求卫星轨道的周长
卫星轨道计算课件
04
道的定分 析
哈里斯方法
哈里斯方法是一种用于分析非线性动力系统稳定性的数值 方法。在卫星轨道稳定性分析中，哈里斯方法可用于研究 卫星轨道在受到扰动后的稳定性。
该方法通过计算系统的奇异值来确定系统的稳定性，奇异 值越小，系统越稳定。通过比较不同扰动下的奇异值，可 以评估卫星轨道的稳定性。
李雅普诺夫指数方法
优点 适用于各种复杂轨道和扰动，计算速度快。
缺点 需要选择合适的积分方法和步长，对初值敏感。
03
道的力学型
万有引力
万有引力是影响卫星轨道的主要因素 之一，它使得卫星受到地球的吸引， 产生向心加速度，维持卫星在轨道上 运行。
万有引力的大小与两个物体的质量成 正比，与它们之间的距离的平方成反 比，遵循万有引力定律。
数值模拟方法
数值模拟方法是一种通过数值计算来 模拟动态系统行为的方法。在卫星轨 道稳定性分析中，数值模拟方法可用 于模拟卫星轨道在受到扰动后的演化 过程。
VS
通过数值模拟，可以观察卫星轨道在 不同扰动下的变化情况，从而评估卫 星轨道的稳定性。数值模拟方法还可 以用于预测卫星轨道未来的演化趋势， 为卫星轨道设计和优化提供参考。
优点
直观易懂，适用于简单轨 道分析。
缺点
对于复杂轨道和实时计算 不太适用。
动力法
定义
动力法考虑地球引力、太阳辐射 压和其他天体引力扰动等动力因
素，模拟卫星运动。
优点
能够处理复杂扰动，适用于长期轨 道预测。
缺点
计算量大，需要高精度数值方法。
数值法
1 2 3
定义 数值法采用数值积分方法，对卫星运动方程进行 积分求解。
详细描述
无线电观测是一种常用的卫星轨道观测方法，通过接收卫星发射的无线电信号，测量卫星轨道参数，具有全天候、 全天时的特点，但测量精度受信号质量影响较大。
人造地球卫星推算公式
人造地球卫星推算公式
人造地球卫星的轨道是由许多因素决定的，包括地球引力、大气阻力、太阳引力等。
为了推算卫星的轨道，需要运用一些数学公式。
其中，最基本的公式是牛顿万有引力定律，它描述了两个物体之间的引力大小和方向。
对于地球和卫星之间的引力，可以用以下公式表示：
F =
G * M1 * M2 / r^2
其中，F表示引力大小，G为万有引力常数，M1和M2分别表示
地球和卫星的质量，r为地球和卫星之间的距离。
根据牛顿第二定律，物体的加速度等于受到的力除以物体的质量。
因此，我们可以得到卫星在轨道上的加速度公式：
a = F / m
其中，a表示卫星在轨道上的加速度，m为卫星的质量。
根据牛顿运动定律，物体的运动状态是由它的初速度、加速度和时间决定的。
因此，我们可以推算出卫星在轨道上的速度和位置：
v = v0 + at
r = r0 + vt + 1/2at^2
其中，v表示卫星的速度，v0为卫星的初速度，r表示卫星的位置，r0为卫星的初始位置，t为时间。
除了上述基本公式，还需要考虑到大气阻力、太阳引力等因素对卫星轨道的影响。
因此，在实际应用中，还需运用更加复杂的公式进行推算。
数值分析报告第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题问题详解
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=-（n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
卫星运动规律
同步卫星、 近地卫星、赤道上与地球保持相对静止物体
多星系统
宇宙中几个星体相互吸引，绕同一个圆心做圆周运动， 彼此的相对位置保持不变。
A
O A
B
O
B
C
双星系统
基本特征：
A
r1 O
r2
m1
L
1、两星体受到的引力（向心力）相等
B 2、两星体的周期、角速度相等
m2
3、星体间距离不等于各自的转动半径 且r1+r2=L
A：
G
m1m2 L2ຫໍສະໝຸດ m1r1 2Gm2 L2
r1 2
B：
G m1m2 L2
m2r2 2
G
m1 L2
r2 2
双星系统
A r1 O
r2
m1
L
A：
m2
B：
G
m2 L2
r1 2
G
m1 L2
r2 2
常用结论：
m1 1、两星体的质量之比：m 2
r2 r1
2、设两星体质量之和为M，则： M
3、两星体转动的周期： T 4 2L3
特殊的卫星
1、近地卫星：
特征：轨道半径等于地球半径
轨道平面：任意一个过地球球心的平面
环绕周期：T
4 2R3
GM
5.06103 s 84.3min
用途： 观测卫星；军事卫星等
2、同步卫星： 特征：与地面保持相对静止
轨道平面：赤道平面
轨道有且只有一个， 在赤道平面内，周期24h，半径约为7R地 与地球自转周期相同的卫星轨道不唯一
卫星运动规律
卫星运动规律
1、卫星轨道
以地球球心为圆心（焦点）的圆周（椭圆）
卫星绕地球一圈计算公式
卫星绕地球一圈计算公式卫星绕地球一圈的计算公式是一个基础的物理问题，它涉及到地球的半径、卫星的轨道高度以及地球的引力等因素。
在本文中，我们将探讨这个问题，并推导出相应的计算公式。
首先，让我们来了解一下地球的基本参数。
地球的半径约为6371公里，这是一个常用的数值。
而卫星的轨道高度则是指卫星距离地球表面的垂直距离。
通常来说，卫星的轨道高度会远远大于地球的半径，因此我们可以将地球视为一个理想的球体，而不考虑地球的自转和地球形状的影响。
在物理学中，我们知道物体在受到引力作用下会绕着引力中心运动。
对于地球和卫星的系统来说，地球的引力作用于卫星，使得卫星围绕地球运动。
根据牛顿的万有引力定律，我们可以得到地球对卫星的引力公式：F =G (m1 m2) / r^2。
在这个公式中，F表示地球对卫星的引力，G是万有引力常数，m1和m2分别是地球和卫星的质量，r是地球和卫星之间的距离。
由于地球的质量远远大于卫星，我们可以近似地将m1看作是无穷大，从而简化公式为：F = (G m) / r^2。
其中m是卫星的质量。
根据牛顿的第二定律，我们知道力等于质量乘以加速度，即F = m a。
因此，我们可以将上面的公式改写为：m a = (G m) / r^2。
通过对上面的公式进行简化，我们可以得到卫星在绕地球运动时的加速度公式：a = (G M) / r^2。
在这个公式中，a表示卫星的加速度，G是万有引力常数，M是地球的质量，r是卫星距离地球表面的距离。
这个公式告诉我们，卫星的加速度与其距离地球的高度成反比，即卫星距离地球越远，其加速度越小。
接下来，让我们来考虑卫星绕地球一圈所需要的时间。
根据牛顿的运动定律，我们知道力等于质量乘以加速度，即F = m a。
而力又可以表示为质量乘以加速度，即F = m v^2 / r。
将这两个公式结合起来，我们可以得到卫星绕地球一圈所需要的时间公式：T = 2π√(r^3 / (G M))。
在这个公式中，T表示卫星绕地球一圈所需要的时间，π是圆周率，r是卫星距离地球表面的距离，G是万有引力常数，M是地球的质量。
卫星轨道计算[仅供参考]
![卫星轨道计算[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/0fac6c5f9b6648d7c1c746b2.png)
a = 8878.137 km
最后，根据公式(1)可以计算卫星的轨道周期
T 2 a3 8325.1703s
参考课件
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2.2 卫星的空间定位
坐标系统
日心(Heliocentric )坐标系
以太阳的质心为坐标圆点
卫星中心(Satellite-centered)坐标系
约翰尼斯 开普勒(1571-1630)通过观察推导了行星运 动的3大定理，即开普勒3定理
艾萨克·牛顿爵士(1642-1727)从力学原理出发证明了 开普勒定理并创立了万有引力理论
开普勒定理适用于空间任何两个物体间通过引力相 互作用的情况，即二体问题（two-body problem）
参考课件
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2.2 卫星的空间定位 续2
地心坐标系
North pole Z
以地心为坐标圆点
以赤道平面为基础平面
Equator plane
O
Y
地心-春分点方向为X轴
Z轴垂直于赤道平面
X Vernal equinox
XYZ轴构成右手坐标系
Orbital plane
参考课件
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2.2 卫星的空间定位 续3
椭圆轨道面内的卫星定位
开普勒方程
M = E - e·sin(E) (4)
高斯方程
2 arctan(
1e E tan )
(5)
1e 2
参考课件
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2.2 卫星的空间定位 续9
椭圆轨道面内的卫星定位
计算流程 1) 使用方程(1)计算卫星的平均角速度n 2) 使用方程(3)计算平均近点角M 3) 解开普勒方程(4)获得偏心近点角E 4) 使用高斯方程(5)计算真近点角θ 5) 按下式计算距离矢量r
求卫星轨道的周长
数值分析实验报告题目一、问题提出地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是，这里a是椭圆的半长轴，c是地球中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R= 6371（km）为地球半径，则a=（2R+H+h）/2,c=(H-h)/2.我国第一颗人找地球卫星近地点距离h=439（km），远地点距离H=2384（km），试求卫星轨道的周长.二、模型建立龙贝格求积算法公式为：,2,1 , )(141)2(144 )(1)1(1)( k h T h T T k m m k m m m k m椭圆周长的计算公式：R= 6371（km ），则a=（2R+H+h ）/2,c=(H-h)/2. R= 6371（km ）， h=439（km ），H=2384（km ）三、 求解方法Matlab M 文件：function R = romberg(f,a,b,n)format longR = zeros([n + 1, n + 1]);R(0+1, 0+1) = (b - a) / 2 * (feval(f, a) + feval(f, b));for i = 1 : n, h = (b - a) / 2^i; s = 0;for k = 1 : 2^(i-1),s = s + feval(f, a + (2*k - 1)*h);endR(i+1, 0+1) = R(i-1+1, 0+1)/2 + h*s;endfor j = 1 : n, fac = 1 / (4^j - 1);for m = j : n,R(m+1, j+1) = R(m+1, j-1+1) + fac*(R(m+1, j-1+1) - R(m-1+1, j-1+1)); endendfunction I=f(x)R=6371;h=439;H=2384;a=(2*R+H+h)/2;c=(H-h)/2;I=sqrt(1-(c/a)^2*(sin(x)^2));四、输出结果积分I输出结果：ans =1.56464021873499 0 01.56464627404395 1.56464829248027 01.56464627407325 1.56464627408301 1.56464613952319即加速3次求得：k0 1.564640218734991 1.56464627404395 1.564648292480272 1.56464627407325 1.56464627408301 1.56464613952319计算得：I = 1.56464613952319所以卫星轨道的周长S = 4aI = 48708 km五、结果分析由计算结果可知，利用龙贝格算法计算积分，利用外推法，提高了计算精度，加快了收敛速度，求得的结果比较精确。
人造地球卫星推算公式
人造地球卫星推算公式
人造地球卫星的推算公式是为了计算卫星的运动轨迹和位置而设计的。
公式的推导过程基于牛顿运动定律，考虑到地球和卫星的引力相互作用，以及卫星的质量和速度等因素。
推算公式可以分为两部分：第一部分是计算卫星的轨道半径和周期，第二部分是计算卫星在轨道上的位置。
第一部分的公式如下：
1. 计算轨道半径：
a = (GM*T^2/4π^2)^(1/3)
其中，G是万有引力常数，M是地球质量，T是卫星绕地周期，a 是轨道半径。
2. 计算轨道周期：
T = 2π*(a^3/GM)^(1/2)
其中，G、M和a的含义同上，T是卫星绕地周期。
第二部分的公式如下：
1. 计算卫星在轨道上的位置：
x = a*cos(E) - ae
y = a*(1-e^2)^(1/2)*sin(E)
其中，a是轨道半径，e是轨道离心率，E是偏近点角，x和y是卫星在轨道上的坐标，ae是轨道的长半径。
2. 计算偏近点角E：
M = n*t + M0
E - e*sin(E) = M
其中，n是卫星的平均角速度，t是时间，M是平近点角，M0是
平近点角在某一时刻的值。
以上公式是人造地球卫星推算公式的基本内容，可以通过数值计算的方式得到卫星的运动轨迹和位置信息。
这些信息对于卫星的设计、控制和应用都具有重要的意义。
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数值分析实验报告
题目
一、问题提出
地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是
，这里a是椭圆的半长轴，c是地球中
心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R= 6371（km）为地球半径，则a=（2R+H+h）/2,c=(H-h)/2.我国第一颗人找地球卫星近地点距离h=439（km），远地点距离H=2384（km），试求卫星轨道的周长.
二、模型建立
龙贝格求积算法公式为：
,2,1 , )(141)2(144 )(1)1(1)
( k h T h T T k m m k m m m k m
椭圆周长的计算公式：
R= 6371（km ），则a=（2R+H+h ）/2,c=(H-h)/2. R= 6371（km ）， h=439（km ），H=2384（km ）
三、 求解方法
Matlab M 文件：
function R = romberg(f,a,b,n)
format long
R = zeros([n + 1, n + 1]);
R(0+1, 0+1) = (b - a) / 2 * (feval(f, a) + feval(f, b));
for i = 1 : n, h = (b - a) / 2^i; s = 0;
for k = 1 : 2^(i-1),
s = s + feval(f, a + (2*k - 1)*h);
end
R(i+1, 0+1) = R(i-1+1, 0+1)/2 + h*s;
end
for j = 1 : n, fac = 1 / (4^j - 1);
for m = j : n,
R(m+1, j+1) = R(m+1, j-1+1) + fac*(R(m+1, j-1+1) - R(m-1+1, j-1+1)); end
end
function I=f(x)
R=6371;h=439;H=2384;
a=(2*R+H+h)/2;c=(H-h)/2;
I=sqrt(1-(c/a)^2*(sin(x)^2));
四、输出结果
积分I输出结果：
ans =
1.56464021873499 0 0
1.56464627404395 1.56464829248027 0
1.56464627407325 1.56464627408301 1.56464613952319
即加速3次求得：
k
0 1.56464021873499
1 1.56464627404395 1.56464829248027
2 1.56464627407325 1.56464627408301 1.56464613952319
计算得：I = 1.56464613952319
所以卫星轨道的周长S = 4aI = 48708 km
五、结果分析
由计算结果可知，利用龙贝格算法计算积分，利用外推法，提高了计算精度，加快了收敛速度，求得的结果比较精确。