2019考研数学二高数线代笔记

抽象型
如例3：设f(x)在x=x0处可导，g(x)在x=x0处连续但不可导，证明 在x=x0处可导的充要条件是f(x0)=0.
注：例3子题：
例3子题： 。2个
2.微分
设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。
如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。
五大方面的应用
1、涉及f(x)的定理的使用（有最介零）
2、罗尔定理的使用
3、拉格朗日定理的使用
（一般为等式证明）
2）给高阶条件推出低阶不等式
3）给低阶条件推出高阶不等式
4）具体化f，由a<ξ<b推出不等式
4、柯西中值定理的使用
可能是一个具体函数，一个抽象函数，在添加拉格朗日定理。
5、高阶导数的证明问题——
2）代数余子式：(-1)i+jMij=Aij、(-1)i+jAij=Mij、Aij为代数余子式
3）展开公式：
2、行列式的计算
1）具体型
（行和或列和相等）
注意：
如例题：
②消零降价法（）
如例题：
③加边法
如例题：
注：爪型行列式用斜爪消平爪
④递推法（高阶推低阶）
如例题：
⑤数学归纳法（低阶推高阶）
注意：第一数归法和第二数归法的区别，先找出关系，再确定用哪种方法
如例3：当 >0，证明
注：该结论证明x的正次幂趋向0比lnx趋向 的速度快，x的正次幂趋向+∞比e-δx趋向0的速度慢
4）当计算函数极限时，若出现 ，则有分母就通分，无分母则倒代换在通分。
如例4：
如例5：
5）当计算函数极限时，综合题型为①未知参数→要分类讨论；②变限积分定义f(x)，涉及泰勒公式；
如例:7：
2.计算——微分法
3.应用——极值与最值
1.概念
概念1：极限的存在性
注：除洛必达法则、单调有界准则，穷举法不可用。其它可以照搬一元函数极限的
方法。如无穷小替换、无穷小*有界=无穷小、夹逼准则
概念2：极限的连续性
注：与一元函数相同，但间断时不讨论其类型。
概念3：偏导数的存在性
概念4：多元函数的可微性
5
② 存在;
③ 存在;
则可以证明f(x)在区间(a,b)上有界。
(3)四则运算法：若 不存在，则拆分f(x),使得满足以下公式：
有限个有界函数的加减乘仍为有界函数。
即有界±有界=有界；有界 有界=有界。
注：实际上常用方法(2),方法(2)内包含方法(1)和(3)。
如例2：讨论函数 在其定义域内的有界性。
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。
考法：
函数的微分与函数的增量之间的关系
若设在含有 的某区间内存在二阶导数，则由拉格朗日余项泰勒公式，有
注：与通常的奇偶函数在对称区间上的定积分相比，这里多了一个要求“收敛”的条件，如果不满足这个条件，结论是不成立的。
如例题：
解析：
注：大的函数收敛，小的函数必收敛；小的函数发散，大的函数必发散。
2、计算
1. 基本公式
2.求导
重要公式
①参数式所确定的函数的导数公式
②反函数的一阶及二阶导数公式
注：对于多项相乘，相除，开方，乘方的式子，先取对数在求导，即对数求导法
如例1：
如例6：
2）当计算函数极限时，出现分子次数低于分母次数而导致洛必达法则无法使用时，可使用换元法，利用倒代换 来消除此影响。
3）如例2：
3）当计算函数极限时，若出现 ，则化为 还是 ，是看哪个化成分母后的式子较为简单，即设置分母有原则。简单因式才下放，简单因式有 、 等；复杂因式有linx、arcsinx、arctanx、 等。
3）左行右列定理
初等阵P左乘（右乘）A得PA（AP），就是对A作了一次与P相同的初等行(列)变换
如例题：
5、求A的逆
6、矩阵方程
如例题：
如例8：
注：泰勒展开时需要遵循以下两点要求：
①对于 型，上下同阶；即将分子(分母)展开至与分母(分子)同阶。
②对于 型，幂次最低；即将A、B展开至系数不相等的最低次幂。
3、数列极限的计算
1）通项已知且易于连续化，用简单归结原则。
如例1：
2）通项已知但不易于连续化，用夹逼准则。
如例2：
3）通项由递推式给出，用单调有界准则（需要证明单调性和有界性）。
如例1：对于数列Xn，有X1=a，Xn≠0，n=1,2,3........,若 ，则 （A）。
A.无穷大 B.0 C.非0常数 D.无穷大或常数
2）讨论f(x)在区间I上的有界性三种方法：(1)理论法：闭区间连续函数的有界性定理：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界。
(2)计算法：若条件给出开区间(a.b)，则只需:①f(x)在区间(a,b)上连续;
例3：
2、函数极限的运算
计算遵循的步骤：(1) 化简先行（等价替换、恒等变形、抓大头）
(2)判别类型（ ）
(3)使用工具（洛必达法则、泰勒公式、夹逼准则）
(4)注意事项（总结错题）
常见的等价替换：当 时，
X: sinx~x、arcsinx~x、tanx~x、arctanx~x、ex-1~x、ax-1~xlna、ln(1+x)~x、(1+x)α-1~αx
证明有界时又可采用夹逼准则和数学归纳法；
如例3：
4、极限的应用——连续与间断
1.讨论连续与间断时，只讨论无定义点和分段点。
2.连续定义。
3.间断定义。
注：讨论连续与间断时，前提必须保证f(x)在该点的去心领域即 内有定义
1）无定义点讨论
如例1：
2）分段点和无定义点讨论
如例2：
第2讲一元函数微积分
1、定义
1）
如例题(研究对象复杂化)：
如例题(区间复杂化)：
2）方程的根f(x)=0（有且仅有）
10存在性（有—至少有）：
20唯一性（仅有—至多有）：
如例题：
3）不等式（核心是求导，研究性态）
将常数不等式化为变量函数，证明其单调性，后带其值，可得证。——常数变量化
如例题：
第三讲 多元函数微分学
综述：1.概念——5个
有理函数积分法
华里士公式（点火公式）
如例题：
分析：
其中换元时用到了区间再现公式
如例题：
3、应用
1.几何应用
①导数（极值点、最值点、拐点、单调性、凹凸性、渐近线——统称为性态）
1）极值与单调性
10判别法一：若f(x)在x0处连续
(1)
(2)
20判别法二：若f(x)在x0处二阶可导
证明：
2）拐点与凹凸性
Xn: 1-cosx~ x2、x-sinx~ 、x2-sin2x~
常见的泰勒展开式：当 时，
sinx= 、arcsinx= 、cosx=
tanx= 、arctanx= 、ln(1+x)=
ex= 、(1+x)α=
1）当计算函数极限时，化成等价替换的形式，出现幂次未定式 、 、 时，将其uv化为evlinu的形式；出现多项式时，抓带头大哥。
当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
如例1：设f(u)可导，y=f(x2),当x在x=-1处取∆x=-0.1时，∆y的线性主部为0.1，则f’(1)为？
3.不定积分
①原函数存在定理
1）连续函数必有原函数
例如证明题：
分析：
导数求一点定义；
积分四则运算；
积分中值定理，将积分形式划分函数形式；
连续定义；
以上例题可得：
2）含跳跃、可去、无穷间断点的函数在此区间上无原函数——反证法
综述：按类求解，对号入座；
1.一阶方程（可分离变量，齐次型，一阶线性型，可降阶）
2.高阶方程（齐次型，非齐次型）
3.应用题
基本概念：
一、一阶方程
1.可分离变量型
如例题：
注：
2.齐次型
如例题：
3.一阶线性型
如例题：
4.可降阶
如例题：
5.二阶（高阶）方程的求解
高阶常系数线性齐次方程求解
如例题：
高阶常系数线性非齐次方程求解
例题：
概念5：偏导数的连续性
注：5大概念的逻辑关系
2.计算（多元微分法）
①链式求导法则
如例题：
②高阶偏导数
无论z对谁求导，也无论z已经求了n阶导。求导之后的新函数仍具有与原来函数完全相同的复合结构。
③注意书写规范
如例题：
如例题：
3、应用——极值与最值
无条件极值
①理论依据
如例题：
条件极值与拉格朗日乘数法
5.变限积分
①
②变限积分属于定积分范畴，即区间需有限，函数需有界；
③
注：上述求导公式使用的前提是被积函数f(t)只含t,不含x,可用替换法替换积分变量去除x.