人教版 九年级数学 解一元二次方程讲义 (含解析)
第2讲解一元二次方程
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初三，基础偏上
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是一元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法，为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。
知识梳理
讲解用时：25分钟
特殊的一元二次方程的解法
特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解：
（1）解一元二次方程——直接开平方法
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方
的方法解一元二次方程。
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．
注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数；
①降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程；
①方法是根据平方根的意义开平方．
课堂精讲精练
【例题1】
已知一元二次方程mx 2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（ ）。 A ．n=0 B ．mn 同号 C ．n 是m 的整数倍 D ．mn 异号
【答案】D
【解析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，
∵mx 2+n=0，则mx 2=﹣n ，∴x 2=m
n
-
， ①x 2≥0，m≠0，①mn 异号，故选：D ． 讲解用时：2分钟
解题思路：由mx 2+n=0移项得mx 2=﹣n ，再两边同时除以m ，可得x 2=m
n
-，再根据偶次幂的非负性可得mn 异号。 教学建议：熟记直接开平方法的使用条件。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：海原县校级期中 年份：2017秋
【练习1】
对于方程（ax+b ）2=c ，下列叙述正确的是（ ）。 A ．不论c 为何值，方程均有实数根 B ．方程的根是a
b
c x -=
C ．当c≥0时，方程可化为：ax+b=c 或ax+b=﹣c
D ．当c=0时，x=a
b
【答案】C
【解析】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，
当c ＜0，方程没有实数解；当c≥0时，方程有实数根，则ax+b=±c ，解得
a b c x -=
1，a b c x --=2，当c=0时，解得x 1=x 2=﹣a
b
，故选：C.
讲解用时：5分钟
解题思路：讨论：当c＜0或c≥0，利用平方根的定义可判断方程的根的情况，若有根，则可利用直接开平方法解方程，从而可对各选项进行判断。
教学建议：：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：南岗区校级月考年份：2017 【例题2】
如下表，方程1、方程2、方程3…是按照一定的规律排列的一列方程，解方程3，并将它的解填在表中的空白处．
方程方程的解
序
号
1x2+2x﹣3=0x1=1x2=﹣3
2x2+4x﹣12=0x1=2x2=﹣6
3x2+6x﹣27=0x1=x2=
…………
（1）请写出这列方程中第m个方程，并写出它的解；
（2）用你探究的规律解方程x2﹣8x﹣20=0．
【答案】x1=3，x2=﹣9；（1）x1=m，x2=﹣3m；（2）x1=10，x2=﹣2
【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，
∵x2+6x﹣27=0，则（x﹣3）（x+9）=0，所以，x1=3，x2=﹣9；
（1）第m个方程为：x2+2mx﹣3?m2=0，方程的解是x1=m，x2=﹣3m；
（2）①x2﹣8x﹣20=0可化为（x﹣10）（x+2）=0，①方程的解是x1=10，x2=﹣2．讲解用时：8分钟
解题思路：利用因式分解法将方程3变形为（x﹣3）（x+9）=0，进而求解即可；（1）观察图表，一次项系数为从2开始的连续偶数，常数项是从1开始的连续自然数的平方的3倍的相反数，然后写方程，再根据方程的第一个解是连续自然数，第二个解是3的倍数的相反数写出即可；（2）利用因式分解法将方程3变形为（x﹣10）（x+2）=0，进而求解即可。
教学建议：熟练使用因式分解，理解一元二次方程的解与一次项系数和常数项的关系是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：龙口市期中 年份：2018春
【练习2】
已知直角三角形的两条边长恰好是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，则此直角三角形的斜边长是 。
【答案】5或29
【解析】本题考查了分解因式法解一元二次方程以及勾股定理，
①x 2﹣7x+10=（x ﹣2）（x ﹣5）=0，解得：x 1=2，x 2=5， 当方程的一根为斜边长时，此直角三角形的斜边长为5；
当方程的两根为直角边长时，此直角三角形的斜边长为295222=+， 故答案为：5或29． 讲解用时：5分钟
解题思路：利用分解因式法解一元二次方程可得出三角形的两条边长，当其中一边长为斜边长时，则此直角三角形的斜边长为方程较大的根；当两边均为直角边长时，利用勾股定理可求出此直角三角形的斜边长。 教学建议：注意分类讨论。
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：余杭区期末 年份：2017春
【例题3】
把方程x 2﹣2x ﹣3=0化为（x+h ）2
=k 的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，
k 为常数，那么本题中h+k 的值是 。
【答案】3
【解析】本题考查了配方法解方程，
移项，得x 2﹣2x=3， 配方，x 2﹣2x+1=4， 则（x ﹣1）2=4，
故h=﹣1，k=4，则h+k=﹣1+4=3．
讲解用时：3分钟
解题思路：首先把常数项移到等号右边，然后方程两边加上一次项系数的一半，配方即可，则h和k即可求得，进而求值。
教学建议：熟记配方法的推导过程。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：绍兴期末年份：2017秋【练习3】
若方程2x2+8x﹣32=0能配方成（x+p）2+q=0的形式，则直线y=px+q不经过的象限是。
【答案】第二象限
【解析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法以及一次函数图像和性质，
由于x2+4x=16，则x2+4x+4=20，
①（x+2）2=20，所以p=2，q=﹣20，
直线解析式为y=2x﹣20，此直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
讲解用时：5分钟
解题思路：利用配方法得到（x+2）2=20，所以p=2，q=﹣20，则直线解析式为y=2x﹣20，然后根据一次函数的性质解决问题。
教学建议：先用配方法确定参数的值，再由直线解析式确定图像特征。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：和平区校级月考年份：2017秋
【例题4】
用求根公式法解方程x2﹣2x﹣5=0的解是（）。
A．x1=1+6，x2=1-6B．x1=2+6，x2=2-6
C．x1=1+5，x2=1-5D．x1=2+5，x2=2-5
【答案】A
【解析】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，
①=（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）=24，x=
1
224
2?±=1±6， 所以x 1=1+6，x 2=1-6，故选：A 讲解用时：3分钟
解题思路：先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程。 教学建议：牢记一元二次方程的求根公式。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：惠安县校级期中 年份：2017
【练习4】
在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b=a 2﹣ab ，根据这个法则，下列结论中正确的是 。（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①
*
=2﹣
；
①若a+b=0，则a*b=b*a ；
①（x+2）*（x+1）=0是一元二次方程； ①方程（x+3）*1=1的根是x 1=
，x 2=
【答案】①①①
【解析】本题考查一元二次方程的求解与应用以及实数的运算等知识，
*
=（
）2﹣
×
=2﹣
，①正确；
若a+b=0，则a=﹣b ，①a*b=a 2﹣ab=b 2﹣ba=b*a ，①正确； （x+2）*（x+1）=（x+2）2﹣（x+2）（x+1）=x+2，①错误； ①（x+3）*1=（x+3）2﹣（x+3）=x 2+5x+6，
①（x+3）*1=1即为方程x 2+5x+6=1，化简得x 2+5x+5=0， 解得x 1=
，x 2=
，①正确．
故答案为：①①①. 讲解用时：8分钟
解题思路：根据运算法则为a*b=a 2﹣ab ，一一判断即可。
教学建议：利用新的定义解决问题，根据运算法则为a*b=a 2﹣ab ，一一判断即可。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：开福区校级期中年份：2018
【例题5】
按要求解下列方程：
（1）4x2+4x﹣3=0 （用配方法解）；
（2）0.3y2+y=0.8 （用公式法解）
【答案】（1）x1=，x2=﹣；（2）y1=，y2=﹣4
【解析】本题考查了解一元二次方程的解法，
（1）4x2+4x+1=4，则（2x+1）2=4，
∴2x+1=±2，则x1=，x2=﹣；
（2）移项得0.3y2+y﹣0.8=0，
∵b2﹣4ac=12﹣4×0.3×（﹣0.8）=1.96，
∴y==，①y1=，y2=﹣4．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）利用配方得到（2x+1）2=4，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程化为一般式，再计算出判别式的值，然后利用求根公式法解方程。教学建议：熟记不同方法的求解过程。
难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：惠民县期末年份：201
【练习5】
解下列方程：
（1）x2+4x+3=0；
（2）3x2+10x+5=0
【答案】（1）x1=﹣1，x2=﹣3；（2）x1=，x2=
【解析】本题考查了解一元二次方程的解法，
（1）因式分解，得（x+1）（x+3）=0，
于是得x+1=0或x+3=0，解得x1=﹣1，x2=﹣3；
（2）a=3，b=10，c=5，①=b 2﹣4ac=100﹣4×3×5=40＞0， 则x==
，
x 1=
，x 2=
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）根据因式分解法，可得答案；（2）根据公式法，可得答案。 教学建议：熟记不同方法的求解过程。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：新疆期末 年份：2018
【例题6】 已知方程x 2﹣3x+1=0，
（1）求x x 1
+
的值； （2）求x x 1
-的值；
（3）若a 为方程x 2﹣3x+1=0一个根，求2a 2﹣6a+2017的值．
【答案】（1）3；（2）±5；（3）2015
【解析】本题考查了一元二次方程的解的意义、等式的性质以及完全平方公式，
（1）①x 2﹣3x+1=0，
①x≠0，方程两边同时除以x ，得x ﹣3+=0，①x
x 1
+=3； （2）①（x x 1-）2=（x x 1+）2﹣4=9﹣4=5，①x x 1
-=±；
（3）①a 为方程x 2﹣3x+1=0一个根， ①a 2﹣3a+1=0，①a 2﹣3a=﹣1，
①2a 2﹣6a+2017=2（a 2﹣3a ）+2017=﹣2+2017=2015． 讲解用时：8分钟
解题思路：（1）由x 2﹣3x+1=0，可知x≠0，将方程两边同时除以x ，得到x ﹣3+x
1
=0，即可求出x x 1+
=3；（2）利用完全平方公式得出（x x 1-）2=（x x 1+）2﹣4=9﹣4=5，那么x
x 1
-=±5；（3）将x=a 代入方程x 2﹣3x+1=0，整理得出a 2﹣3a=
﹣1，那么2a 2﹣6a+2017=2（a 2﹣3a ）+2017=2015． 教学建议：利用整体思想处理，灵活使用公式求解。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：洪泽县期末 年份：2016秋
【练习6】
阅读下列材料：
（1）关于x 的方程x 2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以x 1得：01
3=+-x
x ，即31=+
x x ，21)1(222++=+x x x x ，7232)1
(12222=-=-+=+x x x
x （2）a 3+b 3=（a+b ）（a 2﹣ab+b 2）；a 3﹣b 3=（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）． 根据以上材料，解答下列问题：
（1）x 2﹣4x+1=0（x≠0），则x x 1+
= ，221x x += ，441
x x += ； （2）2x 2﹣7x+2=0（x≠0），求331
x x +的值。
【答案】（1）4，14，194；（2）8259
【解析】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，
（1）①x 2﹣4x+1=0，①x
x 1
+=4， ①（x x 1+）2=16，①221
2x x ++=16，
①221x x +=14，①（221
x x +）2=196，
①441x x ++2=196，①441
x x +=194．
（2）①2x 2﹣7x+2=0，
①x x 1+
=27，221x x +=441， ①331x x +=（x x 1+）（2211x x +-）=27×（441﹣1）=8259
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决；（2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可。
教学建议：利用整体思想处理，灵活使用公式求解。
难度：5 适应场景：当堂练习 例题来源：郴州模拟 年份：2018
【例题7】
关于x 的一元二次方程x （x ﹣2）=x ﹣2①与一元一次方程2x+1=2a ﹣x①． （1）若方程①的一个根是方程①的根，求a 的值；
（2）若方程①的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a 的取值范围。
【答案】（1）2或27
；（2）2≤a≤2
7
【解析】本题考查了一元二次方程的解的定义，
解方程①，得x 1=1，x 2=2， 解方程①，得x=3
1
2-a ． 当
31
2-a =1时，a=2； 当312-a =2时，a=2
7．
综上所述，a 的值是2或27
； （2）由题可知，1≤312-a ≤2，解得2≤a≤27
．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）通过解方程①、①分别得到x 的值；然后列出关于a 的方程，解该方程即可；（2）根据题意列出关于a 的不等式，解不等式即可。 教学建议：（2）中求出根的表达式，再根据题意列出不等式求解。 难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：大庆模拟 年份：2018
【练习7】
设关于x 的一元二次方程x 2+（2a ﹣1）x ﹣2=0与x 2﹣（a+3）x+3=0有公共根x 0，求a 的值。 【答案】 a=1或a=
12
7 【解析】本题考查一元二次方程的解法， 根据题意可知：x 02+（2a ﹣1）x 0﹣2=0，① x 02﹣（a+3）x 0+3=0，①
①×2得：2x 02﹣（2a+6）x 0+6=0，① ①+①得：3x 02﹣7x 0+4=0 解得：x 0=1或x 0=
34
，
当x 0=1时，①1+（2a ﹣1）﹣2=0，解得：a=1；
当x 0=34时，①916+34（2a ﹣1）﹣2=0，解得：a=127，
综上所述，a=1或a=12
7
讲解用时：8分钟
解题思路：根据一元二次方程的解法即可求出答案。
教学建议：正确理解一元二次方程的解的概念，通过设置中间量x 0求解。 难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：昌江区校级期中 年份：2017秋
【例题8】
阅读题：一元二次方程ax 2+bx+c=0（其中a≠0，c≠0）的二根为x 1和x 2，请构造一个新的一元二次方程，使方程的二根恰是原方程二根的3倍。数学老师张老师给出了一种方法是：设新方程的根是y ，则y=3x ，得3
y
x =
代入原方程得0)3()3(2=++c y
b y a 变形得ay 2+3by+9c=0此方程即为所求，
这种利用方程根的代换求方程的方法叫换根法，解答：
（1）已知方程x 2+x ﹣2=0，求一个新方程使它的根分别是已知方程的相反数，所求方程为 ；
（2）已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程根的倒数。
【答案】（1）y 2﹣y ﹣2=0；（2）cy 2+by+a=0（c≠0） 【解析】本题考查了一元二次方程的解， （1）设所求方程的根为y ，则y=﹣x ，则x=﹣y ．
把x=﹣y 代入已知方程x 2+x ﹣2=0，得 （﹣y ）2+（﹣y ）﹣2=0． 化简得：y 2﹣y ﹣2=0，故答案是：y 2﹣y ﹣2=0．
（2）设所求方程的根为y ，则y=
x
1
，所以x=y 1，
把x=
y 1代入已知方程ax 2+bx+c=0（a≠0）得a （y 1）2+b?y
1
+c=0， 去分母，得 a+by+cy 2=0．
若c=0，则ax 2+bx=0，于是方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有一根为0，不符合题意． ①c≠0，故所求的方程为：cy 2+by+a=0（c≠0）． 讲解用时：10分钟
解题思路：（1）设所求方程的根为y ，则y=﹣x ，则x=﹣y ．将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可；（2）设所求方程的根为y ，则y=x
1
，将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可。
教学建议：解题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法即可。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：安陆市校级月考 年份：2015秋
【练习8】
已知方程（m ﹣1）x 2﹣（m 2+2）x+（m 2+2m ）=0，（n ﹣1）x 2﹣（n 2+2）x+（n 2+2n ）=0（其中m ，n 都是正整数，且m≠n≠1）有一个公共根，求m n ?n m 的值。 【答案】256
【解析】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题， 将一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣（m 2+2）x+（m 2+2m ）=0分解因式解得 [（m -1）x -（m+2）]（x ﹣m ）=0，①
或x=m （m≠1），
将一元二次方程（n ﹣1）x 2﹣（n 2+2）x+（n 2+2n ）=0分解因式解得 [（n ﹣1）x -（n+2）]（x ﹣n ）=0，①
或x=n （n≠1），
①方程（m -1）x 2-（m 2+2）x+（m 2+2m ）=0，（n -1）x 2-（n 2+2）x+（n 2+2n ）=0有一个公共根，且m ，n 都是正整数，m≠n≠1，
①解得mn=m+n+2，
由奇偶性可知，m，n都为偶数，
①m≠n≠1，①m=2，n=4或n=2，m=4，①m n?n m=24?42=16×16=256.
讲解用时：15分钟
解题思路：由于一元二次方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）=0，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）=0有一个公共根，求出这两个方程的根，根据条件列关于m，n的方程，解m，n即可求出m n?n m的值。
教学建议：通过因式分解法表示出两个方程的两个根，然后再根据条件列关于m，n的方程，解m，n即可。
难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：芜湖县校级月考年份：2013秋
课后作业
【作业1】
定义运算“①”：对于任意实数a，b，都有a①b=a2+b，如：2①4=22+4=8．若（x ﹣1）①3=7，则实数x的值是。
【答案】3或﹣1
【解析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识，
依题意得：（x﹣1）2+3=7，整理，得（x﹣1）2=4，
直接开平方，得x﹣1=±2，解得x1=3，x2=﹣1．
讲解用时：4分钟
难度：3 适应场景：练习题例题来源：洪洞县期末年份：2016春【作业2】
已知①ABC中，AB=8，AC=6，BC的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则①ABC的面积为。
【答案】24或8
【解析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质，
①x2﹣16x+60=0，①（x﹣6）（x﹣10）=0，解得：x1=6，x2=10，
当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AC=BC=6，AB=8，CD是高，
①AD=4，CD==2，
①S①ABC=AB?CD=×8×2=8；
当x=10时，如图①，AC=6，BC=10，AB=8，
①AC2+AB2=BC2，①①ABC是直角三角形，①A=90°，
S①ABC=AB?AC=×8×6=24，
①该三角形的面积是：24或8．
讲解用时：8分钟
难度：4 适应场景：练习题例题来源：南召县期末年份：2018
【作业3】
在方程x2﹣3x=0中，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，把方程左边因式分解得到x（x﹣3）=0，根据“任何数与0相乘都得0”，我们可知“两个因式中只要有一个因式的值为0，乘积就为0，”即方程可以转化为：x=0或x﹣3=0，解这两个一次方程得：x=0或x=3．所以原方程的解有两个，分别为：x=0或x=3．
上述将方程x2﹣3x=0转化为x=0或x﹣3=0的过程，是将来学习的一元二次方程的解法中，通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．
规范书写如下：
解：x2﹣3x=0
x（x﹣3）=0
x=0或x﹣3=0
①x=0或x=3
仿照上面的方法和规范，解决下列问题：
（1）解方程9x2﹣4=0
（2）解方程a2﹣2a﹣3=0；
类比上面的思路，解决下列问题：
（3）根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，请你直接写出一元二次不等式a2﹣2a﹣3＞0的解集。
【答案】（1）x1=﹣，x2=；（2），a1=3，a2=﹣1；（3）a＞3或a＜﹣1
【解析】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，
（1）9x2﹣4=0，则（3x+2）（3x﹣2）=0，
①3x+2=0，3x﹣2=0，x1=﹣，x2=；
（2）a2﹣2a﹣3=0，则（a﹣3）（a+1）=0，
①a﹣3=0，a+1=0，a1=3，a2=﹣1；
（3）a2﹣2a﹣3＞0，
则（a﹣3）（a+1）＞0，即或，解得：a＞3或a＜﹣1，
即原不等式的解集为a＞3或a＜﹣1．
讲解用时：10分钟
难度：4 适应场景：练习题例题来源：槐荫区期末年份：2017秋
【作业4】
解方程：
（1）（2x﹣1）2=9
（2）x2+3x﹣4=0（用配方法）
（3）3x2+5（2x+1）=0（用公式法）
（4）7x（5x+2）=6（5x+2）
【答案】（1）x1=2，x2=﹣1；（2）x1=1，x2=﹣4；
（3）x1=，x2=；（4）x1=﹣，x2=
【解析】本题考查一元二次方程的解法，
（1）（2x﹣1）=±3，①x1=2，x2=﹣1
（2）x2﹣3x=4，①x2﹣3x+（）2=4+（）2，
①（x﹣）2=，①x﹣=±
①x1=1，x2=﹣4
（3）3x2+10x+5=0，①a=3，b=10，c=5，①①=100﹣60=40＞0，
①x=，①x1=，x2=．
（4）（5x+2）（7x﹣6）=0，①5x+2=0或7x﹣6=0，x1=﹣，x2=
讲解用时：10分钟
难度：4 适应场景：练习题例题来源：蓬溪县期末年份：2017秋
人教版九年级上册数学一元二次方程知识点归纳及练习(供参考)
一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项 系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接 开平方法适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。 4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 当ac b 42->0时，方程有两个实数根。 当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。 当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。
5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出 a b x x -=+21，a c x x =21。 练习 一、选择题。（每小题5分，共30分） 1、方程2x －9＝0的解是 （ ） A 、x =3 B 、 x = -2 C 、x =4.5 D 、 3x =± 2、方程24x x =的解是（ ） Ａ、4x = B 、2x = C 、4x =或0x = D 、0x = 3、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A 、238x x =- B 、2510x x +=- C 、271470x x -+= D 、2753x x x -=-+ 4、用换元法解方程2221x x x x ????+-+= ? ?? ???，若设2y x x =+，则原方程可化为（ ） A 、210y y -+= B 、210y y ++= C 、210y y +-= D 、210y y --= 5、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A 、2006 B 、2007 C 、2008 D 、2009 6、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，
一元二次方程应用一对一辅导讲义
课 题 一元二次方程的应用 授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。 重点、难点 会运用一元二次方程解决简单的实际问题 考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测
1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题 利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。 第二课时 一元二次方程的应用典型例题 考点一：增长率（降低率）和利润问题 典型例题 知识梳理
（一）增长率（降低率）问题： 【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率． （二）利润问题： 【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
解一元二次方程(直接开方法-配方法)练习题100+道
解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程： （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2
第二章一元二次方程培优奥赛讲义
九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题） 1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为． 3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是． 4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是． 5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为． 6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=． 7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=． 10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是． 13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为． 14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染． 15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．
讲义一元二次方程讲义
考点一、概念 (1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax （3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 考点二、方程的解 ⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：①利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。 例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a 变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则 a b b a +的值为 。 针对练习：
九年级上册数学一元二次方程专题知识点总结
一元二次方程知识点复习 知识点1．一元二次方程的判断标准： （1）方程是_____方程（2）只有___个未知数（一元）（3）未知数的最高次数是____（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程 练习A ：1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3= 1x ；④x 2-y=0； ④（x+1）2=x 2-1．一元二次方程的个数是. 2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k 是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 4、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______． 知识点2．一元二次方程一般形式及有关概念 一元二次方程的一般形式______________________,其中_______是二次项，______为二次项系数，_______是一次项，_______为一次项系数，______为常数项。 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 练习B:1、将一元二次方程3x(x-1)=5(x+2)化成一般形式为_____________，其中二次项系数 a=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________ 知识点3．完全平方式 练习C:1、说明代数式2241x x --总大于224x x -- 2、已知1a a +=求1a a -的值. 3、若x 2+mx+9是一个完全平方式，则m=， 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是。 若942++kx x 是完全平方式，则k =。 知识点4．整体运算 练习D:1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________ 知识点5．方程的解 练习E ：1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1，则k=_______________． 2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程。
一元二次函数解法 辅导讲义
课题一元二次方程的解法 重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法 教学内容 一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0） 例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x2-6x=-8
练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零） 方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式） 即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ，得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方，得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x （3）用公式法解: 解:移项,得02532=--x x （ 这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=
九年级上册数学一元二次方程单元测试卷
九年级上册一元二次方程单元测试卷1 一、填空题（★写批注）姓名：日期： 1．（3分）一元二次方程2x2﹣13=7x的二次项系数为：，一次项系数为：．2．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于． 3．（3分）已知方程（x+a）（x﹣3）=0和方程x2﹣2x﹣3=0的解相同，则a=． 4．（3分）一元二次方程x2﹣x+4=0的解是． 5．（3分）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为．6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．7．（3分）关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3=0有一个根为0，则m=． 8．（3分）已知实数x满足=0，那么的值为． 9．（3分）我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒60元调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，则由题意可列方程为． 10．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为．11．（3分）已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为． 12．（3分）方程：y（y﹣5）=y﹣5的解为：． 13．（3分）在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x﹣2）﹡1=0的解为． 二、选择题（★写批注） 14．（3分）若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A．B．C．D．7 15．（3分）若的值为0，则x的值是（）
A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．2 D．﹣3 16．（3分）一元二次方程x2﹣1=0的根为（） A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=0，x2=1 17．（3分）将方程2x2﹣4x﹣3=0配方后所得的方程正确的是（） A．（2x﹣1）2=0 B．（2x﹣1）2=4 C．2（x﹣1）2=1 D．2（x﹣1）2=5 18．（3分）关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（） A．k≤B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k＞﹣且k≠0第22题图 19．（3分）若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是（） A．﹣1或B．1或C．1或D．1或 20．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1 21．（3分）如果方程x2+2x+m=0有两个同号的实数根，m的取值范围是（） A．m＜1 B．0＜m≤1C．0≤m＜1 D．m＞0 22．（3分）如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m ﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（） A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 23．（3分）若方程（m﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m=0 B．m≠1C．m≥0且m≠1D．m为任意实数 24．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE 的长度为（）
二次函数与一元二次方程讲义
二次函数与一元二次方程 1?通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2?能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集. 3?根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围. 、情境导入
如图，是二次函数y = ax2+ bx + c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2+ bx + c = 0的解集吗？不等式ax2+ bx + c<0的解集呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断 F列函数的图象与x只有一个交点的 A. y= x2+ 2x —3 B. y = x2+ 2x + 3
C. y = X2—2x + 3 D . y= x2—2x + 1 解析：选项 A 中b2—4ac= 22—4X1 x(—3) = 16 >0 ,选项B 中b2—4ac = 22—4x i x 3= —8 v 0,选项C 中b2—4 ac= (—2)2—4 x i x3 = —8 v 0,选项D 中b2—4 ac = (—2)2— 4x i x i = 0 ,所以选项D的函数图象与X轴只有一个交点，故选 D. 【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为___________
解析：???点(1 , 0)与(3 , 0)是一对对称点，其对称中心是(2 , 0) ,???对称轴的方程是x = 2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程. 【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 1 若函数y = mx2+ （m + 2）xm + 1 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（） A. 0 B . 0 或2 C. 2 或—2 D. 0, 2 或—2 解析：若m丸，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式 1 为零来求解；若m = 0,原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点.由（m + 2）2—4m$ m + 1）= 0,解得m = 2或一2，当m = 0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点， 所以当m = 0, 2或一2时，图象与x轴只有一个交点. 方法总结：二次函数y = ax2+ bx + c，当b2—4ac >0时，图象与x轴有两个交点；当 b2—4ac= 0时，图象与x轴有一个交点；当b2—4ac v0时，图象与x轴没有交点.
一元二次方程讲义-绝对经典实用教案.doc
一元二次方程 ●夯实基础 例1 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围_________． 例2 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． ●能力提升 1、已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程，求a =______、b =______． 2、若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数 ●培优训练 例3 m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m --+=是一元二次方程． 例4已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． ●练习 1、m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程． 2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 4、若 2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 5、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为________ ●夯实基础 (1)2269(52)x x x -+=- 21)x -= (3) 211 063 x x +-= (4) 231y += 板块一 一元二次方程的定义 板块二 一元二次方程的解与解法
一元二次方程知识点复习及典型题讲解
一元二次方程复习课1）一元二次方程的概念： 中考常见题型： 例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 x?22x??122x?4?(x?2)2x?43x?2?5x?3x?1（1）（2）（3）（4） 2bx+a=0, x —2、方程（2a 2在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一 —4）例次方程？2。，求m的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2例3 、已知关于x 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项练习一、????????222y?3y2y?1??y1??2x?2?3x2 2x(x-1)=3(x-5)-4 2(m?3)x?nx?m?0x练习二、关于，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一的方程次方程？ 2）一元二次方程的解法： 1）直接开平方法（换元思想）： 2）配方法： 3）求根公式（符号问题）： 4）因式分解法（十字交叉法）： 中考常见题型： 例1：考查直接开平方法和换元思想。 1）(x+2)=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2) — x+2 =0 22（ 249??1x?2x2 4）(2x+1)=(x-1) （5） 2（ 2：用配方法解方程x＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 2例
例3：用配方法解方程： 22xx（1）－6x－7＝0；（2）＋3x＋1＝0. 2205x??2x?2x?7x?20?42（3）（50. 2x4 （））3x＋－3＝ 2?4bacb2(x?)?2ax?bx?c?0(a?0)2aa4呢？例4：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为 22-1=0 -(4k+1)x+2k取什么值时，关于x的方程2x例5、当k 方程没有实数根．有两个不相等的实数根； (2)有两个相等实数根； (3) (1) -c)x+b=0ABC的三边的长，求证方程ax-(a+ba例6、已知，b，c是△222222没有实数根． 练习：222 +n=0无实数根．，求证关于x的方程2x+2(m+n)x+m．若 1m≠n +m=0．求证：关于x的方程x+(2m+1)x-m2 22有两个不相等的实数根． 7例： 2220??x3)?65?(2x3)?(20?x?7x10?0??3992x?x）（2 1（）（）3 3）一元二次方程的应用（常见四类题型）：
解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)
? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； 【 （3）26(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；
2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （ 12. 用适当的方法解方程 （1）23(1)12x +=； （2）2 410y y ++=；
初中一对一精品辅导讲义：一元二次方程应用
课
题
一元二次方程的应用
1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。
教学目标
重点、难点 考点及考试要求
会运用一元二次方程解决简单的实际问题 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题
教
第一课时
学
内
容
一元二次方程的应用知识梳理
课前检测
1.已知三角形两边长分别为 2 和 9,第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根, 则这个三角形的周 长为( A.11 ) B.17 C.17 或 19 D.19
2.已知两数的积是 12,这两数的平方和是 25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）. (3 ? x)2 ? x2 ? 5 （2）. x2 ? 2 3x ? 3 ? 0
4．若方程（m－2）xm2－5m+8+(m+3)x+5=0 是一元二次方程，求 m 的值
5.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2kx+
1 2 k -2=0. 求证:不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根. 2
知识梳理
、答 ?步骤：设、列、解、验 ? ?增长率（降低率）问题 ? ? ? ? ?利润问题 1. 一元二次方程的实际应用 ? ? ?常见类型?面积问题 ?数字问题 ? ? ? ? ? ?动点问题 ?
2. 解题循环图：
3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。
第二课时
一元二次方程的应用典型例题
九年级数学上册小专题(一) 一元二次方程的解法
编号：954555300022221782598333158 学校：战神市白虎镇禳灾村小学* 教师：战虎禳* 班级：战神参班* 专题(一)一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0； (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9； (4)(2y－3)2＝16. 2．用配方法解下列方程： (1)x2－4x－1＝0； (2)2x2－4x－8＝0；
(3)3x2－6x＋4＝0； (4)2x2＋7x＋3＝0. 3．用公式法解下列方程： (1)x2－23x＋3＝0； (2)－3x2＋5x＋2＝0； (3)4x2＋3x－2＝0； (4)3x＝2(x＋1)(x－1)．
4．用因式分解法解下列方程： (1)x2－3x＝0； (2)(x－3)2－9＝0； (3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0； (4)2(t－1)2＋8t＝0； (5)3x＋15＝－2x2－10x； (6)x2－3x＝(2－x)(x－3)． 5．用合适的方法解下列方程： (1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
(2)5(x －3)2＝x 2－9； (3)t 2－ 22t ＋18 ＝0. 参考答案 1.(1)移项，得x 2＝16，根据平方根的定义，得x ＝±4，即x 1＝4，x 2＝－4. (2)移项，得3x 2＝27，两边同除以3，得x 2＝9，根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3. (3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x 1＝5，x 2＝－1. (4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即y 1＝72，y 2＝－12 . 2.(1)移项，得x 2－4x ＝1.配方，得x 2－4x ＋22＝1＋4，即(x －2)2＝5.直接开平方，得x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (2)移项，得2x 2－4x ＝8.两边都除以2，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋1＝4＋1.∴(x －1)2＝5.∴x －1＝±5.∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (3)移项，得3x 2－6x ＝－4.二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43.配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12，即(x －1)2＝－13 .∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根． (4)移项，得2x 2＋7x ＝－3.方程两边同除以2，得x 2＋72x ＝－32.配方，得x 2＋72x ＋(74)2＝－32＋(74)2，即(x ＋74)2＝2516 .直接开平方，得x ＋74＝±54.∴x 1＝－12 ，x 2＝－3. 3.(1)∵a ＝1，b ＝－23，c ＝3，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x ＝－（－23）±02×1＝ 3.∴x 1＝x 2＝ 3. (2)方程的两边同乘－1，得3x 2－5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，∴x ＝－（－5）±492×3 ＝5±76，∴x 1＝2，x 2＝－13. (3)a ＝4，b ＝3，c ＝－2.b 2－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>0.x ＝－3±412×4 ＝－3±418.∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418. (4)将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－ 2)＝11>0，∴x ＝3±1122 ＝6±224.∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224.
一元二次方程全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程???→ 降次一元一次方程
2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42 -=?. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，a c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解 决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；
解一元二次方程配方法练习题
- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2 =b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x 2 +6x+m 2 是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2 -5x=2． （2）x 2 +8x=9 （3）x 2 +12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式， 其中正确的是（ ） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。 （1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值
5一元二次方程的应用尖子班讲义
一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义） 一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染． 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证． 二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是 （ ） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的 百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了________________个人．
初中数学 九年级上一元二次方程教案
22．1 一元二次方程 第二课时 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2． 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2． 难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题1．如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm ，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 列表： 问题2．一个面积为的矩形苗圃，它的长比宽多2m ， 苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm ，则长为_______m ． 根据题意，得________． 整理，得________． 列表： 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2 中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评：（1）问题1中x=6是x 2-36=0的解，问题2中，x=10是x 2+2x-120=0的解． （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 108