线性代数第四章课件4-2
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同济大学线性代数课件第四章
, m
2018/10/14
19
已知 : ( 1 , 1 , 1 ) , ( 0 , 2 , 5 ) , ( 2 , 4 , 7 ) 例2: 1 2 3
试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
2018/10/14
b1 b2 bm
a11 a 21 记 A a m1
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
x1 x2 x x n
b1 b2 b b m
R( A) R( A, B )
2018/10/14
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定理3: 向量组 B : 1 , 2 ,
, l 能由 A : 1 , 2 ,
, m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。 其中 A (1 , 2 , , m ), B ( 1 , 2 , , l )
§1 向量组及其线性组合
定义1：n 个数 a1 , a2 ,
, an 所组成的有序数组
称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量 的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。
这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。
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1
a1 a 2 (a1 , a2 an
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A : 1 , 2 ,
, m B : 1 , 2 ,
, l B 能由 A 线性表示
j k1 j1 k2 j2
kl jl j 1,2,
,l
( 1 , , l ) (k111 km1 m , , k1l1 kml m )
人民大2024赵树嫄《线性代数(第六版)》PPT第四章 特征值问题和矩阵的对角化
第四章
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对 角化的问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
(一) 矩阵的特征值 定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 ， 以及一个非零 n 维列向量 ，使得
A
则称 为矩阵 A 的特征值，而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
说明： 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量； 3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ，
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
27
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
26
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
2 1 1 解 | E A | 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
21
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
4 1 3
4
对
1
2 ，2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
3
特征值与特征向量的计算方法：
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对 角化的问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
(一) 矩阵的特征值 定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 ， 以及一个非零 n 维列向量 ，使得
A
则称 为矩阵 A 的特征值，而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
说明： 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量； 3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ，
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
27
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
26
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
2 1 1 解 | E A | 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
21
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
4 1 3
4
对
1
2 ，2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
3
特征值与特征向量的计算方法：
同济大学线性代数第四章PPT课件
讨论它们的线性相关性.
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
(线性代数)第四章 矩阵的特征值和特征向量
an − a1
∴η1
=
a2 − a1
1 0 0 0 ,η 2 = 1 ,L ,η n −1 = 0 M M M 0 1 0
对应λ=0的 =0的 特征向量为 k1η1 + L + kn −1η n −1 , k ,L , k 不全 n −1 1
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.1 相似矩阵
§4.1 相似矩阵 一. 相似矩阵的定义和性质 AP= 都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P−1AP=B, 则称矩阵A 相似. 记为A 相似变换矩阵. 则称矩阵A与B相似. 记为A~B. P为相似变换矩阵. 相似是相抵的特例 相似必相抵,反之不然. 特例: 注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然. 注2: 矩阵间的相似关系是一种等价关系 (1) 反身性: A~A; 反身性: P−1AP =B (2) 对称性: A~B ⇒ B~A; 对称性: PBP−1 =A (3) 传递性: A~B, B~C ⇒ A~C. 传递性: 相抵关系下的不变量： 相抵关系下的不变量：矩阵的秩 相似关系下的不变量： 相似关系下的不变量： 矩阵的秩
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
解: |λE–A| = (λ+1)(λ –2)2. +1)( 所以A 所以A的特征值为λ1= –1, λ2= λ3= 2. (–E–A)x = 0的基础解系: ξ1=(1,0,1)T. 的基础解系: 对应于λ1= –1的特征向量为kξ1 (0≠k∈R). 的特征向量为k (0≠ (2E–A)x = 0的基础解系: (2E 的基础解系: ξ2=(0, 1, –1)T, ξ3=(1, 0, 4)T. =2的特征向量为 的特征向量为k 对应于λ2=λ3 =2的特征向量为k2ξ2 +k3ξ3 (k2, k3不同时为零). 不同时为零).
∴η1
=
a2 − a1
1 0 0 0 ,η 2 = 1 ,L ,η n −1 = 0 M M M 0 1 0
对应λ=0的 =0的 特征向量为 k1η1 + L + kn −1η n −1 , k ,L , k 不全 n −1 1
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.1 相似矩阵
§4.1 相似矩阵 一. 相似矩阵的定义和性质 AP= 都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P−1AP=B, 则称矩阵A 相似. 记为A 相似变换矩阵. 则称矩阵A与B相似. 记为A~B. P为相似变换矩阵. 相似是相抵的特例 相似必相抵,反之不然. 特例: 注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然. 注2: 矩阵间的相似关系是一种等价关系 (1) 反身性: A~A; 反身性: P−1AP =B (2) 对称性: A~B ⇒ B~A; 对称性: PBP−1 =A (3) 传递性: A~B, B~C ⇒ A~C. 传递性: 相抵关系下的不变量： 相抵关系下的不变量：矩阵的秩 相似关系下的不变量： 相似关系下的不变量： 矩阵的秩
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
解: |λE–A| = (λ+1)(λ –2)2. +1)( 所以A 所以A的特征值为λ1= –1, λ2= λ3= 2. (–E–A)x = 0的基础解系: ξ1=(1,0,1)T. 的基础解系: 对应于λ1= –1的特征向量为kξ1 (0≠k∈R). 的特征向量为k (0≠ (2E–A)x = 0的基础解系: (2E 的基础解系: ξ2=(0, 1, –1)T, ξ3=(1, 0, 4)T. =2的特征向量为 的特征向量为k 对应于λ2=λ3 =2的特征向量为k2ξ2 +k3ξ3 (k2, k3不同时为零). 不同时为零).
同济大学线性代数课件__第四章y
第四章 向量组的 线性相关性
1
§4.1 向量组
一.n维向量
定义1：n 个数
a 1 , a 2 , , a n
所组成的有序数组
称为一个 n 维向量. 第 i 个数 a i 称为第 i 个分量. 这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵.
a1 a 2 (a1 , a2 an )T an 列向量
25
例4： 已知向量 1 , 2 , 3 线性无关，证明：向量
1 1 2 , 2 2 3 , 3 1 3 线性无关.
x1 x 1 , 2 , , n 2 0 x1 1 x2 2 xn n 0 x n
【注】零向量可写成任意同维数向量的线性组合，即 齐次线性方程组 x11 x22 xmm 0总有解。
其中 A 1 , 2 , , m
21
特别 (1) n个n维向量 (1 , 2 , , n ) A 线性相关
R( A) n A 0
(2) n个n维向量 ( 1 , 2 , , n ) A 线性无关
R( A) n A 0
22
例2: 已知 1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) , 试讨论向量组 1 , 2 , 3及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
23
解： 设 x1 1 x2 2 x3 3 0
1 0 2 0 1 x 2 x 4 0 x 即 1 2 3 1 5 7 0 1 0 2
16
1
§4.1 向量组
一.n维向量
定义1：n 个数
a 1 , a 2 , , a n
所组成的有序数组
称为一个 n 维向量. 第 i 个数 a i 称为第 i 个分量. 这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵.
a1 a 2 (a1 , a2 an )T an 列向量
25
例4： 已知向量 1 , 2 , 3 线性无关，证明：向量
1 1 2 , 2 2 3 , 3 1 3 线性无关.
x1 x 1 , 2 , , n 2 0 x1 1 x2 2 xn n 0 x n
【注】零向量可写成任意同维数向量的线性组合，即 齐次线性方程组 x11 x22 xmm 0总有解。
其中 A 1 , 2 , , m
21
特别 (1) n个n维向量 (1 , 2 , , n ) A 线性相关
R( A) n A 0
(2) n个n维向量 ( 1 , 2 , , n ) A 线性无关
R( A) n A 0
22
例2: 已知 1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) , 试讨论向量组 1 , 2 , 3及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
23
解： 设 x1 1 x2 2 x3 3 0
1 0 2 0 1 x 2 x 4 0 x 即 1 2 3 1 5 7 0 1 0 2
16
线性代数_第四章
从本例中,我们可看出,对角矩阵中的主对角
元素恰为矩阵A的特征值.相似因子阵P的各
列恰为A的对应于各特征值的特征向量.
定理7 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充 要条件是A有n个线性无关的特征向量.
证明: (必要性)
设A相似于对角矩阵D=diag{l1, l2, …,ln} ,
则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=D，即AP=PD。
即可求得对于该特征值的特征向量.
例4 设三阶方阵
1 2 2 A= 2 1 2 2 2 1
求A的特征值与对应于各特征值 的全部特征向量.
解: 求解特征方程|lI – A|=0,
l 1
| l I A |= 2 2 2 2 2 = (l 1) 2 (l 5) l 1
l 1
2
证明: 设A~B,则存在可逆矩阵X,使得B=X-1AX.
于是:
|B|=|X-1AX|=|X-1||A||X|=|A|
故行列式是相似不变量.
定理3
ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵的迹是相似不变量.
定理4 矩阵的秩是相似不变量.
证明: 设矩阵A, B相似, 从而有A与B等价. 故A与B的秩相等. 因此, 矩阵的秩是相似不变量.
定理4 如果l1, l2, …,ls如(s<n)是n阶方阵A的
不同特征值,而 X , X , i1 i2
, X iri (i=1,…,s)是
A的对应于特征值li的ri个线性无关的特征向 量，那么向量组
X11 , X12 , , X1r1 , X 21, X 22 ,
, X 2r2
, X s1 , X s 2 ,
对P进行分块有：P=(X1, X2, …,Xn)，代入上式
线性代数之第4章.向量空间与线性变换
内积空间定义及性质
定义
设 $V$ 是实数域或复数域 $F$ 上的线性空间，若在 $V$ 上定义了一个二元实函数 $(a, b)$，满足以下性 质
对称性
$(a, b) = overline{(b, a)}$
线性性
$(k_1a_1 + k_2a_2, b) = k_1(a_1, b) + k_2(a_2, b)$
变换矩阵的性质
线性变换的矩阵表示是可逆的当 且仅当T是一个可逆线性变换。
标准矩阵表示法：对于线性变换 T:V→W，可以选取V和W的一组 基，将T在这组基下的矩阵表示为 标准矩阵。标准矩阵是一个m×n 矩阵，其中m和n分别是W和V的 维数。
若T1和T2是两个线性变换，则它 们的复合T1∘T2也是一个线性变换， 且其矩阵表示为两个变换矩阵的乘 积。
性质
03
04
05
线性变换保持原点不动， 线性变换保持向量间的
即T(0)=0。
线性关系，即若向量u和
v线性相关，则T(u)和
T(v)也线性相关。
线性变换的矩阵表示是 唯一的，且与所选的基 无关。
线性变换矩阵表示法
线性变换的矩阵表示是线性的，即 对于任意两个向量x和y以及任意 标量k，有T(kx+y)=kT(x)+T(y)。
02
负定二次型判断方法
03
所有特征值均为负数。
正定二次型和负定二次型判断方法
奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。
存在可逆矩阵C使得$C^TAC=-I$，其中I是单位矩阵。
二次型在优化问题中应用举例
最小二乘法
约束优化问题
在回归分析中，最小二乘法是一种常用的优 化方法，其目标是最小化残差平方和。该问 题可以转化为求解一个二次型的最小值问题。
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-2
k 1
i 1,2, , s, j 1,2, ,m
称为 A 与 B的积，记为 C AB ．
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
注意 ① 乘积 AB 有意义要求 A 的列数＝B的行数. ② 乘积 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A 的第 i 行
乘B 的第 j 列相应元素相加得到．
一、加法 二、乘法 三、数量乘法 四、转置
2020/1/14
数学与计算科学学院
一、加法
1．定义 设 A (aij )sn , B (bij )sn , 则矩阵
C (cij )sn (aij bij )sn 称为矩阵A与B的和，记作 C A B ．即
a11 b11 a12 b12
3
1 4
AB
9 9
2 9
1 11
,
而 BA无意义．
例3． A
2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 2
,
B
2 3
4 6
AB
16 8
32 16
,
BA
0 0
0 0
,
AB BA.
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
1
例4．
① 一般地，AB BA. 若 AB BA ，称A与B可交换．
② AB 0 未必有 A 0 或B 0 ． 即 A 0 且B 0 时，有可能 AB 0 ．
③ AX AY未必 X＝Y．
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
2．矩阵乘法的运算规律
(1) ( AB)C A(BC)
i 1,2, , s, j 1,2, ,m
称为 A 与 B的积，记为 C AB ．
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
注意 ① 乘积 AB 有意义要求 A 的列数＝B的行数. ② 乘积 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A 的第 i 行
乘B 的第 j 列相应元素相加得到．
一、加法 二、乘法 三、数量乘法 四、转置
2020/1/14
数学与计算科学学院
一、加法
1．定义 设 A (aij )sn , B (bij )sn , 则矩阵
C (cij )sn (aij bij )sn 称为矩阵A与B的和，记作 C A B ．即
a11 b11 a12 b12
3
1 4
AB
9 9
2 9
1 11
,
而 BA无意义．
例3． A
2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 2
,
B
2 3
4 6
AB
16 8
32 16
,
BA
0 0
0 0
,
AB BA.
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
1
例4．
① 一般地，AB BA. 若 AB BA ，称A与B可交换．
② AB 0 未必有 A 0 或B 0 ． 即 A 0 且B 0 时，有可能 AB 0 ．
③ AX AY未必 X＝Y．
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
2．矩阵乘法的运算规律
(1) ( AB)C A(BC)
线性代数课件第4章
11
2 1 1 例7： 求矩阵 A 0 2 0 的特征值和特征向量, 4 1 3
并求可逆矩阵P, 使 P 1 AP 为对角阵.
解：
2 1 1 2 | A E | 0 2 0 1 2 4 1 3
| A 3 A 2 E | 9
17
定理2：设 1 , 2 ,
, m 是方阵 A的 m 个特征值，
p1 , p2 ,
若 1 , 2 ,
, pm 依次是与之对应的特征向量。
, m 各不相等，则 p1 , p2 ,
, pm
线性无关。
方阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关。
则
( n ) det( A)
ann )( )n1
1 2 n a11 a 22 1 2 n det( A)
a nn
8
1 1 0 例6： 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量. 1 0 2
解：1、由矩阵 A 的特征方程，求出特征值.
1 1 0 1 1 3 0 (2 ) A E 4 4 3 1 0 2
1 2 0
2
特征值为 = 1, 2
9
2、把每个特征值 代入线性方程组 A E x 0, 求出基础解系。
(2) 有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
25
矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）
定理4： n 阶矩阵 A 与对角阵相似（A可对角化）
A有n个线性无关的特征向量。
26
Api i pi , i 1, 2,
( Ap1 , Ap2 ,
线代第四章课件
n , 则有
( 2) 12 n A .
矩阵A的迹
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
5. 设 i 为 方 阵 A 的一 个 特 征值 , 则 由 方 程
(i I A) x 0 可求得非零解 x pi ,那么 pi 就是
以a 左乘上式两端 得 1 1 1 0 ,
T 1
T
由 1 0 1 1 1
T
2
0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1 , 2 ,, r 线性无关.
施密特正交化方法
若a1, a2 ,, ar 为R 的线性无关向量组 , b1 a1
二、向量的长度及性质
定义2
令
x
x, x
x x x ,
2 1 2 2 2 n
称 x 为n 维向量 x的长度 或范数 .
向量的长度具有下述性质：
1. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
称(x,y)为向量的内积（点乘x . y）
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． 2 内积是向量的一种运算，如果x，y都是列 向量，内积可以用矩阵记号表示为
x, y xT y.
内积的运算性质 （其中x，y，z为n维向量，λ为实数） (1) (x, y)=(y, x) (2) (λx , y)= λ(x, y) (3) (x+y, z)=(x, z)+ (y, z) (4) (x,x)≥ 0, 且当x≠0时有 (x, x)>0