信号与系统课件 第四章

则
H ( j )
j j 6.28 0.53e j 57.9 10 j 10 j 6.28
H ( j 3)
j 3 j 3 6.28 0.88e j 27.9 10 j 3 10 j 3 6.28
H ( j 5)
j 5 j 5 6.28 j17.6 0.96e 10 j 5 10 j 5 6.28
4E 4E sin 5t H ( j 5) sin[ 5t (5)] 2.43sin(5t 17.6 ) 5 5
最后系统的响应信号为：
u R (t ) 6.78 sin( t 57.9 ) 3.75 sin( t 27.9 ) 3 2.43sin( t 17.6 ) 5
H ( j ) 的求法：
1. H ( jω)



h(t )e jω t dt
2. 从网络结构上直接利用欧姆定律求解。
例：
e(t )

uc (t )

已知 e(t ) E[ (t ) (t )] 求：uc (t ) 。

2 )e
j 2
解：(1) E( j ) ESa( (2) H ( j )



E ( j ) H ( j )e jt d
即 R( j ) E ( j ) H ( j )
由此得到系统频域分析法的步骤为:
1. 求 E( j ) F{e(t )}
2. 求 H ( j )
3. 求 R( j ) E( j ) H ( j )
4. 求 r (t ) F 1{R( j )}
第四章
§4.1 引言
连续时间系统的频域分析
激励分解成单元信号和的形式，单元信号的选 择应具有以下两个性质： 1. 由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有 用信号； 2. LTI系统对每个单元信号响应的求解应十分 简单。 频域分析所采用的单元信号是等幅的正弦信号。
设：激励 e(t ) e
j 0t

(4)求 uc (t ) ，为便于求解，将Uc ( j ) 写成另一种形式
1 1 j E ( j ) E[ ( ) ( ( ) )e ] j j E (1 e j ) j
E U c ( j ) (1 e j ) j j

T
0
2 u R (t ) dt
33 .0W
§4.4 调幅信号通过谐振电路的稳态分析
C

e(t )

i (t )
L
激励是调幅电压信号，响应信号 为回路电流，假设调幅电压是正 弦调制的，则其数学表达式为：
R
e(t ) Em[1 me1 cos(1t e1 )]cos(ct 0 )
2 1
cos[( c 1 )t 0 e1 1 ]
Em me1 [1 cos(1t e1 1 )]cos(ct 0 ) 2 R 1 1
I m[1 mi1 cos(1t i1 )]cos(ct 0 )
其中
Em Im R
计算时，可采用复数符号法。
例：

C

R

e(t )
E
0
T 2
e(t )
u R (t )
E
T
t
激励信号如上图所示，电路参数为：
E 10V , T 1s, R 1, C 0.1F
求： 1、电阻电压 u R (t )； 2、信号源输出功率及电阻消耗的功率。 解：由图知激励
E e(t ) E 0t T 2
§4.2 有始信号作用线性电路的瞬态分析
由傅立叶反变换式知：
1 e(t ) 2



E ( j ) e j t d



1 E ( j ) d e jt 2
则
r (t )



1 E ( j ) H ( j ) de jt 2
1 2
任意激励信号首先分解为不同频率的正弦信 号和的形式，然后分别讨论每个正弦信号单独作 用到系统的响应，再将各响应叠加，就可求出任 意信号作用到系统中的响应，这种分析系统的方 法叫频域分析法。 优点：1、物理概念清晰； 2、是拉氏变换法的基础，拉氏变换法可 以看做是频域分析法的推广。 缺点： 需要正反两次傅立叶变换，较困难。
Em cos( c t 0 ) me1 Em cos[( c 1 )t 0 e1 ] 2 m e1 Em cos[( c 1 )t 0 e1 ] 2
系统的频率响应特性就是回路的输入导纳，即
H ( j ) 1 R j (L 1 ) C
1 1 L 0 0 R[1 j 0 ( )] R[1 jQ( )] R 0 0

1 1 e j ( ) R(1 j ) R 1 2
其中
0
Q
1 LC
串联谐振回路的谐振频率 串联谐振回路的品质因数 串联谐振回路的失谐
H ( j ) 的相角
系统的单位冲激响应为h(t )

则响应为 y(t ) e(t ) h(t ) e(t )h( )d





h( )e j 0 ( t ) d
h( )e j 0 d e j 0t



H ( j0 )e j0t
偶
奇
其中 H ( j ) h(t )e jt dt
E( 1 1 )(1 e j ) j j


E E (1 e j ) (1 e j ) j j
uc (t ) E[ (t ) (t )] E[e t (t ) e (t ) (t )]
e(t ) E 0 E1 cos(t 1 ) E 2 cos(2t 2 ) E n cos(nt n )
r (t ) E 0 H ( j 0) E1 H ( j) cos[t 1 ()] E n H ( jn) cos[nt n (n)]
则电源输出的瞬时功率为：
p e(t ) i (t )
平均功率为：（仅取到5次谐波）
1 P T

T
0
pdt P P P 33 .0W 1 3 5
电阻中消耗的平均功率为：
1 PR T

T
0
1 u R (t ) i(t )dt T

T
0
2 1 u R (t ) dt T R
0 L
R
Q(
0 ) 0
( ) arctg
1、回路调谐于载频，即 c 0
通常 1 c ，则失谐可用下面的公式计算
( 0 )( 0 ) 2( 0 ) 0 Q( ) Q Q 0 0 0
T t T 2
C
其傅立叶级数展开式为：
e(t ) 4E


R

e(t )

u R (t )

sin t
4E 4E sin 3t sin5t 3 5
由电路图知，系统的频率响应特性为：
H ( j ) R R 1 jC

jRC j 0.1 j jRC 1 j 0.1 1 10 j

H ( j ) e j ( )
1 e(t ) A cos 0t A(e j0 t e j0t ) 若激励 2
则
r (t )

A [ H ( j 0 ) e j 0 t H ( j 0 ) e j 0 t ] 2
A [ H ( j 0 ) e j ( 0 ) e j 0 t H ( j 0 ) e j ( 0 ) e j 0 t ] 2
则激励信号各频率分量单独作用到系统中的响 应为：
4E

sin t H ( j)
4E

sin[ t ()] 6.78sin(t 57.9 )
4E 4E sin 3t H ( j 3) sin[ 3t (3)] 3.75sin(3t 27.9 ) 3 3
mi1
me1 1 12
i1 e1 1
滞后相位角
或延时了 t1
e1 i1 1

,说明比输入滞后了 1
1
1
。
e(t )
从频谱图上看
t
i (t )
0
其中
U c ( j )
2E sin( ) 2
( 2 2 )1 / 2
arctg , 2 c ( ) arctg , 2


4n


2(2n 1)

2(2n 2)
2(2n 1)



A H ( j 0) {e j[ 0t ( 0 )] e j[ 0t ( 0 )] } 2
A H ( j 0) cos[0t (0 )]
系统对正弦信号的作用是在幅度上乘一系数， 在相位产生一相移，当正弦信号的频率发生变化 时，这些系数和相移也将发生变化，因此 H ( j ) 反映了系统对不同频率的正弦信号在幅度和相位 上的作用的大小，称其为系统的频率响应特性。 从另一个角度定义系统的频率响应特性： 系统对正弦信号的稳态响应随频率的变化 规律叫系统的频率响应特性（或系统的传递函 数），记为 H ( j ) 。