条件概率乘法公式
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条件概率与乘法公式
概率论
85 1946 72 3 0
引例：一批产品组成情况如下图所示。
生
产
等
厂
级
正品
甲厂 乙厂 35 50
合计 85
次品 合计
5 10
15
40 60
100
从这100件产品中任意取出一件，用A表示“取出 一件为正品”，B表示“取出一件为甲厂产品”。
概率论
85 1946 72 3 0
则显然有：
p( A) 85 , p(B) 40 , P( AB) 35
设 A, B 是两个事件, 且 P( A) 0, 称 P( B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.
同理可得 P(B) 0时, P( A B) P( AB) P(B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
概率论
85 1946 72 3 0
条件概率
概率论
85 1946 72 3 0
• 我们在解决有些概率问题时，往往需要在 有某些附加条件(信息)下求事件的概率.
• 条件概率：在事件Ａ发生的条件下求事件 Ｂ发生的概率，叫做Ａ发生的条件下Ｂ发 生的条件概率。将此概率记作P(Ｂ|Ａ).
• 一般 P(Ｂ|Ａ) ≠ P(Ｂ) ，
那么 P(Ｂ|Ａ) ＝？
100
100
100
如果已经确认取出一件为甲厂的产品，
85 1946 72 3 0
考虑事件B已经发生，即所取产品为甲厂的40 件中的一件，所以它是正品的概率为：
35
35 100
p( AB)
40
40 100
p(B)
概率论
85 1946 72 3 0
85 1946 72 3 0
引例：一批产品组成情况如下图所示。
生
产
等
厂
级
正品
甲厂 乙厂 35 50
合计 85
次品 合计
5 10
15
40 60
100
从这100件产品中任意取出一件，用A表示“取出 一件为正品”，B表示“取出一件为甲厂产品”。
概率论
85 1946 72 3 0
则显然有：
p( A) 85 , p(B) 40 , P( AB) 35
设 A, B 是两个事件, 且 P( A) 0, 称 P( B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.
同理可得 P(B) 0时, P( A B) P( AB) P(B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
概率论
85 1946 72 3 0
条件概率
概率论
85 1946 72 3 0
• 我们在解决有些概率问题时，往往需要在 有某些附加条件(信息)下求事件的概率.
• 条件概率：在事件Ａ发生的条件下求事件 Ｂ发生的概率，叫做Ａ发生的条件下Ｂ发 生的条件概率。将此概率记作P(Ｂ|Ａ).
• 一般 P(Ｂ|Ａ) ≠ P(Ｂ) ，
那么 P(Ｂ|Ａ) ＝？
100
100
100
如果已经确认取出一件为甲厂的产品，
85 1946 72 3 0
考虑事件B已经发生，即所取产品为甲厂的40 件中的一件，所以它是正品的概率为：
35
35 100
p( AB)
40
40 100
p(B)
概率论
85 1946 72 3 0
条件概率和乘法公式
机器学习算法
朴素贝叶斯分类器
01
朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它利用
条件概率和乘法公式来计算给定特征下类别的概率。
隐马尔可夫模型
02
隐马尔可夫模型是一种用于序列标注和预测的模型，它利用条
件概率和乘法公式来计算状态转移和观测的概率。
条件随机场
03
条件随机场是一种用于自然语言处理的模型，它利用条件概率
03
在学习和应用概率论的过程中，我们需要注重培养自己的逻辑思维和分析能力 。通过深入思考和探究概率论中的问题，我们可以提高自己的数学素养和解决 问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
THANKS
感谢观看
• 在学习条件概率和乘法公式的过程中，我们需要掌握相关的概念和公式，并能 够灵活运用它们解决实际问题。同时，我们还需要了解条件概率和乘法公式的 局限性和假设条件，以避免在实际应用中出现错误。
• 除了条件概率和乘法公式，概率论中还有许多其他重要的概念和公式，例如全 概率公式、贝叶斯公式、独立性等。这些概念和公式之间有着密切的联系和相 互影响，我们需要系统地学习和理解它们，以建立完整的概率论知识体系。
02
乘法公式及其应用
乘法公式的推导
01
定义
乘法公式描述了两个事件A和B同时发生的概率与事件A发生的概率和事
件B发生的概率之间的关系。
02 03
推导
乘法公式基于概率的独立性假设，即事件A的发生不影响事件B的发生， 反之亦然。因此，事件A和事件B同时发生的概率等于各自发生的概率 的乘积。
公式
$P(A cap B) = P(A) times P(B)$
展望Βιβλιοθήκη 01随着科技的不断发展，概率论在各个领域的应用越来越广泛。未来，条件概率 和乘法公式等概率论知识将更加受到重视和应用。
条件概率 全概公式
但 P( ABC ) ≠ P( A)P( B )P(C ) 三事件不是相互独立的, 所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们 是两两独立的。 是两两独立的。 对于多个随机事件， 对于多个随机事件 ， 若 A1，A2， An 是相 L 互独立的， 互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的 概率为
= 1 P( A1 U A2 U L U An )
全概率公式: 1、全概率公式: 是两两互斥的事件， 设 A1 , A2 ,L , An 是两两互斥的事件，且
P ( Ai ) > 0, i = 1,2, L, n, 另有一事件 , 它总是 另有一事件B,
之一同时发生， 与 A1 , A2 ,L , An 之一同时发生，则
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
1500 P U Ai = 1 P( A1 A2 L A1500 ) i =1 = 1 P( A1 ) P( A2 )L P( A1 ) = 1 (1 0.002 )
1500
= 1 e1500 ln (10.002 )
≈ 1 e1500( 0.002 ) = 1 e 3 ≈ 0.95
B AB A
掷出2 例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}， 掷一颗均匀骰子 B={掷出偶数点}，P(A )=1/6， P(A|B)=？ ={掷出偶数点 ={掷出偶数点} )=1/6， ( = 已知事件B发生 发生， 已知事件 发生，此时试验 掷骰子 所有可能结果构成的集合就是B 所有可能结果构成的集合就是 ， B中共有3个元素，它们的出现是 中共有3个元素， 中共有 等可能的，其中只有1个在集A中 等可能的，其中只有1个在集 中， 于是P( 于是 (A|B)= 1/3. )= 容易看到： 容易看到： 1 1 6 P( AB) P(A B ) = = = 3 36 P(B)
7.1.2全概率公式课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册(1)
ഥ)
接收1(
解: 设A “发送的信号为0”
, B “接收到的信号为0”,
A “发送的信号为1”, B “接收到的信号为1”
.
由题意得, P( A) P(B) 0.5, P(B A) 0.9,
P( B A) 0.1, P( B A) 0.05, P( B A) 0.95.
7.1.2
全概率公式
复习引入
1.条件概率公式
P ( AB )
P ( B A)
P ( A)
2.概率的乘法公式
P( AB) P( A) P( B A)
3.条件概率与独立性的关系
当且仅当事件A与B相互独立时, 有P(B A) P(B).
问题探究
思考：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出
P( A3 B)
P( B)
P( B)
0.0525
7
探究新知
思考：例5中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？
P(Ai)是实验之前就已知的概率，它是第i台车床
加工的零件所占的比例，称为先验概率.
当已知抽到的零件是次品(B产生)，P(Ai|B)是这
件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为
a
的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为
. 那么第2次摸到红
ab
球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
因为抽签具有公平性，所以第2
a
次摸到红球的概率也应该是 a b .
但是这个结果并不显然，因为第2次
摸球的结果受第1次摸球结果的影响.
下面我们给出严格的推导.
2
3
3
问题探究
条件概率, 乘法公式
(1)第一次取到奇数卡片的概率;
(2)已知第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片 的概率; (3)第二次才取到奇数卡片的概率.
解 设A, B分别表示第一次和第二次取到奇数 卡片这两个事件, 则
3 3 (2) P( B A) (3) P( AB) (1)P(A)= 5 4 23
3 54 10
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率. 解 以Ai ( i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破",
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”. 所以 P B P A1 A2 A3 P A1 P A2 | A1 P A3 | A1 A2 1 7 9 3 1 1 1 . 2 10 10 200
前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.
计算条件概率P(B|A)有两种方法： 方法1 在样本空间S的缩减样本空间SA中计 算B发生的概率, 得到P(B|A).
方法2 在样本空间S中, 计算P(AB),P(A), 然后利用定义表达式求出P(B|A).
例1 在标有1,2,3,4,5这5个数字的卡片里,无放回 地抽取两次,一次一张,求
二. 乘法公式
由条件概率的定义：
P ( AB) P ( A | B) P ( B) 若已知P(B), P(A|B)时, 可反求P(AB).
设A,B为两个事件
若P(B)>0,则
P(AB)=P(B)P(A|B) 若P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A) (2) (1)
1.3 条件概率与乘法公式
• （1）抽到的同学来自山东的概率；
• （2）抽到的同学是女生的概率；
• （3）抽到的同学是来自山东的女生的概率；
• （4）若发现抽到的是女生，她来自山东的概率.
• 解 令 A “抽到的同学来自山东”B， “抽到的同学是女生”，
则根据古典概型公式有：
• （1） • （2）
P( A)
#A #
件A发生的概率P( A)是不相同的，与P( AB)也是不同的.我们称之为"在事件
B发生的条件下，事件A发生的条件概率"，记P( A | B),
事件AB与事件A | B可用文氏图表示 （见图1 8、图1 9）.
图1-8
图1-9
• 图1-8中阴影部分表示事件 AB ，图1-9中深色阴影部
分表示事件 A | B ，本来样本空间为 ，当 B 发生以 后，样本空间缩减为 B ，而 P(A | B)是在缩减了的样
解 设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签， 则
(1)
P(
A)
4 10
0.4
(2) P(AB) P( A)P(B
A)
4 10
3 9
2 15
(3) P(AB) P( A)P(B
A)
6 4 4 10 9 15
(4)
P(ABC) P(A)P(B
A)P(C
AB)
4 10
3 9
注 : (1)P( AB) P( A)P(B)
(2)乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法 （3）当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A)与
P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。
条件概率与概率的乘法公式
B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3Байду номын сангаас
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
B A1 A2 A3
则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
§1.5 条件概率与乘法公式
◆当 P( A) 0 时，条件概率 P B A 无意义；
◆今后当提及条件概率时，自动认为条件事 件的概率大于零．
5
条件概率与无条件概率的关系
P B P(B)
条件概率是 无条件概率 的推广
无条件概率是 条件概率的特 殊情形．
6
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A 是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下 事件A发生的可能性大小．
3º可列可加性 设 B1 , B2 ,L 两 两 互 不 相 容， 则
U
P Bi A P Bi A .
i1
i1
由此可推出条件概率的其它性质，如：
● (对立事件的条件概率公式) 对任意事件B，有
P B A 1 P B A ;
8
●(真差的条件概率公式) 当 B1 B2 时，有
P A 1 P A 1 P B1B2B3B4
1 P B1 P B2 B1 P B3 B1B2 P B4 B1B2B3
条件概率的 本来含义
96 95
94
93
1
0.1528.
100 99
98
97
19
和 P B A 的上述关系，但包含着一般例子的共性，
由此我们合乎情理地引入下面的一般的定义．
4
若事件A满足 P( A) 0, 则对任意事件B，称
P B A P( AB) P( A) 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
◆ P( A) 0 保证分母不为零，是必要的假设；
注意 B A
解 记A={取到合格品}， B={取到一等品}，
◆今后当提及条件概率时，自动认为条件事 件的概率大于零．
5
条件概率与无条件概率的关系
P B P(B)
条件概率是 无条件概率 的推广
无条件概率是 条件概率的特 殊情形．
6
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A 是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下 事件A发生的可能性大小．
3º可列可加性 设 B1 , B2 ,L 两 两 互 不 相 容， 则
U
P Bi A P Bi A .
i1
i1
由此可推出条件概率的其它性质，如：
● (对立事件的条件概率公式) 对任意事件B，有
P B A 1 P B A ;
8
●(真差的条件概率公式) 当 B1 B2 时，有
P A 1 P A 1 P B1B2B3B4
1 P B1 P B2 B1 P B3 B1B2 P B4 B1B2B3
条件概率的 本来含义
96 95
94
93
1
0.1528.
100 99
98
97
19
和 P B A 的上述关系，但包含着一般例子的共性，
由此我们合乎情理地引入下面的一般的定义．
4
若事件A满足 P( A) 0, 则对任意事件B，称
P B A P( AB) P( A) 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
◆ P( A) 0 保证分母不为零，是必要的假设；
注意 B A
解 记A={取到合格品}， B={取到一等品}，
概率计算公式解释
概率计算公式解释
概率计算公式是一种数学工具，用于计算事件发生的可能性。
在概率论中，常用的概率计算公式有三个：加法法则、乘法法则和条件概率。
1.加法法则：加法法则用于计算两个事件中至少发生一个的概率。
如果事件A和事件B是互斥的（即不能同时发生），那么加法法则可以表示为：
P(A或B)=P(A)+P(B)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2.乘法法则：乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
如果事件A和事件B是独立事件（即一个事件的发生不受另一个事件的影响），那么乘法法则可以表示为：P(A且B)=P(A)*P(B)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
3.条件概率：条件概率用于计算在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以表示为：
P(A|B)=P(A且B)/P(B)
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A且B)表示事件A 和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
以上是概率计算中常用的三个公式，它们可以帮助我们计算事件发生的可能性。
1。
条件概率与全概率公式
P ( A )＝ P ( B 1 ) P ( A ｜ B 1 )＋ P ( B 2 ) P ( A ｜ B 2 )＋ P ( B 3 ) P ( A ｜ B
3 )＋
P ( B 4 ) P ( A ｜ B 4 )＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋
0.35×0.02＝0.031 5，
∑ ()(｜)
=1
， i ＝1，2，···， n .
[小题诊断]
1.
1
1
若 P ( A ｜ B )＝ ， P ( B )＝ ，则 P ( AB )的值是(
9
3
A )
1
1
1
由 P ( AB )＝ P ( A ｜ B ) P ( B )，可得 P ( AB )＝ × ＝ .
9
3
27
2. 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失
[解]
设第1次抽到舞蹈节目为事件 A ，第2次抽到舞蹈节目为事件 B ，
则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件 AB .
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞
()
蹈节目的概率为 P ( B ｜ A )＝
＝
()
2
5
2
3
法二：因为 n ( AB )＝12， n ( A )＝20，
总产量的15％，20％，30％和35％，且四条流水线的产品不合格率分别
为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不
合格品的概率是多少？
解：设 A ＝“任取一件这种产品，抽到不合格品”，
B i ＝“任取一件这种产品，结果是第 i 条流水线的产品”( i ＝1，
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条件概率乘法公式
条件概率乘法公式是概率论中的重要公式之一，用于计算两个事件同时发生的概率。
在这篇文章中，我们将介绍条件概率乘法公式的概念、应用场景以及具体的计算方法。
一、概念
条件概率乘法公式是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
用数学公式表示为P(A∩B) = P(A) * P(B|A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
二、应用场景
条件概率乘法公式在概率论和统计学中有广泛的应用。
它可以用来解决各种实际问题，例如生活中的抽奖问题、医疗诊断问题、金融风险评估等。
三、计算方法
条件概率乘法公式的计算方法相对简单。
首先，我们需要知道事件A和事件B各自发生的概率。
其次，我们需要知道在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
最后，将这些概率值带入公式P(A∩B) = P(A) * P(B|A)中进行计算即可。
举个例子来说明条件概率乘法公式的计算方法。
假设某城市的男性人口占总人口的30%，女性人口占总人口的70%。
而在男性中，有
10%是抽烟者；在女性中，有20%是抽烟者。
现在我们想知道，在该城市中，一个随机抽取的人是男性并且是抽烟者的概率是多少？
我们可以计算事件A（男性）和事件B（抽烟者）各自发生的概率。
根据已知条件，P(A) = 30% = 0.3，P(B) = 10% = 0.1。
其次，我们需要计算在事件A（男性）发生的条件下，事件B（抽烟者）发生的概率。
根据已知条件，P(B|A) = 10% = 0.1。
将这些概率值带入条件概率乘法公式P(A∩B) = P(A) * P(B|A)中进行计算，即可得到结果P(A∩B) = 0.3 * 0.1 = 0.03。
因此，该城市中一个随机抽取的人是男性并且是抽烟者的概率为0.03，即3%。
四、总结
条件概率乘法公式是概率论中的重要概念之一，可以用来计算两个事件同时发生的概率。
它在实际问题中具有广泛的应用，可以帮助我们解决各种概率和统计相关的问题。
通过了解条件概率乘法公式的概念、应用场景以及具体的计算方法，我们可以更好地理解和运用这一概率论的基本原理。