【高考复习】数学第9章第5讲古典概型知能训练轻松闯关理北师大版130
2021高考总复习(北师大版)数学(文)【配套课件】第九章第二节 古典概型(28张PPT).ppt

号和不小于 15 的概率为
()
1
1
A.32
B.64
C.332
D.634
解析:试验所有结果为(1,1),(1,2),…,(1,8),(2,1), (2,2),…,(8,8),共64种.两球编号之和不小于15的情况有 答三案种:,D分别为(7,8),(8,7),(8,8),∴所求概率为634.
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第二节 古典概型 结束
2.(2013·温州调研)一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中有 3
个黑球与 2 个红球,如果从()
1
3
A.5
B.10
C.25
D.12
解析:共有(黑 1,黑 2)、(黑 1,黑 3)、(黑 1,红 1)、(黑 1,
红 2)、(黑 2,黑 3)、(黑 2,红 1)、(黑 2,红 2)、(黑 3,红 1)、
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第二节 古典概型 结束
连续取两次都是白球的结果有:(白1,白1),(白1,白2), (白2,白1),(白2,白2),共4个, 故所求概率为146=14. (2)连续取三次的结果有:(红,红,红),(红,红,白1), (红,红,白2),(红,红,黑);(红,白1,红),(红,白1, 白1),(红,白1,白2),(红,白1,黑),…,共64个. 因为取一个红球记2分,取一个白球记1分,取一个黑球记0 分,若连续取三次,则分数之和为4分的结果如下:
其中当直线 y=kx+b 不经过第二象限时应有 k>0,b<0,
一共有 2×2=4 种,所以所求概率为49. 答案:C
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版高中全程复习方略配套课件:11.5古典概型(北师大版·数学理)

种,其中标注的数字之差的绝对值为2或4的有(1,3),(2,4), (3,5),(1,5),共4种,故所求的概率为连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标,
【例2】(1)(2012·济南模拟)在数学考试中,小明的成绩在90 分及以上的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79 分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,60分以下的概率 是0.07,则小明在数学考试中取得80分及以上的概率为______.
(2)国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩, 正在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次,命中 7~10 环的概率如表所示:
选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲 男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、 (乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2),共6种,所以选出的2名 教师来自同一学校的概率为 6 2 .
15 5
【反思·感悟】在求解本题时应注意第(1)问属于有顺序的问题, 该类问题的基本事件按先甲校再乙校分步列举;第(2)问属于无 顺序的问题,基本事件按所含字母利用列举法,按一定顺序分 类列举.
第五节 古典概型
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三年13考 高考指数:★★★ 1.理解古典概型及其概率计算公式; 2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
1.古典概型的概率是高考考查的重点; 2.利用列举法、树状图法、分类讨论的思想解决古典概型问题 是重点,也是难点; 3.古典概型的考查,往往结合排列、组合的知识进行考查,多 以选择题、填空题形式出现.
4.对立事件的概率 在每一次试验中,相互对立的事件A和事件 A 不会同时发生, 并且一定有一个发生,其计算公式: P(A)_1_-_P_(_A__ ).
高考数学一轮复习 第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5讲 古典概型知能训练轻松闯关 理 北师大版

第5讲 古典概型1.(2016·唐山统考)抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为3的概率是( )A.19 B.16 C.118D.112解析:选B.抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为3的情况有:1,4;4,1;2,5;5,2;3,6;6,3,共6种情况,所以向上的点数之差的绝对值为3的概率为P =636=16,故选B. 2.(2016·江西省师大附中检测)高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙相邻,则甲、丙相邻的概率为( ) A.110 B.14 C.310D.25解析:选B.五人排队,甲、乙相邻的排法有A 22A 44=48(种),若甲、丙相邻,此时甲在乙、丙中间,排法有A 33A 22=12(种),故甲、丙相邻的概率为1248=14.3.(2016·洛阳统考)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为( ) A.115 B.15 C.14D.12解析:选B.由题意分析可得,甲连续三天参加活动的所有情况为:第1~3天,第2~4天,第3~5天,第4~6天,共四种情况,所以所求概率P =4·A 33C 36·A 33=15.4.(2016·亳州高三质量检测)已知集合M ={1,2,3,4},N ={(a ,b )|a ∈M ,b ∈M },A是集合N 中任意一点,O 为坐标原点,则直线OA 与y =x 2+1有交点的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.18解析:选C.易知过点(0,0)与y =x 2+1相切的直线为y =2x (斜率小于0的无需考虑),集合N 中共有16个元素,其中使OA 斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个,由古典概型知概率为416=14. 5.(2016·商丘模拟)已知函数f (x )=13x 3+ax 2+b 2x +1,若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79 B.13 C.59 D.23解析:选D.f ′(x )=x 2+2ax +b 2,要使函数f (x )有两个极值点,则有Δ=(2a )2-4b 2>0,即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值.满足a 2>b 2的有6个基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事件的概率为69=23.6.(2016·河南省三市调研)现有3位男生和3位女生共6位同学随机站成一排,在男生甲不站两端的条件下,有且只有2位女生相邻的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45解析:选B.6位同学随机排成一排,有A 66种排法,其中男生甲不站两端,有且仅有2位女生相邻的排法分两种情况:当甲排在2或5号位置时,各有2A 23A 12A 22+A 23A 22=60种排法;当甲排在3或4号位置时,各有2A 23A 12A 22+A 23A 33=84种排法,故所求概率为60×2+84×2A 66=25,故选B.7.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数),现乙还有一次不少于90分的成绩未记录,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________.解析:由题意得,基本事件总数为10,满足要求的有8个, 所以所求概率为810=45.答案:458.(2016·南昌一模)将a ,b ,c ,d 四封不同的信随机放入A ,B ,C ,D 4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中a 没有放入A 中的概率是________.解析:将四封不同的信随机放入四个不同的信封中,每个信封至少有一封信的放法有A 44=24种,其中信a 放入A 中的结果有A 33=6种,故“信a 没有放入A 中”的概率为1-A 33A 44=1-624=1-14=34.答案:349.(2016·忻州高三联考)某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等),则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是________. 解析:男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是1-C 34C 36=45.答案:4510.在集合A ={2,3}中随机取一个元素m ,在集合B ={1,2,3}中随机取一个元素n ,得到点P (m ,n ),则点P 在圆x 2+y 2=9内部的概率为________.解析:点P (m ,n )共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6种情况,只有(2,1),(2,2)这两种情况满足在圆x 2+y 2=9内部,所以所求概率为26=13.答案:1311.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ,n ,令平面向量a =(m ,n ),b =(1,-3). (1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率; (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率.解:(1)由题意知,m ∈{1,2,3,4,5,6},n ∈{1,2,3,4,5,6},故(m ,n )所有可能的取法共36种.使得a ⊥b ,即m -3n =0,即m =3n ,共有2种:(3,1)、(6,2),所以事件a ⊥b 的概率为236=118. (2)|a |≤|b |,即m 2+n 2≤10.共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种使得|a |≤|b |,其概率为636=16. 12.编号分别为A 1,A 2,…,A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人, ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ②求这2人得分之和大于50的概率. 解:(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3,A 4,A 5,A 10,A 11,A 13,从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{A 3,A 4},{A 3,A 5},{A 3,A 10},{A 3,A 11},{A 3,A 13},{A 4,A 5},{A 4,A 10},{A 4,A 11},{A 4,A 13},{A 5,A 10},{A 5,A 11},{A 5,A 13},{A 10,A 11},{A 10,A 13},{A 11,A 13}共15种.②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有{A 4,A 5},{A 4,A 10},{A 4,A 11},{A 5,A 10},{A 10,A 11}共5种. 所以P (B )=515=13.1.(2016·淄博一模)将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a ,第二次出现的点数记为b ,设任意投掷两次使两条不重合直线l 1:ax +by =2,l 2:x +2y =2平行的概率为P 1,相交的概率为P 2,若点(P 1,P 2)在圆(x -m )2+y 2=137144的内部,则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-518,+∞B.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,718 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-718,518 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-518,718解析:选D.对于a 与b 各有6种情形,故总数为36种.两条直线l 1:ax +by =2,l 2:x +2y =2平行的情形有a =2,b =4或a =3,b =6,故概率为P 1=236=118,两条直线l 1:ax +by =2,l 2:x +2y =2相交的情形除平行与重合(a =1,b=2)即可, 所以P 2=3336=1112,因为点(P 1,P 2)在圆(x -m )2+y 2=137144的内部,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫118-m 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫11122<137144,解得-518<m <718,故选D.2.(2016·江苏省扬州中学模拟)将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b ,c ,则方程x 2+bx +c =0有实根的概率为________.解析:将一枚骰子抛掷两次共有36种结果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),属于古典概型.方程x 2+bx +c =0有实根,则Δ=b 2-4c ≥0,即b ≥2c ,其包含的结果有:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(4,4),(5,4),(6,4),(5,5),(6,5),(5,6),(6,6),共19种,由古典概型概率计算公式可得P =1936.答案:19363.(2016·青岛检测)某市甲、乙两社区联合举行“五一”文艺汇演,甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目,其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人,表演笛子演奏的有2人,表演唱歌的有3人.(1)若从甲、乙社区各选一个表演项目,求选出的两个表演项目相同的概率; (2)若从甲社区表演队中选2人表演节目,求至少有一位表演笛子演奏的概率.解:(1)记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A 1、B 1、C 1,乙社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A 2、B 2、C 2,则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有(A 1,A 2),(A 1,B 2),(A 1,C 2),(B 1,A 2),(B 1,B 2),(B 1,C 2),(C 1,A 2),(C 1,B 2),(C 1,C 2),共9个.其中选出的两个表演项目相同这一事件包含的基本事件有(A 1,A 2),(B 1,B 2),(C 1,C 2),共3个,所以所求概率P 1=39=13.(2)记甲社区表演队中表演跳舞的1人为a 1,表演笛子演奏的2人分别为b 1、b 2,表演唱歌的3人分别为c 1、c 2、c 3.则从甲社区表演队中选2人的所有基本事件有(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,c 1),(a 1,c 2),(a 1,c 3),(b 1,b 2),(b 1,c 1),(b 1,c 2),(b 1,c 3),(b 2,c 1),(b 2,c 2),(b 2,c 3),(c 1,c 2),(c 1,c 3),(c 2,c 3),共15个.其中至少有一位表演笛子演奏这一事件包含的基本事件有(a 1,b 1),(a 1,b 2),(b 1,b 2),(b 1,c 1),(b 1,c 2),(b 1,c 3),(b 2,c 1),(b 2,c 2),(b 2,c 3),共9个,所以所求概率P 2=915=35.4.已知集合P ={x |x (x 2+10x +24)=0},Q ={y |y =2n -1,1≤n ≤2,n ∈N *},M =P ∪Q .在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(x ′,y ′),且x ′∈M ,y ′∈M ,试计算: (1)点A 正好在第三象限的概率; (2)点A 不在y 轴上的概率;(3)点A 正好落在区域x 2+y 2≤10上的概率.解:由集合P ={x |x (x 2+10x +24)=0}可得P ={-6,-4,0},由Q ={y |y =2n -1,1≤n≤2,n ∈N *}可得Q ={1,3},则M =P ∪Q ={-6,-4,0,1,3},因为点A 的坐标为(x ′,y ′),且x ′∈M ,y ′∈M ,所以满足条件的点A 的所有情况为(-6,-6),(-6,-4),(-6,0),(-6,1),(-6,3),…,(3,3),共25种.(1)点A 正好在第三象限的可能情况为(-6,-6),(-4,-6),(-6,-4),(-4,-4),共4种,故点A 正好在第三象限的概率P 1=425.(2)点A 在y 轴上的可能情况为(0,-6),(0,-4),(0,0),(0,1),(0,3),共5种,故点A 不在y 轴上的概率P 2=1-525=45.(3)点A 正好落在区域x 2+y 2≤10上的可能情况为(0,0),(1,0),(0,1),(3,1),(1,3),(3,0),(0,3),(1,1),共8种,故点A 落在区域x 2+y 2≤10上的概率P 3=825.。
山东高考数学一轮总复习学案设计-第九章第五讲古典概型含答案解析

第五讲 古典概型知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 基本事件的特点(1)任何两个基本事件是__互斥__的.(2)任何事件都可以表示成__基本事件__的和(除不可能事件). 知识点二 古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件__只有有限个__. (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性__相等__. 知识点三 古典概型的概率公式 P (A )=__A 包含的基本事件的个数基本事件的总数__.重要结论1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.2.求试验的基本事件数及事件A 包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法.双基自测题组一 走出误区1.(多选题)下列结论中正确的是( CD )A .掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件B .从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋,测其重量,属于古典概型C .有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13D .从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是0.2 题组二 走进教材2.(P 133T3改编)袋中装有3个白球,2个黄球,1个黑球,从中任取两球,则取出的两球有黑球的概率为__13__,两球不同色的概率为__1115__.[解析] 记“取出两球有黑球”为事件A ,则P (A )=C 15C 26=515=13,两球不同色的取法有11种,记“取出两球不同色”为事件B ,则P (B )=C 13C 12+C 13C 11+C 12C 11C 25=1115. 题组三 考题再现3.(2020·河南百校联盟联考)2019年7月1日,《上海市生活垃圾管理条例》正式实施,生活垃圾要按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类,没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚,若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶,若楼下分别放有“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”四个垃圾桶,则该居民会被罚款和行政处罚的概率为( D )A .13B .23C .14D .34[解析] 厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶,该上海居民向四种垃圾桶内随意的丢垃圾,有4种可能,投放错误有3种结果,故会被罚款和行政处罚的概率为34.答案D .4.(2019·课标全国Ⅲ,3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( D )A .16B .14C .13D .12[解析] 记“两位女同学相邻”为“事件A ”,则P (A )=A 23A 22A 44=12,故选D .5.(2019·课标全国Ⅱ)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( B )A .23B .35C .25D .15[解析] 解法一:记5只兔子分别为A ,B ,C ,D ,E ,其中测量过某项指标的3只兔子为A ,B ,C ,则从这5只兔子中,随机取出3只的基本事件有ABC ,ABD ,ABE ,ACD ,ACE ,ADE ,BCD ,BCE ,BDE ,CDE ,共10种,其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD ,ABE ,ACD ,ACE ,BCD ,BCE ,共6种,所以所求事件的概率P =610=35.故选B .解法二:记“恰有2只测量过该指标”为事件A ,则P (A )=C 23C 12C 35=35,故选B .KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 简单的古典概型问题——自主练透例1 (1)(2017·课标全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( D )A .110B .15C .310D .25(2)(2018·课标Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( C )A .112B .114C .115D .118(3)(2019·全国Ⅰ,6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( A )A .516B .1132C .2132D .1116(4)(2019·湖北省调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须分开安排的概率为( C )A .760B .16C .1360D .14[解析] (1)解法一:画出树状图如图:可知所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率P =1025=25.故选D .解法二:P =C 14+C 13+C 12+C 11C 15·C 15=25.故选D . (2)由题意,知不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,而和为30的有7和23,11和19,13和17,共3对,所以P =3C 210=115.(3)重卦是由从下到上排列的6个爻组成,而爻有“阳爻”和“阴爻”两种,故所有的重卦共有26=64种,重卦中恰有3个“阳爻”的共有C 36×C 33=20种.故所求概率P =2064=516,故选A .(4)解法一:当“数”位于第一位时,礼和乐相邻有4种情况,礼和乐顺序有2种,其他剩下的有A 33种情况,由间接法得到满足条件的情况有A 55-C 14A 22A 33当“数”在第二位时,礼和乐相邻有3种情况,礼和乐顺序有2种,其它剩下的有A 33种,由间接法得到满足条件的情况有A 55-C 13A 22A 33共有:A 55-C 13A 22A 33+A 55-C 14A 22A 33种情况,不考虑限制因素,总数有A 66种,故满足条件的事件的概率为:A 55-C 13A 22A 33+A 55-C 14A 22A 33A 66=1360,故答案为C .解法二:当“数”位于第一位时,有A 33A 24种;当“数”位于第二位时,有C 12A 44+C 13A 22A 22种,总排法有A 66种,∴所求概率P =A 33A 24+C 12A 44+C 13A 22A 22A 66=1360. 名师点拨 ☞求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法,具体应用时可根据需要灵活选择.〔变式训练1〕(1)(2019·四川省内江市模拟)某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图所示,某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A 前往小区H ,则他不经过市中心O 的概率是( A )A .13B .23C .14D .34(2)(2020·广东百校联考)十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相.现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是__388__.[解析] (1)此人从小区A 前往H 的所有最短路径为: A →B →C →E →H ,A →B →O →E →H , A →B →O →G →H ,A →D →O →E →H ,A →D →O →G →H ,A →D →F →G →H ,共6条(或C 24=6).记“此人不经过市中心O ”为事件M ,则M 包含的基本事件数为2,∴P (M )=26=13,故选A .(2)依题意可分类为①甲同学选马,则有C 12C 19=18种,②甲同学选牛,则有C 13C 19=27种.所有情况有A 312种,则这三位同学选取的礼物都满意的概率P =45A 312=388. 考点二 较复杂的古典概型问题——多维探究角度1 古典概型与平面向量的交汇例2 把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m ,第二次出现的点数为n ,向量p =(m ,n ),q =(2,1),则向量p ∥q 的概率为 ( B )A .118B .112C .19D .16[解析] ∵向量p ∥q ,∴m -2n =0,∴m =2n ,满足条件的(m ,n )有3个:(2,1),(4,2),(6,3),又基本事件的总数为36,∴P =336=112,故选B .角度2 古典概型与解析几何的交汇例3 (2019·甘肃兰州模拟)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),其中a ∈{1,2,3,4},b∈{1,2,3,4},且a ,b 取到其中每个数都是等可能的,则直线l :y =x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( B )A .14B .38C .12D .58[解析] 直线l :y =x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点,则ba>1,基本事件总数为4×4=16,满足条件的(a ,b )的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个或C 13+C 12+C 11=6(个),故概率为38. 角度3 古典概型与函数的交汇例4 (2019·吉林省实验中学月考)已知函数f (x )=13x 3+ax 2+b 2x +1,若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数,b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( D )A .79B .13C .59D .23[解析] 求导得f ′(x )=x 2+2ax +b 2,要满足题意需x 2+2ax +b 2=0有两个不等实根,即Δ=4(a 2-b 2)>0,即a >b ,又a ,b 的取法共有3×3=9种,其中满足a >b 的有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2)共6种,故所求的概率为p =69=23.名师点拨 ☞较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件总数和随机事件中所含基本事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·宿迁模拟)已知k ∈Z ,AB →=(k,1),AC →=(2,4),若|AB →|≤4,则△ABC 是直角三角形的概率是__37__.(2)(角度2)连掷骰子两次得到的点数分别记为a 和b ,则使直线3x -4y =0与圆(x -a )2+(y -b )2=4相切的概率为( B )A .16B .118C .19D .13(3)(角度3)(2020·四川威远中学月考)若a ,b ∈{-1,0,1,2},则函数f (x )=ax 2+2x +b 有零点的概率为( A )A .1316B .78C .34D .58[解析] (1)因为|AB →|=k 2+1≤4,所以-15≤k ≤15,因为k ∈Z ,所以k =-3,-2,-1,0,1,2,3,当△ABC 为直角三角形时,应有AB ⊥AC ,或AB ⊥BC ,或AC ⊥BC ,由AB →·AC →=0,得2k +4=0,所以k =-2,因为BC →=AC →-AB →=(2-k,3),由AB →·BC →=0,得k (2-k )+3=0,所以k =-1或3,由AC →·BC →=0,得2(2-k )+12=0,所以k =8(舍去),故使△ABC 为直角三角形的k 值为-2,-1或3,所以所求概率P =37.(2)连掷骰子两次总的试验结果有36种,要使直线3x -4y =0与圆(x -a )2+(y -b )2=4相切,则|3a -4b |5=2,即满足|3a -4b |=10,符合题意的(a ,b )有(6,2),(2,4),共2种,由古典概型的概率计算公式可得所求概率P =118,故选B .(3)a ,b ∈{-1,0,1,2},(a ,b )的取法有16种,函数y =f (x )有零点,即4-4ab ≥0,∴ab ≤1,由表abba-112-1 1 0 -1 -2 0 0 0 0 0 1 -1 0 1 2 2-224∴所求概率为1316,故选A .考点三 古典概率与统计的综合——师生共研例 5 (2019·黑龙江哈尔滨模拟)春节期间,由于高速公路继续实行小型车免费,因此高速公路上车辆较多,某调查公司在某城市从七座以下小型汽车中按进入服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]得到如图的频率分布直方图:(1)此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?(2)求这40辆小型车辆车速的众数、中位数以及平均数的估计值(同一组数据以该区间的中点值作代表);(3)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆,求至少有一辆车的车速在[65,70)的概率.[解析](1)由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,是一个具有相同间隔的抽样,并且总体的个数比较多,这是一个系统抽样.故调查公司在采样中,用到的是系统抽样.(2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值为75+802=77.5.设中位数所对应的车速为x km/h,则中位数的估计值为0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x-75)=0.5,解得x=77.5,即中位数的估计值为77.5.平均数的估计值为(62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×0.02)×5=77.(3)从题图中可知,车速在[60,65)的车辆数为m1=0.01×5×40=2(辆),车速在[65,70)的车辆数为m2=0.02×5×40=4(辆).记“至少有一辆车的速度在[65,70)内”为事件A,则P(A)=C14C12+C24C26=1415(或P(A)=1-P(A-)=1-C22C26=1415.名师点拨☞求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题,其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型,再按照求古典概型的步骤求解.〔变式训练2〕(2020·河南安阳调研)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某城区对辖区内A,B,C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位,现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业的20个单位,其考评分数如下:A 类行业:85,82,77,78,83,87;B 类行业:76,67,80,85,79,81;C 类行业:87,89,76,86,75,84,90,82.(1)计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数;(2)若从抽取的A 类行业这6个单位中,再随机选取3个单位进行某项调查,求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率.[解析] (1)由题意,得抽取的A ,B ,C 三类行业单位个数之比为33 4. 由分层抽样的定义,有A 类行业的单位个数为310×200=60,B 类行业的单位个数为310×200=60,C 类行业的单位个数为410×200=80,故该城区A ,B ,C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60,60,80.(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位为事件M . 又A 类行业的6个单位中有4个“量级”单位,记2个“非量级”单位,P (M )=C 24C 12+C 14C 36=45(或P (M )=1-P (M -)=1-C 34C 36=45).MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升 轻松破解古典概型问题的技巧例 6 (2019·重庆模拟)小波以游戏的方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X ,若X >0就去打球,若X =0就去唱歌,若X <0就去下棋.(1)写出数量积X 的所有可能取值;(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.[解析] (1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1. (2)数量积为-2的有OA 2→·OA 5→,共1种;数量积为-1的有OA 1→·OA 5→,OA 1→·OA 6→,OA 2→·OA 4→,OA 2→·OA 6→,OA 3→·OA 4→,OA 3→·OA 5→,共6种; 数量积为0的有OA 1→·OA 3→,OA 1→·OA 4→,OA 3→·OA 6→,OA 4→,OA 6→,共4种; 数量积为1的有OA 1→·OA 2→,OA 2→·OA 3→,OA 4→·OA 5→,OA 5→·OA 6→,共4种. 故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为P 1=715;因为去唱歌的概率为P 2=415,所以小波不去唱歌的概率P =1-P 2=1-415=1115.名师点拨 ☞求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式求解.如果采用解法一,一定是将事件拆分成若干个互斥事件,不能重复和遗漏;如果采用第二种,一定要找准其对立事件,否则容易出现错误.〔变式训练3〕(2020·聊城模拟)元旦前夕,某校高三某班举行庆祝晚会,人人准备了才艺,由于时间限制不能全部展示,于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1,2,3,4,确定是由谁展示才艺的规则如下:①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次,并将上面的数字相加的和记为X ; ②当X ≤3或X ≥6时,即有资格展示才艺;当3<X <6时,即被迫放弃展示. (1)请你写出红绿纸片所有可能的组合(例如(红2,绿3),(红3,绿2)). (2)求甲同学能取得展示才艺资格的概率. [解析] (1)红绿卡片所有可能的组合为:(2)从(1)满足当X≤3或X≥6的红绿卡片组合对有:(红1,绿1),(红1,绿2),(红2,绿1),(红2,绿4),(红3,绿3),(红3,绿4),(红4,绿2),(红4,绿3),(红4,绿4)共9个.所以甲同学取得展示才艺资格的概率为916.。
高考数学大一轮复习 第九章 第五节 古典概型课件

所以采访该团2人,持金卡与持银卡人数相等的概率是14045.
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[类题通法] 计算古典概型事件的概率三步骤 步骤一: 算出基本事件的总个数 n; 步骤二:求出事件 A 所包含的基本事件个数 m; 步骤三: 代入公式求出概率 P.
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考点二 古典概型的交汇命题 (常考常新型考点——多角探明) [多角探明]
3 4
是省外游客,其
余是省内游客.在省外游客中有
1 3
持金卡,在省内游客中有
2 3
持银卡.
(1)在该团中随机采访2名游客,求恰有1人持银卡的概率;
(2)在该团中随机采访2名游客,求其中持金卡与持银卡人数相
等的概率.
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解:(1)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有
9人,其中6人持银卡.
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4.(2015·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀,
且各个面上依次标有点数 1,2,3,4,5,6)一次,则两颗骰子向上点 1
数之积等于 12 的概率为_9__.
解析:抛掷两颗相同的正方体骰子共有 36 种等可能的结果: (1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6).点数积等于 12 的结果有:(2,6),
(1)设“a∥b”为事件 A,则 xy=-3.
事件 A 包含的基本事件有(-1,3),共 1 个.
故 a∥b 的概率为 P(A)=19.
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(2)设“a⊥b”为事件 B,则 y=3x. 事件 B 包含的基本事件有(1,3),(3,9),共 2 个. 故 a⊥b 的概率为 P(B)=29.
第五节古典概型
【优化方案】高考数学 第九章 第5课时 古典概型知能演练轻松闯关 新人教A版

【优化方案】2015年高考数学 第九章 第5课时 古典概型知能演练轻松闯关 新人教A 版[基础达标]1.高三(4)班有4个学习小组,从中抽取2个小组进行作业检查.在这个试验中,基本事件的个数为( )A .2B .4C .6D .8解析:选C .设这4个学习小组为A 、B 、C 、D ,“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD ,共6个.2.已知某车间在三天内,每天生产10件某产品,其中第一天,第二天分别生产出了1件,n 件次品,而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.则第一天通过检查的概率为( )A .25B .35C .23D .67解析:选B .因为随意抽取4件产品检查是随机事件,而第一天有1件次品,所以第一天通过检查的概率P =C 49C 410=35. 3.(2014·湖北武汉市调研测试)已知等比数列{a n }满足:a 1=2,a n +1=-2a n (n ∈N *).若从数列{a n }的前10项中随机抽取一项,则该项不小于8的概率是( )A .310B .25C .35D .710解析:选B .依题意可知a n =2·(-2)n -1,由计算可知,前10项中,不小于8的只有8,32,128,512,4个数,故所求概率是410=25. 4.(2013·高考课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A .12B .13C .14D .16解析:选B .从1,2,3,4中任取2个不同的数,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种情形,而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共4种情形,所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为412=13. 5.(2014·北京西城区质检)将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是( )A .221B .463C .121D .263解析:选B .将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组,使得每组至少有一个数,则有C 17+C 27+C 37+C 47+C 57+C 67=27-2=126(种).因为1+2+3+4+5+6+7=28,所以要使两组中各数之和相等,则有各组数之和为14.则有7+6+1=5+4+3+2;7+5+2=6+4+3+1;7+4+3=6+5+2+1;7+4+2+1=6+5+3;5+4+3+2=7+6+1;6+4+3+1=7+5+2;6+5+2+1=7+4+3;6+5+3=7+4+2+1共8种,所以两组中各数之和相等的概率是8126=463. 6.(2013·高考重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为________.解析:甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6种排法,甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共4种排法,由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为46=23. 答案:237.(2013·高考课标全国卷Ⅱ)从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________. 解析:由题意知n >4,取出的两数之和等于5的有两种情况:1,4和2,3,所以P =2C 2n=114,即n 2-n -56=0,解得n =-7(舍去)或n =8. 答案:88.(2014·浙江省名校联盟)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球,其中一个编号为1,两个编号为2,三个编号为3.现从中任取一球,记下编号后放回,再任取一球,则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________.解析:列举可知,共有36种情况,和为4的情况有10种,所以所求概率P =1036=518.答案:5189.(2014·河南洛阳质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n 个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为B .记事件A 表示“a +b =2”,求事件A 的概率.解:(1)由题意可知:n 1+1+n =12,解得n =2. (2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为:(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12个,事件A 包含的基本事件为:(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4个.∴P (A)=412=13. 10.(2012·高考山东卷)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.解:(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ,B ,C ,标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ,E ,从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A ,B),(A ,C),(A ,D),(A ,E ),(B ,C),(B ,D),(B ,E ),(C ,D),(C ,E ),(D ,E ),共10种.由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A ,D),(A ,E ),(B ,D),共3种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310. (2)记F 是标号为0的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A ,B),(A ,C),(A ,D),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C),(B ,D),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F ),共15种.由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A ,D),(A ,E ),(B ,D),(A ,F ),(B ,F ),(C ,F ),(D ,F ),(E ,F ),共8种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815. [能力提升]1.(2013·高考安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A .23B .25C .35D .910解析:选D .由题意,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙、丁、戊)这1种,故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种,所求概率P =910. 2.设a ∈{1,2,3,4},b ∈{2,4,8,12},则函数f (x )=x 3+ax -b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A .12B .58C .1116D .34解析:选C .因为f (x )=x 3+ax -b ,所以f ′(x )=3x 2+A .因为a ∈{1,2,3,4},因此f ′(x )>0,所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0,f (2)≥0,解得a +1≤b ≤8+2A .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a =1,2≤b ≤10,故b =2,b =4,b =8;a =2,3≤b ≤12,故b =4,b =8,b =12;a =3,4≤b ≤14,故b =4,b =8,b=12;a =4;5≤b ≤16,故b =8,b =12.根据古典概型可得有零点的概率为1116. 3.(2012·高考重庆卷)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答).解析:法一:6节课的全排列为A 66种,相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是:先排三节文化课,再利用插空法排艺术课,即为(A 33C 23A 22A 22+2A 33A 33)种,由古典概型概率公式得P (A)=A 33C 23A 22A 22+2A 33A 33A 66=15. 法二:6节课的全排列为A 66种,先排三节艺术课有A 33种不同方法,同时产生四个空,再利用插空法排文化课共有A 34种不同方法,故由古典概型概率公式得P (A)=A 33A 34A 66=15. 答案:154. 如图,在平行四边形ABCD 中,O 是AC 与BD 的交点,P ,Q ,M ,N 分别是线段O A ,O B ,O C ,O D 的中点.在A ,P ,M ,C 中任取一点记为E ,在B ,Q ,N ,D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG →=OE →+OF →的点,则在上述的点G 组成的集合中的点,落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为________.解析:基本事件的总数是4×4=16,在OG →=OE →+OF →中,当OG →=OP →+O Q →,OG →=OP →+O N →,OG→=O N →+OM →,OG →=OM →+O Q →时,点G 分别为该平行四边形的各边的中点,此时点G 在平行四边形的边界上,而其余情况的点G 都在平行四边形外,故所求的概率是1-416=34. 答案:345.(2012·高考江西卷)如图,从A 1(1,0,0),A 2(2,0,0),B 1(0,1,0),B 2(0,2,0),C 1(0,0,1),C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点.(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;(2)求这3点与原点O 共面的概率.解:从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是:x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1,A 1A 2B 2,A 1A 2C 1,A 1A 2C 2,共4种;y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1,B 1B 2A 2,B 1B 2C 1,B 1B 2C 2,共4种;z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1,C 1C 2A 2,C 1C 2B 1,C 1C 2B 2,共4种.所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1,A 1B 1C 2,A 1B 2C 1,A 1B 2C 2,A 2B 1C 1,A 2B 1C 2,A 2B 2C 1,A 2B 2C 2,共8种.因此,从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有:A 1B 1C 1,A 2B 2C 2,共2种,因此,这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1=220=110. (2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有:A 1A 2B 1,A 1A 2B 2,A 1A 2C 1,A 1A 2C 2,B 1B 2A 1,B 1B 2A 2,B 1B 2C 1,B 1B 2C 2,C 1C 2A 1,C 1C 2A 2,C 1C 2B 1,C 1C 2B 2,共12种,因此,这3个点与原点O 共面的概率为P 2=1220=35.6.(选做题)(2014·江西九江一模)一个口袋里有2个红球和4个黄球,从中随机地连取3个球,每次取一个,记事件A =“恰有一个红球”,事件B =“第3个是红球”.求:(1)不放回时,事件A ,B 的概率;(2)每次取后放回时,A ,B 的概率.解:(1)由不放回抽样可知,第一次从6个球中取一个,第二次只能从5个球中取一个,第三次从4个球中取一个,基本事件共有6×5×4=120(个).又事件A 中含有基本事件3×2×4×3=72(个)(第1个是红球,则第2、3个是黄球,取法有2×4×3种,第2个是红球和第3个是红球跟第1个是红球的取法一样多),∴P (A)=72120=35. 第3次抽取红球对前两次没有什么要求,因为红球数占总球数的13,在每一次取到都是随机的等可能事件,∴P (B)=13. (2)由放回抽样知,每次都是从6个球中任取一个,有取法63=216(种),事件A 包含基本事件3×2×4×4=96(种).∴P (A)=96216=49. 第三次取到红球包括B 1={红,黄,红},B 2={黄,黄,红},B 3={黄,红,红},B 4={红,红,红}四种互斥的情形,P (B 1)=2×4×2216=227,P (B 2)=4×4×2216=427,P (B 3)=4×2×2216=227,P (B 4)=2×2×2216=127, ∴P (B)=P (B 1)+P (B 2)+P (B 3)+P (B 4)=227+427+227+127=13.。
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【优化方案】2013年高考数学总复习 第九章第2课时知能演练+轻松闯关 文 1.从标有1号到100号的100张卡片中任意抽取1张,取出的卡片号是7的倍数的概率是( ) A. B. C. D. 解析:选C.根据等差数列的性质1≤7+7(m-1)≤100,得所求事件的基本事件数为m=14,故取出的卡片号是7的倍数的概率为P==. 2.设a是抛掷一枚骰子得到的点数,则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实数根的概率为( ) A. B. C. D. 解析:选A.由方程x2+ax+2=0有两个不相等的实数根,得Δ=a2-8>0,故a=3,4,5,6.根据古典概型的概率计算公式有P==. 3.(2011·高考山东卷)甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果 ,并求选出的2名教师性别相同的概率; (2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率. 解:(1)甲校两男教师分别用A、B表示,女教师用C表示;乙校男教师用D表示,两女教师分别用E、F表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为: (A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种. 从中选出的2名教师性别相同的结果为:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种.所以选出的2名教师性别相同的概率为. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种. 从中选出的2名教师来自同一学校的结果为: (A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种. 所以选出的2名教师来自同一学校的概率为=. 一、选择题 1.袋中有红色、黄色、绿色球各一个,每次任取一个球,有放回地抽取三次,则所取球的颜色全相同的概率是( ) A. B. C. D. 解析:选A.记“所取球的颜色全相同”为事件A,有放回地抽取三次共有27个等可能事件,事件A包含其中的3个基本事件,P(A)==.故选A. 2.(2011·高考广东卷)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ) A. B. C. D. 解析:选D.甲队若要获得冠军,有两种情况,可以直接胜一局,获得冠军,概率为,也可以乙队先胜一局,甲队再胜一局,概率为×=,故甲队获得冠军的概率为+=. 3.连掷两次骰子分别得到点数m、n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角θ>90°的概率是( ) A. B. C. D. 解析:选A.易知(m,n)·(-1,1)=-m+nn,基本事件总共有6×6=36个,符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2)(6,3),(6,4),(6,5),共1+2+3+4+5=15个.P==,故选A. 4.(2010·高考北京卷)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( ) A. B. C. D. 解析:选D.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数有5种选法,从{1,2,3}中随机选取一个数有3种选法,从而知共有5×3=15选法.而满足b>a的选法有:当b=3时,a有2种,当b=2时,a有1种,共有2+1=3种选法.由古典概型知b>a的概率P==,故选D. 5.甲、乙二人玩数字游戏,先由甲任想一数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为b,且a,b{1,2,3},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) A. B. C. D. 解析:选D.甲想一数字有3种结果,乙猜一数字有3种结果,基本事件总数为3×3=9. 设“甲、乙心有灵犀”为事件A,则A的对立事件B为“|a-b|>1”.即|a-b|=2,包含2个基本事件, P(B)=, P(A)=1-=. 二、填空题 6.假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生,并且这50名学生早上到校先后的可能性相同,则“小燕比小明先到校,小明又比小军先到校”的概率为________. 解析:将3人排序共包含6个基本事件, 由古典概型得P=. 答案: 7.(2012·威海调研)集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,则所取两数m>n的概率是________. 解析:基本事件总数为25个.m=2时,n=1;m=4时,n=1,3;m=6时,n=1,3,5;m=8时,n=1,3,5,7;m=10时,n=1,3,5,7,9,共15个.故P==0.6. 答案:0.6 8.若集合A={a|a≤100,a=3k,kN*},集合B={b|b≤100,b=2k,kN*},在AB中随机地选取一个元素,则所选取的元素恰好在A∩B中的概率为________. 解析:易知A={3,6,9,…,99},B={2,4,6,…,100}, 则A∩B={6,12,18,…,96},其中有元素16个. AB中元素共有33+50-16=67个, 所求概率为. 答案: 三、解答题 9.(2010·高考山东卷)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率. 解:(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有:1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个. 从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有:1和2,1和3,共2个.因此所求事件的概率为P==. (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个. 又满足条件n≥m+2的事件有:(1,3),(1,4),(2,4),共3个. 所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=. 故满足条件n<m+2的事件的概率为 1-P1=1-=. 10.(2011·高考天津卷)编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格. 区间[10,20)[20,30)[30,40]人数(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人 , 用运动员编号列出所有可能的抽取结果; 求这2人得分之和大于50的概率. 解:(1)4,6,6. (2)得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13.从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11},{A3,A13},{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5,A 10},{A5,A11},{A5,A13},{A10,A11},{A10,A13},{A11,A13},共15种. “从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有:{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11},共5种. 所以P(B)==. 11.(探究选做)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张. (1)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况; (2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少? (3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏是否公平,说明你的理由. 解:(1)甲,乙两人抽到的牌的所有情况(方片4用4’表示,其他用相应的数字表示)为:(2,3),(2,4),(2,4’),(3,2),(3,4),(3,4’),(4,2),(4,3),(4,4’),(4’,2),(4’,3),(4’,4)共12种不同情况. (2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4’,因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为. (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2),(4,2),(4,3),(4’,2),(4’,3)共5种,故甲胜的概率P1=,同理乙胜的概率为P2=.因为P1=P2,所以此游戏公平. 高考学习网: 高考学习网:。
高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)古典概
第五节 古 典 概 型【考纲下载】1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.1.古典概型的两个特征(1)试验的所有可能结果只有有限个.每次试验只出现其中的一个结果; (2)每一个试验结果出现的可能性都相同. 2.古典概型的概率公式对于古典概型,通常试验中的某一事件A 是由几个基本事件组成,如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n ,随机事件A 包含的基本事件数为m ,那么事件A 的概率规定为P (A )=事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数=m n.3.建立古典概率模型时对基本事件的要求 (1)每次试验有且只有一个基本事件出现;(2)基本事件的个数是有限的,并且它们的发生是等可能的.1.在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的吗?提示:不一定.如试验一粒种子是否发芽,其发芽和不发芽的可能性是不相等的. 2.如何判断一个试验是否为古典概型?提示:关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.1.一枚硬币连掷2次,恰有一次正面朝上的概率为( ) A.23 B.14 C.13 D.12解析:选D 一枚硬币连掷2次,其结果共有正正,正反,反正,反反四种结果,恰有一次正面朝上的有正反、反正两种结果.因此,恰有一次正面朝上的概率为24=12.2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是( )A.16B.12C.13D.23解析:选C 甲、乙、丙三名同学站成一排共有如下6种情况:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,而甲站在中间的共有乙甲丙,丙甲乙两种情况,因此,甲站在中间的概率为26=13.3.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ,从{1,2,3}中随机选取一个数为b ,则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15解析:选D 依题意可知a ,b 共有如下15种情况:(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),其中b >a 的共有3种情况.所以b >a 的概率为315=15.4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ,n 作为点P 的横、纵坐标,则点P 在直线x +y =5的下方的概率为________.解析:点P 在直线x +y =5下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6种可能,故P =66×6=16.答案:165.在集合A ={2,3}中随机取一个元素m ,在集合B ={1,2,3}中随机取一个元素n ,得到点P (m ,n ),则点P 在圆x 2+y 2=9内部的概率为________.解析:点P (m ,n )共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)6种情况,只有(2,1),(2,2)这两种情况满足在圆x 2+y 2=9内部,所以所求概率为26=13.答案:13考点一简单古典概型的求法[例1] (1)(2013·江西高考)集合A ={2,3},B ={1,2,3},从A ,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.[自主解答] (1)从A ,B 中各任意取一个数,共有6种取法,其中两数之和为4的是(2,2),(3,1).所以两数之和等于4的概率为26=13.(2)因为5=1+4=2+3,所以2C 2n =114,即n (n -1)=56.解得n =8或n =-7(舍).[答案] (1)C (2)8 【互动探究】在本例(1)中,若将“则这两数之和等于4的概率”改为“则这两数之和等于5的概率”,则结果如何?解:由原题知从A ,B 中各任意取一个数共有6种取法,其中两数之和等于5的是(2,3),(3,2),故其概率为26=13.【方法规律】1.求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数n . (2)求出事件A 包含的所有基本事件数m . (3)代入公式P (A )=m n,求出P (A ). 2.基本事件个数的确定方法(1)列举法:此法适合于基本事件较少的古典概型.(2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法.(2014·重庆模拟)有编号为A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6的6位同学,进行100米赛跑,得到下面的成绩:编号 A 1A 2A 3A 4A 5A 6成绩(秒)12.212.411.813.111.813.3(1)从上述6名同学中,随机抽取一名,求这名同学成绩优秀的概率;(2)从成绩优秀的同学中,随机抽取2名,用同学的编号列出所有可能的抽取结果,并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率.解:(1)由所给的成绩可知,优秀的同学有4名,设“从6名同学中随机抽取一名是优秀”为事件A ,则P (A )=46=23.(2)优秀的同学编号是A 1,A 2,A 3,A 5,从这4名同学中抽取2名,所有的可能情况是:(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,A 5),(A 2,A 3),(A 2,A 5),(A 3,A 5);设“这2名同学成绩都在12.3以内”为事件B ,符合要求的情况有:(A 1,A 3),(A 1,A 5),(A 3,A 5),所以P (B )=36=12.[例2] (1)(2013·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910(2)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A 饮料,另外2杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力.①求此人被评为优秀的概率; ②求此人被评为良好及以上的概率.[自主解答] (1)记事件A 为“甲或乙被录用”.从五人中录用三人,基本事件有(甲,乙,丙)、(甲,乙,丁)、(甲,乙,戊)、(甲,丙,丁)、(甲,丙,戊)、(甲,丁,戊)、(乙,丙,丁)、(乙,丙,戊)、(乙,丁,戊)、(丙,丁,戊),共10种可能,而A 的对立事件A -仅有(丙,丁,戊)一种可能,则A 的对立事件A -的概率为P (A -)=110.故P (A )=1-P (A -)=910.(2)将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A 饮料,编号4,5表示B 饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10种.令D 表示事件“此人被评为优秀”,E 表示事件“此人被评为良好”,F 表示事件“此人被评为良好及以上”,则①P (D )=110.②因为P (E )=610=35,所以P (F )=P (D )+P (E )=710.[答案] (1)D【方法规律】求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件,再利用互斥事件的概率加法公式求解.(2)先求其对立事件的概率,再利用对立事件的概率公式求解.为振兴旅游业,四川省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜景区旅游,其中34是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有13持金卡,在省内游客中有23持银卡.(1)在该团中随机采访2名游客,求恰有1人持银卡的概率;(2)在该团中随机采访2名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.解:(1)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.设事件A 为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,则P (A )=C 16C 130C 236=27,所以采访该团2人,恰有1人持银卡的概率是27.(2)设事件B 为“采访该团2人,持金卡与持银卡人数相等”,可以分为事件B 1为“采访该团2人,持金卡0人,持银卡0人”,或事件B 2为“采访该团2人,持金卡1人,持银卡1人”两种情况.则P (B )=P (B 1)+P (B 2)=C 221C 236+C 19C 16C 236=44105,所以采访该团2人,持金卡与持银卡人数相等的概率是44105.高频考点 考点三 古典概型与统计的综合应用1.古典概型与统计的综合应用,是高考命题的热点,多以解答题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题.2.高考对古典概型与统计的综合应用的考查主要有以下几个命题角度: (1)由频率来估计概率;(2)由频率估计部分事件发生的概率; (3)求方差(或均值)等.[例3] (2013·天津高考)某产品的三个质量指标分别为x ,y ,z ,用综合指标S =x +y +z 评价该产品的等级.若S ≤4, 则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下: 产品编号A 1 A 2 A 3 A 4 A 5质量指标(x, y, z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x, y, z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,①用产品编号列出所有可能的结果;②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.[自主解答] (1)计算10件产品的综合指标S,如下表:产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S 446345453 5其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为10=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15种.②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B 发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种.所以P(B)=615=25.古典概型与统计综合应用的常见类型及解题策略(1)由频率来估计概率.利用频率与概率的关系来估计.(2)由频率来估计部分事件发生的概率.往往结合题设条件.注意事件的互斥、对立,利用概率的加法公式求解.(3)求方差(或均值).结合题设中的数据、方差(或均值公式)求解.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):A 类轿车10辆. (1)求z 的值;(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解:(1)依据条件可知,轿车A 、B 的抽样,A 类轿车抽样比为10100+300.因此本月共生产轿车40010×50=2 000(辆).故z =2 000-(100+300+150+450+600)=400(辆). (2)设所抽取样本中有a 辆舒适型轿车, 由题意得4001 000=a5,则a =2.因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.用A 1,A 2表示2辆舒适型轿车,用B 1,B 2,B 3表示3辆标准型轿车,用E 表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有:(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 2,B 3),共10个.事件E 包含的基本事件有:(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),共7个. 故P (E )=710,即所求概率为710.(3)样本平均数x -=18×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.设D 表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D 包含的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,所以P (D )=34,即所求概率为34.————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————4种方法——基本事件个数的确定方法(1)列举法:(见本节考点一[方法规律]);(2)列表法:(见本节考点一[方法规律]);(3)树状图法:树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求;(4)计数原理法:如果基本事件的个数较多,列举有一定困难时,可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m,n,再运用公式求概率.2个技巧——求解古典概型问题概率的技巧(1)较为简单问题可直接使用古典概型的概率公式计算;(2)较为复杂的概率问题的处理方法:一是转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式进行求解;二是采用间接法,先求事件A的对立事件A的概率,再由P(A)=1-P(A)求事件A的概率.1个构建——构建不同的概率模型解决问题(1)原则:建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”,这就要求选择恰当的观察角度,把问题转化为易解决的古典概型问题;(2)作用:一方面,对于同一个实际问题,我们有时可以通过建立不同“模型”来解决,即“一题多解”,在这“多解”的方法中,再寻求较为“简捷”的解法;另一方面,我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题,即“多题一解”.答题模板(七)求古典概型的概率[典例] (2013·山东高考)(12分)某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.225.118.523.320.9(1) 1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.[快速规范审题] 第(1)问1.审结论,明解题方向观察所求结论:求选到的2人身高都在1.78以下的概率――→应求2人身高都在1.78以下的选法与2人身高都在1.80以下选法之比2.审条件,挖解题信息观察条件:由表中的数据得出身高1.80以下的有A ,B ,C ,D 4人,身高在1.78以下的有A ,B ,C 3人.3.建联系,找解题突破口身高1.80以下选2人有(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(B ,C ),(B ,D ),(C ,D ),共6种情况;身高1.78以下选2人有(A ,B ),(A ,C ),(B ,C ),共3种情况,利用公式求解.第(2)问1.审结论,明解题方向观察所求结论:求选到2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率 应求从身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的选2――→人的种数与从该小组同学中选2人的种数之比2.审条件,挖解题信息观察条件:如表中数据得出该小组共有5人,其中身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的人有C ,D ,E ,共3人.3.建联系,找解题突破口从该小组中选2人共有10种方法,从C ,D ,E 中选2人共有3种方法,利用公式求解.,[准确规范答题]列举从4人中选2人的可能结果时,易漏掉或重复某种结果(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(B ,C ),(B ,D ),(C ,D ),共6种. ⇨2分由于每个人被选到的机会均等,因此这些 基本事件的出现是等可能的.选到的2人的身高都在1.78以下的事件有:(A ,B ),(A ,C ),(B ,C ),共3种. ⇨4分 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P =36=12. ⇨6分所有事件包含的事件数列举不全或重复(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E ),共10种. ⇨8分由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有:(C,D),(C,E),(D,E),共3种.⇨10分因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1=310.⇨12分[答题模板速成]求古典概型概率的一般步骤:第一步审清题意理清题意,列出所有基本事件,计算基本事件总数第二步建立数量关系分析所求事件,找出所求事件的个数第三步转化为数学模型根据古典概型的概率公式求解得出结论第四步解决数学问题解后反思,规范解答步骤,检查计数过程是否有误[全盘巩固]1.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+n i)(n-m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112解析:选C 复数(m+n i)(n-m i)=2mn+(n2-m2)i为实数,则n2-m2=0⇒m=n,而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种,所以所求概率为66×6=16.2.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )121025125解析:选D 小正方体三面涂有油漆的有8种情况,故所求概率为81 000=1125. 3.连掷两次骰子分别得到点数m 、n ,则向量(m ,n )与向量(-1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512 B.712 C.13 D.12解析:选A 因为(m ,n )·(-1,1)=-m +n <0,所以m >n .基本事件总共有6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15(个).故P =1536=512.4.有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机地并排摆放在书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是( )A.15B.25C.35D.45解析:选B 语文、数学只有一科的两本书相邻,有2A 22A 22A 23=48种摆放方法;语文、数学两科的两本书都相邻,有A 22A 22A 33=24种摆放方法;而五本不同的书排成一排总共有A 55=120种摆放方法.故所求概率为1-48+24120=25.5.已知A ={1,2,3},B ={x ∈R |x 2-ax +b =0,a ∈A ,b ∈A },则A ∩B =B 的概率是( ) A.29 B.13 C.89 D .1 解析:选C 因为A ∩B =B ,所以B 可能为∅,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3}.当B =∅时,a 2-4b <0,满足条件的a ,b 为a =1,b =1,2,3;a =2,b =2,3;a =3,b =3.当B ={1}时,满足条件的a ,b 为a =2,b =1. 当B ={2},{3}时,没有满足条件的a ,b . 当B ={1,2}时,满足条件的a ,b 为a =3,b =2. 当B ={2,3},{1,3}时,没有满足条件的a ,b . 故A ∩B =B 的概率为83×3=89. ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 336.如图,三行三列的方阵中有九个数a ij(i =1,2,3;j =1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )771414解析:选D 从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39=9×8×71×2×3=84(种),因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 11=6(种),所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1-684=1314.7.(2013·浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于________.解析:设3名男同学分别为a 1、a 2、a 3,3名女同学分别为b 1、b 2、b 3,则从6名同学中任选2名的结果有a 1a 2,a 1a 3,a 2a 3,a 1b 1,a 1b 2,a 1b 3,a 2b 1,a 2b 2,a 2b 3,a 3b 1,a 3b 2,a 3b 3,b 1b 2,b 1b 3,b 2b 3,共15种,其中都是女同学的有3种,所以概率P =315=15.答案:158.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为________.解析:P =C 26C 15C 14+C 16C 25C 14+C 16C 15C 24C 415=15×20+6×40+6×3015×13×7=4891. 答案:48919.(2013·江苏高考)现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为________.解析:从正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)中任取两数的所有可能的结果有C 17C 19=63(个).其中m ,n 都取奇数的结果有C 14C 15=20(个).故所求概率为2063. 答案:206310. (2013·江西高考)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X ,若X >0就去打球,若X =0就去唱歌,若X <0就去下棋.(1)写出数量积X 的所有可能取值;(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率. 解:(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1.(2)数量积为-2的有2OA u u u u r ·5OA u u u u r,共1种;数量积为-1的有1OA u u u r ·5OA u u u u r ,1OA u u u r ·6OA u u u u r ,2OA u u u u r ·4OA u u u u r ,2OA u u u u r ·6OA u u u u r ,3OA u u u u r ·4OA u u u u r,3OA u u u u r ·5OA u u u u r,共6种;数量积为0的有1OA u u u r ·3OA u u u u r ,1OA u u u r ·4OA u u u u r ,3OA u u u u r ·6OA u u u u r ,4OA u u u u r ·6OA u u u u r,共4种;数量积为1的有1OA u u u r ·2OA u u u u r ,2OA u u u u r ·3OA u u u u r ,4OA u u u u r ·5OA u u u u r ,5OA u u u u r ·6OA u u u u r,共4种.故所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为P 1=715;因为去唱歌的概率为P 2=415,所以小波不去唱歌的概率P =1-P 2=1-415=1115.11.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17,现有甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取,…,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.(1)求袋中原有白球的个数; (2)求取球2次即终止的概率; (3)求甲取到白球的概率.解:(1)设袋中原有n 个白球,从袋中任取2个球都是白球的结果数为C 2n =n n -12,从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C 27=7×62=21. 由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P =C 2n C 27=n n -127×62=n n -17×6=17,则n (n -1)=6,解得n =3(舍去n =-2),即袋中原有3个白球.(2)设事件A 为“取球2次即终止”.取球2次即终止,即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球,P (A )=C 14×C 13C 17×C 16=4×37×6=27.(3)设事件B 为“甲取到白球”,“第i 次取到白球”为事件A i ,i =1,2,3,4,5,因为甲先取,所以甲只可能在第1次,第3次和第5次取到白球.所以P (B )=P (A 1∪A 3∪A 5)=P (A 1)+P (A 3)+P (A 5)=37+4×3×37×6×5+4×3×2×1×37×6×5×4×3=37+635+135=2235.12.(2014·雅安模拟)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.(1)设(i ,j )表示甲、乙抽到的牌面数字(如果甲抽到红桃2,乙抽到红桃3,记为(2,3)),写出甲乙两人抽到的牌的所有情况;(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少?(3)甲乙约定,若甲抽到的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,乙胜,你认为此游戏是否公平?请说明理由.解:(1)方片4用4′表示,则甲乙两人抽到的牌的所有情况为:(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4)共12种不同的情况(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4′,因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为23.(3)甲抽到的牌比乙大,有(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3),(3,2),共5种情况. 甲胜的概率为P 1=512,乙胜的概率为P 2=712.因为512<712,所以此游戏不公平.[冲击名校]现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题.甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题,每道题被抽到的概率是相等的,用符号(x ,y )表示事件“抽到的两道题的编号分别为x 、y ,且x <y ”.(1)问有多少个基本事件,并列举出来;(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率. 解:(1)共有36个等可能的基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9).(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件A , 则事件A 为“x ,y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且x +y ∈[11,17),其中x <y ”. 由(1)可知事件A 共包含15个基本事件,列举如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),所以P (A )=1536=512.即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为512. [高频滚动]一盒中装有大小和质地均相同的12个小球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出的小球是红球或黑球的概率; (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率.解:法一:(1)从12个球中任取1球是红球有5种取法,是黑球有4种取法,是红球或黑球共有5+4=9(种)不同取法,而任取1球共有12种取法.所以任取1球是红球或黑球的概率为P 1=912=34.(2)从12个球中任取1球是红球有5种取法,是黑球有4种取法,是白球有2种取法. 所以任取1球是红球或黑球或白球的概率为P 2=5+4+212=1112.法二:记事件A ={任取1球为红球),B ={任取1球为黑球},C ={任取1球为白球},D ={任取1球为绿球},则P (A )=512,P (B )=412,P (C )=212,P (D )=112.(1)取出1球为红球或黑球的概率为P 1=P (A )+P (B )=512+412=34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P 2=P (A )+P (B )+P (C )=512+412+212=1112.或P 2=1-P (D )=1-112=1112.。
新高考一轮复习人教A版第九章第五讲古典概型课件(44张)
2.(考向 1)已知 k∈Z,A→B=(k,1),A→C=(2,4).若|A→B|≤4, 则△ABC 是直角三角形的概率是________.
解析:因为|A→B|= k2+1≤4,所以- 15≤k≤ 15.因 为 k∈Z,所以 k=-3,-2,-1,0,1,2,3,当△ABC 为直 角三角形时,应有 AB⊥AC,AB⊥BC,或 AC⊥BC.由A→B·A→C =0,得 2k+4=0,所以 k=-2.因为B→C=A→C-A→B=(2- k,3),由A→B·B→C=0,得 k(2-k)+3=0,所以 k=-1 或 3.
答案:ABD
题组三 真题展现 4.(2021 年全国甲)将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行, 则 2 个 0 不相邻的概率为( )
A.13
B.25
2
4
C.3
D.5
答案:C
5.(2021 年上海)已知花博会有四个不同的场馆 A,B, C,D,甲、乙两人每人选 2 个去参观,则他们的选择中, 恰有一个馆相同的概率为________.
答案:172
【题后反思】求解古典概型交汇问题的思路
【考法全练】 1.(考向 2)已知 a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数 f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率是( )
5
1
A.12
B.3
1
1
C.4
D.6
解析:因为 a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},所以样本点 总数 n=3×4=12.
函数 f(x)=ax2-2bx 在区间(1,+∞)上为增函数. ①当 a=0 时,f(x)=-2bx,符合条件的只有(0,-1), 即 a=0,b=-1. ②当 a≠0 时,需要满足ab≤1,符合条件的有(1,-1), (1,1),(2,-1),(2,1),共 4 种. 所以函数 f(x)=ax2-2bx 在区间(1,+∞)上为增函数 的概率是152.
2021高三数学北师大版(文):古典概型含解析
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件的概率为P= .
1.(20xx·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.
[法一:设3名男同学分别为A,B,C,2名女同学分别为a,b,则所有等可能事件分别为AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10个,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共7个,故所求概率为 .
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.()
(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个事件是等可能事件.()
(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同.()
(4)“从长为1的线段AB上任取一点C,求满足AC≤ 的概率是多少”是古典概型.()
[答案](1)×(2)×(3)×(4)×
二、教材改编
1.从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数,则其和为偶数的基本事件个数为()
A.4B.5
C.6D.7
C[任取三个数和为偶数共有:(1,2,3),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,5),(3,4,5)共6个,故选C.]
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第5讲 古典概型1.(2016·唐山统考)抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为3的概率是( )A.19 B.16 C.118D.112解析:选B.抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为3的情况有:1,4;4,1;2,5;5,2;3,6;6,3,共6种情况,所以向上的点数之差的绝对值为3的概率为P =636=16,故选B. 2.(2016·江西省师大附中检测)高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙相邻,则甲、丙相邻的概率为( ) A.110 B.14 C.310D.25解析:选B.五人排队,甲、乙相邻的排法有A 22A 44=48(种),若甲、丙相邻,此时甲在乙、丙中间,排法有A 33A 22=12(种),故甲、丙相邻的概率为1248=14.3.(2016·洛阳统考)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为( ) A.115 B.15 C.14D.12解析:选B.由题意分析可得,甲连续三天参加活动的所有情况为:第1~3天,第2~4天,第3~5天,第4~6天,共四种情况,所以所求概率P =4·A 33C 6·A 3=15.4.(2016·亳州高三质量检测)已知集合M ={1,2,3,4},N ={(a ,b )|a ∈M ,b ∈M },A是集合N 中任意一点,O 为坐标原点,则直线OA 与y =x 2+1有交点的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.18解析:选C.易知过点(0,0)与y =x 2+1相切的直线为y =2x (斜率小于0的无需考虑),集合N 中共有16个元素,其中使OA 斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个,由古典概型知概率为416=14. 5.(2016·商丘模拟)已知函数f (x )=13x 3+ax 2+b 2x +1,若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79 B.13 C.59 D.23解析:选D.f ′(x )=x 2+2ax +b 2,要使函数f (x )有两个极值点,则有Δ=(2a )2-4b 2>0,即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值.满足a 2>b 2的有6个基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事件的概率为69=23.6.(2016·河南省三市调研)现有3位男生和3位女生共6位同学随机站成一排,在男生甲不站两端的条件下,有且只有2位女生相邻的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45解析:选B.6位同学随机排成一排,有A 66种排法,其中男生甲不站两端,有且仅有2位女生相邻的排法分两种情况:当甲排在2或5号位置时,各有2A 23A 12A 22+A 23A 22=60种排法;当甲排在3或4号位置时,各有2A 23A 12A 22+A 23A 33=84种排法,故所求概率为60×2+84×2A 6=25,故选B.7.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数),现乙还有一次不少于90分的成绩未记录,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________.解析:由题意得,基本事件总数为10,满足要求的有8个, 所以所求概率为810=45.答案:458.(2016·南昌一模)将a ,b ,c ,d 四封不同的信随机放入A ,B ,C ,D 4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中a 没有放入A 中的概率是________.解析:将四封不同的信随机放入四个不同的信封中,每个信封至少有一封信的放法有A 44=24种,其中信a 放入A 中的结果有A 33=6种,故“信a 没有放入A 中”的概率为1-A 33A 44=1-624=1-14=34.答案:349.(2016·忻州高三联考)某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等),则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是________. 解析:男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是1-C 34C 36=45.答案:4510.在集合A ={2,3}中随机取一个元素m ,在集合B ={1,2,3}中随机取一个元素n ,得到点P (m ,n ),则点P 在圆x 2+y 2=9内部的概率为________.解析:点P (m ,n )共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6种情况,只有(2,1),(2,2)这两种情况满足在圆x 2+y 2=9内部,所以所求概率为26=13.答案:1311.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ,n ,令平面向量a =(m ,n ),b =(1,-3). (1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率; (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率.解:(1)由题意知,m ∈{1,2,3,4,5,6},n ∈{1,2,3,4,5,6},故(m ,n )所有可能的取法共36种.使得a ⊥b ,即m -3n =0,即m =3n ,共有2种:(3,1)、(6,2),所以事件a ⊥b 的概率为236=118. (2)|a |≤|b |,即m 2+n 2≤10.共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种使得|a |≤|b |,其概率为636=16. 12.编号分别为A 1,A 2,…,A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人, ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ②求这2人得分之和大于50的概率. 解:(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3,A 4,A 5,A 10,A 11,A 13,从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{A 3,A 4},{A 3,A 5},{A 3,A 10},{A 3,A 11},{A 3,A 13},{A 4,A 5},{A 4,A 10},{A 4,A 11},{A 4,A 13},{A 5,A 10},{A 5,A 11},{A 5,A 13},{A 10,A 11},{A 10,A 13},{A 11,A 13}共15种.②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有{A 4,A 5},{A 4,A 10},{A 4,A 11},{A 5,A 10},{A 10,A 11}共5种. 所以P (B )=515=13.1.(2016·淄博一模)将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a ,第二次出现的点数记为b ,设任意投掷两次使两条不重合直线l 1:ax +by =2,l 2:x +2y =2平行的概率为P 1,相交的概率为P 2,若点(P 1,P 2)在圆(x -m )2+y 2=137144的内部,则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-518,+∞B.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,718 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-718,518 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-518,718解析:选D.对于a 与b 各有6种情形,故总数为36种.两条直线l 1:ax +by =2,l 2:x +2y =2平行的情形有a =2,b =4或a =3,b =6,故概率为P 1=236=118,两条直线l 1:ax +by =2,l 2:x +2y =2相交的情形除平行与重合(a =1,b=2)即可, 所以P 2=3336=1112,因为点(P 1,P 2)在圆(x -m )2+y 2=137144的内部,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫118-m 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫11122<137144,解得-518<m <718,故选D.2.(2016·江苏省扬州中学模拟)将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b ,c ,则方程x 2+bx +c =0有实根的概率为________.解析:将一枚骰子抛掷两次共有36种结果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),属于古典概型.方程x 2+bx +c =0有实根,则Δ=b 2-4c ≥0,即b ≥2c ,其包含的结果有:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(4,4),(5,4),(6,4),(5,5),(6,5),(5,6),(6,6),共19种,由古典概型概率计算公式可得P =1936.答案:19363.(2016·青岛检测)某市甲、乙两社区联合举行“五一”文艺汇演,甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目,其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人,表演笛子演奏的有2人,表演唱歌的有3人.(1)若从甲、乙社区各选一个表演项目,求选出的两个表演项目相同的概率; (2)若从甲社区表演队中选2人表演节目,求至少有一位表演笛子演奏的概率.解:(1)记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A 1、B 1、C 1,乙社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A 2、B 2、C 2,则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有(A 1,A 2),(A 1,B 2),(A 1,C 2),(B 1,A 2),(B 1,B 2),(B 1,C 2),(C 1,A 2),(C 1,B 2),(C 1,C 2),共9个.其中选出的两个表演项目相同这一事件包含的基本事件有(A 1,A 2),(B 1,B 2),(C 1,C 2),共3个,所以所求概率P 1=39=13.(2)记甲社区表演队中表演跳舞的1人为a 1,表演笛子演奏的2人分别为b 1、b 2,表演唱歌的3人分别为c 1、c 2、c 3.则从甲社区表演队中选2人的所有基本事件有(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,c 1),(a 1,c 2),(a 1,c 3),(b 1,b 2),(b 1,c 1),(b 1,c 2),(b 1,c 3),(b 2,c 1),(b 2,c 2),(b 2,c 3),(c 1,c 2),(c 1,c 3),(c 2,c 3),共15个.其中至少有一位表演笛子演奏这一事件包含的基本事件有(a 1,b 1),(a 1,b 2),(b 1,b 2),(b 1,c 1),(b 1,c 2),(b 1,c 3),(b 2,c 1),(b 2,c 2),(b 2,c 3),共9个,所以所求概率P 2=915=35.4.已知集合P ={x |x (x 2+10x +24)=0},Q ={y |y =2n -1,1≤n ≤2,n ∈N *},M =P ∪Q .在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(x ′,y ′),且x ′∈M ,y ′∈M ,试计算: (1)点A 正好在第三象限的概率; (2)点A 不在y 轴上的概率;(3)点A 正好落在区域x 2+y 2≤10上的概率.解:由集合P ={x |x (x 2+10x +24)=0}可得P ={-6,-4,0},由Q ={y |y =2n -1,1≤n≤2,n ∈N *}可得Q ={1,3},则M =P ∪Q ={-6,-4,0,1,3},因为点A 的坐标为(x ′,y ′),且x ′∈M ,y ′∈M ,所以满足条件的点A 的所有情况为(-6,-6),(-6,-4),(-6,0),(-6,1),(-6,3),…,(3,3),共25种.(1)点A 正好在第三象限的可能情况为(-6,-6),(-4,-6),(-6,-4),(-4,-4),共4种,故点A 正好在第三象限的概率P 1=425.(2)点A 在y 轴上的可能情况为(0,-6),(0,-4),(0,0),(0,1),(0,3),共5种,故点A 不在y 轴上的概率P 2=1-525=45.(3)点A 正好落在区域x 2+y 2≤10上的可能情况为(0,0),(1,0),(0,1),(3,1),(1,3),(3,0),(0,3),(1,1),共8种,故点A 落在区域x 2+y 2≤10上的概率P 3=825.。