2016年中考数学复习专题22：圆的有关性质(含中考真题解析)
专题22 圆的有关性质☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．（2015梧州）如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°【答案】A．考点：圆周角定理．2．（2015河池）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD=48°，则∠BAC的大小是（）A．60°B．48°C．30°D．24°【答案】D．【解析】试题分析：∵直径AB⊥CD，∴BC BD，∴∠BAC=12∠BOD=12×48°=24°．故选D．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．3．（2015淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠A=180°，∴∠A=180°﹣70°=110°．故选B．考点：圆内接四边形的性质．4．（2015巴中）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）A．25°B．50°C．60°D．30°【答案】A．考点：1．圆周角定理；2．平行线的性质．5．（2015凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（）A．80°B．100°C．110°D．130°【答案】D．【解析】试题分析：连接OC，如图所示，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=100°，∵∠1+∠BOC=360°，∴∠1=260°，∵∠A=12∠1，∴∠A=130°．故选D．考点：圆周角定理．6．（2015遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B．【解析】试题分析：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=12AB=12×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴=4cm，故选B．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．7．（2015襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°【答案】C．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论．8．（2015白银）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°【答案】D．【解析】试题分析：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=12∠AOC=12×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．考点：圆周角定理．9．（2015兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定【答案】B．考点：1．圆周角定理；2．坐标与图形性质．10．（2015甘南州）⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A B．C D．【答案】C．【解析】试题分析：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB，∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3，∴OD=AD﹣OA=2，Rt△OBD中，根据勾股定理，得：．故选C．考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．等腰直角三角形．11．（2015莆田）如图，在⊙O中，AB AC=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【答案】D．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．12．（2015龙东）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C．考点：1．圆周角定理；2．含30度角的直角三角形；3．垂径定理；4．分类讨论．13．（2015南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC 于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2【答案】B．【解析】试题分析：如图1，连接BD、CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴，∵弦AD平分∠BAC，∴，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，∵∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，∴△ABD∽△BED，∴DE DBDB AD==DE=115，∴AE=AB﹣DE=5﹣115=2.8．故选B．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．综合题．14．（2015扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③【答案】D．考点：1．锐角三角函数的增减性；2．圆周角定理．15．（2015南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．圆周角定理；3．综合题． 16．（2015雅安）如图所示，MN 是⊙O 的直径，作AB ⊥MN ，垂足为点D ，连接AM ，AN ，点C 为 AN 上一点，且AC AM =，连接CM ，交AB 于点E ，交AN 于点F ，现给出以下结论：①AD=BD ；②∠MAN=90°；③AM BM =；④∠ACM+∠ANM=∠MOB ；⑤AE=12MF ．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN ，∴AD=BD ，AM BM =，∠MAN=90°，故①②③正确；∵ AC AM =，∴AC AM BM ==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB ，故④正确；∵∠MAE=∠AME ，∴AE=ME ，∠EAF=∠AFM ，∴AE=EF ，∴AE=12MF ，故⑤正确．正确的结论共5个．故选D ．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理；3．压轴题．17．（2015南通）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD= cm．【答案】8．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．18．（2015甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为度．【答案】30．【解析】试题分析：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，∴OE=12OC，∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，∴∠ABC=30°．故答案为：30．考点：1．垂径定理；2．含30度角的直角三角形；3．圆周角定理．19．（2015兰州）已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是．【答案】30°或150°．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等边三角形的判定与性质；3．圆周角定理；4．分类讨论．20．（2015天水）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为．【答案】1 2．【解析】试题分析：由图可得，∠AED=∠ABC，∵⊙O在边长为1的网格格点上，∴AB=2，AC=1，则tan∠ABC=ACAB=12，∴tan∠AED=12．故答案为：12．考点：1．圆周角定理；2．锐角三角函数的定义；3．网格型．21．（2015漳州）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为．【答案】61°．考点：圆周角定理．22．（2015长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC于点D，则OD的长为．【答案】4．【解析】试题分析：∵OD⊥BC，∴BD=CD=12BC=3，∵OB=12AB=5，∴．故答案为：4．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．23．（2015曲靖）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD= ．【答案】1 3．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．24．（2015包头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=14，则线段AC的长为．【答案】2．【解析】试题分析：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=1 4，在Rt△ACD中，∵sinD=ACAD=14，∴AC=14AD=14×8=2．故答案为：2．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．25．（2015山西省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为 BD的中点．若∠A=40°，则∠B= 度．【答案】70°．考点：1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系．26．（2015陕西省）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是．【答案】．【解析】试题分析：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=12AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=，∴MN=12AD=考点：1．三角形中位线定理；2．等腰直角三角形；3．圆周角定理；4．最值问题．27．（2015青海省）如图，点O为 BC所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D= ．【答案】28°．考点：1．圆周角定理；2．等腰三角形的性质．28．（2015常州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C 为弧BD的中点，则AC的长是．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．圆心角、弧、弦的关系；4．圆周角定理；5．综合题；6．压轴题．29．（2015百色）已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC 于F．①求证：OD⊥BC；②求EF的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2（2）①如图2，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC=∠BAD ，∴CD BD =， ∵OD 过圆心，∴OD ⊥CB ；②∵AB 为直径，∴∠C=90°，∵OD ⊥CB ，∴∠OFB=90°，∴AC ∥OD ，∴OF OBAC AB =，，即5410OF =，∴OF=2，∵FD=5﹣2=3，在RT △OFB 中，，∵OD ⊥BC ，∴CF=BF=，∵AC ∥OD ，∴△EFD ∽△ECA ，∴34EF FD CE AC ==，∴37EF CF =，∴EF=37CF=37考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题． 30．（2015南京）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ，且DC=DE ． （1）求证：∠A=∠AEB ；（2）连接OE ，交CD 于点F ，OE ⊥CD ，求证：△ABE 是等边三角形．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．考点：1．圆内接四边形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．圆周角定理；4．综合题．31．（2015凉山州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC 交⊙O于D、C两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=454，AB=194，PD=DC+2，求点O到PC的距离．【答案】（1）证明见试题解析；（2）3．【解析】试题分析：（1）先连接AD，BC，由圆内接四边形的性质可知∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，故可得出△PAD∽△PCB，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（2）由PA•PB=PD•PC，求出CD，根据垂径定理可得点O到PC的距离．试题解析：（1）连接AD，BC，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，∴△PAD∽△PCB，∴PA PDPC PB，∴PA•PB=PC•PD；（2）连接OD，作OE⊥DC，垂足为E，∵PA=454，AB=194，PD=DC+2，∴PB=16，PC=2DC+2，∵PA•PB=PD•PC，∴454×16=（DC+2，第1题，2DC+2），解得：DC=8或DC=﹣11（舍去），∴DE=4，∵OD=5，∴OE=3，即点O到PC的距离为3．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．圆周角定理；3．综合题．32．（2015安徽省）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q 在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．【答案】（1；（2．（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP=12OB=32，∴PQ．考点：1．圆周角定理；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．最值问题；5．压轴题．33．（2015镇江）【发现】如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）【思考】如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？请证明点D也不在⊙O内．【应用】利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=25，AD=1，求DG的长．【答案】【思考】证明见试题解析；【应用】（1）证明见试题解析；（2．【应用】（1）如图2，取CD的中点O，则点O是RT△ACD的外心，∵∠CAD=∠DEC=90°，∴点E在⊙O上，∴∠ACD=∠AED，∵∠FDA=∠AED，∴∠ACD=∠FDA，∵∠DAC=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°，∴∠FDA+∠ADC=90°，∴OD⊥DF，∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线；（2）∵∠BGE=∠BAC，∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图3，又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆，即⊙O，∴点G在⊙O上，∵CD是直径，∴∠DGC=90°，∵AD∥BC，∴∠ADG=90°，∵∠DAC=90°，∴四边形ACGD是矩形，∴DG=AC，∵sin∠AED=25，∠ACD=∠AED，∴sin∠ACD=25，在RT△ACD中，AD=1，∴ADCD=25，∴CD=52，∴，∴．考点：1．切线的判定；2．圆周角定理；3．圆的综合题；4．压轴题．【2014年题组】1．（2014·四川省乐山市）在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径OA的值（）A． 3或5 B． 5 C．4或5 D． 4【答案】A．考点：1．垂径定理；2．等腰三角形的性质；3．勾股定理；4．解直角三角形．2．（2014·嘉兴）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C．考点：1．勾股定理；2．垂径定理．3．（2014·凉山）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．B．C．或 D.5或【答案】C．【解析】试题分析：根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC=5cm．当C点位置如答图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM3==cm．∴CM=OC+OM=5+3=8cm．∴在Rt△AMC中，AC==．当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm．∴在Rt△AMC中，AC===cm．综上所述，AC的长为或．故选C．考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．分类思想的应用．4．（2014·呼和浩特）已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A． B．D【答案】C．5．（2014·张家界）如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN 于E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，，则PA+PC的最小值为．【答案】考点：1．轴对称的应用（最短路线问题）；2．勾股定理；3．垂径定理．6．（2014·黑龙江省大庆市）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为．【答案】2．【解析】试题分析：如图．∵M为AC中点，过M点最长的弦为BD，∴BD是直径，BD=4，且AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积=12AC•BD=12×1×4=2．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．7．（2014·湖南省湘西州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE=cm．【答案】4．【解析】试题分析：∵CD⊥AB，∴CE=12CD=12×6=3cm，∵在Rt△OCE中，4==cm．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．8．（2014·湖南常德市）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O 到弦CD的距离为．【答案】3．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．9．（2014·湖南长沙市）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=度．【答案】50．【解析】试题分析：∠ACB=12∠AOB=12×100°=50°．考点：圆周角定理．10．（2014·牡丹江）⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．【答案】1或3．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．☞考点归纳归纳1：垂径定理及其推论基础知识归纳：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．基本方法归纳：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．注意问题归纳：这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【例1】如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．归纳2：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理基础知识归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A． 30°B． 40°C． 50°D． 80°【答案】B．考点：圆心角、弧、弦的关系．归纳3：圆周角定理基础知识归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．基本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．【例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠BOC=（）A．25°B．50° C.130° D.155°【答案】C．【解析】试题分析：∵CD⊥AB，∠DAB=65°，∴∠ADC=90°-∠DAB=25°．∴∠AOC=2∠ADC=50°．∴∠BOC=180°-∠AOC=130°．故选C．考点：圆周角定理．☞1年模拟1．（2015届湖北省宜昌市调研考试）如图，用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心，这种方法应用的道理是（）A．垂径定理B．勾股定理C．直径所对的圆周角是直角D．900的圆周角所对的弦是直径【答案】D．考点：圆周角定理． 2．（2015届浙江省宁波市联考）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠ABC=130°，则∠AOC=（ ）OCABA ．100°B ．110°C ．120°D ．130° 【答案】A ． 【解析】试题分析：在优弧AC 上取点D ，连接AD ，CD ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠ABC=130°，∴∠D=180°-10°=50°．∵∠D 与∠AOC 是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠AOC=2∠D=100°．故选A ．考点：圆周角定理． 3．（2015届江苏省盐城东台一模）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为（ ） A ．22 B ．24 C ．510 D ．312 【答案】B ．考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．4．（2015届湖北省武汉市联考）如图，AB 是⊙O 的直径且AB=，点C 是OA 的中点，过点C[，作CD ⊥AB 交⊙O 于D 点，点E 是⊙O 上一点，连接DE ，AE 交DC 的延长线于点F ，则AE·AF 的值为（ ）．AA ．B ．12C ．D ．【答案】B ．考点：相似三角形的判定和性质；圆周角定理． 5．（2015届陕西省西安市一模）如图，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，连结OC 、AD ，∠OCD=32°，则∠A=（ ）A ．32 B ．29 C ．58 D ．45【答案】B ． 【解析】试题分析：连接OD ，由题意，∠COB=90°-32°=58°，由垂径定理知∠COB=∠DOB ，所以∠A=29°．故选B ．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．6．（2015届山西农业大学附属中校级模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连结AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（）A、35°B、45°C、55°D、65°【答案】C．考点：圆周角的性质，直角三角形．7．（2015届山西农业大学附属中校级模拟）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A、8B、4C、10D、5【答案】D．【解析】试题分析：连接OA，即可证得△OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM=4，根OA==5．据勾股定理即可求得OA的长考点：垂径定理，勾股定理．8．（2015届广东省黄冈中学校级模拟）如图PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，若∠P=40°，∠ABP=____________°．【答案】70°．考点：切线的性质．9．（2015届江西省南昌市校级模拟）在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值是cm．【答案】8．【解析】试题分析：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，，∴，∵，AB为直径，∴C′D为直径，∴CM+DM的最小值是8cm．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．勾股定理；3．垂径定理．。
2016年全国中考数学真题分类 与圆有关的位置关系(习题解析)
2016年全国中考数学真题分类与圆有关的位置关系一、选择题10．（2016安徽，10，4分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2 C．D．【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选B．18．（2016湖南湘西，18，4分）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，∴3×4=5CD，∴CD=2.4＜2.5，即d＜r，∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；故选A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．11．（2016•四川凉山州，11，4分）已知，一元二次方程x2﹣8x+15=0的两根分别是⊙O1和⊙O2的半径，当⊙O1和⊙O2相切时，O1O2的长度是（）A．2 B．8 C．2或8 D．2＜O2O2＜8【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是3和5．∴①当两圆外切时，圆心距O1O2=3+5=8；②当两圆内切时，圆心距O1O2=5﹣2=2．故选C．【点评】考查解一元二次方程﹣因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点．6．(2016上海，6，4分)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边沉BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D 外，那么⊙D的半径长r的取值范围是( )A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【答案】B．二、填空题16. (2016四川泸州，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0），B （1a -，0），C （1a +，0）（0a >），点P 在以D （4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a 的最大值是 .【答案】6（2016湖南永州，20，4分）如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d ，即OM=d ．我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m ．如d=0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，即m=4，由此可知：（1）当d=3时，m= 1 ；（2）当m=2时，d 的取值范围是 0＜d ＜3 ．【考点】直线与圆的位置关系．y xP A O D B C【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案．【解答】解：（1）当d=3时，∵3＞2，即d＞r，∴直线与圆相离，则m=1，故答案为：1；（2）当m=2时，则圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为2，∴直线与圆相交或相切或相离，∴0＜d＜3，∴d的取值范围是0＜d＜3，故答案为：0＜d＜3．三、解答题24．（2016湖北省十堰市，24，10分）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA 的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC=3，BC=4，求CE的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明．（2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可．②由△DCA∽△DBC，得===，设DC=3k，DB=4k，由CD2=DA•DB，得9k2=（4k﹣5）•4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得=，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，∴∠DCO=90°，∴∠3+∠2=90°，∵AB是直径，∴∠1+∠B=90°，∴∠3=∠B．（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，∴∠CEF=∠CFE=45°，∴tan∠CFE=tan45°=1．②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，∴△DCA∽△DBC，∴===，设DC=3k，DB=4k，∵CD2=DA•DB，∴9k2=（4k﹣5）•4k，∴k=，∴CD=，DB=，∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，∴△DCE∽△DBF，∴=，设EC=CF=x，∴=，∴x=．∴CE=．（2016广东梅州，20，9分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C 在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（1）证明：连接O C．………………………1分∵AC =CD ，∠ACD =120°，∴∠CAD =∠D =30°． ………………………2分 ∵OA =OC ，∴∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO =∠CAD =30° ） ……………3分 ∴∠OCD =∠ACD —∠ACO =90°，即OC ⊥CD ．∴CD 是⊙O 的切线． ………………………4分（2）解：由（1）知∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO =∠CAD =30° ）， ∴∠1=60°．（或∠COD =60°） …………………5分∴323602602ππ=⨯=BOC S 扇形． ………………………6分 在R t △OCD 中，∵OCCD =︒60tan ，2=OC ∴32=CD ． (7)分∴323222121=⨯⨯=⨯=∆CD OC S OCD Rt，…………………8分 ∴图中阴影部分的面积为3232π-=阴影S ． …………………9分 20．（2016四川资阳，20，8分）如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连结BD ．（1）求证：∠A=∠BDC ；（2）若CM 平分∠ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长．【分析】（1）由圆周角推论可得∠A+∠ABD=90°，由切线性质可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB ，可得答案；（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DC M ，即∠DMN=∠DNM ，根据勾股定理可求得MN 的长．【解答】解：（1）如图，连接OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD 与⊙O 相切于点D ，∴∠CDB+∠ODB=90°， ∵OD=OB ，∴∠ABD=∠ODB ，∴∠A=∠BDC ；（2）∵CM 平分∠ACD ，∴∠DCM=∠ACM ，又∵∠A=∠BDC ，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM ，即∠DMN=∠DNM ，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN==．（2016青海西宁，26，10分）如图11，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且CBD CDA ∠=∠．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，6=BC ，32=BD AD ．求BE 的长．（1）证明：连结OD∵OD OB =∴BDO OBD ∠=∠∵CBD CDA ∠=∠∴ODB CDA ∠=∠又∵AB 是O ⊙的直径∴90ADB ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）∴︒=∠+∠90ODB ADO∴︒=∠+∠90CDA ADO 即︒=∠90CDO ∴CD OD ⊥ ∵OD 是O ⊙半径∴CD 是O ⊙的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（2）解：∵C C ∠=∠，CBD CDA ∠=∠∴CDA ∆∽CBD ∆∴BD AD BC CD = ∵32=BD AD 6=BC ∴4=CD ∵CE ，BE 是O ⊙的切线∴DE BE = ， BC BE ⊥∴222EC BC BE =+ 即()22264BE BE +=+ 解得25=BE EO D A23．（2016四川宜宾，23，10分）如图1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧上一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH=，求EH的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分线，得到∠APO=∠EPO，判断出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE是⊙O的切线；（2）先利用切线的性质和△PBC的周长为4求出PA=2，再用三角函数求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割线定理即可．【解答】证明：（1）如图1，作OH⊥PE，∴∠OHP=90°，∵∠PAE=90，∴∠OHP=∠OAP，∵PO是∠APE的角平分线，∴∠APO=∠EPO，在△PAO和△PHO中，∴△PAO≌△PHO，∴OH=OA，∵OA是⊙O的半径，∴OH是⊙O的半径，∵OH⊥PE，∴直线PE是⊙O的切线．（2）如图2，连接GH，∵BC，PA，PB是⊙O的切线，∴DB=DA，DC=CH，∵△PBC的周长为4，∴PB+PC+BC=4，∴PB+PC+DB+DC=4，∴PB+AB+PC+CH=4，∴PA+PH=4，∵PA，PH是⊙O的切线，∴PA=PH，∴PA=2，由（1）得，△PAO≌△PHO，∴∠OFA=90°，∴∠EAH+∠AOP=90°，∵∠OAP=90°，∴∠AOP+∠APO=90°，∴∠APO=∠EAH，∵tan∠EAH=，∴tan∠APO==，∴OA=PA=1，∴AG=2，∵∠AHG=90°，∵tan∠EAH==，∵△EGH∽△EHA，∴===，∴EH=2EG，AE=2EH，∴AE=4EG，∵AE=EG+AG，∴EG+AG=4EG，∴EG=AG=，∵EH是⊙O的切线，EGA是⊙O的割线，∴EH2=EG×EA=EG×（EG+AG）=×（+2）=，∴EH=．（2016湖南娄底，25，10分）如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．【分析】（1）因为∠ACB=∠DCO=90°，所以∠ACD=∠OCB，又因为点O是Rt△ACB中斜边AB的中点，所以OC=OB，所以∠OCB=∠B，利用等量代换可知∠ACD=∠B；（2）（i）因为BC2=AB•BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，因为tan∠ACD=tan∠B，利用勾股定理即可求出CE的值；（ii）过点A作AF⊥CD于点F，易证∠DCA=∠ACE，所以CA是∠DCE 的平分线，所以AF=AE，所以直线CD与⊙A相切．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，即∠ACD=∠OCB，又∵点O是AB的中点，∴OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠ACD=∠B，（2）（i）∵BC2=AB•BE，∴=，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ACD=∠B，∴tan∠ACD=tan∠B=，设BE=4x，CE=3x，由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，∴（4x）2+（3x）2=100，∴解得x=2，∴CE=6；（ii）过点A作AF⊥CD于点F，∵∠CEB=90°，∴∠B+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠B=∠ACE，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠ACE，∴CA平分∠DCE，∵AF⊥CE，AE⊥CE，∴AF=AE，∴直线CD与⊙A相切．（2016新疆内高班，22，11分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，cos∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF==（2016湖南永州，25，10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB 为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．【分析】（1）连接OC，由弦切角定理和切线的性质得出∠CBE=∠A，∠ABD=90°，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A，证出∠ACO=∠BCE，得出∠BCE+∠BCO=90°，得出CE⊥OC，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AB，再由三角函数得出tanA===，求出BD=AB=，即可得出CE的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵BD是⊙O的切线，∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，∵E是BD中点，∴CE=BD=BE，∴∠BCE=∠CBE=∠A，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠ACO=∠BCE，∴∠BCE+∠BCO=90°，即∠OCE=90°，CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===2，∵tanA====，∴BD=AB=，∴CE=BD=．（2016江苏苏州，27，10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N 落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．【分析】（1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．（2）由△QTM∽△BCD，得=列出方程即可解决．（3）①如图2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比较即可解决问题．②如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，得=，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM不可能由⊙O相切．【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，∴BD===10，∵PQ⊥BD，∴∠BPQ=90°=∠C，∵∠PBQ=∠DBC，∴△PBQ∽△CBD，∴==，∴==，∴PQ=3t，BQ=5t，∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，∴QP=QC，∴3t=6﹣5t，∴t=，故答案为．（2）解：如图2中，作MT⊥BC于T．∵MC=MQ，MT⊥CQ，∴TC=TQ，由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=3t，∵MQ∥BD，∴∠MQT=∠DBC，∵∠MTQ=∠BCD=90°，∴△QTM∽△BCD，∴=，∴=，∴t=（s），∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形．（3）①证明：如图2中，由此QM交CD于E，∵EQ∥BD，∴=，∴EC=（8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣（8﹣5t）=t，∵DO=3t，∴DE﹣DO=t﹣3t=t＞0，∴点O在直线QM左侧．②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM 与CD交于点E．∵EC=（8﹣5t），DO=3t，∴OE=6﹣3t﹣（8﹣5t）=t，∵OH⊥MQ，∴∠OHE=90°，∵∠HEO=∠CEQ，∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，∵∠OHE=∠C=90°，∴△OHE∽△BCD，∴=，∴=，∴t=．∴t=s时，⊙O与直线QM相切．连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH=PMQ=22.5°，在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，∴∠OFH=∠FOH=45°，∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8，∴MH=0.8（+1），由=得到HE=，由=得到EQ=，∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣﹣=，∴0.8（+1）≠，矛盾，∴假设不成立．∴直线MQ与⊙O不相切．25.（2016北京，25，5分） 如图，AB 为于点D ，过点D作的切线，交BA 的延长线于点E.(1) 求证：AC ∥DE:(2) 连接CD ，若OA ＝AE ＝a ，写出求四边形ACDE 面积的思路。
云南省中考数学总复习第六单元圆第22课时圆的有关性质课件
[答案] A [解析] ∵∠BFC=20° , ∴∠BAC=2∠BFC=40° . ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=
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[答案] (1)4 cm (2)6 cm (3)4 2 cm (4)
17 2
cm
1 2
[解析] (1)如图,连接 OA,∵AB=6 cm,OC⊥AB,∴AC= AB=3 cm, 又☉O 的半径为 5 cm,所以 OA=5 cm.在 Rt△ AOC 中,OC= ������������2 -������������ 2 = 52 -32 =4(cm).
图 22-15
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4.如图 22-16,AB 是☉O 的直径,CD 为弦,CD⊥AB 于点 E,则下列结论中不成立的是( D )
图 22-16 A.∠A=∠D C.∠ACB=90° B.CE=DE D.CE=BD
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5.如图 22-17,在☉O 中,若点 C 是������������的中点,∠A=50° ,则∠BOC=( A )
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探究二 圆周角定理及其推论的综合应用
例 2 [2017· 苏州] 如图 22-9,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90° ,∠A= 56° .以 BC 为直径的☉O 交 AB 于点 D,E 是☉O 上一点,且������������ =������������, 连接 OE,过点 E 作 EF⊥OE,交 AC 的延长线于点 F,则∠F 的度 数为 ( )
图 22-6 (2)在半径为 5 cm 的☉O 中,OC⊥AB 于点 C,OC=4 cm,则弦 AB= (3)在☉O 中,OC⊥AB 于点 C,OC=4 cm,弦 AB=8 cm,则☉O 的半径为 ; ; .
中考数学复习专题22：圆的有关性质(含中考真题解析)
专题22 圆的有关性质☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°【答案】A．考点：圆周角定理．2．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD=48°，则∠BAC的大小是（）A ．60°B ．48°C ．30°D ．24° 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵直径AB ⊥CD ，∴BC BD ，∴∠BAC=12∠BOD=12×48°=24°．故选D ．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．3．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠A=70°，则∠C 的度数是（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130° 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠C+∠A=180°，∴∠A=180°﹣70°=110°．故选B ．考点：圆内接四边形的性质．4．如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC=50°，则∠OAB 的度数为（ ）A ．25°B ．50°C ．60°D ．30° 【答案】A ．考点：1．圆周角定理；2．平行线的性质． 5．）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC=40°，则∠A 的度数为（ ）A．80°B．100°C．110°D．130°【答案】D．【解析】试题分析：连接OC，如图所示，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=100°，∵∠1+∠BOC=360°，∴∠1=260°，∵∠A=12∠1，∴∠A=130°．故选D．考点：圆周角定理．6．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B．【解析】试题分析：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=12AB=12×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴=4cm，故选B．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．7．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°【答案】C．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论．8．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°【答案】D．【解析】试题分析：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=12∠AOC=12×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．考点：圆周角定理．9．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定【答案】B．考点：1．圆周角定理；2．坐标与图形性质．10．）⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A B．C D．【答案】C．【解析】试题分析：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB，∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3，∴OD=AD﹣OA=2，Rt△OBD中，根据勾股定理，得：．故选C．考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．等腰直角三角形．=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）11．如图，在⊙O中，AB ACA．50°B．40°C．30°D．25°【答案】D．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．12．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C．考点：1．圆周角定理；2．含30度角的直角三角形；3．垂径定理；4．分类讨论．13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2【答案】B．【解析】试题分析：如图1，连接BD、CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴，∵弦AD平分∠BAC，∴，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，∵∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，∴△ABD∽△BED，∴DE DBDB AD==DE=115，∴AE=AB﹣DE=5﹣115=2.8．故选B．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．综合题．14．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③【答案】D．考点：1．锐角三角函数的增减性；2．圆周角定理．15．如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．圆周角定理；3．综合题．16．如图所示，MN 是⊙O 的直径，作AB ⊥MN ，垂足为点D ，连接AM ，AN ，点C 为AN 上一点，且AC AM =，连接CM ，交AB 于点E ，交AN 于点F ，现给出以下结论：①AD=BD ；②∠MAN=90°；③AM BM =；④∠ACM+∠ANM=∠MOB ；⑤AE=12MF ．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN ，∴AD=BD ，AM BM =，∠MAN=90°，故①②③正确；∵AC AM =，∴AC AM BM ==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB ，故④正确；∵∠MAE=∠AME ，∴AE=ME ，∠EAF=∠AFM ，∴AE=EF ，∴AE=12MF ，故⑤正确．正确的结论共5个．故选D ．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理；3．压轴题． 17．如图，在⊙O 中，半径OD 垂直于弦AB ，垂足为C ，OD=13cm ，AB=24cm ，则CD= cm ．【答案】8．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．18．）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为度．【答案】30．【解析】试题分析：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，∴OE=12OC，∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，∴∠ABC=30°．故答案为：30．考点：1．垂径定理；2．含30度角的直角三角形；3．圆周角定理．19．已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是．【答案】30°或150°．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等边三角形的判定与性质；3．圆周角定理；4．分类讨论．20．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为．【答案】1 2．【解析】试题分析：由图可得，∠AED=∠ABC，∵⊙O在边长为1的网格格点上，∴AB=2，AC=1，则tan∠ABC=ACAB=12，∴tan∠AED=12．故答案为：12．考点：1．圆周角定理；2．锐角三角函数的定义；3．网格型．21．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为．【答案】61°．考点：圆周角定理．22．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．【答案】4．【解析】试题分析：∵OD⊥BC，∴BD=CD=12BC=3，∵OB=12AB=5，∴．故答案为：4．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．23．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD= ．【答案】1 3．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=14，则线段AC的长为．【答案】2．【解析】试题分析：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=1 4，在Rt△ACD中，∵sinD=ACAD=14，∴AC=14AD=14×8=2．故答案为：2．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．25．）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若∠A=40°，则∠B= 度．【答案】70°．考点：1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系．26．）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是．【答案】．【解析】试题分析：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=12AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=，∴MN=12AD=考点：1．三角形中位线定理；2．等腰直角三角形；3．圆周角定理；4．最值问题．27．）如图，点O为BC所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D= ．【答案】28°．考点：1．圆周角定理；2．等腰三角形的性质．28．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．圆心角、弧、弦的关系；4．圆周角定理；5．综合题；6．压轴题．29．已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC 于F．①求证：OD⊥BC；②求EF的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2（2）①如图2，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD，∴CD BD=，∵OD过圆心，∴OD⊥CB；②∵AB为直径，∴∠C=90°，∵OD⊥CB，∴∠OFB=90°，∴AC∥OD，∴OF OB AC AB=，，即5410OF =，∴OF=2，∵FD=5﹣2=3，在RT △OFB 中，，∵OD ⊥BC ，∴CF=BF=，∵AC ∥OD ，∴△EFD ∽△ECA ，∴34EF FD CE AC ==，∴37EF CF =，∴EF=37CF=37考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．30．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ，且DC=DE ．（1）求证：∠A=∠AEB ；（2）连接OE ，交CD 于点F ，OE ⊥CD ，求证：△ABE 是等边三角形．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．考点：1．圆内接四边形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．圆周角定理；4．综合题．31．）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C 两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=454，AB=194，PD=DC+2，求点O到PC的距离．【答案】（1）证明见试题解析；（2）3．【解析】试题分析：（1）先连接AD，BC，由圆内接四边形的性质可知∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，故可得出△PAD∽△PCB，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（2）由PA•PB=PD•PC，求出CD，根据垂径定理可得点O到PC的距离．试题解析：（1）连接AD，BC，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，∴△PAD∽△PCB，∴PA PDPC PB，∴PA•PB=PC•PD；（2）连接OD，作OE⊥DC，垂足为E，∵PA=454，AB=194，PD=DC+2，∴PB=16，PC=2DC+2，∵PA•PB=PD•PC，∴454×16=（DC+2，第1题，2DC+2），解得：DC=8或DC=﹣11（舍去），∴DE=4，∵OD=5，∴OE=3，即点O到PC的距离为3．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．圆周角定理；3．综合题．32．）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．【答案】（1；（2．（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP=12OB=32，∴PQ．考点：1．圆周角定理；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．最值问题；5．压轴题．33．【发现】如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）【思考】如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？请证明点D也不在⊙O内．【应用】利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=25，AD=1，求DG的长．【答案】【思考】证明见试题解析；【应用】（1）证明见试题解析；（2．【应用】（1）如图2，取CD的中点O，则点O是RT△ACD的外心，∵∠CAD=∠DEC=90°，∴点E在⊙O上，∴∠ACD=∠AED，∵∠FDA=∠AED，∴∠ACD=∠FDA，∵∠DAC=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°，∴∠FDA+∠ADC=90°，∴OD⊥DF，∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线；（2）∵∠BGE=∠BAC，∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图3，又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆，即⊙O，∴点G在⊙O上，∵CD是直径，∴∠DGC=90°，∵AD∥BC，∴∠ADG=90°，∵∠DAC=90°，∴四边形ACGD是矩形，∴DG=AC，∵sin∠AED=25，∠ACD=∠AED，∴sin∠ACD=25，在RT△ACD中，AD=1，∴ADCD=25，∴CD=52，∴，∴．考点：1．切线的判定；2．圆周角定理；3．圆的综合题；4．压轴题．【2014年题组】1．省乐山市）在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径则OA的值（）A． 3或5 B． 5 C．4或5 D． 4【答案】A．考点：1．垂径定理；2．等腰三角形的性质；3．勾股定理；4．解直角三角形．2．）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C．考点：1．勾股定理；2．垂径定理．3．）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．B．C．或 D.5或【答案】C．【解析】试题分析：根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC=5cm．当C点位置如答图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM3==cm．∴CM=OC+OM=5+3=8cm．∴在Rt△AMC中，AC==．当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm．∴在Rt△AMC中，AC===cm．综上所述，AC的长为或．故选C．考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．分类思想的应用．4．浩特）已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A． B．D【答案】C．5．界）如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于E，CD⊥MN 于点F，P为EF上任意一点，，则PA+PC的最小值为．【答案】考点：1．轴对称的应用（最短路线问题）；2．勾股定理；3．垂径定理．6．江省大庆市）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为．【答案】2．【解析】试题分析：如图．∵M为AC中点，过M点最长的弦为BD，∴BD是直径，BD=4，且AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积=12AC•BD=12×1×4=2．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．7．省湘西州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE= cm．【答案】4．【解析】试题分析：∵CD⊥AB，∴CE=12CD=12×6=3cm，∵在Rt△OCE中，4==cm．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．8．常德市）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O到弦CD的距离为．【答案】3．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．9．长沙市）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=度．【答案】50．【解析】试题分析：∠ACB=12∠AOB=12×100°=50°．考点：圆周角定理．10．江）⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．【答案】1或3．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．☞考点归纳归纳1：垂径定理及其推论基础知识归纳：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．基本方法归纳：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．注意问题归纳：这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【例1】如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．归纳2：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理基础知识归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A． 30°B． 40°C． 50°D． 80°【答案】B．考点：圆心角、弧、弦的关系．归纳3：圆周角定理基础知识归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．基本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．【例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠BOC=（）A．25°B．50° C.130° D.155°【答案】C．【解析】试题分析：∵CD⊥AB，∠DAB=65°，∴∠ADC=90°-∠DAB=25°．∴∠AOC=2∠ADC=50°．∴∠BOC=180°-∠AOC=130°．故选C．考点：圆周角定理．☞1年模拟1．省宜昌市调研考试）如图，用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心，这种方法应用的道理是（）A．垂径定理B．勾股定理C．直径所对的圆周角是直角D．900的圆周角所对的弦是直径【答案】D．考点：圆周角定理．2．省宁波市联考）如图，点A，B，C在⊙O上，已知∠ABC=130°，则∠AOC=（）OCABA ．100°B ．110°C ．120°D ．130° 【答案】A ． 【解析】试题分析：在优弧AC 上取点D ，连接AD ，CD ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠ABC=130°，∴∠D=180°-10°=50°．∵∠D 与∠AOC 是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠AOC=2∠D=100°．故选A ．考点：圆周角定理．3．省盐城东台一模）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为（ ） A ．22 B ．24 C ．510 D ．312 【答案】B ．考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．4．省武汉市联考）如图，AB 是⊙O 的直径且AB=，点C 是OA 的中点，过点C[，作CD ⊥AB 交⊙O 于D 点，点E 是⊙O 上一点，连接DE ，AE 交DC 的延长线于点F ，则AE·AF的值为（ ）．AA ．B ．12C ．D ．【答案】B ．考点：相似三角形的判定和性质；圆周角定理． 5．省西安市一模）如图，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，连结OC 、AD ，∠OCD=32°，则∠A=（ ）A ．32 B ．29 C ．58 D ．45【答案】B ． 【解析】试题分析：连接OD ，由题意，∠COB=90°-32°=58°，由垂径定理知∠COB=∠DOB ，所以∠A=29°．故选B ．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．6．农业大学附属中校级模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连结AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（）A、35°B、45°C、55°D、65°【答案】C．考点：圆周角的性质，直角三角形．7．农业大学附属中校级模拟）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O 的半径等于（）A、8B、4C、10D、5【答案】D．【解析】试题分析：连接OA，即可证得△OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM=4，根OA==5．据勾股定理即可求得OA的长考点：垂径定理，勾股定理．8．省黄冈中学校级模拟）如图PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，若∠P=40°，∠ABP=____________°．【答案】70°．考点：切线的性质．9．省南昌市校级模拟）在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值是cm．【答案】8．【解析】试题分析：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，，∴，∵，AB为直径，∴C′D为直径，∴CM+DM的最小值是8cm．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．勾股定理；3．垂径定理．。
2016中考数学第22讲 圆的基本性质
2016中考数学----圆的基本性质一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2015·遂宁)如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC ＝( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm,第1题图) ,第2题图)2．(2015·巴中)如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为( )A ．25°B ．50°C ．60°D ．30°3．(2015·淮安)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠A ＝70°，则∠C 的度数是( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°,第3题图) ,第4题图)4．(2015·黔南州)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 且相交于点E ，则下列结论中不成立的是( )A ．∠A ＝∠DB .CB ︵＝BD ︵C ．∠ACB ＝90°D ．∠COB ＝3∠D5．(2014·孝感)如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC ︵的中点，点D 是优弧BC ︵上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA ⊥BC ；②BC ＝6 3 cm ；③sin ∠AOB ＝32；④四边形ABOC 是菱形．其中正确的序号是( )A ．①③B ．①②③④C ．②③④D ．①③④二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2015·黔西南)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝4，AE ＝1，则⊙O 的半径为__ __．,第6题图) ,第7题图)7．(2015·六盘水)如图所示，A ，B ，C 三点均在⊙O 上，若∠AOB ＝80°，则∠ACB ＝__ __°.8．(2014·泰安)如图，AB 是半圆的直径，点O 为圆心，OA ＝5，弦AC ＝8，OD ⊥AC ，垂足为点E ，交⊙O 于点D ，连接BE.设∠BEC ＝α，则sin α的值为__ __．,第8题图) ,第9题图)9．(2015·淄博)如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，∠DCB ＝28°，则∠ABC ＝__ __度．10．(2015·义乌)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，P B .若PB ＝4，则PA 的长为__ __．三、解答题(共40分)11．(8分)(2014·湖州)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图)．(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．12．(8分)(2015·滨州)如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.(1)求BC ︵的长；(2)求弦BD 的长．13．(8分)(2015·佛山)如图，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E ，F.(1)若∠E ＝∠F 时，求证：∠ADC ＝∠ABC ；(2)若∠E ＝∠F ＝42°时，求∠A 的度数；(3)若∠E ＝α，∠F ＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A 的大小．。
初三-圆有关的性质含答案
设OE＝x，则OF＝x－1，
在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，
在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，
∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋(x－1)2，解得x＝4，∴半径OA＝ ＝5，∴直径MN＝2OA＝10(分米)．故选C.
答案：C
方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．
A．116° B．32°
C．58° D．64°
解析：根据圆周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD.还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.
【经典考题】
A．CM＝DMB． C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( )
(第3题图)
A．45° B．85° C．90° D．95°
4．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________ mm.
A．2.5cmB．2.5cm或6.5cm
C．6.5cmD．5cm或13cm
4．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝ ，且BD＝5，则DE等于( )
A．2 B．4 C． D．
2016年中考数学总复习全程考点训练22圆的有关概念与性质(含解析
全程考点训练22 圆的有关概念与性质一、选择题1．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．若点A ，B 的示数分别为86°，30°，则∠ACB 的大小为(B )(第1题)A ．15° B．28° C ．29° D．34°【解析】 连结AO ，BO ，则∠ACB ＝12∠AOB ＝12(86°－30°)＝28°.(第2题)2．如图，已知AB 是△ABC 的外接圆直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是(C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°【解析】 ∵AB 是△ABC 外接圆的直径，∴∠C ＝90°. ∵∠A ＝35°，∴∠B ＝90°－∠A ＝55°.(第3题)3．如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，E 是BC 延长线上的一点．若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是(B )A ．115° B．105° C ．100° D．95°【解析】 ∠A ＋∠BCD ＝180°，则∠DCE ＝∠A ＝105°.(第4题)4．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB为6 dm.如果再注入一些油后，油面AB上升1 dm，油面宽为8 dm，那么圆柱形油槽的直径MN为(C)A．6 dm B．8 dmC．10 dm D．12 dm(第4题解)【解析】设AB上升1 dm后的油面为PQ，过点O作OC⊥AB于点C，交PQ于点D，连结OP，OA.如解图，则可得AC＝3，PD＝4，CD＝1.设OM＝R.∵OC＝OD＋CD，∴R2－32＝R2－42＋1，解得R＝5.∴MN＝10 dm.5．如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.若DE＝6，∠BAC ＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于(D)A.412B. 3C．4 D．3(第5题)(第5题解)【解析】过点A作AH⊥BC于点H，作直径CF，连结BF，如解图．∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠DAE ＝∠BAF .在△ADE 和△ABF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠DAE ＝∠BAF ，AE ＝AF ，∴△ADE ≌△ABF (SAS )，∴BF ＝DE ＝6. ∵AH ⊥BC ，∴CH ＝BH .又∵CA ＝AF ，∴AH 为△CBF 的中位线，∴AH ＝12BF ＝3.6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(2，a )(a >2)，半径为2，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为2 3，则a 的值是(B )A. 3 B ．2＋ 2 C ．2 3 D ．2＋ 3(第6题)(第6题解)【解析】 易知点P 到AB 的距离为d ＝22－（3）2＝1. 过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，交直线y ＝x 于点C ，如解图． 则CQ ＝OQ ＝2，PC ＝2d ＝2， ∴a ＝PQ ＝2＋2.二、填空题7．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上．若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 的大小是60°． 【解析】 ∵∠ABC ＝12∠AOC ，∠ABC ＋∠AOC ＝90°，∴12∠AOC ＋∠AOC ＝90°，∴∠AOC ＝60°.(第7题)(第8题)8．如图，每小格表示1个单位长度，则△ABC 的外心坐标是(－1，0)． 【解析】 分别作AC ，AB 的垂直平分线，其交点(－1，0)即为△ABC 的外心．9．在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别是3，1，则∠BAC 的度数是30°或90°． 【解析】 易得AB ︵所对圆心角为60°，AC ︵所对圆心角为30°.∴AB ，AC 在圆心同侧时为30°，在异侧时为90°.(第10题)10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E .如果AB ＝26，CD ＝24，那么sin∠OCE ＝513【解析】 易得OC ＝12×26＝13，CE ＝12CD ＝12.在Rt△OCE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝132－122＝5，∴sin∠OCE ＝OE OC ＝513.(第11题)11．如图，D 为边AC 上一点，O 为边AB 上一点，AD ＝DO .以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于点E ，交AB 于点F ，G ，连结EF .若∠BAC ＝22°，则∠EFG ＝33°．【解析】 ∵AD ＝DO ，∴∠A ＝∠AOD ，∴∠EFG ＝∠A ＋∠AEF ＝∠A ＋∠AOD2＝22°＋11°＝33°.三、解答题(第12题)12．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.(1)求证：AC＝BD.(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．(第12题解)【解析】(1)过点O作OE⊥AB于点E，如解图．由垂径定理，得AE＝BE，CE＝DE，∴BE－DE＝AE－CE，即AC＝BD.(2)连结OC，OA，如解图．由(1)可知，OE⊥AB，∴OE＝6.∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27，AE＝OA2－OE2＝102－62＝8，∴AC＝AE－CE＝8－27.(第13题)13．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.【解析】(1)∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．(2)连结OB，OC.∵OD⊥BC，OB＝OC，∴∠BOC＝2∠BOD.∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOD＝∠BAC＝60°.∵OB ＝8，∴OD ＝OB ·cos60°＝8×12＝4.(第14题)14．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E . (1)若∠B ＝70°，求∠CAD 的度数． (2)若AB ＝4，AC ＝3，求DE 的长． 【解析】 (1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°－∠B ＝90°－70°＝20°. 又∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝90°，∠AOD ＝∠B ＝70°， ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO ＝180°－∠AOD 2＝180°－70°2＝55°.∴∠CAD ＝∠DAO －∠CAB ＝55°－20°＝35°. (2)在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝42－32＝7. ∵∠AEO ＝90°，即OE ⊥AC ，∴AE ＝EC . 又∵OA ＝OB ，∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE ＝12BC ＝72.∵OD ＝12AB ＝2，∴DE ＝OD －OE ＝2－72.(第15题)15．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA . (2)求证：P 是线段AF 的中点．(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan∠ABF 的值． 【解析】 (1)∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA . 又∵∠DAC ＝∠CBD ，∴∠DAC ＝∠DBA . (2)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB ＝90°. ∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP ，∴PD ＝PA . 又∵∠DFA ＋∠DAP ＝∠ADE ＋∠PDF ＝90°， ∴∠PDF ＝∠PFD ，∴PD ＝PF . ∴PA ＝PF ，即P 是AF 的中点．(3)∵∠DAF ＝∠DBA ，∠FDA ＝∠ADB ＝90°， ∴△FDA ∽△ADB ，∴AD DB ＝AFAB，即tan∠ABD ＝15210＝34，∴tan∠ABF ＝34．。
中考数学总复习课时22圆及其相关性质
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7
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垂径定理及其推论
【例1】(2017呼和浩特)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB
＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为( B )
A．26π
B．13π
C．965π
D．39
10π 5
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【思路点拨】连接OA，根据垂径定理得到AM值，设OM＝5x，DM＝8x，得到 OA＝OD＝13x，根据勾股定理得到OA，于是得到结论．
10
1．(2017遵义)如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的 中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则 弦CD的长为____1_4______.
【考查内容】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性 质．
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知识点二 垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径_平__分_____弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧． 3．垂径定理与推论的延伸：根据圆的对称轴，如图所示，在
2016中考总复习第22讲_圆的有关性质
第22讲┃ 圆的有关性质
考点2
圆的有关性质的性质和判定
1．如图 22－ 4，已知： AB 是⊙ O 的直径， C，D 是弧 BE 上的三等分点，∠ AOE＝ 60°，则∠ COE 是 ( C) A． 40° B． 60° C． 80° D． 120°
第22讲┃ 圆的有关性质
︵ ＝BC ︵ ，且AB ︵ ∶AMC ︵ 2．如图 22－ 5，已知在⊙ O 中，AB 144° ． ＝ 3∶ 4，则∠ AOC＝ ________
图 22－ 25
第22讲┃ 圆的有关性质
解： (1)证明：∵ AB 为⊙ O 的直径， ∴∠ ACB＝ 90°，∴AC⊥BC. ∵ DC＝ CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠ D. (2)设 BC＝ x，则 AC＝x－2. 在 Rt△ ABC 中， AC2＋ BC2＝AB2， ∴ (x－2)2＋ x2＝42， 解得 x1＝1＋ 7， x2＝1－ 7(舍去)， ∵∠ B＝∠ E，∠ B＝∠ D，∴∠D＝∠ E， ∴ CD＝ CE.∵CD＝CB， ∴ CE＝ CB＝1＋ 7.
)
B
第22讲┃ 圆的有关性质
2． [2013· 温州 ] 如图 22－ 2，在⊙ O 中， OC⊥弦 AB 于 点 C， AB＝ 4， OC＝ 1，则 OB 的长是 (B ) A. 3 B. 5 C. 15 D. 17
第22讲┃ 圆的有关性质
3．绍兴是著名的桥乡，如图 22－ 3，石拱桥的桥顶到水面 的距离 CD 为 8 m，桥拱半径 OC 为 5 m，则水面宽 AB 为 ( D )
A． 4 m
B． 5 m
C． 6 m
D． 8 m
第22讲┃ 圆的有关性质
[归纳总结] 轴 圆是 ________ 对称图形，在圆中：①过圆心； ② ________ 平分 弦；③ ________ 垂直 于弦；④平分弦所对的 劣弧；⑤平分弦所对的优弧，若一条直线具备这五 项中的任意两项，则必得出另外三项．
16年中考数学圆知识点总结
16年中考数学圆知识点总结16年中考数学圆知识点总结一1、圆的有关概念：(1)、确定一个圆的要素是圆心和半径。
(2)①连结圆上任意两点的线段叫做弦。
②经过圆心的弦叫做直径。
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。
⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。
⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。
⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。
2、圆的有关性质(1)定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
(3)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90 。
90 的圆周角所对的弦是圆的直径。
推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
(4)切线的判定与性质：判定定理：经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。
中考数学专题复习圆
第六章圆第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。
2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。
3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。