傅里叶级数的指数形式与傅里叶变换

傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换

专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。

在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。

不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。

傅里叶级数的指数形式

一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2

,2[T T -

上满足狄里克莱条件：1o )(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2

,2[T T -上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞=++=1

0)sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T

πω2=， ),2,1,0(,cos )(222

Λ==⎰-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(222

Λ==⎰-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为

∑∞=--⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令

dt t f T c T

T ⎰-=220)(1

Λ,3,2,1,)(1]sin )[cos (1sin )(1cos )(122222

22

22==-=-=-=⎰⎰⎰⎰-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω

Λ,3,2,1,)(122==⎰--n dt e t f T c T

T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子

Λ,2,1,0,)(122

±±==⎰--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5） 若令Λ,2,1,0,±±==n n n ωω，则（1）式可写为

∑∑+∞-∞=∞=--=++=n t j n n t j n t j n n n n e c e c e

c c t f ωωω10)()(， （6）

这就是傅里叶(Fourier)级数的指数形式。或写成

∑⎰+∞-∞=--⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=n t j T T j n n e d e f T t f ωτωττ22)(1)(。 （7） 傅里叶积分定理

因为任何一个非周期函数)(t f 都可以看成是由某个周期函数)(t f T 当+∞→T 时转化而来的，即)()(lim t f t f T T =+∞

→。于是有 ∑⎰+∞-∞=--+∞→⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=n t j T T j T T n n e d e f T t f ωτωττ22)(1lim )(。 可以证明（详细过程可参阅文[46]），当+∞→T 时，有

ωττπωωτd e d e f t f t j j ⎰⎰∞

+∞-∞+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(21

)(， （8） 公式（8）称为傅里叶积分公式。从而得到一个非周期函数可用傅里叶积分公式表示的傅里叶积分定理。

傅里叶变换

根据傅里叶积分定理，设

dt e t f F t j ⎰

+∞∞--=ωω)()(， （9）

则

ωωπωd e F t f t j ⎰∞

+∞-=)(21)(， （10）

从上两式可以看出，)(t f 和)(ωF 通过指定的积分运算可以相互表达。（9）式叫做)(t f 的傅里叶变换，记为

=)(ωF F )]([t f .

)(ωF 叫做)(t f 的象函数，（10）式叫做)(ωF 的傅里叶逆变换，记为

)(t f = F -1)]([ωF . )(t f 叫做)(ωF 的原象函数。