高中数学人教a版高二选修2-3_第三章_统计案例_3.1学业分层测评_word版有答案

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．为了研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l 1和l 2，已知两人计算过程中x －，y －分别相同，则下列说法正确的是( )
A ．l 1与l 2一定平行
B ．l 1与l 2重合
C ．l 1与l 2相交于点(x －，y －)
D ．无法判断l 1和l 2是否相交
【解析】 回归直线一定过样本点的中心(x －，y －)，故C 正确． 【答案】 C
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【解析】 相关指数R 2越大，表示回归模型的拟合效果越好． 【答案】 A
3．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
【解析】 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
【答案】 A
4．对于指数曲线y ＝a e bx ，令U ＝ln y ，c ＝ln a ，经过非线性化回归分析后，可转化的形式为( )
A ．U ＝c ＋bx
B ．U ＝b ＋cx
C ．y ＝c ＋bx
D ．y ＝b ＋cx
【解析】 由y ＝a e bx 得ln y ＝ln(a e bx )，∴ln y ＝ln a ＋ ln e bx ，
∴ln y ＝ln a ＋bx ，∴U ＝c ＋bx .故选A. 【答案】 A
5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如表所示：
则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝88＋12x D.y ^＝176
【解析】 设y 对x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^， 因为b
^＝－2×(－1)＋0×(－1)＋0×0＋0×1＋2×1(－2)2＋22
＝12，a ^＝176－1
2×176＝88，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝1
2x ＋88.
【答案】 C 二、填空题
6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性进行分析，并用回归分析的方法分别求得相关指数R 2与残差平方和Q (a
^，b ^)如下表：
则能体现A ，B
【解析】丁同学所求得的相关指数R2最大，残差平方和Q(a
^，b^)最小．此时A，B两变量线性相关性更强．
【答案】丁
7．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)对比结果如下：
【解析】可以根据表中数据分析，两个回归方程对数据预测的正确率进行判断，甲回归
方程的数据准确率为32
40＝
4
5，而乙回归方程的数据准确率为
40
60＝
2
3.显然甲的准确率高些，因此
甲回归方程好些．
【答案】甲
8．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b ＝0.8，a＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过________亿元. 【导学号：97270060】
【解析】∵x＝10时，y＝0.8×10＋2＋e＝10＋e，
∵|e|≤0.5，∴y≤10.5.
【答案】10.5
三、解答题
9．某服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：
(1)
(2)画出散点图；
(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．
【解】(1)x－＝6，y－≈79.86，样本点的中心为(6,79.86)．
(2)散点图如下：
(3)因为b
^＝
∑i ＝1
7
(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1
7 (x i －x －
)2≈4.75，a ^＝y －－b ^x －
≈51.36，
所以y ^＝4.75x ＋51.36.
10．为了研究某种细菌随时间x 变化繁殖个数y 的变化，收集数据如下：
(1) (2)求y 与x 之间的回归方程． 【解】 (1)散点图如图所示：
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y ＝c 1e c 2x 的周围，于是令
z ＝ln y ，则
由计算器算得，z ^＝0.69x ＋1.112，则有y ＝e 0.69x ＋1.112.
[能力提升]
1．(2016·青岛一中调研)某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如表：
显然所减分数y 则其线性回归方程为( ) A ．y ＝0.7x ＋5.25
B ．y ＝－0.6x ＋5.25
C ．y ＝－0.7x ＋6.25
D ．y ＝－0.7x ＋5.25
【解析】 由题意可知，所减分数y 与模拟考试次数x 之间为负相关，所以排除A.
考试次数的平均数为x ＝1
4(1＋2＋3＋4)＝2.5， 所减分数的平均数为y ＝1
4(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，
即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线y ＝－0.7x ＋5.25成立，故选D. 【答案】 D
2．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：
若x 与y ．
【解析】 ∑i ＝1
n x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x －
＝6＋8＋10＋124
＝9，
y －＝2＋3＋5＋64
＝4，
∑i ＝1
n
x 2i ＝62＋82＋102＋122
＝344， b ^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，
a ^＝y －－
b ^x －＝4－0.7×9＝－2.3， 故线性回归方程为y ^＝0.7x －2.3. 【答案】 y ^＝0.7x －2.3
3．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y (件)与平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：
由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－2，样本中心点为(10,38)． (1)表中数据m ＝__________.
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__________件．
【解析】 (1)由y ＝38，得m ＝40.
(2)由a
^＝y －b ^ x ，得a ^＝58， 故y ^＝－2x ＋58， 当x ＝22时，y ^＝14，
故三月中旬的销售量约为14件． 【答案】 (1)40 (2)14
4．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
图3-1-2
表中w i ＝x i ，w ]＝18∑i ＝1
8
w i .
(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距
的最小二乘估计分别为β
^＝
∑i ＝1
n
(u i －u )(v i －v )
∑i ＝1n
(u i －u )2
，α
^＝v －β^ u . 【解】 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．
(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．
由于d
^＝∑i ＝1
8
(w i －w )(y i －y )
∑i ＝1
8
(w i －w )2
＝108.8
1.6＝68，
c ^＝y －d
^ w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，
年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^
＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.
所以当x ＝13.6
2＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.。