线性代数 1-3 第1章3讲-行列式的性质及其应用(1)
线性代数课件--3.1行列式的概念和性质
行列式含有两个 相同的行, 值为 0 .
综上所述,得公式
ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain D 当k i
当k i a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj D 当l j 0 当l j
0
注 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并 不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1) 阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一 行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义， 但展开定理在理论上是重要的． 利用行列式按行按列展开定理, 并结合行列式性质, 可简化行列式计算： 方法 计算行列式时, 可先用行列式的性质将某一行(列)化 为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列 式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.
M 44 M 44
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个 代数余子式. 根据该定义，可重新表达行列式的值
a11 a1n det A an1 ann
def
a 1
k 1 1k
n
1 k
det S1k
a1k A1k
k 1
n
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式. 相当于把行列式按第一行展开
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31a12a21a33 a11 a23 a32
说明 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列 的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负. 结论 n 阶行列式的值是 n！个不同项的代数和，其中的每 一项都是处于行列式不同行又不同列的n 个元之乘积.
线性代数第1章第3单元
1 9 13 7
0
0 17 10
r4 17r3 0 13这是计算行列式最基本 25 17 1 (13) (1) (24) 312 , 必须掌握! 0 0 的方法 1 2 0 0 0 24
《线性代数》课题组
1
2 2 2 2
1 a1 0 0
1 0 a2 0
1 0 0 an
称为“箭” 型行列式.
例5 解
1
计算行列式
Dn+1 1 1 1 ( ) a1
把行列式的第2列
1 ( ) 第3列 a2
n
…第（n+1）列
1 a1 0 0 1 0 a2 0 0 1 0 0 an
1 ( ) 都加到第1列得 an
1 a0 i 1 ai Dn+1 0 0 0
a (n 1)b b b a
1 b b
b
b b b a
n1
r2 r1 r3 r1
1
b
b
0 a b 0 0 a b [a (n 1)b] 0
0 0 0
0 0
a b
[a (n 1)b](a b)
rn r1
《线性代数》课题组
解法二
a
r2 r1 r3 r1
i 行 ai1
k行
ai 2
ain
＝akn
ak 1 ak 2 ai1 ai 2
akn i 行 ain k 行
ak 1 ak 2
可用数学 归纳法证 明，略去
推论1 行列式若有两行（列）对应元素完全相同，则行列式 为零.
《线性代数》课题组
性质3
行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k，等 于数k 乘以此行列式。
自考线性代数(经管类)-考点
线性代数第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数得到下列式子：称为一个二阶行列式，其运算规则为2．三阶行列式由9个数得到下列式子：称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式设有三阶行列式对任何一个元素，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素的余子式，记成例如，，再记，称为元素的代数余子式.例如，那么，三阶行列式定义为我们把它称为按第一列的展开式，经常简写成4．n阶行列式一阶行列式n阶行列式其中为元素的代数余子式.5．特殊行列式上三角行列式下三角行列式对角行列式（二）行列式的性质性质1 行列式和它的转置行列式相等，即性质2 用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质4 行列式可以按行（列）拆开.性质5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即或前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2 n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即或（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例1 计算行列式解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.例2 计算行列式解：方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再将后三行都减去第一行：方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与有相同值的五阶行列式：这样得到一个“箭形”行列式，如果，则原行列式的值为零，故不妨假设，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.例3 三阶范德蒙德行列式（四）克拉默法则定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为如果其系数行列式，则方程组必有唯一解：其中是把D中第j列换成常数项后得到的行列式.把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2 设有含n个方程的n元齐次线性方程组如果其系数行列式，则该方程组只有零解：换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章矩阵（一）矩阵的定义1．矩阵的概念由个数排成的一个m行n列的数表称为一个m行n列矩阵或矩阵当时，称为n阶矩阵或n阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用或O表示2．3个常用的特殊方阵：①n阶对角矩阵是指形如的矩阵②n阶单位方阵是指形如的矩阵③n阶三角矩阵是指形如的矩阵3．矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“”与矩阵记号“”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵，，若，，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即，则称矩阵A与B相等，记为因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2．矩阵的加、减法设，是两个同型矩阵则规定注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3．数乘运算设，k为任一个数，则规定故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D 的乘积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4．乘法运算设，，则规定其中由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：①不满足交换律，即②在时，不能推出或，因而也不满足消去律.特别，若矩阵A与B满足，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5．方阵的乘幂与多项式方阵设A为n阶方阵，则规定特别又若，则规定称为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵6．矩阵的转置设A为一个矩阵，把A中行与列互换，得到一个矩阵，称为A的转置矩阵，记为，转置运算满足以下运算律：，，，由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设A为一个n阶方阵，若A满足，则称A为对称矩阵，若A满足，则称A为反对称矩阵.7．方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.设为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式，称为方阵A的行列式，记为方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则①；②③（三）方阵的逆矩阵1．可逆矩阵的概念与性质设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足，则把B称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为，从而A与首先必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A，B为同阶可逆矩阵，为常数，则①是可逆矩阵，且；②AB是可逆矩阵，且；③kA是可逆矩阵，且④是可逆矩阵，且⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设P为可逆矩阵，则2．伴随矩阵设为一个n阶方阵，为A的行列式中元素的代数余子式，则矩阵称为A的伴随矩阵，记为（务必注意中元素排列的特点）伴随矩阵必满足（n为A的阶数）3．n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n阶方阵A可逆，且推论：设A，B均为n阶方阵，且满足，则A，B都可逆，且，例1 设（1）求A的伴随矩阵（2）a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？此时求解：（1）对二阶方阵A，求的口诀为“主交换，次变号”即（2）由，故当时，即，A为可逆矩阵此时（四）分块矩阵1．分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A的列分块方式与右矩阵B的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块.2．准对角矩阵的逆矩阵形如的分块矩阵称为准对角矩阵，其中均为方阵空白处都是零块.若都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且（五）矩阵的初等变换与初等方阵1．初等变换对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1）交换A的某两行（列）；（2）用一个非零数k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2．初等方阵由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为，和，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3．初等变换与初等方阵的关系设A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.4．矩阵的等价与等价标准形若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为对任一个矩阵A，必与分块矩阵等价，称这个分块矩阵为A的等价标准形.即对任一个矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A为任一个n阶可逆矩阵，构造矩阵（A，E）然后注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例2 求的逆矩阵解：则例3 求解矩阵方程解：令，则矩阵方程为，这里A即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘，得也能用初等行变换法，不用求出，而直接求则（六）矩阵的秩1．秩的定义设A为矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩或零矩阵的秩为0，因而，对n阶方阵A，若秩，称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.2．秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，则秩(A)=秩(T)=T中非零行的行数.3．与满秩矩阵等价的条件n阶方阵A满秩A可逆，即存在B，使A非奇异，即A的等价标准形为EA可以表示为有限个初等方阵的乘积齐次线性方程组只有零解对任意非零列向量b，非齐次线性方程组有唯一解A的行（列）向量组线性无关A的行（列）向量组为的一个基任意n维行（列）向量均可以表示为A的行（列）向量组的线性组合，且表示法唯一.A的特征值均不为零为正定矩阵.（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组可以表示成矩阵形式，其中为系数矩阵，为常数列矩阵，为未知元列矩阵.从而线性方程组与增广矩阵一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章向量空间（一）n维向量的定义与向量组的线性组合1． n维向量的定义与向量的线性运算由n个数组成的一个有序数组称为一个n维向量，若用一行表示，称为n维行向量，即矩阵，若用一列表示，称为n维列向量，即矩阵与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.2．向量的线性组合设是一组n维向量，是一组常数，则称为的一个线性组合，常数称为组合系数.若一个向量可以表示成则称是的线性组合，或称可用线性表出.3．矩阵的行、列向量组设A为一个矩阵，若把A按列分块，可得一个m维列向量组称之为A的列向量组.若把A按行分块，可得一个n维行向量组称之为A的行向量组.4．线性表示的判断及表出系数的求法.向量能用线性表出的充要条件是线性方程组有解，且每一个解就是一个组合系数.例1 问能否表示成，，的线性组合？解：设线性方程组为对方程组的增广矩阵作初等行变换：则方程组有唯一解所以可以唯一地表示成的线性组合，且（二）向量组的线性相关与线性无关1．线性相关性概念设是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，称为相关系数.否则，称向量线性无关.由定义可知，线性无关就是指向量等式当且仅当时成立.特别单个向量线性相关；单个向量线性无关2．求相关系数的方法设为m个n维列向量，则线性相关m元齐次线性方程组有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数矩阵的秩小于m例2 设向量组，试讨论其线性相关性.解：考虑方程组其系数矩阵于是，秩，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为令，得一个非零解为则3．线性相关性的若干基本定理定理1 n维向量组线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.即线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2 如果向量组线性无关，又线性相关，则可以用线性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理4 无关组的接长向量组必无关.（三）向量组的极大无关组和向量组的秩1．向量组等价的概念若向量组S可以由向量组R线性表出，向量组R也可以由向量组S线性表出，则称这两个向量组等价.2．向量组的极大无关组设T为一个向量组，若存在T的一个部分组S，它是线性无关的，且T中任一个向量都能由S线性表示，则称部分向量组S为T的一个极大无关组.显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：定理1 向量组T与它的任一个极大无关组等价，因而T的任意两个极大无关组等价.定理2 向量组T的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.3．向量组的秩与矩阵的秩的关系把向量组T的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T的秩.把矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩，把A的列向量组的秩称为A的列秩.定理：对任一个矩阵A，A的列秩=A的行秩=秩（A）此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵易见B的秩为4，A的秩为4，从而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地为向量组的一个极大无关组，而且（四）向量空间1．向量空间及其子空间的定义定义1 n维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n维向量空间，记作定义2 设V是n维向量构成的非空集合，若V对于向量的线性运算封闭，则称集合V是的子空间，也称为向量空间.2．向量空间的基与维数设V为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n维向量空间的维数为n，且中任意n个线性无关的向量都是的一个基.3．向量在某个基下的坐标设是向量空间V的一个基，则V中任一个向量都可以用唯一地线性表出，由r个表出系数组成的r维列向量称为向量在此基下的坐标.第四章线性方程组（一）线性方程组关于解的结论定理1 设为n元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是定理2 当n元非齐次线性方程组有解时，即时，那么（1）有唯一解；（2）有无穷多解.定理3 n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是推论1 设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组有非零解推论2 设A为矩阵，且，则n元齐次线性方程组必有非零解（二）齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组的解的全体所组成的向量集合显然V是非空的，因为V中有零向量，即零解，而且容易证明V对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V成为n维列向量空间的一个子空间，我们称V为方程组的解空间（三）齐次线性方程组的基础解系与通解把n元齐次线性方程组的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当n元齐次线性方程组有非零解时，即时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为求基础解系与通解的方法是：对方程组先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例1 求的通解解：对系数矩阵A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：，有非零解，取为自由未知量，可得一般解为写成向量形式，令，为任意常数，则通解为可见，为方程组的一个基础解系.（四）非齐次线性方程组1．非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系设为一个n元非齐次线性方程组，为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：性质1 如果是的解，则是的解性质2 如果是的解，是的解，则是的解由这两个性质，可以得到的解的结构定理：定理设A是矩阵，且，则方程组的通解为其中为的任一个解（称为特解）,为导出组的一个基础解系.2．求非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例2 当参数a，b为何值时，线性方程组有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：_当时，，有唯一解；当时，，，无解；当时，，有无穷多解.此时，方程组的一般解为令为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为。
(完整版)线性代数笔记
等行变换，则得到的是 。
对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由
两边转置得
按上例的方法求出 进而求出 X
二.初等变换的性质
定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ，则以 与
为增广矩阵的方程组同解。 定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换 （包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无
3、矩阵的乘法 设 A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中 C=Σaijbjk（j=1，n） 注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换 律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但 有可能 A*B=0（零矩阵） 矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BC
hing at a time and All things in their being are good for somethin
此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵 A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+（-A）=（A）+A=0
如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式 D≠0,则方程组
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零 解，没有非零解。 推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化.知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54：二次型及其矩阵表示知识点55：矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57：二次型的标准形知识点58：用正交变换化二次型为标准形知识点59：用配方法化二次型为标准形知识点60：正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
线性代数1.3 行列式的性质与计算
123
2 3 4 0
357
但是，该行列式并没有一 行（列）为0、两行（列） 相同或两行（列）成比例.
（3）使用消元法可以把行列式化为三角行列式的形式，从 而方便地求出行列式的值.此方法叫做化上（下）三角形法. （注意“1”的作用：消元时不产生分数。若没有“1”，有时 可通过消元法造出“1”）
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0 2a 2b 2c 2d xyza
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性质5
如果行列式的某一行（列）元素都是两数之和， 那么可以把行列式表示成两个行列式的和。
a11
a12 L
a1n
a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n
L
L
L LL
L LL
L
D bi1 ci1 bi2 ci2 L bin cin bi1 bi2 L bin ci1 ci2 L cin
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三、分块三角行列式的计算
a11 a12 L a1n 0 0 L 0
a21 a22 L a2n 0 0 L 0
MM
MMM
M
D an1 an2 L ann 0 0 L 0 c11 c12 L c1n b11 b12 L b1m
c21 c22 L c2n b21 b22 L b2m
11 1 1r2 r3
0 1r2 r4 1 0 5
1
111Biblioteka 0 4 3r3
r4
5 0
1 0
0 0 12 1
01 5 1
0 0 16 2
00
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1 5
r3
2 1
11 1
12 1 40
02 3
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
线性代数讲义一
• 二阶、三阶行列式 • n阶行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式按行（列）展开 • Cramer法则
§1. 二阶与三阶行列式
1、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
不为零的项只有 (-1)t(12n) a11a22 ann.
a11 0
0
a21 a22 0 1 t12na11a22 ann
an1 an2 ann a11a22 ann.
定义4 将一个排列中的两个数位置对调称为对换，
将相邻两个数位置对调称为相邻对换。
定理1 一次对换改变排列的奇偶性。
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
1 -1 2 3
104
11 D0ຫໍສະໝຸດ 4 ,M12 0 - 2 1 -4,
0 0 -2 1
002
0 -3 0 2
1 -1 2 M 44 1 1 0 -4,
a13
a21 a31
a22 a32
a11 A11 a12 A12 a13 A13
定理4 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2,, n
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ca c1 a1
2c 2c1
a2 b2 c2 a2 c2 a2
a2 b2 c2 a2 2c2
ab =2 a1 b1
ca c1 a1
c c2 c3 a b
c1
2 a1 b1
a a1
a31 a32 a33
14
行列式的简单应用(1)
ab bc ca a b c
例3
证明：a1 b1 b1 c1 c1 a1 =2 a1 b1 c1
a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 c2
解
左端 c2
c1
ab a1 b1
ca c1 a1
ca c1 a1
c3 +c2 a b a1 b1
a1n a11 a12 ain ai1 ' ai2 ' ann an1 an2
a1n
a11
a12
ain ' ai1 ai1 ' ai2 ai2 '
ann
an1
an 2
a1n ain ain '
ann
8
行列式的性质
性质1.5 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以数k，加到另一行（列）中对应 元素上，行列式的值不变.
a11 a12 a13
ai1 ai2 ai3 即
a j1 a j2 a j3
an1 an2 an3
a1n
a11
a12
a13
ain ai1 ka j1
a jn
a j1
ai2 ka j2 aj2
ai3 ka j3 a j3
ann
an1
an 2
an3
a1n
ain ka jn .
a jn
ann
9
行列式的性质
a11 a12 a13
a1n
ai1 ai2 ai3 即
kai1 kai2 kai3
ain 0
kain
an1 an2 an3
ann
推论3 若行列式中某一行（列）元素全为零，则行列式为零.
6
行列式的性质
拆项的性质
性质1.4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可按此行（列）
将行列式拆成两个行列式的和.
线性代数（慕课版）
第一章 行列式
第三讲 行列式的性质及其应用(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 行列式的性质 02 行列式性质的简单应用(1)
行列式的性质 性质1.1 行列式与其转置行列式的值相等，即 D DT .
转置行列式 把行列式的行与列互换后得到的行列式，称为转置行列式.
a11 a12 若 D a21 a22
即
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
D ai1 ai1 ' ai2 ai2 '
ain ain ' ai1 ai2
ain ai1 ' ai2 '
ain '
n1 an2
ann
7
行列式的性质 行列式相加
a11 a12 ai1 ai2 an1 an2
a jn
即
a j1 a j2 a j3
a jn
ai1 ai2 ai3
ain
an1 an2 an3
ann
an1 an2 an3
ann
推论 若行列式中有两行（或两列）对应元素相同，则行列式等于零.
4
行列式的性质
性质1.3 若行列式的某一行（或列）有公因子k，则公因子k 可以提到行列式记号外面.
a11 a12 a13
推论 行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素对应的 代数余子式的乘积之和等于零. ai1Aj1 ai2 Aj2 ai3 Aj3 ain Ajn 0 (i, j=1,2, , n，i j) a1i A1 j a2i A2 j a3i A3 j ani Anj 0 (i, j=1,2, , n，i j)
a11 a12 a13
4a11 2a11 3a12 a13
例2 已知D a21 a22 a23 ，则M 4a21 2a21 3a22 a23 ______ .
a31 a32 a33
4a31 2a31 3a32 a33
4a11 2a11 3a12 a13
a11 2a11 3a12 a13
11
本讲内容
01 行列式的性质 02 行列式性质的简单应用(1)
行列式的简单应用(1)
a b c1
b c a1
例1 计算行列式：D c
a
b1
bc ca ab 1 222
解 第二、三行分别乘以 1 加至第四行，得 2
ab c1
b D
c
a
1
0
ca b1
00 00
性质1.3
推论3
13
行列式的简单应用(1)
化零的性质
10
行列式的性质
性质1.6
行列式可以按任意行(列)展开，值不变.
行列式 展开定理
n
按第i行展开(i=1,2, , n) D=ai1Ai1 ai2 Ai2 ai3 Ai3 ain Ain = aij Aij j 1 n
按第列展开(j=1,2, , n) D=a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j anj Anj = aij Aij i 1
性质1.5 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以数k，加到另一行（列）中对应 元素上，行列式的值不变.
1234 1234 1 2 34 12 34
例
2 1 5 2 0 3 5 6 3 3
3 5
1 6
6 0
3
16 03
16
3 0 11 3 9 0 11 3 9
4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 0 6 9 12
解
M 4a21 2a21 3a22 a23 4 a21 2a21 3a22 a23
4a31 2a31 3a32 a33
a31 2a31 3a32 a33
12
c2
2c1
4
a11 a21
3a12 3a22
a13
a11
a23 4 (3) a21
a12 a22
a13 a23 12
a31 3a32 a33
an1 an2
a1n
a11 a21
a2n ，则 DT a12 a22
ann
a1n a2n
an1 an2 .
ann
3
行列式的性质
性质1.2 互换行列式的两行（列），行列式的值仅改变符号.
a11 a12 a13
a1n
a11 a12 a13
a1n
ai1 ai2 ai3
ain
a j1 a j2 a j3
a1n
a11 a12 a13
a1n
kai1 kai2 kai3
kain k ai1 ai2 ai3
ain
an1 an2 an3
ann
an1 an2 an3
ann
推论1 行列式的某一行（或列）所有元素的公因子可以提到行列式的前面.
5
行列式的性质
推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.