第3讲线性代数和多项式

>> k1=polyder([2,-1,0,3]); >> k2=polyder([2,-1,0,3],[2,1]); >> [k2,d]=polyder([2,-1,0,3],[2,1]);
课堂练习：
P117-121例题 。
多项式的拟合
顾名思义多项式拟合是利用多项式最佳的拟合通过实验获 得的数据，使得在实验数据点处的误差平方和最小（最小 二乘法）。
解 线 性 方 程 组
解： Matlab命令为 A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2]; 系数矩阵
rref(A)
ans= 1 0 4 0
行的最简形式
0
0
1
0
-3/4
0
-1/4
0
分析：
将0=0的一行去掉，则原方程组等价于 方程的个数<未知量个数
x1 4 x3 3 1 x2 x3 x4 4 4
例： p1 2 x 3 x 2 3 p2 2 x 1 p1 p2 2 x 3 x 2 2 x 4
[2, 1, 0, 3] [ 0, 0, [ 2, 1] [2, 1, 2, 4]
多项式乘法运算： k=conv(p,q)
例：计算多项式 2 x 3 x 2 3 和 2 x 1 的乘积
矩阵的特征多项式
p=poly(A) 若A为矩阵，则p为A的特征多项式系数； 若A为行向量，则p为以A为根的特征多项式系数。 poly2str(p,’x’) 例1 得到多项式的习惯形式
A=[1,-1;2,4]; p=poly(A) poly2str(p,’x’) p=[1 -5 x^2-5x+6 6]
所以方程的通解为
解 线 性 方 程 组
x1 4 0 x 3 / 4 1 / 4 2 k k2 1 x3 1 0 0 1 x4
其中 k1, k2 是任意实数
例9 求非齐次方程组（Ax=b，A不是可逆方阵）的解
MATLAB为多项式的操作提供了相应的函数库
polyfun;
Matlab的多项式表示
在 Matlab 中，n 次多项式是用一个长度为 n+1 的向量来表示，缺少的幂次项系数为 0。例如：
p( x) an x an1x
n
n1
a1x a0
在 Matlab中，用其系数的行向量表示该多项式：
x=roots(p)：返回多项式的根，注意:matlab 按惯例，多项式是行向量，根是列向量。
3 2 p ( x ) 2 x x 3 ，求p(x)的根。 例：已知
>> p=[2,-1,0,3]; >> x=roots(p)
x= 0.7500 + 0.9682i 0.7500 - 0.9682i -1.0000
[an , an1, , a1, a0 ]
3 2 例： 2 x x 3
p [2, 1, 0, 3]
向量转换为多项式poly2str(p,’x’) 注：系数中的零不能省！
f=poly2str(p,'x') f= 2 x^3 - 1 x^2 + 3
多项式求根
求解多项式的根，即p(x)=0的解。在matlab中，求解多项式的 根由roots函数命令来完成。

poly2str(p, ‘x’)
将多项式表示成习惯的 形式
x=0:.1:1; y=[2.3 2.5 2.1 2.5 3.2 3.6 3.0 3.1 4.1 5.1 3.8]; p2=polyfit(x,y,2); p3=polyfit(x,y,3);p7=polyfit(x,y,7) disp(‘二次拟和’)，poly2str(p2,'x') disp(‘三次拟和’)，poly2str(p3,'x') disp(‘七次拟和’)，poly2str(p7,'x') x1=0:0.01:1; y2=polyval(p2,x1); y3=polyval(p3,x1); y7=polyval(p7,x1); plot(x,y,'rp',x1,y2,’g-’,x1,y3,’b--’,x1,y7,’k-.’)
北京科技大学数学实验
下表是1971年到1990年我国总人口的统计数字，试根据 1971年到1985年这15年人口的统计数字用多种方法预测未来 20年的人口数字，并比较1986年到1990年间预测人口数字与 实际统计数字的差异，在你所使用的几种预测方法中找出一 种较为合理的预测方法。
年份 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
人口统计数字 8.5229 8.7177 8.9211 9.0859 9.2420 9.3717 9.4974 9.6259 9.7542 9.8705
4 x1 2 x2 x3 2 3 x1 1x2 2 x3 10 11x 3 x 8 2 1
解 线 性 方 程 组
解： Matlab命令为 A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0]; b=[2;10;8]; B=([A,b]) 增广矩阵=系数矩阵+常数项 rref(B)
Legend(‘拟合点’,’二次拟合’,’三次拟合’,’七次拟 合’)
预测模型实验
北京科技大学数学实验
人口预测
问题的提出： 据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年， 而人类的出现距今却不足200万年。纵观人类人口总数的增 长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿。经过漫 长的过程到1830年，人口总数达10亿；又经过100年，在 1930年，人口总数达20亿；30年后，在1960年，人口总数 为30亿；又经过15年，1975年的人口总数是40亿；12年之 后即1987年，人口已达50亿。 我们自然会产生这样一个问题：人口增长的规律 是什么？
ans
有三种方法：1、求逆法（P95） 例： 求方程组 (Ax=b,A是可逆方阵)的解
解 线 性 方 程 组
2 x 3 y 4 x y 1
解： A=[2,3;1,-1]; 相当于
2 3 x 4 1 1 y 1
多项式四则运算
多项式加减运算：Matlab没有提供专门进行多项式 加减运算的函数，事实上，多项式的加减就是其所对 应的系数向量的加减运算。
对于次数相同的多项式，可以直接对其系数向量 进行加减运算； 如果两个多项式次数不同，则应该把低次多项式 中系数不足的高次项用0补足，然后进行加减运算。
多项式求值
多项式求值函数polyval 利用该函数可以求得多项 式在某一点的值。
y=polyval(p,x):返回多项式p在x点的值
其中：x可以是复数，也可以是矩阵； 例：已知 p( x) 2 x 3 x 2 3，分别取 x=2和一个2x2矩阵， 求 p(x)在 x处的值 >> p=[2,-1,0,3]; >> x=2;polyval(p,x) 15 >> x=[-1, 2;-2,1];polyval(p,x) [0 15;-17 4]
多项式的导数
k=polyder(p): 返回多项式p的一阶导数；
k=polyder(p,q): 返回多项式p与q乘积的一阶导数； [k,d]=polyder(p,q):返回p/q 的导数，k是分子，d是分母。
3 2 p ( x ) 2 x x 3， q( x) 2 x 1 ， 例：已知 求 p' , ( p q)', ( p / q)'
[]
例5-1 A=magic(3)
矩阵的基本运算
数乘 矩阵的左除 矩阵的右除 矩阵的逆 矩阵的乘幂 k*A A\B A/B
注意 K是一个数，A是一个矩阵 AX=B, X=A-1B, A必须是方阵 XB=A,X=AB-1, B必须是方阵 A必须为方阵 A必须为方阵，|A| ‡ 0 A必须为方阵，n是正整数
ans
如果是XA=b,
1.4000 0.4000
则X=b/A
方程的解是：x=1.4, y=0.4
3 、初等变换法（P96）
在线性代数中用消元法求线性方程组的通解的过程为： 1、用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最
解 线 性 方 程 组
后的恒等式“0=0”去掉； 2、如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非 零的数，那么方程无解。否则有解； 3、在有解的情况下：
[V,D]=eig(A)
A必须为方阵。返回A的特征值矩阵D（主对角线的元素为 特征值）与特征向量矩阵V（列向量和特征值一一对应）， 满足AV=VD。
例1
A=[1,-1;2,4]; [V,D]=eig(A) V= D= -0.7071 0.4472 0.7071 -0.8944 2 0 0 3 方阵A的特 征向量矩阵 方阵A的特 征值矩阵
>> p=[2,-1,0,3]; >> q=[2,1]; >> k=conv(p,q); poly2str(k,’x’) ans=4x^4 - 1x^2 + 6x + 3
多项式除法运算：[k,r]=deconv(p,q)
其中k返回的是多项式p除以q的商，r是余式。
[k,r]=deconv(p,q) <==> p=conv(q,k)+r
x 取 [0,1] 之间的数，步长为
0.1
y 取 2.3,2.5,2.1,2.5,3.2,3.6,3.0,3.1,4.1,5.1,3.8
判断用什么曲线来进行拟合？

p =polyfit（x，y，n） 多项式数据拟合