全国高中数学精品说课稿：内蒙古--平面向量的坐标运算
全国高中数学优秀课评选：平面向量的坐标运算(一)教学设计教案或说明
全国高中青年数学教师优秀课观摩与评选活动交流材料人教版全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（下）课题：平面向量的坐标运算(一)（教案）教学目标：知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算.过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；（2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力；（3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养；（2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质；（3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律.教学重点和教学难点：教学重点：平面向量的坐标运算；教学难点：平面向量坐标的意义.教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式.教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计：一、创设问题情境，引入课题.同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。
”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量.思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答）（不能，因为向量既有大小，又有方向）思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考）在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？让我们先来探讨这样一个问题：探究一：如图，,i j 为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d请学生动手完成并回答：根据向量加法的几何意义，我们只要把a 分解在,i j 的方向上，就可得到： 33a i j =+，同理可得2b i j =-+33c i j =+ 42d i j =- 我们用,i j 来表示a 的这种形式是否唯一？根据是什么？（提问学生） 由此复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12λλ，，使1122=a e e λλ+，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底.1 2 3 4 b a c d －1 1 2 j强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的.二、理解概念，加深认识.根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底i 、j 来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标.推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义）如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○1我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 在定义中，要注意a xi yj =+(,)x y =定义实际上给出了求向量坐标的方法：写出向量在正交基底,i j 方向的分解形式，就得到了向量的坐标；反过来，知道了一个向量的坐标，就相当于知道了它在i 、j 方向的分解形式.结合定义，指导学生求出向量i 、j 、0，OP 的坐标.（多媒体演示） 在坐标系中观察，向量,i j 及OP 的坐标与其终点坐标有何关系？这几个向量在坐标系中的位置有什么共同点？什么样的向量其坐标就是终点坐标？通过这样的问题引导让学生得到结论：起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标.类比点的坐标，提出：向量平移后具体位置发生了改变，其坐标是否会发生变化？结合向量坐标的定义，将平移前后的向量分别分解在基底,i j 的方向上，所得四边形是全等的，因此，这两个向量的坐标相同.也可这样理解，通过动画演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通过平移，可以使它们的起点平移到坐标原点处，则其终点必然重合，此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标，由此得到：相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量.三、自主探索，推导法则.前面所学的向量的加法、减法、实数与向量的积这几种运算的结果是向量，因此，引入向量后，这些运算的结果也能用坐标表示，1122(,),(,),,(,),a x y b x y a b a b a x y a λλ==+-=探究二： (1)已知 求 的坐标.(2)已知和实数求 的坐标.请学生以四人小组为单位，自己讨论推导，再将推导方法及所得结论在班上进行交流，最后，教师再来归纳整理，由此得出平面向量的坐标运算法则：（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差： ),(2121y y x x b a ±±=±→→（其中),(),,(2211y x b y x a ==→→） （2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标： 若),(y x a =→，则),(y x a λλλ=→；(2,1),(3,4),,,34a b a b a b a b ==-+-+练习1 .已知求 的坐标. 探究三：通过前面的学习，我们知道，起点在原点的向量的坐标就是其终点坐标，那么，对于起点不在原点的向量，又该如何来确定其坐标？若已知其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？先来看一个具体的例子：求出图中的向量a 的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、终点坐标之间有何关系？(2,3)1 a（引导学生从特殊到一般，归纳猜想）学生不难发现：其坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标.再将A,B 的坐标推广到一般的),(),,(2211y x y x ，可得相应结论。
平面向量的坐标运算 课件
P1 P P
O
x
思考5：一般地，若点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)，点P是直线P1P2上一点，
且 P1P PP2 ，那么点P的坐标有何计算
公式？ y
P
P2
P1
O
x
P( x1 x2 , y1 y2 ) 1 1
AB ＝(x2－x1，y2－y1).
B
o
x
任意一个向量的坐标等于表示该向量 的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
平面向量共线的坐标表示
思考1：如果向量a , b共线（其中b≠0）， 那么 a , b 满足什么关系？
a＝ b.
思考2：设a (x1，y1), b (x2，y2 )，若向量 a，b共线（其中b 0），则这两个向量的坐标 应满足什么关系？反之成立吗？
推导过程：
由a b得： (x1, y1) (x2 , y2 )
x1 y1
x2 y2
,
消去：x1 y2 x2 y1 0.
a与b 共线 (b 0)
当且仅当 x1 y2 x2 y1 0时.
1. 消去时能不能两式相除?
不能两式相除， y1, y2有可能为 0，
又b 0, x2, y2中至少有一个不为 0 .
a＝(x1， y1).
思考3：如何用数学语言描述上述向量的坐
标运算？
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向
量相应坐标的和（差）；
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原
来向量的相应坐标.
思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)， 那么向量 AB 的坐标如何？一般地，一个
任意向量的坐标如何计算A？ y
思考2：根据向量的坐标表示，向量
高中数学平面向量的坐标运算全版.ppt
精选整理
8
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
精选整理
15
作业： 课本P101 A组：1，2，3，4，5, 6, 7
精选整理
16
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
A(x, y)
两者相同
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y）
Oi
x
3.a b x1 x2且y1 y2
精选整理
4
概念应用
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 求它们的坐标．
解：由图可知
A2
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理， b 2i 3 j (2,3)
且
MP
1 2
MN
,
求P点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)= 1 (-8, 1)=(-4, 2
1
2)
xy32124
∴
x y
1 3
2
∴P点坐标为(-1, - 3 ) 2
2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 AB 2 BC = (-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求3 j (2,3)
d 2i 3 j (2,3)
练习:已知O是坐标原点,点A在
高一数学-平面向量的坐标运算说课提纲 精品
平面向量的坐标运算说课提纲一、教材分析：向量是现代数学中重要基本概念之一，是研究数学的重要工具，它与三角函数、复数、平面几何、解析几何等数学内容有着密切的联系，在物理上的应用犹为显著。
本节内容《平面向量的坐标运算》又是典型的数型结合，它是用代数的方法解决几何问题。
实现的是由图形向数的转化。
引入向量坐标后，向量加减法、实数与向量的乘法、向量的数量积都可以通过向量的坐标运算得以解决。
它将数与型紧密结合起来，这样很多几何问题可转化为学生熟知的数量的运算，从而使几何问题的研究插上了代数的翅膀，解决问题更便捷，刻划问题更深刻，教师要用向量的坐标表示的优越性，调动学生学习积极性。
本节在本章的地位：本章平面向量的第一大部分——向量及运算，按向量的表示来分，可分为两部分：（一）向量的几何表示（有向线段），5．1节至5．3节。
（二）向量及运算的代数表示（坐标）5．4节至5．8节。
本课5．4节是第二部分内容的基础，它直接影响着第二部分的学习。
本节主要内容：平面向量的坐标表示和运算，重点是平面向量的坐标运算，难点是平面向量的坐标表示的理解。
二、教学目标的确定根据《大纲》要求，和本节所处的地位，我认为通过本节课学习，应使学生达到：1、进一步理解数型结合思想，体会用数量来表示图形。
从而使学生对坐标系和映射概念以及有向线段的理解更深刻。
2、理解向量的坐标表示，使学生对上一节中介绍的平面向量的基本定理的理解更透彻、更具体、更形象。
从而培养学生应用数学理论的意识。
3、掌握向量的坐标运算，使学生体会坐标表示的优越性、调动学生学习的积极性，从中体会数学的内在美，激发学生的学习兴趣，培养学生解决问题的能力。
4、引导学生学会联想、对比、归纳、总结等数学研究的思想方法。
5、通过适当设疑，自学指导对学生进行主动探索学习精神的培养。
三、教学方法和教学手段的使用：根据本节课内容的特殊性和学生的实际水平，我采用的是“自学指导法”，其主导思想是以启发式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去学习、分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 课题：§5.4平面向量的坐标运算（第一课时） 教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（下） 授课教师：鞠凤丽 单位：内蒙古包头市蒙古族中学
教材分析与教法设计
教 学 目 标
知 识 目 标
1、理解平面向量的坐标概念 （1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念； （2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标.
2、掌握平面向量的坐标运算 （1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则； （2）能熟练进行向量的坐标运算； （3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.
能 力 要 求 1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力； 2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； 3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.
情 感 态 度 设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.
重点 平面向量的坐标运算. 难点 理解向量坐标的意义. 方法 引导发现、合作探究. 教具 多媒体课件、实物投影仪、三角尺.
教学过程 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 环节 具体内容及形式 双边活动 设计意图
复 习 回 顾 判 断 题 1、单位向量都相等； （ 假 ） 2、坐标平面上的x轴和y轴都是向量. （ 假 ） 通过提问的方式让学生对命题作出判断； 教师从学生活动出发，进行 评价、拓展，为 新课的讲解作铺垫. 复习回顾: 复习向量定义，引出x 轴y轴正方向上的单位向量i和j.
3、如果e1 、e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数x,y，使a = x e1 + y e2 . （ 真 ） 通过第3小题复习平面向量基本定理, 为下一步将基底特殊化引出新课做准备.
创 设 问 题 情 境 通过学生熟知的足球运动来创设问题情境，引入新课，并且建立数学与其它学科的联系. 学生体会数学与现实生活的联系，并通过教师引导，体会特殊化的思想. 激发学生的学习兴趣，提高学习效率，在知识的迁移中进行创造性的学习，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的.
师 生 共 同 探 究 及 应 用
问题一：平面直角坐标系内，每个点可以用一对实数来表示，向量可以吗？ 解决途径：以向量i、j为基底，利用平面向量基本定理构造平行四边形，如图： 结论：若a = xi+ yj，则a =(x,y)叫做向量的坐标表示. 经历前两个环节的铺垫后， 教师引导学生恰当的选取基底， 完成基底特殊化的过程. 教师通过多媒体课件演示， 使学生直观理解平面向量的坐标概念,明确求向量坐标的思路. 设置探究式教学，让学生经历知识的形成、发展、应用的过程，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用，充分体会数学探索的乐趣.
o x
y i j a
o x i
j
y ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ ㈠ 平 面 向 量 的 坐 标 表 示
应用一、初步运用定义求特殊向量的坐标. i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0) 应用二： (课本P111例1). 例1、 用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求它们的坐标. 变式探究： 将例1中向量d的方向取反向得到向量e，分析b、e两向量的关系后进行探究. 探究一：相等向量的坐标有关系吗？ 结论：相等向量的坐标也相等，体现向量与其坐标的对应关系. 探究二：将表示向量的有向线段的起点放在坐标原点后有何结论呢？ 结论：此时向量坐标就由这条有向线段的终点坐标唯一确定了. 学生独立完成，进一步体会特殊化思想. 师生共同探究，教师板书过程.教师重点以向量b为例讲解本题，引导学生利用平面向量的坐标表示求出向量b的坐标，并提醒学生注意坐标符号. 学生观察出向量b、e两向量大小相等，方向相同，应该是相等向量. 教师提问：向量在坐标平面内任意平移而坐标不变，那么将其起点放在什么位置更有利于研究呢？ 教师利用多媒体课件进行动画演示，学生直接参与探究的过程，从亲身体验中获得深刻的认识. 以向量b为例讲解本题，可以让学生体会向量的坐标与点的坐标一样，有正负之分.
在学生掌握课本例题的基础上进行挖掘、引申，探究新知，使得前后知识衔接自然.
在教学中渗透类比和特殊化的数学思想，形成新的知识结构体系，为下一步突破教学难点做准备.
1 2 3 4 0 1 2 3 4 ji x
y
O a b
c d ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 师 生 共 同 探 究 及 应 用
㈡ 平 面 向 量 的 坐 标 运 算
问题二：若已知a =（1,3）,b =(5,1)，如何求a ＋ b 、a － b的坐标呢？（由特殊到一般，探究向量加减的坐标运算法则） 法则：若a =（x1 ,y1）,b =(x2 ,y2),则： a ＋ b = (x1＋x2 ,y1＋y2 ), a － b = (x1－x2 ,y1－y2 ) 应用三：课本P112例2 及P114练习1. 探究三：例一中向量a的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系？ （从具体例子寻找规律） 由图可知，a = c － b 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 探究四：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？ 借助探究二的探究思路，利用向量坐标表示的推导过程来组织教学. 结论：向量的坐标与表示它的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系. 对具体的两个向量，教师启发引导学生分析规律，通过猜想、验证得出向量的坐标运算法则. 例2以学生回答为主，教师板书过程；练习学生笔答，通过实物投影反馈. 教师利用多媒体课件演示引导学生把任意向量用起点在原点的向量来表示. 寻找各知识点的联系，挖掘问题实质. 让学生经历主动观察、大胆猜想、积极验证，顺利得出向量的坐标运算法则，突出重点.同时培养学生的观察能力、推理能力、逻辑思维能力.
让学生熟练运算法则的应用，体会向量坐标运算的优势：思路明确，过程简捷；强调步骤书写，发现问题及时解释说明.
体现了向量坐标的意义，通过提出矛盾、回顾旧知、推理验证，对难点层层突破.
b c
O x
y a A
B ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 应用四：课本P114练习2. 应用五：以表格形式对练习2 引申训练 起点A 终点B 向量AB （ 2，3 ） （ 1，1 ） ( 3 , －4 ) ( －2 , 7 ) 应用六：课本P113例三. 变式训练：将例三中平行四边形ABCD这一条件去掉，改为求点D，使这四个点构成平行四边形.（教学中可根据时间情况进行讲解或作为课后思考题） 学生口答，教师进行评价、拓展. 教师倡导学生积极思考，从不同角度解决本题，体会难易差别. 熟练向量的坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.
例三是对本节内容综合训练，培养学生善于思考和严谨的学习态度，并对新知识进行深层次的理解和应用.
归 纳 总 结 强调本节课的重点内容，为下节课的学习做简要铺垫. 在教师提问的基础上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充. 帮助学生把所学知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，有益于学生对知识的巩固、理解和掌握. 作业 课本第114页第1、2、3题
板书设计 方案一： §5．4平面向量的坐标运算（一） 一、平面向量的坐标表示 1、定义 2、特殊向量的坐标表示 3、相等向量的坐标也相等 4、向量OA的坐标表示 二、平面向量的坐标运算 1、向量的坐标运算法则 2、向量AB的坐标与点A、点B的坐标的关系 三、例题 例1 例2 例3
方案二： 一、平面向量的坐标表示 1、定义 2、特殊向量的坐标表示 3、相等向量的坐标也相等 4、向量OA的坐标表示 二、平面向量的坐标运算 1、坐标运算法则 2、向量AB的坐标与A、B的坐标的关系 三、例题 例1 例2 例3