经典控制Bode稳定判据
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一、Nyquist图和Bode图的对应关系
• Bode图与Nyquist图的对应关系： • （1）Nyquist图上的单位园 — Bode图 幅频特性上的0dB线 • （2）Nyquist图上的负实轴 — Bode图 相频特性上的-1800线
2个重要频率
• Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数 幅频特性曲线与横轴交点的频率，亦即输 入与输出幅值相等时的频率（开环输入与 输出的量纲相同），称为剪切频率或幅值 穿越频率、幅值交界频率，记为ω c。 • Nyquist轨迹与负实轴交点的频率，亦即对 数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为 相位穿越频率或相位交界频率，记为ω g。
三、Bode判据
• 闭环系统稳定的充要条件
– 在Bode图上，当ω 由0变到+∞时，在开环对 数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相 频特性对-1800线正穿越与负穿越次数之差为 P/2时,闭环系统稳定；否则不稳定。 – P为系统开环传递函数在[s]平面的右半平面的 极点数。
P=0闭环系统稳定的充要条件
g
•
-1
•
Re
•
kg
G 0 ( j g )
幅值裕量 k 20lg g
1 20 lg GK ( j g ) GK ( j g )
k g 0 系统稳定 k g 0 系统不稳定
Kg(dB)>6dB
为满足动态性能的要求，幅值裕量在5～15dB
作业
• 5.4（Routh法） • 5.9(2)(Nyquist) • 5.13(2) (Bode)
• 描述2
•
一般系统的开环系统多为最小相位系统，即P=0
•
由图5. 4. 1(b）可 见，在0-ω c范围内， 对数相频特性正、负穿 越次数之差为0，那么 在P=0时，系统稳定。 • 系统实际为一条件稳定 系统。
有多个剪切频率
• 取剪切频率最大的ω c3 来判别稳定性因为，若 用ω c3判别系统是稳定 的，则用ω c1, ω c2判别， 自然也就是稳定的。
– 在ω 为剪切频率ω c (ω c>0)时，相频特性 ∠GH距-180°线的相位差值γ 称为相位裕度。
Im
G0 ( j g )
Im
c
kg
-1 g
c •
•
Re
g
•
-1
•
Re
kg
G 0 ( j g )
正
0
为负值
0
负
相角裕量 180 ( c ) 180 G0 ( jc )
由Nyquist图来判别稳定性的方法与由 Bode图来判别稳定性的方法相比较
Bode的优点： • (1) Bode图可以用作渐近线的方法作出，故比较简便； • (2)用Bode图上的渐近线，可以粗略地判别系统的稳定性； • (3)在Bode图中，可以分别作出各环节的对数幅频、对数相 频特性曲线，以便明确哪些环节是造成不稳定性的主要因素， 从而对其中参数进行合理选择或校正； • (4)在调整开环增益K时，只需将Bode图中的对数幅频特性 上下平移即可，因此很容易看出为保证稳定性所需的增益值。
5· 4 Bode（伯德）稳定判 据
•Nyquist稳定判据是利用开环频率特性G(K)的极 坐标图(Nyquist图）来判定闭环系统的稳定性。 •如果将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，即 Bode图，同样可以利用它来判定系统的稳定性。 •这种方法称为对数频率特性判据，简称为对数判据 或Bode判据，它实质上是Nyquist判据的引申。
• 正穿越 • 负穿越
• 半次正穿越
• 半次负穿越
二、穿越的概念(Bode)
• 在开环对数幅频特性为正值的频率范围内， 沿ω 增加的方向，对数相频特性曲线自下 而上穿过-1800线为正穿越； • 沿ω 增加的方向，对数相频特性曲线自上 而下穿过-1800线为负穿越。 • 若对数相频特性曲线自-1800线开始向上， 为半次正穿越； • 对数相频特性曲线自-1800线开始向下，为 半次负穿越。
0 系统稳定 0 系统不稳定
为满足动态性能的要求，相角裕量在300～600
二、幅值裕度Kg
• 定义
– 在ω 为相位穿越频率ω g (ω g>0)时，开环频率 特性|GK(jω )|的倒数，称为系统的幅值裕度 Kg 。
Im
G0 ( j g )
Im
c
kg
-1 g
c
•
Re
二、穿越的概念(Nyquist)
• 穿越
– 开环Nyquist轨迹在(-1,j0)点以左穿过负实轴称为“穿 越”。 – 若沿频率ω 增加的方向，开环Nyquist轨迹自上而下(相 位增加)穿过(-1,j0)点以左的负实轴称为正穿越； – 沿频率ω 增加的方向，开环Nyquist轨迹自下而上（相 位减小）穿过(-1,j0)点以左的负实轴称为负穿越。 – 若沿频率ω 增加的方向，开环Nyquist轨迹自(- 1,j0) 点以左的负实轴开始向下称为半次正穿越 – 若沿频率ω 增加的方向，开环Nyquist轨迹自(- 1,j0) 点以左的负实轴开始向上称为半次负穿越
图5.4.1
• 1点处为负穿越一次，2点处为正穿越一次。
图5.4.2为半次穿越的情况
• 分析图5.4.1(a)可知，正 穿越一次，对应于 Nyquist轨迹逆时针包围 (-1,j0)点一圈，负穿越 一次，对应于Nyquist轨 迹顺时针包围(-1,j0)点 一圈 • 开环Nyquist轨迹逆时针 包围(-1,j0)点的次数就 等于正穿越和负穿越的次 数之差
5.5系统的相对稳定性
相对稳定性——稳定裕量
Im
G0 ( j g )
幅值裕量 相角裕量
c • -1
Im
kg
-1 g
c •
•
Re
g
•
Re
kg
G 0 ( j g )
幅值穿越频率 相位穿越频率
c
g
G0 ( jc ) 1
( j g ) 180
0
一、相位裕度
• 定义
• 描述1
– 若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即ω c< ω g， 则闭环系统稳定； – 若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即ω c> ω g ， 则闭环系统不稳定； – 若ω c=ω g，则闭环系统临界稳定。
– 若开环对数幅频特性达到0分贝，即交于ω c时，其对数相频特性 还在-1800线以上，即相位还不足-1800，则闭环系统稳定； – 若开环相频特性达到-1800时，其对数幅频特性还在0分贝线以上， 即幅值大于1,则闭环系统不稳定。
一、Nyquist图和Bode图的对应关系
• Bode图与Nyquist图的对应关系： • （1）Nyquist图上的单位园 — Bode图 幅频特性上的0dB线 • （2）Nyquist图上的负实轴 — Bode图 相频特性上的-1800线
2个重要频率
• Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数 幅频特性曲线与横轴交点的频率，亦即输 入与输出幅值相等时的频率（开环输入与 输出的量纲相同），称为剪切频率或幅值 穿越频率、幅值交界频率，记为ω c。 • Nyquist轨迹与负实轴交点的频率，亦即对 数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为 相位穿越频率或相位交界频率，记为ω g。
三、Bode判据
• 闭环系统稳定的充要条件
– 在Bode图上，当ω 由0变到+∞时，在开环对 数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相 频特性对-1800线正穿越与负穿越次数之差为 P/2时,闭环系统稳定；否则不稳定。 – P为系统开环传递函数在[s]平面的右半平面的 极点数。
P=0闭环系统稳定的充要条件
g
•
-1
•
Re
•
kg
G 0 ( j g )
幅值裕量 k 20lg g
1 20 lg GK ( j g ) GK ( j g )
k g 0 系统稳定 k g 0 系统不稳定
Kg(dB)>6dB
为满足动态性能的要求，幅值裕量在5～15dB
作业
• 5.4（Routh法） • 5.9(2)(Nyquist) • 5.13(2) (Bode)
• 描述2
•
一般系统的开环系统多为最小相位系统，即P=0
•
由图5. 4. 1(b）可 见，在0-ω c范围内， 对数相频特性正、负穿 越次数之差为0，那么 在P=0时，系统稳定。 • 系统实际为一条件稳定 系统。
有多个剪切频率
• 取剪切频率最大的ω c3 来判别稳定性因为，若 用ω c3判别系统是稳定 的，则用ω c1, ω c2判别， 自然也就是稳定的。
– 在ω 为剪切频率ω c (ω c>0)时，相频特性 ∠GH距-180°线的相位差值γ 称为相位裕度。
Im
G0 ( j g )
Im
c
kg
-1 g
c •
•
Re
g
•
-1
•
Re
kg
G 0 ( j g )
正
0
为负值
0
负
相角裕量 180 ( c ) 180 G0 ( jc )
由Nyquist图来判别稳定性的方法与由 Bode图来判别稳定性的方法相比较
Bode的优点： • (1) Bode图可以用作渐近线的方法作出，故比较简便； • (2)用Bode图上的渐近线，可以粗略地判别系统的稳定性； • (3)在Bode图中，可以分别作出各环节的对数幅频、对数相 频特性曲线，以便明确哪些环节是造成不稳定性的主要因素， 从而对其中参数进行合理选择或校正； • (4)在调整开环增益K时，只需将Bode图中的对数幅频特性 上下平移即可，因此很容易看出为保证稳定性所需的增益值。
5· 4 Bode（伯德）稳定判 据
•Nyquist稳定判据是利用开环频率特性G(K)的极 坐标图(Nyquist图）来判定闭环系统的稳定性。 •如果将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，即 Bode图，同样可以利用它来判定系统的稳定性。 •这种方法称为对数频率特性判据，简称为对数判据 或Bode判据，它实质上是Nyquist判据的引申。
• 正穿越 • 负穿越
• 半次正穿越
• 半次负穿越
二、穿越的概念(Bode)
• 在开环对数幅频特性为正值的频率范围内， 沿ω 增加的方向，对数相频特性曲线自下 而上穿过-1800线为正穿越； • 沿ω 增加的方向，对数相频特性曲线自上 而下穿过-1800线为负穿越。 • 若对数相频特性曲线自-1800线开始向上， 为半次正穿越； • 对数相频特性曲线自-1800线开始向下，为 半次负穿越。
0 系统稳定 0 系统不稳定
为满足动态性能的要求，相角裕量在300～600
二、幅值裕度Kg
• 定义
– 在ω 为相位穿越频率ω g (ω g>0)时，开环频率 特性|GK(jω )|的倒数，称为系统的幅值裕度 Kg 。
Im
G0 ( j g )
Im
c
kg
-1 g
c
•
Re
二、穿越的概念(Nyquist)
• 穿越
– 开环Nyquist轨迹在(-1,j0)点以左穿过负实轴称为“穿 越”。 – 若沿频率ω 增加的方向，开环Nyquist轨迹自上而下(相 位增加)穿过(-1,j0)点以左的负实轴称为正穿越； – 沿频率ω 增加的方向，开环Nyquist轨迹自下而上（相 位减小）穿过(-1,j0)点以左的负实轴称为负穿越。 – 若沿频率ω 增加的方向，开环Nyquist轨迹自(- 1,j0) 点以左的负实轴开始向下称为半次正穿越 – 若沿频率ω 增加的方向，开环Nyquist轨迹自(- 1,j0) 点以左的负实轴开始向上称为半次负穿越
图5.4.1
• 1点处为负穿越一次，2点处为正穿越一次。
图5.4.2为半次穿越的情况
• 分析图5.4.1(a)可知，正 穿越一次，对应于 Nyquist轨迹逆时针包围 (-1,j0)点一圈，负穿越 一次，对应于Nyquist轨 迹顺时针包围(-1,j0)点 一圈 • 开环Nyquist轨迹逆时针 包围(-1,j0)点的次数就 等于正穿越和负穿越的次 数之差
5.5系统的相对稳定性
相对稳定性——稳定裕量
Im
G0 ( j g )
幅值裕量 相角裕量
c • -1
Im
kg
-1 g
c •
•
Re
g
•
Re
kg
G 0 ( j g )
幅值穿越频率 相位穿越频率
c
g
G0 ( jc ) 1
( j g ) 180
0
一、相位裕度
• 定义
• 描述1
– 若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即ω c< ω g， 则闭环系统稳定； – 若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即ω c> ω g ， 则闭环系统不稳定； – 若ω c=ω g，则闭环系统临界稳定。
– 若开环对数幅频特性达到0分贝，即交于ω c时，其对数相频特性 还在-1800线以上，即相位还不足-1800，则闭环系统稳定； – 若开环相频特性达到-1800时，其对数幅频特性还在0分贝线以上， 即幅值大于1,则闭环系统不稳定。