人教版高二数学必修五：第二章_章末测试题(A)有答案

第二章章末测试题(A)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知a n ＝cos n π，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列

答案 D

2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( ) A ．82 B ．107 C ．100 D ．83

答案 B

3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42

答案 C

解析思路一：设公差为d ，由题意得?

2a 1＋d ＝2，

4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝14，d ＝3

则S 6＝6a 1＋15d ＝24.

思路二：S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列，则2(S 4－S 2)＝S 6－S 4＋S 2，所以

S 6＝3S 4－3S 2＝24.

4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.61

16 B.259 C.2516 D.3115

答案 A

5．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

答案 C

解析由等差数列的性质可知a 2、a 5、a 8也成等差数列，故a 5＝ a 2＋a 8

＝6，

故选C.

6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1

)，则a n ＝( )

A ．2＋ln n

B ．2＋(n －1)ln n

C ．2＋n ln n

D ．1＋n ＋ln n

答案 A

解析依题意得a n ＋1－a n ＝ln

n ＋1n ，则有a 2－a 1＝ln 21，a 3－a 2＝ln 3

，a 4－a 3＝ln 43，…，a n －a n －1＝ln n n －1，叠加得a n －a 1＝ln(21·32·43·…·n

n －1)＝ln n ，

故a n ＝2＋ln n ，选A.

7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )

A ．21

B ．20

C ．19

D ．18

答案 B

解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n .

令a n ＝0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.故选B.

8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取

最小值时，n 等于( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

答案 A

解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝

a 5－a 1

5－1

＝2，∴a 6＝－1＜0，a 7＝1＞0，故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，

n 等于6.

9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( )

A ．7

B ．8

C ．15

D ．16

答案 C

解析由4a 1＋a 3＝4a 2?4＋q 2＝4q ?q ＝2，则S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.

10．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )

A ．2n ＋1－1

B ．2n －1

C ．2n －1

D ．2n ＋1 答案 B

11．含2n ＋1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n

n ＋1

C.n －1n

D.n ＋12n

答案 B

12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1

a n －a n ＋1

，那么此数列的

第10项为( )

A.1210

B.129

C.110

D.15

答案 D

解析 ∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，∴{a n ·a n －1

a n －1－a n }为常数列．

∴a n ·a n －1a n －1－a n ＝a 2·a 1

a 1－a 2

＝2，∴a n ·a n －1＝2a n －1－2a n . ∴1a n －1a n －1＝12，∴{1a n }为等差数列，1a 1＝12，d ＝12. ∴1

a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2.∴a n ＝2n ，∴a 10＝15. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案－9

解析由题意得a 23＝a 1a 4，所以(a 1＋6)2＝a 1(a 1＋9)，解得a 1＝－12.所以

a 2＝－12＋3＝－9.

14．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

… … … … … …

根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________．答案

n 22－n

＋3(n ≥3)

解析该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1(n ≥3)行的最后一个数

n －

＋n －

＝n 22－n

，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n

＋3(n ≥3)．

15．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________.

答案 4

解析 ???

3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②

，①－②，得3a 3＝a 4－a 3,4a 3＝a 4，q ＝a 4

a 3

＝4.

16．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝1

9，则a 36＝

________.

答案 4 解析 ∵a 1＝1

，

∴a 2＝a 1＋a 1＝29，a 4＝a 2＋a 2＝49，a 8＝a 4＋a 4＝8

∴a 36＝a 18＋a 18＝2a 18＝2(a 9＋a 9)＝4a 9＝4(a 1＋a 8)＝4(19＋8

)＝4.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两实数根，求此数列的通项公式．

答案 a n ＝2＋(n －1)×2＝2n

18．(12分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.

解析设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，

a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d .a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .

由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26. 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；

当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7. 于是S 20＝20a 1＋20×192

d ＝20×7＋190＝330.

19．(12分)某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.

试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的1

3？

答案 (1)1 458辆 (2)2011年底

20．(12分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1,1,2，…，求数列{c n }的前10项的和．

解析 ∵c 1＝a 1＋b 1，即1＝a 1＋0，∴a 1＝1.

又?????

a 2＋

b 2＝

c 2，a 3＋b 3＝c 3，

即?????

q ＋d ＝1， ①

q 2

＋2d ＝2. ②

②－2×①，得q 2－2q ＝0. 又∵q ≠0，∴q ＝2，d ＝－1.

c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10

＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10) ＝

a 1

－q 101－q ＋10b 1＋10×9

＝210－1＋45·(－1)＝978.

21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋1

，n ∈N *.

(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．解析 (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝

a n －1＋a n

2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－1

b n －1，

∴{b n }是以1为首项，－1

2为公比的等比数列．

(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12

)n －1

，

当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2

＝1＋

1－－

n －1

1－－

＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12

)n －1

，

当n ＝1时，53－23(－1

2)1－1＝1＝a 1.

∴a n ＝53－23(－12

)n －1

(n ∈N *)．

22．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝1

2，前n 项和为S n ，且210S 30－

(210＋1)S 20＋S 10＝0.

(1)求{a n }的通项； (2)求{nS n }的前n 项和T n . 解析 (1)a n ＝1

n ，n ＝1,2，…

(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝1

2的等比数列，

∴S n ＝

2－12n

1－12

＝1－12n ，nS n ＝n －n

2n . 则数列{nS n }的前n 项和

T n ＝(1＋2＋…＋n )－(12＋222＋…＋n

n )， ①

T n 2＝1

2(1＋2＋…＋n )－(122＋223＋…＋n －12n ＋n

n ＋1)，② ①－②，得

T n 2＝1

2(1＋2＋…＋n )－(12＋122＋…＋12n )＋n 2

n ＋1 ＝

n n ＋

－

2－12n

1－12＋

2n ＋1

，

即T n ＝

n n ＋

2＋

12n －1＋n 2

n －2.

高一数学必修一第二章知识总结

高一数学必修一第二章知识总结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(* >∈>= n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1 * >∈>= =- n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a 〃s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a a b =)( ),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；二、对数函数（一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值真数指数对数（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log 〃=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log = ；（2）a b b a log 1log = ．（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

高中数学必修五综合测试题(卷) 含答案解析

绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I卷（选择题）一、单选题 1．数列的一个通项公式是（） A．B． C．D． 2．不等式的解集是（） A．B．C．D． 3．若变量满足，则的最小值是（） A．B．C．D．4 4．在实数等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8B．－8C．±8D．以上都不对 5．己知数列为正项等比数列，且，则（）A．1B．2C．3D．4 6．数列 1111 1,2,3,4, 24816 L前n项的和为（） A． 2 1 22 n n n + +B． 2 1 1 22 n n n + -++C． 2 1 22 n n n + -+D． 2 1 1 22 n n n + - -+ 7．若的三边长成公差为的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知,则B等于( ) A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120° 9．下列命题中正确的是( ) A．a＞b?ac2＞bc2B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b?a3＞b3D．a2＞b2?a＞b 10．满足条件，的的个数是( ) A．1个B．2个C．无数个D．不存在

11．已知函数满足：则应满足（）A．B．C．D． 12．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．-2B．-3C．2D．3 13．等差数列的前10项和，则等于（） A．3 B．6 C．9 D．10 14．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题 15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差= 16．在中，，，面积为，则边长=_________. 17．已知中，，，，则面积为_________. 18．若数列的前n项和，则的通项公式____________ 19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________． 20．函数的最小值是_____________． 21．已知，且，则的最小值是______．三、解答题 22．解一元二次不等式（1）（2） 23．△的角、、的对边分别是、、。（1）求边上的中线的长；