灰色关联度
灰色模型算术公式
灰色模型算术公式灰色模型是一种用于预测和分析数据的方法，其基本思想是将数据分为两类：已知数据和未知数据。
已知数据是指已经确定并可以用来建模的数据，而未知数据则是需要预测或者分析的数据。
为了对未知数据进行预测或分析，灰色模型使用了灰色系统理论中的灰色预测方法。
灰色模型的算术公式包括：灰色微分方程、灰色模型GM(1,1)、灰色关联度等。
其中，灰色微分方程是灰色预测方法的核心公式，它的形式为：$$ frac{dx}{dt} + a x = u $$其中，$x$ 表示原始数据序列，$t$ 表示时间，$a$ 表示灰色微分方程的参数，$u$ 表示灰色微分方程的非齐次项。
通过对该方程进行求解，可以得到灰色模型的预测结果。
另外，灰色模型GM(1,1)是一种常用的灰色预测模型，它的基本形式为：$$ x(k+1) = (x(1)-frac{u}{a})e^{-ak} + frac{u}{a} $$ 其中，$x(k+1)$ 表示预测值，$x(1)$ 表示初始值，$a$ 和$u$ 分别表示灰色微分方程的参数。
通过对历史数据进行处理，可以得到灰色模型GM(1,1)的预测结果。
此外，灰色关联度是用于分析数据间关系的一种方法，在灰色系统理论中被广泛应用。
灰色关联度的计算公式为：$$ r_{ij} = frac{sum_{k=1}^nmin(x_i(k),x_j(k))}{sum_{k=1}^n x_i(k)} $$其中，$x_i(k)$ 和 $x_j(k)$ 分别表示第 $i$ 个和第 $j$ 个数据在第 $k$ 个时刻的值，$n$ 表示时刻数。
通过计算灰色关联度，可以了解数据之间的关系，从而对其进行进一步的分析和预测。
总之，灰色模型的算术公式包括灰色微分方程、灰色模型GM(1,1)、灰色关联度等，这些公式是灰色预测和分析方法的核心内容。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的公式进行计算和分析。
灰色关联度评价法例子
灰色关联度评价法例子
灰色关联度评价法是一种系统分析方法，用于评估多个指标对某一目标的影响程度。
下面是一个关于选择高中学校的例子：
假设我需要选择一所高中学校，但是有以下几个指标需要考虑：
1. 学校内部教育质量排名
2. 学校师资力量情况
3. 学校设施和硬件条件
4. 学校的学科特长
为了确定以上指标对学校的选择影响的程度，我们可以进行如下的灰色关联度评价：
步骤1：收集数据
收集各个高中学校的教育质量排名、师资力量情况、设施和硬件条件以及学科特长的数据。
步骤2：归一化处理
将不同指标的数据进行归一化处理，使得不同指标的取值范围相同。
步骤3：确定参考数列
选取一组参考数列，用于评价不同指标之间的关联程度，并考虑指标的重要性。
步骤4：计算关联度
根据灰色关联度评价法的公式，计算每个指标与目标的关联度。
步骤5：确定权重
通过对每个指标的关联度进行归一化处理后，结合专家意见确定各个指标的权重。
步骤6：综合评价
根据各个指标的权重和关联度，进行综合评价，得出最终的评价结果。
通过这样的灰色关联度评价，我们可以对不同高中学校的教育质量、师资力量、设施和硬件条件、学科特长等指标进行客观的评估，并选择最符合自己需求的学校。
对灰色关联度计算方法的改进(精)
对灰色关联度计算方法的改进■曹明霞党耀国张蓉陆建峰计算方法记折线００一、引言在系统分析中，为了研究系统的结构和功能，就要建立适当的数学模型去描述系统。
而这样做时，首要的工作就是要分析各种因素间的关系，找出系统的主要特征及主要关系，为分析研究提供必要的基础。
灰色系统理论提出了灰色关联分析方法，自提出以来，众多学者就自己对灰色关联度的实质的理解而提出了不同的量化模型。
就目前的情况来看，主要有以下的几种计算模型：邓氏关联度、Ｔ型关联度、斜率关联度、Ｂ型关联度、广义灰色关联度、灰色Ｃ型关联度、欧几里德关联度等。
灰色关联分析方法是灰色系统理论中一个重要的组成部分，其基本思想是根据数据序列曲线的相似程度来判别因素间的关联程度，即曲线形状越相似，其关联度越大，否则越小。
所以关联度的合理计算显得非常重要，然而目前有关关联度的各种计算方法中存在如下的欠缺。
（１）不具有规范性。
这里的规范性是指：０＜γ≤１且γｉ＝１当且仅当Ｘｉ（ｋ）＝Ｘ０（ｋ）轻的程度。
（６）当Ｘｉ围绕Ｘ０摆动时，且Ｘｉ位于００（ｘｉ（１）－ｘｉ（１），ｘｉ（２）－ｘｉ（１），…，ｘｉ（ｎ）－ｘｉ（１））为Ｘｉ。
令ｓｉ＝Ｘ０之上部分的面积与位于之下的面积相等时，ε０ｉ＝１。
这样，就不能正确地反映曲线相似的实质。
二、改进的灰色绝对关联度的计算以及灰关联空间的定义目前提出的几种主要的灰关联度计算模型中存在着某种欠缺，主要是因为灰色关联理论体系不是很完备，因此有必要重新定义曲线的相似性及灰色关联空间。
既然灰关联度是通过数据序列的几何关系的相似程度来度量的，我们首先要准确地给出曲线相似的定义，并且要充分地利用曲线相似这一点来给定一个比较合理的灰色关联度的计算公式，计算灰色关联度的前提条件是我们定义的灰关联映射应满足对称性。
设系统行为数据序列为０#Ｘｄｔｎ０ｉｌ（ｉ＝０，１，２，…，ｍ），则（１）当Ｘｉ为增长序列时，ｓｉ≥０；（２）当Ｘｉ为衰减序列时，ｓｉ≤０；（３）当Ｘｉ为振荡序列时，ｓｉ符号不定。
第四章 灰色关联度评价法
第四章灰色关联度评价法1982年,华中理工大学邓聚龙教授首先提出了灰色系统得概念,并建立了灰色系统理论.之后,灰色系统理论得到了较深入的研究,并在许多方面获得了成功得应用.灰色系统理论认为,人们对客观事物得认识具有广泛得灰色性,即信息的不完全性和不确定性,因而由客观事物所形成得是一种灰色系统,即部分信息已知、部分信息未知得系统.比如社会系统、经济系统、生态系统等都可以看作是灰色系统..人们对综合评价的对象—被评价事物的认识也具有灰色性,因而可以借助于灰色系统的相关理论来研究综合评价问题.下面首先介绍灰色关联分析方法,然后探讨其在综合评价中应用的一些问题.一、灰色关联分析方法灰色关联分析（GRA）是一种多因素统计分析方法,它是以各因素的样本数据为依据用灰色关联度来描述因素间关系得强弱、大小和次序的.如果样本数据列反映出两因素变化的态势(方向、大小、速度等)基本一致,则它们之间得关联度较大;反之,关联度较小.与传统的多因素分析方法(相关、回归等)相比,灰色关联分析对数据要求较低且计算量小，便于广泛应用.GRA分析得核心是计算关联度,下面通过一个例子来说明计算关联度得思路和方法.表5-3是某地区1990～1995年国内生产总值得统计资料.现在提出这样得问题:该地区三次产业中,哪一产业产值得变化与该地区国内生产总值(GDP)的变化态势更一致呢?也就是哪一产业与GDP的关联度最大呢?这样得问题显然是很有实际意义的.一个很自然的想法就是分别将三次产业产值的时间序列与GDP 的时间序列进行比较,为了能够比较,先对各序列进行无量纲化,这里采用均值化法.各序列得均值分别为:2716,461.5,1228.83,1025.67,表5-3中每列数据除以其均值可表5-3 某地区国内生产总值统计资料(百万元)得均值化序列(如表5-4所示).粗略地想一下,两序列变化的态势是表现在其对应点的间距上.如果各对应点间距均较小,则两序列变化态势的一致性强,否则,一致性弱.分别计算各产业产值与GDP在对应期的间距(绝对差值),结果见表5-5.接下来表5-4表5-5似乎应该是对三个绝对差值序列分别求平均再进行比较,就可以解决问题了.但如果仔细观察表5-5中数据就会发现绝对差值数据序列的数据间存在着较大的数量级差异(最大为0.1857,最小的为0.0006,相差300多倍),不能直接进行综合,还需要对其进行一次规范化.设(max)∆分别表示表5-5中绝对差∆和(min)值)(0t i ∆的最大数和最小数,则(m ax ))((m in)00∆≤∆≤∆≤t i因而1(max ))((max )(min)00≤∆∆≤∆∆≤t i显然(max ))(0∆∆t i 越大,说明两序列i x 和0x 变化态势一致性弱,反之,一致性强,因此可考虑将(max ))(0∆∆t i 取倒反向.为了规范化后数据在[0,1]内,可考虑(max ))((max )(min)0∆∆∆∆t i由于在一般情况下(min)∆可能为零(即某个)(0t i ∆为零),故将上式改进为)((max ))((max )(min)00t t i i ερρ∆=+∆∆+∆∆ρ在0和1之间取值.上式可变形为1995,,1990,3,2,1(max))((max)(min))(00 ==∆+∆∆+∆=t i t t i i ρρε (5-6))(0t i ε称为序列i x 和序列0x 在第t 期的灰色关联系数(常简称为关联系数).由(5-6)式可以看出,ρ取值的大小可以控制(max)∆对数据转化的影响, ρ取较小的值,可以提高关联系数间差异的显著性,因而称ρ为分辨系数.利用(5-6)式对表5-5中绝对差值)(0t i ∆进行规范化,取ρ=0.4,结果见表5-6.以)1990(01ε计算为例:4191.01857.04.01044.01857.04.00006.0)1990(1857.0(max),0006.0(min)01=⨯+⨯+==∆=∆ε 同样可计算出表5-6中其余关联系数.表5-6最后分别对各产业与GDP 的关联系数序列求算术平均可得7209.0)4758.000.17338.05213.07257.08687.0(615760.0)3510.06141.08761.04903.05178.06067.0(614571.0)2881.03696.07055.05808.03796.04191.0(61010101=+++++==+++++==+++++=r r ri r 0称为序列0x 和)3,2,1(=i x i 的灰色关联度.由于010203r r r >>,因而第三产业产值与GDP 的关联度最大,其次是第二产业、第一产业.从上例可以看出,灰色关联分析需要经过以下几个步骤:1.确定分析序列在对所研究问题定性分析的基础上,确定一个因变量因素和多个自变量因素.设因变量数据构成参考序列0X ',各自变量数据构成比较序列1),,,2,1(+='n n i X i 个数据序列形成如下矩阵:(5-7)其中n i N x x x X T i i i i ,,2,1,))(,,2(),1(( ='''=' N 为变量序列的长度.)1(110110)()()()2()2()2()1()1()1(),,,(+⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''='''n N nnnn N x N x N x x x x x x x X X X无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据都可以用来作关联分析。
灰色关联法确定权重
灰色关联法确定权重1. 引言灰色关联法是一种基于数学模型的分析方法，通过对多个指标进行比较和关联，确定它们之间的相关程度和影响因素的重要性。
在决策分析、综合评价和预测预警等领域中广泛应用。
本文将详细介绍灰色关联法的原理、步骤以及如何利用该方法确定权重。
2. 灰色关联法原理灰色关联法是由中国科学家陈胜武于1981年提出的，其基本原理是通过建立灰色关联度模型，从而判断各个因素对目标因素的影响程度。
该方法主要包括以下几个步骤：2.1 数据标准化首先需要将各个指标的数据进行标准化处理，将其转化为无量纲纯数值。
常用的标准化方法有极差法、标准差法和正态化等。
2.2 确定参考数列参考数列是一个代表目标因素发展趋势的序列，可以是已知数据或者专家经验给出的预测值。
2.3 计算关联系数通过计算各个指标与参考数列之间的关联系数，来评价各个因素对目标因素的影响程度。
关联系数的计算可以采用相关系数、欧氏距离等方法。
2.4 确定权重根据关联系数的大小，确定各个因素的权重。
关联系数越大，说明该指标对目标因素的影响越大，其权重也就越高。
3. 灰色关联法确定权重步骤下面将详细介绍如何利用灰色关联法确定指标的权重：3.1 数据准备首先需要收集所需数据，并进行预处理。
确保数据的准确性和完整性，同时对数据进行标准化处理，使其具有可比性。
3.2 确定参考数列根据研究目的和实际情况，选择一个代表目标因素发展趋势的参考数列。
可以是已知数据或者专家经验给出的预测值。
3.3 计算关联系数通过计算各个指标与参考数列之间的关联系数，来评价各个因素对目标因素的影响程度。
常用的计算方法有相关系数法和欧氏距离法。
相关系数法相关系数是衡量两个变量之间相关程度的指标，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
可以通过计算各个指标与参考数列的相关系数，得到关联系数。
欧氏距离法欧氏距离是衡量两个向量之间差异程度的指标，可以通过计算各个指标与参考数列之间的欧氏距离，来得到关联系数。
数学建模之灰色关联度(二)
❖ 步骤4.带入公式，得到三组关联系数(单行)矩阵。
min 0, max 4.437
（3）计算关联度
❖取
1 2 3 4 5 0.2 ，比较因素和
参考因素的关联度为
r01
1 5
5
k 1
01(k )
0.942
r04
1 5
5
04 (k)
k 1
0.826
r02
1 5
5
02 (k)
k 1
0.954
r05
1 5
5
05 (k)
k 1
0.608
, 5，其他各因素作为比较因素序
,8, k 1, ,，5 对各因素初值化处理，得
yi (k),i 1, ,8, k 1, ,5
标准化数据表
因素
大气污染 值
NO TSP
SO2
工业总产 值 基建投资
机动车数 量 煤炭用量
沙尘天数
1999 1
x
1 1 1 1
1
1
1 1
2000 0.883
0.816 0.890 0.708 1.131
1.872 0.869
0.999 1.300
2001 0.869
1.105 0.884 0.625 1.315
2.613 1.005
1.044 1.300
2002 0.817
0.947 0.811 0.625 1.587
《灰色关联度》PPT课件
max i
xi (k) c(k)
min i
(k) c(k) xi (k) c(k)
6〕偏离区间
型：
[b(k),b (k)]
yi
(k)
i max
i
(k
)
max i
i
(k
)
i
(k
)
min i
i
(k
)
,
i (k) max{b(k) xi (k), xi (k) b (k)}
定义
r
(
x0
(k
所以，对一个灰色系统进展分析研究时，首先 要解决如何从随机的时间序列中找到关联性， 计算关联度，以便为因素判别、优势分析和预 测精度检验等提供依据，为系统决策打好根底。 因此说，灰色因素间的关联度分析，实质上是 灰色系统分析、预测、决策的根底。
一般的抽象系统都包含有许多影响因素，多种因素共同 作用的结果断定了系统的开展态势。我们希望从众多的 因素中判断出：哪些是主要因素、哪些是次要因素。这 些都是系统分析的内容，数理统计中的回归分析、方差 分析、主成分分析、相关分析等都可以用来进展此类系 统分析。这些方法的缺乏之处是：
i,t,l, j
x(i) x(t) y(i) y(t) x(l) x( j) y(l) y( j)
设有多指标序列
x1 (x1(1), x1(2), , x1(n))
x2 (x2 (1), x2 (2), , x2 (n))
xm (xm (1), xm (2), , xm (n))
灰色理论应用领域 数据生成 关联分析 预测模式
统控制 灰色相对于白色和黑色 系统的影响因素不完全明确 因素关系不完全清楚 系统构造不完全知道 系统的作用原理不完全知道
基于层次分析法的灰色关联度综合评价模型
】】 】 】 】 】 】第1章 基于层次分析法的灰色关联度综合评价模型灵活型公共交通系统是一个复杂的综合性系统，单一的常规评价方法不能够准确对系统进行全面评价【39 ，这就要求在进行灵活型公共交通系统评价时，结合系统固有特点，根 据各种评价方法的优缺点，构建适合该系统的综合评价模型。
本章以灵活型公共交通系统评 价指标体系为基础，参考常规型公共交通系统评价方法，建立了基于层次分析法的灰色关联 度综合评价模型。
1.1评价方法适应性分析灰色关联度分析法基于灰色系统理论，是一种多指标、多因素分析方法 ，通过对系统的动态发展情况进行定量化分析，考察系统各个要素之间的差异性和关联性，当比较序列与 参考序列曲线相似时，认为两者有较高关联度，反之则认为它们之间关联度较低，从而给出 各因素之间关系的强弱和排序【50】。
与传统的其它多因素分析法相比【80】【81】【82】，灰色关联度 分析法对数据量要求较低，样本量要求较少，计算量较小，可以利用各指标相对最优值作为 参考序列，为最终综合评价等级的确定提供依据 ，而不必对大量实践数据有过高要求，能 够较好解决灵活型公共交通系统作为新型辅助式公系统没有足够的经验数据支撑其模型参 数的问题。
此外，灵活型公共交通系统评价体系是基于乘客、公交企业、政府三方主体的综 合评价体系，涉及因素较多，指标较为复杂，部分指标之间存在关联性和重复性，信息相对 不完全，而灰色系统的差异信息原理以及解的非唯一性原理，可以很好的解决这一问题【79 。
综上所述，认为灰色关联度分析法比较 适合于灵活型公共交通系统的综合评价 。
然而灰色 关联度分析法将所有指标对于总目标的影响因素大小视作等同，没有考虑指标权重的影响， 评价值可信度较低，应当通过科学的方法，确定指标权重，将其与关联度系数相结合，增加 评价结果的科学性和有效性【83 。
常见的权重确定方法包括，专家打分法、等权重法、统计试验法、熵值法等。
灰色关联度分析
灰色关联度分析第五章灰色关联度分析目录壹、何谓灰色关联度分析 --------------------------------------- 5-2 贰、灰色联度分析实例详说与练习 --------------------------- 5-8负责组员工教行政硕士班二年级周世杰591701017陶虹沅591701020林炎莹591701025第五章灰色关联度分析壹、何谓灰色关联度分析一.关联度分析灰色系统分析方法针对不同问题性质有几种不同做法，灰色关联度分析(Grey Relational Analysis)是其中的一种。
基本上灰色关联度分析是依据各因素数列曲线形状的接近程度做发展态势的分析。
灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定的方法，去寻求系统中各子系统(或因素)之间的数值关系。
简言之，灰色关联度分析的意义是指在系统发展过程中，如果两个因素变化的态势是一致的，即同步变化程度较高，则可以认为两者关联较大;反之，则两者关联度较小。
因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态(Dynamic)的历程分析。
灰色关联度可分成「局部性灰色关联度」与「整体性灰色关联度」两类。
主要的差别在于「局部性灰色关联度」有一参考序列，而「整体性灰色关联度」是任一序列均可为参考序列。
二.直观分析2依据因素数列绘制曲线图，由曲线图直接观察因素列间的接近程度及数值关系，表一某老师给学生的评分表数据数据为例，绘制曲线图如图一所示，由曲线图大约可直接观察出该老师给分总成绩主要与考试成绩关联度较高。
表一某一老师给学生的评分表单位:分/ %姓名周阿舍刘阿华萧阿蔷评分项目总成绩(X) 100 95 60 0考试成绩(X) 90 80 50 1出席率(X) 100% 90% 80% 210090909085 總成績80808075考試成績70 出席率6060606050周阿舍劉阿華蕭阿薔圖一某老師給學生的評分表曲線圖由曲线图直观分析，是可大略分析因素数列关联度，可看出考试成绩与总成绩曲线形状较接近，故较具关联度，但若3能以量化分析予以左证，将使分析结果更具有说服力。
灰色关联度评价法例子
灰色关联度评价法例子灰色关联度评价法例子什么是灰色关联度评价法灰色关联度评价法是一种评价指标的方法，用于分析不同因素之间的关联程度。
它可以帮助我们量化分析和比较各种因素的重要性和关系，从而为决策提供依据。
例子1：学生综合素质评价•因素1：学生学习成绩•因素2：体育锻炼时间•因素3：课外活动参与度•因素4：社会实践经历通过灰色关联度评价法，可以将以上四个因素与一个评价指标（例如综合素质评价得分）进行比较，评估每个因素对于综合素质的贡献程度。
评价结果可以帮助学校制定更为客观和科学的学生综合素质评价指标。
例子2：产品质量评价•因素1：产品外观•因素2：产品功能•因素3：产品耐用性•因素4：产品售后服务通过灰色关联度评价法，可以将以上四个因素与产品质量进行关联度分析，评估每个因素对于产品质量的影响程度。
评价结果可以帮助企业了解产品质量存在的问题，以及针对不同因素采取相应的改进措施。
例子3：城市交通拥堵评价•因素1：道路容量•因素2：车辆密度•因素3：交通信号灯设置•因素4：城市公共交通系统通过灰色关联度评价法，可以将以上四个因素与城市交通拥堵进行关联度分析，评估每个因素对于交通拥堵的影响程度。
评价结果可以帮助政府和交通管理部门有针对性地解决交通拥堵问题，提高城市的交通效率。
结论灰色关联度评价法提供了一种有效的工具，可以帮助我们理清因素之间的关联程度，从而更好地进行评价和决策。
通过以上例子，我们可以看到该方法在不同领域都有广泛的应用价值，为各种评估和分析工作提供帮助。
例子4：金融风险评估•因素1：利率变动•因素2：股市波动•因素3：政策影响•因素4：经济景气度通过灰色关联度评价法，可以将以上四个因素与金融风险进行关联度分析，评估每个因素对于金融风险的影响程度。
评价结果可以帮助机构和投资者识别风险因素并制定相应的风险管理策略。
例子5：客户满意度评价•因素1：产品质量•因素2：服务态度•因素3：交付时效•因素4：价格合理性通过灰色关联度评价法，可以将以上四个因素与客户满意度进行关联度分析，评估每个因素对于客户满意度的贡献程度。