专题1.7 立体几何(测试卷)-2016年高考数学二轮复习精品资料(江苏版)(原卷版)

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【3份】2016江苏高考数学(理科)大二轮总复习与增分策略：专题五立体几何与空间向量

【3份】2016江苏高考数学（理科）大二轮总复习与增分策略专题五立体几何与空间向量目录专题五立体几何与空间向量 (1)第1讲空间几何体 (1)二轮专题强化练 (5)学生用书答案精析 (8)二轮专题强化练答案精析 (11)第2讲空间中的平行与垂直 (15)二轮专题强化练 (21)学生用书答案精析 (26)二轮专题强化练答案精析 (32)第3讲立体几何中的向量方法 (36)二轮专题强化练 (43)学生用书答案精析 (46)二轮专题强化练答案精析 (55)专题五立体几何与空间向量第1讲空间几何体1．(2015·山东改编)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．2．(2014·湖北改编)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取值为________．3．(2015·课标全国Ⅰ改编)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为 1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有________斛(精确到1斛)．4．(2014·江苏)设甲，乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一空间几何体的结构特征棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共项点的三角形；棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到；圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．例1 设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的各侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．思维升华判定与空间几何体结构特征有关命题的方法：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过旋转体的结构，可对得到旋转体的平面图形进行分解，结合旋转体的定义进行分析．跟踪演练1(1)给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确命题的个数是________．(2)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为________．热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2(1)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连结EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1－DBC的体积为________．(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________cm3.思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．跟踪演练2如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．热点三多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．例3(1)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为________．(2)(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．思维升华三棱锥P－ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：(1)P可作为长方体上底面的一个顶点，A、B、C可作为下底面的三个顶点；(2)P－ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．跟踪演练3在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为22，32，62，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________．1．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕BC边所在直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．2．如图，将边长为5＋2的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是________________．3．(2015·扬州模拟)在正三棱锥S－ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为________．提醒：完成作业专题五第1讲二轮专题强化练专题五立体几何与空间向量第1讲空间几何体A组专题通关1．以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为________．2．如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为________．3．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为________(只填写序号)．4．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为______ cm.5．三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为________．6．(2014·山东)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为______．8．(2014·镇江模拟)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为________．9．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，平面α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．10．如图所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱P A，PB，PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱锥P－ABC中，求证：P A⊥BC；(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P－ABC的体积．B组能力提高11．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是______寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)12．如图，侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为______________________．13．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球的表面积等于________．14．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝30°.(1)求证：EF⊥PB；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P—EFCB的体积．学生用书答案精析专题五立体几何与空间向量第1讲空间几何体高考真题体验1.5π3【详细分析】过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3. 2.258【详细分析】设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的底面圆周长L ＝2πr ，所以圆锥底面圆的半径r ＝L 2π，则圆锥的体积为V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·L 24π2h ＝112πL 2h . 又V ≈275L 2h ，所以112πL 2h ≈275L 2h ，解得π≈258.3．22【详细分析】由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ＝3209(立方尺)．所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛)． 4.32【详细分析】设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 热点分类突破例1 ①④【详细分析】命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．跟踪演练1 (1)0 (2)1【详细分析】(1)①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误．(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．例2 (1)66 (2)500π3【详细分析】(1)如图，连结DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66. 故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66.(2)设球的半径为R ，则球的截面圆的半径是4，且球心到该截面的距离是R －(8－6)＝R －2，故R 2＝(R －2)2＋42⇒R ＝5.所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．跟踪演练2 23c a 2－c 2－1 【详细分析】∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a >2c ＝AD ，∴B 、C 都在以AD 的中点O 为中心，以A 、D 为焦点的两个椭圆上，∴B 、C 两点在椭圆两短轴端点时，到AD 距离最大，均为a 2－c 2，此时△BOC 为等腰三角形，且AD ⊥OC ，AD ⊥OB ，∴AD ⊥平面OBC .取BC 的中点E ，显然OE ⊥BC ，OE max ＝a 2－c 2－1，∴(S △BOC )max ＝12×2×a 2－c 2－1＝a 2－c 2－1. ∴V D －ABC ＝V D －OBC ＋V A －OBC＝13·OD ·S △OBC ＋13·OA ·S △OBC ＝13(OD ＋OA )S △OBC ＝13×2c a 2－c 2－1 ＝2c 3a 2－c 2－1. 例3 (1)16π (2)144π【详细分析】(1)如图，在△ABC 中，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC ，又SA ⊥平面ABC ，∴三棱锥S －ABC 可补成分别以AB ＝1，BC ＝3，SA ＝23为长、宽、高的长方体， ∴球O 的直径＝12＋(3)2＋(23)2＝4，故球O 的表面积为4π×22＝16π.(2)如图，要使三棱锥O-ABC 即C-OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C-OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O-ABC 最大＝V C-OAB 最大＝13S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π.跟踪演练3 6π【详细分析】如图，以AB ，AC ，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长．据题意⎩⎨⎧ AB ·AC ＝2，AC ·AD ＝3，AB ·AD ＝6，解得⎩⎨⎧ AB ＝2，AC ＝1，AD ＝3， ∴长方体的对角线长为AB 2＋AC 2＋AD 2＝6，∴三棱锥外接球的半径为62. ∴三棱锥外接球的体积为V ＝43π·(62)3＝6π.高考押题精练 1.32π 【详细分析】如图所示，该旋转体的体积为圆锥CD 与圆锥BD 的体积之差，由已知求得BD ＝1.所以V ＝V 圆锥CD －V 圆锥BD ＝13×π×3×52－13×π×3×1＝32π. 2.2303π【详细分析】设圆锥底面半径为R ＝MO ，底面周长＝2πR ＝弧长FE ＝14×2πAM ，AM ＝4R ，OC ＝2R ，AC ＝AM ＋MO ＋OC ＝(5＋2)R ，正方形边长＝5＋2＝22AC ，即5＋2＝22(5＋2)R ，R ＝2，AM ＝42，h ＝AM 2－R 2＝30， V ＝13πR 2h ＝13π×2×30＝230π3.3．12π【详细分析】因为三棱锥S －ABC 为正三棱锥，所以SB ⊥AC ，又AM ⊥SB ，所以SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC ，即SA ，SB ，SC 三线两两垂直，且AB ＝22，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，所以(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π.二轮专题强化练答案精析专题五立体几何与空间向量第1讲空间几何体1．3【详细分析】由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故①正确；由于直棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面矩形不一定全等，因此②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；结合圆锥轴截面的作法可知④正确．综上，正确的命题有3个．3【详细分析】多面体ABCDE 为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V ＝4－43＝83.3．①②③【详细分析】当截面与正方体的某一面平行时，可得①；将截面旋转可得②；继续旋转，过正方体两顶点时可得③，即正方体的对角面；不可能得④. 4．13【详细分析】根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 cm.5．3π【详细分析】如图，因为AB ⊥BC ，所以AC 是△ABC 所在截面圆的直径，又因为SA ⊥平面ABC ，所以△SAC 所在的截面圆是球的大圆，所以SC 是球的一条直径．由题设SA ＝AB ＝BC ＝1，由勾股定理可求得：AC ＝2，SC ＝3，所以球的半径R ＝32，所以球的表面积为4π×(32)2＝3π. 6．12【详细分析】设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2， ∴S 侧＝6×12×2×2＝12.6【详细分析】1D EDF V －＝1F DD E V －＝131D DE S ·AB＝13×12×1×1×1＝16. 8.823【详细分析】折叠后的四面体如图所示．OA 、OC 、OD 两两相互垂直，且OA ＝OC ＝OD ＝22，体积V ＝13S △OCD ·OA ＝13×12×(22)3＝823.9.92π 【详细分析】如图所示，CD 是截面圆的直径．∴⎝⎛⎭⎫12CD 2·π＝π，即CD ＝2，设球O 的半径为R ，由AH ∶HB ＝1∶2， ∴AH ＝13×2R ＝23R ，∴OH ＝R －23R ＝13R ，由OD 2＝OH 2＋HD 2得：R 2＝19R 2＋1，∴R 2＝98，∴S 球＝4πR 2＝92π.10．(1)证明由题设知A ，B ，C 分别是P 1P 3，P 1P 2，P 2P 3的中点，且P 2P 1＝P 2P 3，从而PB ＝PC ，AB ＝AC ，取BC 的中点D ，连结AD ，PD (如图)，则AD ⊥BC ，PD ⊥BC .又AD ∩PD ＝D ，∴BC ⊥平面P AD ，又P A ⊂平面P AD ， ∴P A ⊥BC . (2)解由题设有AB ＝AC ＝12P 1P 2＝13，P A ＝P 1A ＝BC ＝10，PB ＝PC ＝P 1B ＝13， ∴AD ＝PD ＝AB 2－BD 2＝12. 在等腰三角形DP A 中，底边P A 上的高h ＝AD 2－(12P A )2＝119，∴S △DP A ＝12P A ·h ＝5119.又BC ⊥平面P AD ， ∴V P －ABC ＝V B －PDA ＋V C －PDA ＝13BD ·S △DP A ＋13DC ·S △PDA ＝13BC ·S △PDA ＝13×10×5119 ＝503119. 11．3【详细分析】∵天池盆中水的形状是以上底半径10寸，下底半径6寸，高9寸的圆台， ∴平均降雨量＝13×9×π(102＋10×6＋62)π×142＝3.12．6【详细分析】沿着侧棱VA 把正三棱锥V －ABC 展开在一个平面内，如图，则AA ′即为截面△AEF 周长的最小值，且∠AVA ′＝3×40°＝120°. 在△VAA ′中，由余弦定理可得AA ′＝6，故答案为6. 13．16π【详细分析】设矩形的两邻边长度分别为a ，b ，则ab ＝8，此时2a ＋2b ≥4ab ＝82，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，此时四边形ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.14．(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ， ∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ， ∴EF ⊥PB .(2)解设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4. ∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin ∠PEB＝14xy ≤14⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝1. 当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB . 即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1.S EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6.∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2.第2讲空间中的平行与垂直1．(2015·北京改编)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的________条件．2．(2015·安徽改编)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是________．①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．3．(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.1.以填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1(1)(2015·广东改编)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是________．①l与l1，l2都不相交；②l与l1，l2都相交；③l至多与l1，l2中的一条相交；④l至少与l1，l2中的一条相交．(2)已知不同的两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是________．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b⊥β.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确的是________．热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2(2015·广东)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a ⊂α⇒l⊥a.跟踪演练2如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.热点三平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．思维升华(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．跟踪演练3(2014·广东)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积．1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列命题正确的是________．①m⊥n⇒m⊥β；②m⊥n⇒α⊥β；③α∥β⇒m∥β；④m∥n⇒α∥β.B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2．如图，在直四棱柱ABCD－A2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)问在棱CD上是否存在点E，使D1E∥平面A1BD.若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由．提醒：完成作业专题五第2讲二轮专题强化练第2讲空间中的平行与垂直A组专题通关1．(2015·徐州模拟)若a ，b ，c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的为________．①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若α∥a ，β∥a ，则α∥β；③若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ；④若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ.2．(2015·湖北改编)l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线，q ：l 1，l 2不相交，则p 是q 的______条件．3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中正确的结论是________．4．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；②存在一条直线a ，a ⊂α，a ⊥β；③存在两条垂直的直线a ，b ，a ⊥β，b ⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是________．5．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD .则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是________．①平面ABD ⊥平面ABC; ②平面ADC ⊥平面BDC ；③平面ABC ⊥平面BDC; ④平面ADC ⊥平面ABC .6．如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．7.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线P A垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①P A∥平面MOB；②MO∥平面P AC；③OC⊥平面P AC；④平面P AC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．9．(2015·山东)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.10．(2015·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.B组能力提高11．(2015·连云港模拟)已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是________．①α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α；②α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；③α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，则a⊥b；④α∥β，β⊥γ，则α⊥γ.B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC12.如图，在三棱柱ABC－A为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E－ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.B1C1D1中，E是棱DD1的中点．14.如图所示，在正方体ABCD－A(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．学生用书答案精析第2讲空间中的平行与垂直高考真题体验1．必要而不充分【详细分析】m⊂α，m∥β⇏α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分条件．2．④【详细分析】对于①，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，①错；对于②，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故②错；对于③，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故③错；对于④，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为④，故④正确．3．证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.热点分类突破例1(1)④(2)①③【详细分析】(1)若l与l1，l2都不相交则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．(2)过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再根据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题．命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．②中可能出现a⊂α，④中可能出现b⊂β.故①③正确．跟踪演练1 2【详细分析】对于①，垂直于同一个平面的两条直线平行，①正确；对于②，直线n可能在平面α内，所以推不出n∥α，②错误；对于③，举一反例，m⊂β且m与α，β的交线平行时，也有m∥α，③错误；对于④，可以证明其正确性，④正确．∴①④正确．例2(1)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.(3)解如图，取CD的中点E，连结AE和PE.因为PD＝PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE＝PD2－DE2＝42－32＝7.因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD，由(2)知：BC ⊥平面PDC ，由(1)知：BC ∥AD ，所以AD ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为V 三棱锥CPDA ＝V 三棱锥P ACD ，所以13S △PDA ·h ＝13S △ACD ·PE ，即h ＝S △ACD ·PE S △PDA ＝12×3×6×712×3×4＝372，所以点C 到平面PDA 的距离是372.跟踪演练2 证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连结FG ，BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE .∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .。

(江苏专版)高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题4 立体几何第14讲高考中的立体几何教师用

第14讲高考中的立体几何题型一| 空间位置关系的证明(2016·某某高考)如图14－1，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.图14－1求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ；(2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .[解题指导] (1)DE 是△ABC 的中位线――→中位线的性质DE ∥AC ――→平行的传递性DE ∥A 1C 1线面平行的判定DE ∥平面A 1C 1F (2)A 1C 1⊥A 1B 1―――――→直棱柱的性质A 1C 1⊥平面ABB 1A 1―→A 1C 1⊥B 1D ――→B 1D ⊥A 1FB 1D ⊥平面A 1C 1F ―→平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F[证明] (1)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC .在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1. 2分又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，所以直线DE ∥平面A 1C 1F . 4分(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1.因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1. 6分又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1. 8分因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D . 10分又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F . 12分因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F . 14分【名师点评】 1.正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直．2．证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．1．(2016·苏锡常镇调研一)如图14－2，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是棱AD 的中点，N 是棱PC 的中点．图14－2(1)求证：MN ∥平面PAB ；(2)若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM ⊥AD .[证明] (1)取PB 中点E ，连结EA ，EN ，NM ，在△PBC 中，EN ∥BC 且EN ＝12BC ，又AM ＝12AD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，得EN ∥AM ，EN ＝AM ，∴四边形ENMA 是平行四边形， 4分得MN ∥AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，∴MN ∥平面PAB . 6分(2)过点A作PM的垂线，垂足为H.∵平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，AH⊂平面PAD，∴AH⊥平面PMC，∵CM⊂平面PMC，∴AH⊥CM. 12分∵PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴PA⊥CM.∵PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面PAD，∴CM⊥平面PAD.∵AD⊂平面PAD，∴CM⊥AD. 14分2．如图14－3，在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，点E为棱PD的中点．求证：图14－3(1)PB∥平面EAC；(2)平面PAD⊥平面ABCD.[证明] (1)连结BD与AC相交于点O，连结OE.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点.3分因为E为棱PD中点，所以PB∥OE.因为PB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，所以直线PB∥平面EAC. 6分(2)因为PA⊥平面PDC，CD⊂平面PDC，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD. 10分因为PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD. 14分3．如图14－4，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点D ，E 分别是A 1C ，AB 的中点．图14－4(1)求证：DE ∥平面BB 1C 1C ；(2)若AB ＝2BB 1，求证：A 1B ⊥平面B 1CE .[证明] (1)连结AC 1，BC 1，因为AA 1C 1C 是矩形，D 是A 1C 的中点，所以D 是AC 1的中点.3分在△ABC 1中，因为D ，E 分别是AC 1，AB 的中点，所以DE ∥BC 1.因为DE ⊄平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以DE ∥平面BB 1C 1C . 6分(2)因为△ABC 是正三角形，E 是AB 的中点．所以CE ⊥AB .又因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，交线为AB ，所以CE ⊥平面ABB 1A 1，从而CE ⊥A 1B .在矩形ABB 1A 1中，因为A 1B 1B 1B ＝2＝B 1B BE，所以Rt △A 1B 1B ∽Rt △B 1BE ， 12分从而∠B 1A 1B ＝∠BB 1E ，因此∠B 1A 1B ＋∠A 1B 1E ＝∠BB 1E ＋∠A 1B 1E ＝90°，所以A 1B ⊥B 1E .又因为CE ，B 1E ⊂平面B 1CE ，CE ∩B 1E ＝E ，所以A 1B ⊥平面B 1CE . 14分题型二| 空间几何体的体积计算如图14－5，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．图14－5(1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D －BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．【导学号：19592044】[解] (1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC . 2分又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .3分同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BGC .5分又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .7分(2)在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O .由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .9分又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半.11分在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h ＝13×12BD ·BC ·sin 120°·32＝12. 14分【名师点评】 1.求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．3．在求空间几何体的高时，常根据已知线段的比例关系来确定高的比例关系，例如本例中点A 、点G 到平面BCD 的距离的关系．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上．(1)求证：平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1；(2)若AD ＝3，AB ＝BC ＝2，P 为AC 中点，求三棱锥P －A 1BC 的体积．图14－6[解] (1)证明：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BC .∵AD ⊥平面A 1BC ，∴AD ⊥BC .3分∵AA 1，AD 为平面ABB 1A 1内两相交直线，∴BC ⊥平面ABB 1A 1.又∵BC ⊂平面A 1BC ，∴平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1. 6分(2)法一：由等积变换得VP －A 1BC ＝VA 1－PBC ，在Rt △A 1AB 中，由射影定理知AA 1＝2 3.∵AA 1⊥平面PBC ，∴三棱锥的高为AA 1＝2 3. 12分又∵底面积S △PBC ＝1，∴VP －A 1BC ＝VA 1－PBC ＝13S △PBC ×AA 1＝233. 14分法二：连结CD ，取CD 中点Q ，连结PQ .∵P 为AC 的中点，∴PQ ∥AD ，PQ ＝12AD . ∵AD ＝3，∴PQ ＝32， 12分由(1)知AD ⊥平面A 1BC ，∴PQ ⊥平面A 1BC ，∴PQ 为三棱锥P －A 1BC 的高，又由(1)知BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥BA 1，∴S △A 1BC ＝4.∴VP －A 1BC ＝233. 14分题型三| 空间角的计算(2013·某某高考)如图14－7，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．图14－7(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．[解] (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4). 3分因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. 6分 (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD→＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量. 12分取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 14分【名师点评】三种空间角的向量求法1．异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|；2．直线与平面所成的角θ主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|；3．二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．(2016·某某期中)如图14－8，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．图14－8(1)求二面角A －DF －B 的大小；(2)试在线段AC 上确定一点P ，使PF 与BC 所成的角是60°.[解] (1)以CD →，CB →，CE →为正交基底，建立空间直角坐标系，则E (0,0,1)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，B (0，2，0)，A (2，2，0)，BD →＝(2，－2，0)，BF →＝(2，0,1)．平面ADF 的法向量t ＝(1,0,0)，设平面DFB 法向量n ＝(a ，b ，c )，则n ·BD →＝0，n ·BF →＝0，3分所以⎩⎨⎧ 2a －2b ＝0，2a ＋c ＝0.令a ＝1，得b ＝1，c ＝－2，所以n ＝(1,1，－2)．设二面角A －DF －B 的大小为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，从而cos θ＝|cos 〈n ，t 〉|＝12，∴θ＝60°，故二面角A －DF －B 的大小为60°. 6分(2)依题意，设P (a ，a,0)(0≤a ≤2)，则PF →＝(2－a ，2－a,1)，CB →＝(0，2，0).10分因为〈PF →，CB →〉＝60°，所以cos 60°＝22－a 2×22－a 2＋1＝12，解得a ＝22，所以点P 应在线段AC 的中点处. 14分。

专题1.4 平面向量(测试卷)-2016年高考数学二轮复习精品资料(江苏版)(原卷版)

专题四：平面向量测试卷一、填空题(14*5=70分)1．【淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟】如图，在平行四边形ABCD 中，AB 的中点为点M ，过A 作DM 的垂线，垂足为H ，若3AH =，则向量AH AC = ．2．【哈尔滨市第六中学2016届上学期期中考试3】已知向量()1,1λ=+ m ，向量()2,2λ=+ n ，若()()+⊥-m n m n ，则=λ______．3．【山东师范大学附属中学2016届高三上学期第二次模拟考试2】已知向量()1,2=- a ，()1,1=- b ，()3,1=- c ，则()⋅+=c a b ______． 4．【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三十月联考6】设非零向量 , , a b c 满足++a b c ，+=a b c ，则向量 , a b 间的夹角为______．5．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，1AC =，若sin B ＝13，则AM ＝________． 6．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】在四边形ABCD 中，2AB =，AD BC =，3BABCBDBA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是．7．【河北衡水中学2016届上学期高三三调6】已知 , a b 是不共线的向量，AB λ=+a b ，AC μ=+a b ，其中,λμ∈R ，那么A B C 、、三点共线的充要条件为______．8．【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知正三角形ABC 的边长为1，点G 为边BC 的中点，点,D E 是线段,AB AC 上的动点，DE 中点为F ．若A D A B λ=，(12)AE AC λ=-()λ∈R ，则FG 的取值范围为．9．【三明一中2016届(上)第一次月考14】在△ABC 中，D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于________．10．【河北衡水中学2016届上学期高三三调13】已知向量3OA AB OA ⊥=，，则OA OB ⋅= ．11．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==，若12AC BD ⋅=-，则AD BC ⋅= ．12．【河北省衡水中学2016届二调】已知P 为ABC ∆所在平面内一点，cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，其中λ∈R ，则直线AP 必经过ABC ∆的______． 13．【华中师大一附中2016届上学期期中检测】M 是ABC ∆所在平面内一点，3322MB MA MC ++=0，D 为AC 中点，则MD BM 的值为______．14．【甘肃省兰州一中2016届高三上学期期中】两个不共线向量OA ，OB 的夹角为θ，,M N 分别为OA与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且(),OC xOA yOB x y =+∈R ，则22x y +的最小值为____．二、解答题(6*15=90分)15．【河北衡水中学2016届上学期高三三调18】设向量()4cos sin αα= ，a ，()sin 4cos ββ= ，b ，()cos 4sin ββ= -，c ．(1)若a 与2-b c 垂直，求()tan αβ+的值；(2)求+b c 的最大值．16．【2016学年江苏连云港市高一期末】如图，两块直角三角板拼在一起， 45=∠ABC ， 60=∠BCD ．(1)若记AB =a ，AC =b ，试用，a b 表示向量、；(2)若2=AB ，求⋅．17．【2016学年江苏省江宁高级中学高一期末】已知向量()cos ,1α= -a ，向量()2,1sin α= +b ，且1⋅=-a b ． (1)求tan α的值； (2)求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．【2016学年江苏省盐城市模拟】在四边形ABCD 中，已知9=AB ，6=BC ，PD CP 2=．(1)若四边形ABCD 是矩形，求BP AP ⋅的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且6=⋅BP AP ，求AB 与AD 夹角的余弦值．。

专题1.8 立体几何测试卷教学案-2017年高考数学二轮复习资料江苏版含解析精品

【高效整合篇】专题八立体几何一．考场传真1【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点. 所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面2. 【2016高考山东文数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面b 相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A3. [2016高考新课标Ⅲ文数]在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B 【解析】试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ． 4. 【2016高考新课标2理数】 ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有． (填写所有正确命题的编号）【答案】②③④5. 【2016高考浙江理数】如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】12【解析】试题分析：ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以AC =设AD x =，则0t <<DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅24x =-+.故BD =.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===⋅所以30BPD ∠=.EDCBAP过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin 302d x =⋅，解得d =而BCD ∆的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD的体积11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯=.设t ==0x ≤≤12t ≤≤.则|x =（1）当0x ≤≤|x x ==故x =此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t'=--，因为12t ≤≤，所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=.6. 【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B 【解析】试题分析：要使球的体积V最大，必须球的半径R最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322Rπππ==二．高考研究1.【最新考纲解读】（一）立体几何初步（1）空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

专题1.8 立体几何测试卷测试卷-2017年高考数学二轮复

专题八立体几何测试卷一、填空题（14*5=70分）1. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，7】已知长方体同一个顶点的三条棱长分别为2，3,4，则该长方体的外接球的表面积等于_____ 【答案】29π2．【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，4】已知 m n ，是两条不同直线，α是平面，则下列命题是真命题的是_____A ．若m α∥，m n ∥，则n α∥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥ C.若m α∥，m n ⊥，则n α∥ D ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥【答案】B【解析】若m α∥，m n ∥，则有可能n α⊂；若m α∥，m n ⊥，则有可能n α⊂；若m α⊥，m n ⊥，则有可能n α⊂ B.3. 【2015高考北京，理4】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的______条件．【答案】必要而不充分【解析】因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.4. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，9】《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著.其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少?若π取3，估算该圆堡的体积为（1丈=10尺）_____ 【答案】1998立方尺【解析】由底面半径为r ，则248r π=，又3π=，所以8r =，所以该圆堡的体积为883111998V =⨯⨯⨯=立方尺.5. 【河北唐山2017届高三上期期末，11】现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为_____【解析】当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值，此时设正方体的棱长为a，则球的半径为R ==3=． 6. 【广东汕头2017届高三上学期期末，11】已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为32，2=AB ，1=AC ， 60=∠BAC ，则此球的表面积等于_____ 【答案】π207. 【2015高考福建，理7】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α 的______条件．【答案】必要而不充分【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥ ”是“//l α 的必要不充分条件8. 【2015高考上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π9. 【2015高考上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为则a = ．【答案】4【解析】23644a a a ==⇒= 10. 【山东枣庄2017届高三上学期期末，10】《九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的体积为_____【答案】211. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，11】圆锥的母线长为L ，过顶点的最大截面的面积为212L ，则圆锥底面半径与母线长的比rL的取值范围是_____ 【答案】12r L≤<【解析】由题意得轴截面的顶角θ不小于2π，因为sin sin 24r L θπ=≥=，所以12rL≤<. 12. 【淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟测试】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且22=EF ，则三棱锥B —AEF 的体积为是___▲____．【答案】11213. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，12】如图，四棱锥P ABCD -中，PAB ∆为正三角形，四边形ABCD 为正方形且边长为2，PAB ABCD ⊥平面平面，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_____【答案】283π273R ==,所以球的表面积是22843R ππ=. 14. 【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，9】在直三棱柱111ABC A B C -中，M N ，分别为棱1111 A B AC ，的中点，则平面BMNC 将三棱柱分成的两部分的体积比为_____ 【答案】7:5【解析】设直三棱柱111ABC A B C -高为h ，底面积为4S ，则11111111111111115343222233B C BMNC C B MNC M B BC A B BC A B BC B ABC V V V h S V hS V hS V hS h S Sh------=+=⨯⨯+=+=+=+⨯⋅=所以两部分的体积比为55(4):7:533Sh Sh Sh -=.1D二、解答题（6*15=90分）15. 【河北唐山2017届高三上期期末，19】（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,24,,60,ABCD AD BC BC AD AB CD ABC N ===∠= 为线段PC 上一点，3,CN NP M =为AD 的中点．（1）证明：MN 平面PAB ；（2）求点N 到平面PAB 的距离．【答案】（1）见解析；（2）2．（2）连接AC ，在梯形ABCD 中，由BC ＝2AD ＝4，AB ＝CD ，∠ABC ＝60°，得AB ＝2，∴AC ＝23，AC ⊥AB ． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ．又∵PA ∩AB ＝A ，∴AC ⊥平面PAB ．又∵CN ＝3NP ，∴N 点到平面PAB 的距离d ＝ 1 4AC ＝32．…12分16. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，19】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， 60BAD ∠=°，2PA PD AD ===，点M 在线段PC上，且2PM MC =，N 为AD 的中点.（1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）23.（2）∵2PN PD AD ===，∴PN NB ==7分）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PN AD ⊥， ∴PN ⊥平面ABCD ，……（8分） ∴PN NB ⊥，∴1322PNB S ∆==.……（9分） ∵AD ⊥平面,//PNB AD BC ，∴BC ⊥平面PNB .（10分） ∵2PM MC =，∴22132233323P NRM M PNB C PNB V V V ---===⨯⨯⨯=.（12分） 17. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，19】如图，已知四边形ABCD 和BCGE 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG 且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCGE ，222BC CD CE AD BG =====．（1）求证：//AG 平面BDE ；（2）求三棱锥G BDE -的体积．【答案】(1)见解析；（2）23.（2）13G DBE D BEG BEG V V S h --∆==⨯⋅， ∵CD BC ⊥，面ABCD ⊥面BVEG ，而面ABCD 面BCEG BC =， ∴CD ⊥平面BCEG ， ∴2h CD ==， ∴112122323G BDE V -=⨯⨯⨯⨯=．18. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，20】（本小题满分12分）如图甲，在直角梯形ABCD 中，AD BC P ，π2BAD ∠=，1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，如图乙．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1AOC ∆；（Ⅱ）若平面1A BE ⊥平面BCDE ，求点B 到平面1ACD 的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12.（Ⅱ）解：由已知，CD BE ==1A BE ⊥平面BCDE ，1BE OA ⊥，1OA ∴⊥平面BCDE ，1OA OC ∴⊥，……………………………………………………………（7分）11AC ∴=，又由（Ⅰ）知，BE ⊥平面1AOC ，1AC ⊂平面1AOC ， 1BE AC ∴⊥．CD BE P ，1CD AC ∴⊥．………………………………………………………………………（9分）设B 到平面1ACD 的距离为d ，且11AC =，CD =12AO =，由11B A CD A BCD V V --=得：11113π1132324⨯⨯=⨯⨯，…………………………（11分）12d ∴=，故B 到平面1ACD 的距离为12．………………………………………………………（12分）19. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛，19】（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是AB 的中点. （1）证明：1//BC 平面1ACD ；（2）若AC CB =，求证：1A D CD ⊥.【答案】(1)(2)均见解析. 【解析】证明：（1）如图，连接1AC ，交1AC 于点O ，连结OD . 据直三棱柱性质知四边形11ACC A 为平行四边形，所以O 为1AC 的中点. 又因为D 是AB 的中点，所以1//BC OD .………………2分又因为1BC ⊄平面1ACD ，OD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD .………………4分20. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，18】（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -的侧面ABC 是等边三角形，1EB ABC DC ABC BE ⊥⊥=平面，平面，，2BC CD ==，F 是棱AD 的中点.（Ⅰ）证明：//EF ABC 平面；（Ⅱ）求四棱锥A BCDE -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】（Ⅰ）取AC 中点M ，连结FM BM 、， F 是AD 中点，∴//FM DC ，且112FM DC ==. ,EB ABC DC ABC ⊥⊥ 平面平面， ∴//EB DC ，∴//FM EB .又1EB = ，∴FM EB =.∴四边形FMBE 是平行四边形.∴//EF BM ，,BM ABC EF ABC ⊂⊄ 平面平面， ∴//EF ABC 平面.（Ⅱ）取BC 中点N ，连结AN ， ABC ∆ 是正三角形，∴,AN BC AN ⊥==EB ⊥ 平面ABC ，∴EB AN ⊥.,BC BCDE EB BCDE ⊂⊂ 平面平面，且BC EB B = ∴AN BCDE ⊥平面，由（Ⅰ）知底面BCDE 为直角梯形， ∴()132BCDE S BE DC BC =+= ，∴四棱锥A BCDE -的体积13BCDE V AN S ==。

【配套K12】2016高考数学二轮复习专题5 立体几何专题综合检测五理

专题综合检测(五)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(D )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析：由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π.2．利用斜二测画法得到如下结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．其中正确的是(A )A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④解析：由斜二测画法规则知，保持平行性、平行x 轴长度保持不变，平行y 轴的长度减半．故①②正确，选A.3．(2015·新课标Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(D )A.18B.17C.16D.15解析：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D. 4．等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是(C ) A ．S 球＞S 正方体 B ．S 球＝S 正方体 C ．S 球＜S 正方体 D ．不能确定解析：设正方体与球的体积均为V ，可算出它们的表面积大小(用V 表示)，知选C. 5．下列命题正确的是(C )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析：若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以垂直，故D 错；故选项C正确．6. (2014·湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(D)A．①和② B．③和①C．④和③ D．④和②解析：设A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(1，2，1)，D(2，2，2)，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②.故选D.7. (2015·天津卷改编)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为(C)A.63π m 3B.85π m 3C.83π m 3D.94π m 3 解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π(m 3)．8．如图，三棱锥P ABC 的高PO ＝8，AC ＝BC ＝3，∠ACB ＝30°，M ，N 分别在BC 和PO 上，且CM ＝x ，PN ＝2CM ，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N AMC 的体积V 与x 的变化关系(x ∈(0，3])的是(A )9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是(B)A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上10．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成，现从模块①～⑤中选出3个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，下列方案中能完成任务的是(A)A．模块①②⑤ B．模块①③⑤C．模块②④⑤ D．模块③④⑤11．(2015·蚌埠模拟)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(B)A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2解析：对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α，又l1与l2相交，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，符合题意，对于选项C，由于m，n 不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意．故选B.12．(2015·深圳调研)在四面体DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，且是AC的中点，则下列正确的是(C)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC且平面ADC⊥平面BDE解析：因为AB＝CB且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC.于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝a或2a时，CF⊥平面B1DF.解析：由直三棱柱及D是A1C1的中点，得B1D⊥平面AC1，而CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF.若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF，设AF＝x(0＜x＜3a)，则CF2＝x2＋4a2，DF2＝a2＋(3a－x)2.又CD2＝a2＋9a2＝10a2，∴10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2.解得x＝a或2a.14．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是18cm3.解析：该几何体是由两个长方体组成，下面长方体的体积为1×3×3＝9 (cm3)，上面的长方体体积为3×3×1＝9 (cm3)，因此该几何体的体积为18 cm3.15．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1．解析：此题可采用两个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，t ＝1，随着点F 到点C 时，因CB ⊥AB ，CB ⊥DK ，∴CB ⊥平面ADB ，即有CB ⊥BD .对于CD ＝2，BC ＝1，∴BD ＝ 3.又AD ＝1，AB ＝2，因此有AD ⊥BD ，则有t ＝12.因此t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 . 16．关于直线m ，n 和平面α，β有以下四个命题： ①当m ∥α，n ∥β，α∥β时，m ∥n ； ②当m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β时，α⊥β； ③当α∩β＝m ，m ∥n 时，n ∥α且n ∥β； ④当m ⊥n ，α∩β＝m 时，n ⊥α或n ⊥β. 其中假命题的序号是①③④．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝13，BB 1＝BC ＝6，E ，F 为侧棱AA 1上的两点，且EF ＝3，求几何体EF BB 1C 1C 的体积．解析：△ABC 的边BC 上的高等于（13）2－33＝2，所以S △ABC ＝S △A 1B 1C 1＝12×6×2＝6.由于直三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V ＝6×6＝36，而三棱锥E A 1B 1C 1的体积VE A 1B 1C 1＝13·S △A 1B 1C 1·EA 1，三棱锥F ABC 的体积V F ABC ＝13·S △ABC ·FA ，所以VE A 1B 1C 1＋V F ABC ＝13·S △ABC ·(EA 1＋FA )＝13×6×(6－3)＝6.于是几何体EF BB 1C 1C 的体积等于36－6＝30.18．(12分)如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC ＝22，PA ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A PB C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．解析：(1)因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，又PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ，又AC ∩PA ＝A ，AC 、PA ⊂面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，所以PC ⊥BD .设AC ∩BD ＝F ，连接EF ，因为AC ＝22，PA ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝ 2. 从而PC FC＝6，ACEC＝ 6.因为PC FC ＝AC EC，∠FCE ＝∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠PAC ＝90°，由此知PC ⊥EF . 因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED . (2)在平面PAB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A PB C 为90°，所以平面PAB ⊥平面PBC .又平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .因为BC 与平面PAB 内两条相交直线PA ，AG 都垂直，故BC ⊥平面PAB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝PA 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.19．(12分)(2014·江西卷)如图，四棱锥PABCD 中，ABCD 为矩形．平面PAD ⊥平面ABCD .(1)求证：AB ⊥PD .(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2.问AB 为何值时，四棱锥PABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．分析：(1)利用直线与平面、平面与平面垂直的性质证明线线垂直；(2)利用空间坐标系求解空间角的大小．解析：(1)因为四边形ABCD 为矩形，故AB ⊥AD . 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PD .(2)过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG . 故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG . 在Rt △BPC 中，PG ＝233，GC ＝263，BG ＝63.设AB ＝m ，则OP ＝PG 2－OG 2＝43－m 2，故四棱锥PABCD 的体积为V ＝13·6·m ·43－m 2＝m 3·8－6m 2. 因为m 8－6m 2＝8m 2－6m 4＝－6（m 2－23）2＋83，故当m ＝63，即AB ＝63时，四棱锥PABCD 的体积最大．此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为O (0，0，0)，B (63，－63，0，)，C (63，263，0)，D (0，263，0)，P (0，0，63)．故PC →＝(63，263，－63)，BC →＝(0，6，0)，CD →＝(－63，0，0)．设平面BPC 的法向量n 1＝(x ，y ，1)，则由n 1⊥PC →，n 1⊥BC →得⎩⎪⎨⎪⎧63x ＋263y －63＝0，6y ＝0，解得x ＝1，y ＝0，n 1＝(1，0，1)．同理可求出平面DPC 的法向量n 2＝(0，12，1)．从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12·14＋1＝105. 20．(12分)(2015·新课标Ⅱ卷)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．解析：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A (10，0，0)，H (10，10，0)，E (10，4，8)，F (0，4，8)，FE →＝(10，0，0)，HE →＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·HE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0，4，3)．又AF →＝(－10，4，8)，故|cos 〈n ，AF →〉|＝|n ·AF →||n ||AF →|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.21．(12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2.将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D ABC 的体积．解析：(1)证法一在题图1中，可得AC ＝BC ＝22， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC .如图，取AC 中点为O ，连接DO ，则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ， ∴OD ⊥平面ABC . ∴OD ⊥BC .又AC ⊥BC ，AC ∩OD ＝O ， ∴BC ⊥平面ACD .证法二在题图1中，可得AC ＝BC ＝22， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2. 故AC ⊥BC .又∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，从而BC ⊥平面ACD . (2)由(1)可知BC 为三棱锥B ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2.∴V B ACD ＝13·S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423.由等积性可知几何体D ABC 的体积为423.22．(12分)(2015·天津卷)如图，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1AC B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (2，0，0)，D (1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)．又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N (1，－2，1)． (1)依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，0，由此可得MN →·n ＝0.又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)，设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＋2z 1＝0，2x 1＝0. 不妨设z 1＝1，可得n 1＝(0，1，1)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACB 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC →＝0.又AB 1→＝(0，1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2z 2＝0，2x 2＝0，不妨设z 2＝1，可得n 2＝(0，－2，1)．因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1010，于是sin 〈n 1，n 2〉＝31010，所以，二面角D 1AC B 1的正弦值为31010.(3)依题意，可设A 1E →＝λA 1B 1→，其中λ∈[0，1]，则E (0，λ，2)，从而NE →＝(－1，λ＋2，1)．又n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，由已知，得 |cos 〈NE →，n 〉|＝|NE →·n ||NE →||n |＝1（－1）2＋（λ＋2）2＋12＝13，整理得λ2＋4λ－3＝0，解得λ＝－2±7. 又因为λ∈[0，1]，所以λ＝7－2. 所以，线段A 1E 的长为7－2.。

江苏省2016届高三数学专题复习回扣五立体几何文

回扣五立体几何1．空间几何体的结构(棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球)[回扣问题1]判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．( ) ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．( )③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．( )④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．( ) 2．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线)， S 圆锥侧＝πrl (同上)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′、r 分别为上、下底的半径，l 为母线)．(5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)．(6)球的表面积和体积S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．[回扣问题2]棱长为a 的正四面体的体积为______，其外接球的表面积为________． 3．空间点、线、面的位置关系 (1)平面的三个公理(2)线线位置关系(平行、相交、异面)(3)线面位置关系a ⊂α，a ∩α＝A (a ⊄α)，a ∥α (4)面面位置关系：α∥β，α∩β＝a [回扣问题3]①梯形可以确定一个平面．( )②圆心和圆上两点可以确定一个平面．( )③已知a ，b ，c ，d 是四条直线，若a ∥b ，b ∥c ，c ∥d ，则a ∥d .( ) ④两条直线a ，b 没有公共点，那么a 与b 是异面直线．( )⑤若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线．( ) 4．空间的平行关系(1)线面平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊂αa ⊄α⇒a ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α；(2)面面平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O a ∥βb ∥β⇒α∥β；⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ；(3)线线平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ；⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ；⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b .[回扣问题4]①如果a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面．( ) ②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行．( ) ③如果直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b .( ) ④如果直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α.( ) 5．空间的垂直关系(1)线面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ⇒l ⊥α；⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β；⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a⊥β；⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；(2)面面垂直：二面角90°；⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β；⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β；3)线线垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b .[回扣问题5]已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是________．6．三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两相对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成相等)⇔顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ，则S 侧cos θ＝S 底． [回扣问题6]过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC . (1)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90°，则点O 是AB 边的________点． (2)若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的______心．(3)若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的________心． (4)若P 到AB ，BC ，CA 三边距离相等，则点O 是△ABC 的________心．回扣五立体几何1．①× ②× ③√ ④× 2.212a 3 32πa 23．①√ ③√ ④4④√5．16．(1)中 (2)外 (3)垂 (4)内。

(全国通用)2016届高考数学二轮复习练习7.2空间几何体的表面积与体积

课时提升作业(四十一)空间几何体的表面积与体积(25分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014·福建高考)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2πB.πC.2D.1【解析】选A.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的圆柱的底面半径为1,母线长为1.故侧面积为2πr·l=2π·1·1=2π.2.如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()A. B.C. D.【解析】选A.在△ABC中,BC边上的高为,即棱锥A-BB1C1的高为,又=,所以=××=.3.(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格的边长为1 (表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.【解题提示】由三视图,还原出几何体,然后根据几何体的形状,求得体积之比.【解析】选C.因为加工前的零件半径为3,高为6,所以体积V1=9π·6=54π.因为加工后的零件,左半部为小圆柱,半径为2,高为4,右半部为大圆柱,半径为3,高为2.所以体积V2=4π·4+9π·2=34π.所以削掉部分的体积与原体积之比==.【加固训练】一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm,瓶里所装的水深为8cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5cm,则钢球的半径为()A.1 cmB.1.2 cmC.1.5 cmD.2 cm【解析】选C.设钢球的半径为R,因为V球=πR3=π×32×8.5-π×32×8=4.5π,所以R==1.5(cm).4.(2015·杭州模拟)三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA⊥平面ABC, AB⊥BC,又SA=AB=BC=1,则球O的表面积为()A.πB.πC.3πD.12π【解析】选C.依题意,球O的直径为SC,且SC=,又AB⊥BC,所以AC2=AB2+BC2,故SC==,即球O的半径为,所以球O的表面积为S=4π×=3π.【加固训练】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.+6B.C. D.+6【解析】选B.由三视图可知该几何体为横着平放的半个圆锥与半个圆柱构成的简单组合体,体积V=×π×12×2+×π×12×3=π.5.(2015·太原模拟)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()A. B. C. D.【解题提示】先根据题意确定四面体O-ABC的结构特征,求得O到平面ABC的距离,进而求得S 到平面ABC的距离,代入体积公式求解.【解析】选A.因为△ABC为边长为1的正三角形,且球半径为1,所以四面体O-ABC为正四面体,所以△ABC的外接圆的半径为,所以点O到平面ABC的距离d==,所以三棱锥的高SF=2OE=,所以三棱锥的体积为××1××=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2014·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【解析】如图,所给几何体由一个圆锥和一个圆柱组合而成,V=×2×π×22+π×12×4=(m3).答案:7.已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),其中正视图是直角梯形,侧视图和俯视图都是矩形,则这个几何体的体积是cm3.【解析】由三视图可知,该几何体为一个放倒的四棱柱,以梯形为底,所以梯形面积为=,四棱柱的高为1,所以该几何体的体积为.答案:8.(2015·烟台模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为.【解析】如图所示,由三视图可知该几何体为圆锥AO,AD为该圆锥外接球的直径,则AO=1,CO=,由射影定理可知CO2=AO·OD,得OD=3,所以外接球的半径为(AO+OD)=2,表面积为4π×22=16π.答案:16π【误区警示】本题易误将圆锥底面圆半径作为球的半径而致误.【加固训练】圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是cm.【解析】设球半径为r,则由3V球+V水=V柱,可得3×πr3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4.答案:4(20分钟30分)1.(5分)(2015·中山模拟)如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,则该几何体的体积是()A.24B.12C.8D.4【解题提示】由三视图还原出几何体,由几何体的结构特征求体积.【解析】选B.由三视图可知,该几何体是由两个相同的直三棱柱构成,三棱柱的高为4,三棱柱的底面三角形为直角三角形,两直角边分别为2,,所以三角形的底面积为×2×=,所以三棱柱的体积为×4=6,所以该几何体的体积为2×6=12.2.(5分)(2014·陕西高考)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A. B.4π C.2π D.【解题提示】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R1,则+=1可得=;又侧棱长为,所以球心到截面圆的距离d=;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,根据勾股定理得球半径R===1,代入球的体积公式得球的体积为.【加固训练】已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形.若PA=2,则△OAB的面积为.【解析】首先,可以判定点O,P在平面ABCD的同侧(否则,由OA=OP=R,三角形OAP为等腰三角形,∠OAP=∠OPA,据PA⊥平面ABCD知∠OAP为钝角,一个等腰三角形的底角不可能为钝角),设正方形ABCD的对角线交于点M,连接OM,由球的性质,OM⊥平面ABCD,又PA⊥平面ABCD,则PA ∥OM,从而四边形AMOP为直角梯形.如图,OP=R,作ON⊥PA于N.可以求得ON=MA=,AN=OM=,PN=PA-AN=2-.在直角三角形ONP中,利用勾股定理,得(2-)2+6=R2,求得R=2,故三角形OAB为等边三角形,S△OAB=(2)2=3.答案:33.(5分)已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,点P1,P2分别是线段AB,BD1上(不包括端点)的动点,在P1,P2运动的过程中线段P1P2始终平行于平面A1ADD1,则当几何体P1P2AB1的体积取得最大值时,AP1=.【解析】过P2作P2O⊥底面ABCD于O,连接OP1,则OP1⊥AB,即OP1⊥平面P1AB1,设AP1=x,0<x<1,则由题意知OP1∥AD,所以有=,即OP1=1-x,又=x,所以四面体P1P2AB1的体积为·OP1=×x(1-x)=x(1-x)≤=,当且仅当x=1-x,即x=时取等号,所以四面体P1P2AB1的体积的最大值为,此时AP1=.答案:【加固训练】(2015·绍兴模拟)用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图),设容器的高为h米,盖子边长为a米.(1)求a关于h的函数解析式.(2)设容器的容积为V立方米,则当h为何值时,V最大?求出V的最大值.(求解本题时,不计容器的厚度)【解析】(1)设h′为正四棱锥的斜高.由已知解得a=(h>0).(2)V=ha2=(h>0),易得V=,因为h+≥2=2,所以V≤,当且仅当h=,即h=1时取等号,故当h=1米时,V有最大值,V的最大值为立方米.4.(15分)(能力挑战题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,这个几何体的体积为.(1)求棱A1A的长.(2)求经过A1,C1,B,D四点的球的表面积.【解析】(1)设A1A=h,因为几何体ABCD-A1C1D1的体积为,所以=,即S四边形ABCD×h-××h=,即2×2×h-××2×2×h=,解得h=4.所以A1A的长为4.(2)如图,连接D1B,设D1B的中点为O,连接OA1,OC1,OD.因为ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以A1D1⊥平面A1AB. 因为A1B⊂平面A1AB,所以A1D1⊥A1B.所以OA1=D1B.同理OD=OC1=D1B.所以OA1=OD=OC1=OB.所以经过A1,C1,B,D四点的球的球心为点O.因为D1B2=A1+A1A2+AB2=22+42+22=24.所以S球=4π×(OD1)2=4π×=π×D1B2=24π.故经过A1,C1,B,D四点的球的表面积为24π.。

专题1.3 三角函数(测试卷)-2016年高考数学二轮复习精品资料(江苏版)(原卷版)

专题三三角函数与解三角形强化测试卷一、填空题（14*5=70分）1．【哈尔滨市第六中学2016届上学期期中考试4】已知sin()cos()0,322πππααα++-=-<<则2cos()3πα+等于______． 2. 【山东师范大学附属中学2016届高三上学期第二次模拟考试3】已知4,0cos ,tan 225x x x π⎛⎫∈-== ⎪⎝⎭且则______． 3. 【扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高三数学】平面内四点,,,O A B C 满足4,0OA OB OC OB OC ===⋅=,则ABC ∆面积的最大值为．4. 【三明一中2016届（上）第一次月考3】在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝b ，则角A 等于______．5.【淮安市2014－2015学年度第二学期高二调查测试】将函数)0)(3sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象向右平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为． 6. 【河北省衡水中学2016届高三二调7】已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-= ______．7. 【江西临川一中2016届高三第二次月考14】设），（20πα∈，若,54)6cos(=+πα则=+)122sin(πα______．8. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)( 2)】设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin B A的取值范围是． 9. 【浙江宁波效实中学2016届上学期高三期中考试5】函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+<<的图象向右平移8π后关于y 轴对称，则满足此条件的ϕ值为______ 10. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(6)】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2,c B a b =-若ABC ∆的面积为S =，则ab 的最小值为_________.11. 【哈尔滨市第六中学2016届上学期期中考试10】在ABC ∆中，60,A BC ∠==D 是AB 边上的一点，CD =，CBD ∆的面积为1，则BD 的长为______．12. 【三明一中2016届（上）第一次月考7】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若c2＝(a －b )2＋6，C ＝32π，则△ABC 的面积是______． 13. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三十月联考7】一个大风车的半径为8,12min m 旋转一周，它的最低点0,P 离地面 2m ，风车翼片的一个端点P 从0P 开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离()h m 与时间()min t 之间的函数关系式是______．14. 【南京市2015届高三年级第三次模拟考试】若将函数f (x )＝∣sin(ωx －π6)∣(ω＞0)的图象向左平移π9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数ω的最小值是．二、解答题（6*15=90分）15. 【三明一中2016届（上）第一次月考17】（本小题满分10分）（1）已知παπ2<<，αcos ＝35，求tan )5cos(⋅+απ）（πα7-的值；（2）已知)6cos(απ-＝33，求)3sin(απ+的值． 16. 【三明一中2016届（上）第一次月考19】（本小题满分12分）已知向量a ＝)sin 2cos ,(sin ααα-，b ＝(1，2)，a 与b 共线；（1）求αtan 的值；（2）求αααα22cos sin cos sin 21-+的值。

专题1.4 平面向量(教学案)-2016年高考数学二轮复习精品资料(江苏版)(原卷版)

3．【2015 高考重庆，理 6】若非零向量 a，b 满足|a|= 2 2 |b|，且 a b 3a 2b ，则 a 与 b 的夹角为
3
_____________
4．【2015 高考福建，理 9】已知 AB AC ， AB 1 ， AC t ，若 P 点是 ABC 所在平面内一点，且 t
一．基础知识整合 1．平面向量的线性运算
向量运算
定义
加法求两个向量和的运算
法则(或几何意义)
运算律 (1)交换律：a＋b＝b ＋a； (2)结合律：(a＋b) ＋c＝a＋(b＋c)
减法数乘
若 b＋x＝a，则向量 x 叫做
a 与 b 的差，求两个向量差的运算，叫做向量的减法
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
【举一反三】【南京市、盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试数学】如图，在ABC 中，AB AC 3 ，
cos
BAC
1 3
，
DC
2BD
，则
AD
BC
的值为
．
考点 2 向量共线的充要条件【例2】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知正△ ABC 的边长为1，点 G 为边 BC 的中点，点
考点 1 平面向量的线性运算
【例 1】【淮安市淮海中学 2015 届高三冲刺四统测模拟测试】如图，在平行四边形 ABCD 中， AB 的中点为 M ，过 A 作 DM 的垂线，垂足为 H ，若 AH 3 ，则向量 AH AC ．
D
C
H
A
M
B
【规律方法】向量加法：“尾首相接，首尾相连”，向量减法：“共起点，连终点，指向被减向量”．
2
(2)平面向量的坐标运算设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝

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专题七立体几何测试卷
一、填空题（14*5=70分）
1. 【2015江苏高考，9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各
一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底
面半径为
2．【2015年高考模拟 (南通市数学学科基地命题)(2)】设点P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，
PB
，PC两两互相垂直，且1PAPBPCcm，则球的表面积为 2cm．
3. 【2015高考北京，理4】设，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．“m∥”是“∥”的______

条件．
4. 【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今
有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆
为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米
堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约
有______斛．（精确到个位数）
5. 【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱
锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为______．
6. 【2015高考山东，理7】在梯形ABCD中，2ABC，//,222ADBCBCADAB .将梯
形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______．
7. 【2015高考福建，理7】若,lm 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“lm ”是“//l 的
______条件．
8. 【2015高考上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小
为．

9. 【2015高考上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a ．
10. 【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知正四棱锥的底面边长是32，侧棱长为5，则该正
四棱锥的体积为 .

11. 【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】若一个正四棱锥的底面边长为2cm，侧棱长为3cm，则它
的体积为 cm3.
12. 【淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟测试】正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D
1
上有两个动点E，F，且22EF，则三棱锥B—AEF的体积为是_______．
13. 【泰州市2015届高三第三次调研测试】已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图
所示，则该空间几何体的体积V cm3．

【答案】216

14. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】给出下列命题：
（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；
（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；
（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；
（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．
则其中所有真命题的序号是．
二、解答题（6*15=90分）
15.
【2015江苏高考，16】（本题满分14分）

如图，在直三棱柱111CBAABC中，已知BCAC，1CCBC，设1AB的中点为D，
EBCCB
11


求证：（1）CCAADE11//平面；
（2）11ABBC.

A
B
C
C1 A1 B
1

E
F

D
D
1
16.
【淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟测试】(本小题满分14分)

在三棱锥P－SBC中，A,D分别为边SB,SC的中点,2,4,22.ABBCCD平面PSB平面ABCD，
平面PAD平面ABCD.
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）若平面PAD平面PBC=l，求证：//.lBC

D
A

B
C

S
p

17.
【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】(本小题满分14分)

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形.
（1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF；
（2）求证：EF//平面ABCD.

18.
【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】（本题满分14分）

如图，边长为2的正方形ABCD是圆柱的中截面，点E为线段BC的中点，点S为圆柱的下底面圆周
上异于A，B的一个动点．
（1）在圆柱的下底面上确定一定点F，使得//EF平面ASC；
（2）求证：平面ASC平面BSC．

A
B
C
D

E
F

A B C
D
E
A
1

B
1

C
1
19.
【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】（本小题满分14分）在四棱锥
PABCD

中,PAC平面平面ABCD,ABC是边长为4的正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又
120ADC
,点N在线段PB上,且13PNNB.
(1)求证：PABD；
(2)求证：//MN平面PDC.

20.
【泰州市2015届高三第三次调研测试】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱

形．
（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；
（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，
求证：DE∥平面ABC1．

M
D
C
B

P
N

A
B
C
D

S
E

(第16题)
：