单位质量流体的得单位质量流体的运动方程为运动方程为运动方程为等式两边除以微元体质量dxdydzdtdvxpxx????1在yz轴上也可以得到同样的关系即得到欧拉方程111xyzdvpxxdtdvpyydtdvpzz??????????????zdt??欧拉方程由欧拉于1755年首次提出是流体力学中的一个重要方程
dx
m
.
p
h g x
1 p dx 2 x