计数原理与概率各考点

计数原理与概率[考情分析] 1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率的基本应用．考点一排列与组合问题核心提炼解决排列、组合问题的一般过程(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．例1(1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到A，B，C三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：交通路口 A B C志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求A，B，C三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法有()A．14种B．11种C．8种D．5种答案 B解析由题意得，以C路口为分类标准：C路口值勤分得人数情况有2种，两个人或一个人，若C路口值勤分得人数为2，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在A，B路口值勤，此时有两种安排方法．若C路口值勤分得人数为1，丙或丁在C路口，具体情况如下．丙在C路口：A(丁)B(甲乙)C(丙)；A(甲丁)B(乙)C(丙)；A(乙丁)B(甲)C(丙)．丁在C路口：A(甲乙)B(丙)C(丁)；A(丙)B(甲乙)C(丁)；A(甲丙)B(乙)C(丁)；A(乙)B(甲丙)C(丁)；A(乙丙)B(甲)C(丁)；A(甲)B(乙丙)C(丁)．所以一共有2＋3＋6＝11(种)安排方法．(2)(2022·衡阳模拟)2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时，创意新颖，惊艳了全球观众，某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？()A．192 B．240 C．120 D．288答案 A解析由题意得，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到A22A55＝240(种)，当“立春”和“惊蛰”相邻，且“清明”与“惊蛰”也相邻时，有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起，即2A44＝48(种)，所以最终满足题意的排法为240－48＝192(种)．规律方法排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．跟踪演练1(1)2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有()A．144种B．336种C ．672种D ．1 008种答案 A解析 选取的3个名称中含有祝融的共有C 29种不同的情况．分析选取的3个名称的不同情况有A 33种，其中祝融是第3个被分析的情况有A 22种，故祝融不是第3个被分析的情况有C 29(A 33－A 22)＝144(种)．(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 答案 B解析 因为甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，则安排方法分两类：若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆， 有A 22＝2(种)；若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有C 12＝2(种)，然后剩下的一个人和甲、乙被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有C 23A 22＝6(种)，则共有2×6＝12(种)．综上，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为12＋2＝14.考点二 二项式定理核心提炼1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k . (3)代回通项公式即得所求．2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．例2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1－yx (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)． 答案 －28解析 (x ＋y )8展开式的通项T k ＋1＝C k 8x 8－k y k ，k ＝0，1，…，7,8.令k ＝6，得T 6＋1＝C 68x 2y 6；令k ＝5，得T 5＋1＝C 58x 3y 5，所以⎝⎛⎭⎫1－y x (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为C 68－C 58＝－28. (2)已知⎝⎛⎭⎫x ＋ax 4n 的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a 的值为________，展开式中的常数项为________． 答案 1 45解析 因为⎝⎛⎭⎫x ＋ax 4n 的展开式的所有项的二项式系数之和为2n ，且奇数项和偶数项的二项式系数之和相等，所以2n －1＝512，解得n ＝10， 所以展开式中第四项T 4＝C 310x 7⎝⎛⎭⎫a x 43， 所以C 310a 3＝120，解得a ＝1，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 410的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 10x 10－k ⎝⎛⎭⎫1x 4k ＝C k 10x 10－5k ， 令10－5k ＝0，解得k ＝2， 所以展开式中的常数项为C 210＝45.易错提醒 二项式(a ＋b )n 的通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0,1,2，…，n )，它表示的是二项式的展开式的第k ＋1项，而不是第k 项；其中C k n 是二项式展开式的第k ＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k ＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数． 跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x )8＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 8(1＋x )8，则a 6等于( ) A ．－448 B ．－112 C ．112 D ．448答案 C解析 (1－x )8＝(x －1)8＝[(1＋x )－2]8 ＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 8(1＋x )8，a 6＝C 28×(－2)2＝112.(2)(多选)已知(1－2x )2 023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 023x 2 023，则( ) A ．展开式中各项系数和为1B ．展开式中所有项的二项式系数和为22 023C ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 023＝－2D ．a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 02322 023＝0答案 BCD解析 令x ＝1得a 0＋a 1＋…＋a 2 023＝－1， ∴A 错误；二项式系数和为C 02 023＋C 12 023＋…＋C 2 0232 023＝22 023， B 正确；令x ＝0得a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 023＝－2，∴C 正确；令x ＝12有a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 02322 023＝0，∴D 正确．考点三 概率核心提炼1．古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的样本点数试验的样本点总数.2．条件概率公式设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0， 则P (B |A )＝P (AB )P (A ).3．全概率公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑i ＝1nP (A i )P (B |A i )．例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 D解析 从7个整数中随机取2个不同的数，共有C 27＝21(种)取法，取得的2个数互质的情况有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，{6,7}，{7,8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为1421＝23.(2)(多选)(2022·临沂模拟)甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1，A 2，A 3表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B 表示取出的球是红球的事件，则( ) A ．A 1，A 2，A 3两两互斥 B ．P (B |A 2)＝25C ．P (B )＝12D ．B 与A 1相互独立 答案 AB解析 A 1，A 2，A 3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，A 正确； P (B |A 2)＝P (BA 2)P (A 2)＝29×41029＝25，B 正确；P (A 1)＝49，P (B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)·P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3) ＝49×510＋29×410＋39×410＝49，C 错误； 又P (A 1B )＝49×510＝29，P (A 1)P (B )＝49×49＝1681，∴P (A 1B )≠P (A 1)·P (B )∴A 1与B 不相互独立，D 错误．(3)(2022·益阳调研)甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为23，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同．则甲获得冠军的概率为( )A.827B.1627C.3281D.4081 答案 D解析 甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1胜3负5胜6胜；1负4胜5胜6胜．所以甲获得冠军的概率为⎝⎛⎭⎫233＋2×⎝⎛⎭⎫233×13＝4081. 规律方法 求概率的方法与技巧 (1)古典概型用古典概型概率公式求解． (2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解．(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．跟踪演练3 (1)某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”．在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书．某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为( ) A.13 B.49 C.34 D.916 答案 D解析 三人挑选四种书，每人有4种选法， 共有43＝64种方法，恰有2人选同一种书的方法有C 23C 14C 13种，即36种方法，故恰有2人选同一种书的概率P ＝3664＝916.(2)(多选)一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲、乙分别作答，至少答对2题者被评为“智答能手”．设甲被评为“智答能手”为事件A ，乙被评为“智答能手”为事件B ，若P (B |A )＝P (B )，则下列结论正确的是( ) A ．P (A |B )＝P (A ) B ．P (B |A )＝115C ．甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为1645D ．甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为4445答案 ABD解析 由题意，可得P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415，由P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )，所以P (AB )＝P (A )P (B )，事件A ，B 相互独立，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝P (A )P (B )P (B )＝P (A )，故A 正确；P (B |A )＝P (B )＝1415，由条件概率的性质得P (B |A )＝1－P (B |A )＝1－1415＝115，故B 正确；因为事件A ，B 相互独立，所以A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．甲、乙都被评为“智答能手”的概率P (AB )＝P (A )P (B )＝23×1415＝2845，所以甲、乙至多有一人被评为“智答能手”的概率为1－P (AB )＝1－2845＝1745，故C 错误；甲、乙都没有被评为“智答能手”的概率P (A B )＝P (A )·P (B )＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－1415＝13×115＝145， 所以甲、乙至少有一人被评为“智答能手”的概率为1－P (A B )＝1－145＝4445，故D 正确．专题强化练一、单项选择题1．(2022·福州质检)⎝⎛⎭⎫3x －1x 6展开式中的常数项为( ) A ．－540 B ．－15 C ．15 D ．135答案 D解析 二项式⎝⎛⎭⎫3x －1x 6展开式的通项公式为 T k ＋1＝C k 6(3x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k＝(－1)k·36－k C k 6·362k x-，k ≤6，k ∈N ，由6－32k ＝0，解得k ＝4，则T 5＝(－1)4×32×C 46＝135， 所以⎝⎛⎭⎫3x －1x 6展开式中的常数项为135. 2．(2022·荆州联考)某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有( ) A ．80种 B ．120种 C ．130种 D ．140种答案 D解析 若夫妻中只选一人，则有C 12C 25A 33＝120(种)不同的方案；若夫妻二人全选，且两人报告顺序相邻，则有C 15A 22A 22＝20种不同的方案，故总计有140种不同的方案．3．(2022·惠州模拟)(a －x )(2＋x )6的展开式中x 5的系数是12，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 利用二项式定理展开得(a －x )(2＋x )6＝(a －x )(C 0626＋C 1625x ＋C 2624x 2＋C 3623x 3＋C 4622x 4＋C 562x 5＋C 66x 6)， 则x 5的系数为a C 562－C 4622＝12，∴a ＝6.4．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为( ) A.114 B.37 C.47 D.34 答案 C解析 从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只的方法为C 38，这3只鞋子中任意两只都不成双，选取的方法为C 34×23， 所以所求概率为P ＝C 34×23C 38＝47. 5．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1 h ，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为( ) A.25 B.38 C.58 D.34答案 B解析 令A 1＝“玩手机时间超过1 h 的学生”， A 2＝“玩手机时间不超过1 h 的学生”， B ＝“任意调查一人，此人近视”， 则Ω＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥， P (A 1)＝0.2，P (A 2)＝0.8，P (B |A 1)＝0.5， P (B )＝0.4， 依题意，P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2) ＝0.2×0.5＋0.8×P (B |A 2)＝0.4， 解得P (B |A 2)＝38，所以所求的概率为38.6．为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为13，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业．则两家店铺该节假日都能正常营业的概率为( ) A.19 B.49 C.59 D.89答案 D解析 设两家店铺不能都正常营业为事件A ， 由题意可知有4人休假的概率为⎝⎛⎭⎫134＝181， 有3人休假的概率为C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫231＝881，所以两家店铺不能都正常营业的概率为P (A )＝181＋881＝19，所以两家店铺该节假日都能正常营业的概率为1－P (A )＝89.7．(2022·锦州模拟)定义：两个正整数a ，b ，若它们除以正整数m 所得的余数相等，则称a ，b 对于模m 同余，记作a ＝b (mod m )，比如：26＝16(mod 10)．已知n ＝C 010＋C 110·8＋C 210·82＋…＋C 1010·810，满足n ＝p (mod 7)，则p 可以是( ) A ．23 B ．31 C ．32 D ．19答案 A解析 因为n ＝C 010＋C 110·8＋C 210·82＋…＋C 1010·810＝(1＋8)10＝(7＋2)10， 也即n ＝C 010·710＋C 110·79·2＋…＋C 910·7·29＋C 1010·210， 故n 除以7的余数即为C 1010·210＝1 024除以7的余数，1 024除以7的余数为2，结合选项知23除以7的余数也为2，满足题意，其它选项都不满足题意．8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )A ．C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 210＝165B ．在第2 022行中第1 011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2∶3答案 C解析 由C m －1n ＋C m n ＝C m n ＋1可得 C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 210＝C 23＋C 33＋C 24＋C 25＋…＋C 210－1＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 210－1 ＝C 311－1＝11×10×93×2×1－1＝164，故A 错误； 第2 022行中第1 011个数为C 1 0102 022<C 1 0112 022，故B 错误；C 66＋C 67＋C 68＝C 77＋C 67＋C 68＝C 78＋C 68＝C 79， 故C 正确；第34行中第15个数与第16个数之比为C 1434∶C 1534＝34×33×…×2114×13×…×1：34×33×…×2015×14×13×…×1＝15∶20＝3∶4，故D 错误．二、多项选择题9．(2022·山东省实验中学诊断)已知(a ＋b )n 的展开式中第五项的二项式系数最大，则n 的值可以为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 ABC解析 若展开式中只有第五项的二项式系数最大，则n 2＋1＝5，解得n ＝8；若展开式中第四项和第五项的二项式系数最大，则n ＋32＝5，解得n ＝7；若展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则n ＋12＝5，解得n ＝9. 10．(2022·湖南师大附中模拟)抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x 表示红色骰子的点数，y 表示绿色骰子的点数，设事件A ＝“x ＋y ＝7”，事件B ＝“xy 为奇数”，事件C ＝“x ＞3”，则下列结论正确的是( )A ．A 与B 互斥B ．A 与B 对立C ．P (B |C )＝13D ．A 与C 相互独立答案 AD解析 事件A 包含的基本事件为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6种，所以P (A )＝66×6＝16， 事件B 包含的基本事件为(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9种，则P (B )＝96×6＝14， 所以A 与B 互斥但不对立，故A 正确，B 错误；事件C 包含的基本事件数为3×6＝18，则P (C )＝186×6＝12， P (BC )＝36×6＝112， 所以P (B |C )＝P (BC )P (C )＝16，故C 错误； 因为P (AC )＝36×6＝112， P (A )·P (C )＝16×12＝112， 则P (AC )＝P (A )·P (C )，所以A 与C 相互独立，故D 正确．11．(2022·襄阳模拟)A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有( )A ．若A ，B 两人站在一起，则共有24种排法B ．若A ，B 不相邻，则共有72种排法C ．若A 在B 左边，则共有60种排法D ．若A 不站在最左边，B 不站在最右边，则共有78种排法答案 BCD解析 对于A ，先将A ，B 排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步乘法计数原理可知，共有A 22A 44＝48(种)，所以A 不正确；对于B ，先将A ，B 之外的3人全排列，产生4个空，再将A ，B 两元素插空，所以共有A 33A 24＝72(种)，所以B 正确；对于C,5人全排列，而其中A 在B 的左边和A 在B 的右边是等可能的，所以A 在B 的左边的排法有12A 55＝60(种)，所以C 正确； 对于D ，对A 分两种情况：一是若A 站在最右边，则剩下的4人全排列有A 44种，另一个是A 不站在最左边也不站在最右边，则A 从中间的3个位置中任选1个，然后B 从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法计数原理可知，共有A 44＋A 13A 13A 33＝78(种)，所以D 正确．12．甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1,2,3,4，乙四个面上分别标有数字5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( )A ．P (A )＝P (B )＝P (C )B ．P (BC )＝P (AC )＝P (AB )C ．P (ABC )＝18D ．P (B |A )＝12答案 ABD解析 由已知得P (A )＝24×24＋24×24＝12， P (B )＝P (C )＝24＝12， 所以P (A )＝P (B )＝P (C )，则A 中结论正确；P (AB )＝24×24＝14， P (AC )＝14，P (BC )＝14， 所以P (BC )＝P (AC )＝P (AB )，则B 中结论正确；事件A ，B ，C 不相互独立，故P (ABC )＝18错误，即C 中结论错误； P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12，则D 中结论正确． 三、填空题13．(2022·益阳调研)为迎接新年到来，某中学“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行．校文娱委员会要在已经排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为________．答案 90解析 总共10个节目排顺序，先把老师的节目排好，剩下的8个学生的节目按原来的顺序即可，故共有A 210＝90种不同的排法．14．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．答案 635解析 从正方体的8个顶点中任选4个，取法有C 48＝70(种)．其中4个点共面有以下两种情况：(1)所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法；(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法． 故4个点在同一个平面共有6＋6＝12(种)情况．所以所取的4个点在同一个平面的概率P ＝1270＝635. 15．(2022·滨州模拟)(x ＋y －z )6的展开式中xy 2z 3的系数是________．答案 －60解析 依题意xy 2z 3的系数为C 16C 35(－1)3＝－60.16．(2022·广州模拟)如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于－2的位置”的概率为__________．答案 1564解析 由图可知，若想通过6次移动最终停在－2的位置上，则必然需要向右移动2次且向左移动4次，记向右移动一次为R ，向左移动一次为L ，则该题可转化为RRLLLL 六个字母排序的问题，故落在－2上的排法种数为A 66A 22A 44＝15，所以移动结果的总数为26＝64，所有落在－2上的概率为P ＝1564.。