数论100题(1)

初等数论100题

Photaesthesia

2019年7月11日

序言

毕业回来想做这个的主要原因是发现我们有好几个版本的几何100题和代数100题了,因此试图编一组初等数论100题.在这几天的过程中,感谢百度贴吧网友崭新爱地、yuanbaommd、心模型、数学问号、rosebaby时代,QQ网友木槿凉夏的支持与协助.鄙人不胜感激.

在选题过程中,我秉承了“全,新,好”的原则,即知识点覆盖全面,尽量选用新题,好题.需要指出的是,题目的顺序和难度并没有明确的递增关系,但大部分相同类型的题目我都放在了一起,便于系统的学习.所有已知作者的问题我都回溯到能找到的源头并署名,而有一些问题囿于鄙人的能力并没有找到作者信息,这些题目的作者位置以三个星号(???)代替.如果有人了解或作者本人发现,欢迎联系我(QQ: 2364553650)来署上您的姓名.如果有些题目是绝密的,谢绝外传而我通过某种渠道得到的,也欢迎提出撤换申请,并请允许我对为您带来的不便而感到抱歉.给出这些作者的原因,主要是出于知识产权的考虑,同时方便大家通过这些信息找到题目的解答,而由于本人经历有限故恕不能提供参考答案.

本人保留对此初等数论100题(包括tex文档和pdf文档)的文化产权,本文档谨供诸位数竞爱好者学习交流使用.谢绝教育机构机构,QQ群,或自然人以营利为目的的任何形式的转载、修改,包括但不仅限于添加水印广告,上传到付费群等方式,本人保留对上述行为追究法律责任的权利.

苏绛毓

Photaesthesia

2019年7月11日凌晨成稿于大连

符号说明N自然数集

Z整数集

N+,Z+正整数集

R实数集

F p模p的环、域

gcd(a,b)整数a,b的最大公约数

lcm(a,b)整数a,b的最小公倍数

a|b整数a能整除整数b

a|b整数a不能整除整数b

v p(n)表示n中含p的幂次

φ(n)1,2,···,n中与n互素的数的个数

τ(n)正整数n的正约数的个数

σ(n)正整数n的所有正约数之和

ω(n)正整数n的素因子个数(不计重数)

?(n)正整数n的素因子个数(计重数)

[x],?x?不超过实数x的最大整数,即x的整数部分

?x?不少于实数x的最小整数

{x}实数x的小数部分,即{x}=x?[x]

∑

求和号

∏

求积号

f(n)(x)函数f(x)对其自身的n次迭代

{F n}Fibonacci数列,即F0=0,F1=1,F n+2=F n+1+F n {L n}Lucas数列,即L0=2,L1=1,L n+2=L n+1+L n {P n}Pell数列,即P0=0,P1=1,P n+2=2P n+1+P n

题目部分

1.已知正整数a,b 满足a 2+b 2

ab +1是正整数,则这个整数一定是完全平方数.

(Germany)

2.给定实数数列{x n }∞

n =1满足x 21=1,证明:对正整数n ≥2,

∑i |n ∑

j |n

x i x j

lcm (i,j )

≥

∏

p is prime

p |n

(

(2018CGMO Day 1Problem 3)

3.证明:对正整数n ≥2和实数x ,

0≤[nx ]?

n ∑k =1

[kx ]k ≤n ∑k =2

k .(Photaesthesia 改编自1981USAMO)

4.已知实数q >0满足对任意正整数n 都有[q [qn ]]+1=[q 2n ].求q 的所有可能值.(???)

5.记不定方程

x ·gcd (x,y )y ?

gcd (x,y )

=?(√y +1)2?的满足k =|x ?y |的正整数解数为S (k ),其中k

是正整数,求S (k ).(2019Moldova Team Selection Test Day 2Problem 8)

6.证明或否定:不定方程a 3+2b 3+4c 3=6abc +1有无穷多组正整数解.

(USA December TST for IMO 2012Problem 3)

7.证明:对正奇数N ,不定方程

N =

a b +c +b c +a +

a +b

没有正整数解.

(Andrew Bremner and Allan Macleod )

8.证明:不定方程

(x ?1)(x ?2)···(x ?2014)=(y ?1)(y ?2)···(y ?4028)

没有正整数解(x,y ).

(李伟固)

9.求最小的正整数c 使得不定方程y 3=2x 2+c 有正整数解,并求此时全部的正整数解.

(牟晓生)

10.求不定方程7x 2+59y 2=3m 的所有整数解.(给出算法即可)

(Photaesthesia )

11.正整数m,n,k 满足mn =k 2+k +3.证明:方程4m =x 2+11y 2和4n =x 2+11y 2至少有一个有奇数解.

(李伟固)

12.求不定方程F n ?F m =2a 的全部自然数解.

(Zafer Siara and Re?k Keskin )

13.求不定方程φ(5m ?1)=5n ?1的全部正整数解(m,n ).

(Florian Luca )

14.定义Pell 数列P 1=P 2=1,P n +2=2P n +1+P n .求不定方程φ(P m )=P n 的全部正整数解(m,n ).

(Bernadette Faye )

15.若正整数n 满足φ(n )|n ?1,则称其为好数,求所有好数使其在Lucas 数列或Pell 数列中.

(Bernadette Faye )

16.整系数多项式P ,Q 均不可约,若对任意的n ∈N +有P (n ),Q (n )∈N +,且2Q (n )?1|3P (n )?1.求证:Q (n )为常值多项式.

(???)

17.对于素数p >109,若4p +1也为素数,证明:1

4p +1

的小数点后包含所有十进数码.

(Nikolai Beluhov )

18.已知

的小数循环节长度为偶数.证明:其小数部分数码3和5的个数与数码4和6的个数相等.(羊明亮)

19.每项均由{0,1,···,9}中的一个数构成的数列{a n }n ≥0和{b n }n ≥0满足存在一个正整数M 使得对任

意n ≥M ,a n ·b n =0,且对任意的n ≥0,(a n ···a 1a 0)2

+999|(b n ···b 1b 0)2+999.证明:对n ≥0,恒有a n =b n .

(Yahya Motevassel )

20.证明:不存在不相等的构成等差数列的四个正整数,使得它们的积为完全平方数.

(李明)

21.若一个正整数的正约数的个数被2018整除,则称其为有趣数.确定所有正整数d ,使得存在一个公差为d 的无穷项等差数列,该数列的每一项都是有趣数.

(王彬)

22.已知a 1,a 2,···是一个各项互异的无穷整数数列,证明:存在无穷多个素数p ,满足存在一组正整数(i,j,k )使得p |a i a j a k ?1.

(Mohsen Jamali )

23.若正整数k 的所有素因子都模12余1.证明:存在无穷多组三元等差数列(x,y,z )使得xy +k ,yz +k ,zx +k 均为完全平方数.

(黄昊中)

24.定义数列{x n }的前n 项和为S n .已知x 1=1,x n (n ≥2)为使n |S n 的不在数列中的最小正整数.证明:x x n =n .

(Howard https://www.360docs.net/doc/9316354049.html,ndman )

25.对一个正整数n ,记f (n )是恰有n 个正因子的最小正整数.若f (n )是一个完全立方数,证明或否定:n 可能存在模3余2的素因子.

(2017Serbia TST Day 2Problem 6)

26.对正整数n ,定义γ(n )为其大于10100的素因子个数(计重数).求所有严格单调递增的函数f :Z →Z ,满足对任意正整数a >b 均有γ(f (a )?f (b ))≤γ(a ?b ).

(56th International Mathematical Olympiad Shortlisted Problem N8)

27.给定正整数n ≥2,比n 小且与n 互素的所有正整数构成的集合为{a 1,a 2,···,a m }.若m 的每个素因

子都可以整除n ,证明:对任意的正整数k ,都有m |a k 1+a k 2+···+a k

m .

(Ivan Borsenco )

28.给定k 个素数构成的集合A ={p 1,p 2,···,p n },令n =3·2k ?1.对于任意的n 个互异自然数a 1,a 2,···,a n ,证明:不可能所有的a i +a j (1≤i

(Paul Erdos and Paul Turan )

29.给定正整数k .证明:存在无穷多对互异正整数a,b ,使得a 2+k 和b 2+k 的素因子集合相同.(牟晓生)

30.记S n =

n ∑k =1

k !,证明:存在n ∈N +,使得S n 有大于102012的素因子.

(2012All-Russian Olympiad Grade 11Day 2Problem 4)

31.若无界正整数列{a n }n ≥0只存在有限多个素因子,则对任意的非零整数a ,{a n ?a }n ≥0中均有无穷多

个素因子.

(Kobayashi) 32.给定素数p和不是p倍数的正整数a>1.若q≥5是a的素因子,证明:至多有2q?2个正整数n 使得p n?a为完全平方数.

(崭新爱地) 33.求所有的正整数对(x,y)使得(xy+1)(xy+x+2)是完全平方数.

(牟晓生) 34.非负整数M,a,b,r满足a,r≥2.若有一个函数f:Z→Z使得

?对任意的n∈Z,f(r)(n)=an+b;

?对任意的n≥M,f(n)≥0;

?对任意的n>m>M,n?m|f(n)?f(m).

证明:a是一个完全r次方数.

(李挺) 35.是否存在正整数m,n使得存在至少2012个正整数x满足m?x2和n?x2均为完全平方数.

(David Yang) 36.已知正整数d>1无平方因子,证明:存在无穷多正整数n满足dn2+1|n!.

(Marian Tetiva) 37.设f(x)=x3+ax+b是一个首一整系数多项式,且4a3+27b2=0.证明:存在无穷多个正整数n满足f(n)无平方因子.

(梁志斌) 38.给定正整数m.证明:对m的任一拆分m=m1+m2+···+m e,存在一组正整数n1,n2,···,n k使得

m=1

+···+

n k

成立.且若记?={

∑

i∈I

n i

∈Z

I?{1,2,···,k}

}

,那么?恰是集合

{

∑

j∈J

m j

J?{1,2,···,e}

}

,且

|?|=2e.

(Photaesthesia) 39.求所有整系数多项式p(x)=x2+ax+b使得存在整值多项式f(x)和g(x)满足f2?p·g2=1.

(崭新爱地改编自2006China TST) 40.给定素数p和正整数k,求最小的正整数d,使得存在d次整值多项式f,满足p|f(n)当且仅当p k|n.

(牟晓生) 41.对无理数ξ和非常数整系数多项式f(x),证明或否定:数列{f(n)·ξ}mod1在区间(0,1)内稠密.

(JAKE_XU2002) 42.证明或否定:若多项式P∈Z[x]使得对任意的n∈N+,|P(n)|的十进数码和均不是斐波那契数,那么P一定是常函数.

(Nikolai Beluhov) 43.p是一个奇素数,两个正整数s,S满足0≤s≤S.证明:存在两个首一整系数多项式f,g满

足min

n∈Z v p(gcd(f(n),g(n)))=s,max

n∈Z

v p(gcd(f(n),g(n)))=S,且v p(r)?S=ps2?s,其中r=

∏

(x,y):f(x)=g(y)=0

(x?y),v p(n)表示n中p的幂次.

(苏绛毓即Photaesthesia)

44.定义映射θp :F p [x ]→F p [x ]满足

θp

(n ∑i =0

a i x

n ∑i =0

a i x p i

证明:如果非零多项式F,G ∈F p ,则gcd (θp (F ),θp (G ))=θp (gcd (F,G )).

(Mark Sellke )

45.设p 是奇质数,a 1,a 2,···,a p 是整数.证明以下两个命题等价:?存在一个次数不超过p ?1

的整系数多项式f (x ),使得对每个不超过p 的正整数i ,都有f (i )≡a i (mod p );

?对每个不超过p ?12的正整数d ,都有p ∑i =1

(a i +d ?a i )2

≡0(mod p ),这里下标模p .

(艾颖华)

46.记正整数k 的最大偶数因子是E (k ),已知正整系数多项式f (x )=a n t x n t +···+a n 1x n 1+a 0满足f (0)是一个素数且a 0=a n 1+···+a n t .证明:f (x )在整数域内不可约当且仅当存在不同的1≤i,j ≤t 使得E (n i )=E (n j ).

(Photaesthesia )

47.已知素数p 满足p 2|2p ?1?1,对于给定的正整数n ,定义函数f (x )=

(x ?1)p n

?(x p n

?1)

p (x ?1)

.求最大的正整数N ,使得存在整系数多项式g (x ),h (x )和正整数r 使得f (x )=(x ?r )N g (x )+p ·h (x ).

(Victor Wang )

48.求所有整系数多项式P (x )使得P (0)=0,且对任意非负整数m,n ,P (n )(m )P (m )(n )是一个完全平方数.

(Adrian Beker )

49.给定正整数n >1,如果一个非空集合S ?{0,1,···,n ?1}满足存在一个次数不超过d 的整系数多项式P ,使得S ={P (n )|n ∈Z }mod n ,则称S 为d ?可覆盖的.对每个n ,求使得{0,1,···,n ?1}任意非空子集都是d ?可覆盖的之最小的d 或证明这样的d 不存在.

(Carl Schildkraut )

50.求所有的次数为d 的奇次整系数多项式P (x ),满足对任意的正整数n ,存在正整数x 1,x 2,···,x n 使得

对任意的1≤i,j ≤n 均有12

P (x j )

是一个正有理数的d 次幂.

(57th International Mathematical Olympiad Shortlisted Problem N8)51.给定正整数n ,求所有的一次多项式f (x )使得存在x 0∈N 满足f (x 0),f (2)(x 0),···,f (n )(x 0)恰构成模n 的完系.

(冯跃峰任建宇)

52.对一个长度小于4的区间I ,证明:所有根均在I 中的整系数不可约多项式只有有限多个.

(Friedrich Heinrich Schur )53.对于一个a 0=0的整系数的形式幂级数F (x )=∞∑

k =0

a k ·x k

,其导函数满足F ′(x )F (x )也是整系数的形式

幂级数,证明:a 0整除每个a k .

(牟晓生)

54.设k 为正整数,且p =8k +5为素数.整数r 1,r 2,···,r 2k +1满足0,r 41,r 42,···,r 4

2k +1除以p 所得的余

数两两不同.证明:

∏

1≤i

(r 4

i +r 4

)≡(?1)k (k +1)2(mod p ).

(3rd IOM Day 1Problem 3)

55.给定正整数n ≥2,比n 小且与n 互素的所有正整数构成的集合为A n .是否存在满射f :A n ×A n →A n 使得对任意a,b,c ∈A n ,只要c ≡ab (mod n ),那么对任意的k ∈A n ,恒有f (a,k )·f (b,k )≡f (c,k )(mod n ),f (k,a )·f (k,b )≡f (k,c )(mod n ).

(陈泽坤)

56.对素数p 和斐波那契数列{F n },证明:

∑

F i

ijk ≡0(mod p ).(Roberto Tauraso )

57.设调和级数的前n 项和为H n ,证明:对素数p >5,

p ?1

∑k =1

H 2

≡

p ?1

∑k =1