机械振动4两自由度系统的动力学方程
实际振动为：
x(t ) x ( 2) (t ) x ( 2) (t )
1 1 C1 sin(1t 1 ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 17) r1 r2
其中C1、C2和1、2由初始条件确定。
《振动力学》 12
例4.1-1： m1 m, m2 2m，
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根，即两个固有 频率。 每个i 代入方程 (4.1 10)，得到： 2 k u k12 2 11 i m1 2 (k11 i m1 )u1 k12u2 0 u1 k12 k22 i2 m2
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称 为 振 型 向 量 或 模 态 向
量 ， 分 别 对 应 于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin( i t i )， 对每个 i： (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin( i t i )，
以O点为参考点，O点与质心C的距离为a，距离A、B点分 别为l1、l2，相对静平衡位置O0的位移为x，刚性杆相对平 衡位置的偏角为θ 。 试建立系统的动力学方程。
《振动力学》 19
解：以x、θ 为广义坐标
xc x a sin
θ 为小量
θ
xc x a
k1
x O0
k2
系统的动能：
T 1 2 1 2 C I c C mx 2 2 1 ) 2 1 J 2 a m( x 2 2
m人
k1 c1
m车
建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 弹性和阻尼 k2
c2
需两个独立坐标
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合 缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
《振动力学》 3
m人
k1 c1
m车
k2 建模方法3： 车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼 k3 c2 k2
《振动力学》 17
2 I1 2( 2) k 2 I1 2(1) k 12 I1 r1 (1) 1, r2 ( 2) 1 k I2 1 k
以2振动时，固有振型如图 ：
节面处始终保持不动。
1
l1
节面
l
l2
I1 I2
I 2l I1l 节面的位置 : l1 , l2 I1 I 2 I1 I 2 l1 I 2 l2 I1
( 2 ) 2m2 4 7mk 2 5k 2 0
k k/m 12 7 1 7 2 2 ( ) 10 2 4 2 2 m 5k / 2m
《振动力学》
1
k 5k , 2 m 2m
15
例4.1-2：求扭转振动系统的固有频率和固有振型
《振动力学》
5
§4.1
自由振动
两自由度系统的动力学方程一般由两个联立的微分方 程组成。 解两个联立的微分方程会得到两个特征根，即两个固 有频率。 两自由度系统以固有频率进行的振动，
有两个相对固定的位移形态。
这种相对固定的位移形态称为固有振型，或模态。
《振动力学》 6
实例：
k1 m1
x1
k2 m2
u( 2)
u ( 2)
u1( 2) ( 2) 1 ( 2) u1 0 . 5 u 2
1
u (1)
1
k 1 m
节点
-0.5
2
5k 2m
14
1
《振动力学》
例4.1-2： m1 m, m2 2m，
k1 k2 k，k3 2k
x1
x2
k1
m1
k2
m2
k3
(1) u2 k11 12 m1 2k k 得：r1 (1) 1 u1 k12 k ( 2) 2 u2 k11 2 m1 2k 5k / 2 r2 ( 2) 0.5 u1 k12 k
(1) u (1) (1) 1 1 得固有振型： u (1) u1 1 u2
1
k
2
I1
I2
在节面处进行固定，不 改变该扭振系统的振动 特性。 即该扭振系统可看成两 个以同一频率按相反方 向扭振的单自
由度系统。
《振动力学》 18
例4.1-3 讨论汽车简化模型， 设刚性杆AB的 质量为m，相 对质心C的转 动惯量为J， 弹簧刚度系数 为k1、k2，
θ x k1 k2
O0
( 2 ) 2m2 4 7mk 2 5k 2 0
k k/m 12 7 1 7 2 2 ( ) 10 2 4 2 2 m 5k / 2m
《振动力学》
1
k 5k , 2 m 2m
13
k 5k k 1 , 2 1.5811 m 2m m
代入方程得：
m1u1 f(t ) (k11u1 k12u2 ) f (t ) 0 m2u2 f(t ) (k21u1 k22u2 ) f (t ) 0
要使上式有解，必须：
f(t ) k11u1 k12u2 k21u1 k22u2 f (t ) m1u1 m2u2
代入方程得：
(k11 2 m1 )u1 k12u2 0 k21u1 (k22 m2 )u2 0
2
（4.1-10）
代数方程，有非零解的条件：
2 k m1 k12 2 11 ( ) 0 2 k21 k22 m2
《振动力学》
特征行列式，
9
2 k m1 k12 2 11 ( ) 0 2 k21 k22 m2
x2
k3
k1x1
k2(x1-x2)
m1
1 m1 x
m1 x 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0
k2(x1-x2)
m2
k3x2
m2 x 2 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 0
写成矩阵形式： 其中：
2 m2 x
M x Kx 0
x1
x2
k1 k2 k，k3 2k
求固有频率和固有振型 。
k1
m1
k2
m2
k3
解：方程
M x Kx 0
2k k m 0 其中： M K 0 2m k 3 k 2 2 k m k 2 k m k 2 11 1 12 ( ) 0 2 2 k21 k22 m2 k 3k 2 m
第四章
两自由度系统的振动
《振动力学》
1
例子：汽车行驶在路面上会产生上下振动 m
k 要求：对汽车的上下振动进行动力学建模 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合 建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单（单自由度） 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之 2 《振动力学》 间的相互影响 c
特征方程：
1
k
2
(k 2 I1 )(k 2 I 2 ) k2 0 I1I 2 4 k (I1 I 2 ) 2 0
特征根：
I1
I2
I1 I 2 0, k , I1 I 2 相应的振幅比 :
2 1 2 2
这里1 0，r1 1 ， 说明以 1振动时，转角是相同的 ，轴段无变形。 这实际上是刚体转动， 不是振动。
1 1 sin(t ) 设 2 2 sin(t )
I 2 2 I1 1
《振动力学》 16
代入微分方程组，得
(k 2 I1 )1 k 2 0 2 k ( k I 2 ) 2 0 1
《振动力学》 8
f(t ) f (t ) 0
与单自由度振动的方程一样，要有振动，λ必须为正实数。
而且解为： f (t ) C sin(t )
（4.1-9）
其中：C为任意常数， 为振动频率， 为初相位角。
xi ui f (t ) Cui sin(t )， (i 1,2)
两圆盘 转动惯量 I1 , I 2， 轴的扭转刚度
k
1
k
2
k ( ) 建立方程： I1 1 2 1 I 2 2 k (1 2 )
I1
k (1 2 ) k (1 2 )
I2
k k 0 I1 1 1 2 k k 0 I 2 2 1 2
2 ( 2 ) m1m2 4 (m1k22 m2k11 ) 2 k11k22 k12 0
2 12 1 m1k 22 m2 k11 1 m1k 22 m2 k11 2 k11k 22 k12 2 ( ) 4 m1m2 2 m1m2 m1m2 2 2
x x1
x2
m1 0 M 0 m 2
k1 k2 K k2
k2 k 2 k3
T
质量矩阵
《振动力学》
刚度矩阵
7
令k1 k2 k11，
k2 k12 k21，
k2 k3 k22。
k1 k2 K k2
《振动力学》 11
(1) x 1 (1) (1) 1 (t ) 得： x (t ) (1) u f1 (t ) C1 sin(1t 1 ) r1 x2 (1 ( 2) ( 2) 1 (t ) x (t ) ( 2) u f 2 (t ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 16b) r2 x2 (t )
基于MATLAB 的二自由度和四自由度汽车振动模型分析
Science and Technology &Innovation ┃科技与创新2020年第17期·67·文章编号：2095－6835（2020）17－0067－03基于MATLAB 的二自由度和四自由度汽车振动模型分析金琦珺，罗骞＊（武汉理工大学汽车工程学院，湖北武汉430070）摘要：以普通乘用车为例，将汽车简化成独立悬架整车二自由度与四自由度动力学模型，根据牛顿第二定律求出系统的运动微分方程，并利用MATLAB 研究了汽车振动的频率响应特性，求解得到该振动系统的固有频率和各主振型，绘制出车身、前后轴振动对前后轮激励的频率响应曲线图。
并着重研究了轮胎阻尼对汽车平顺性的影响。
该研究能够对减轻汽车振动及提高汽车行驶平顺性提供一定有益的参考。
关键词：MATLAB ；二自由度：四自由度；自由振动中图分类号：TH701文献标识码：A DOI ：10.15913/ki.kjycx.2020.17.0261引言机械振动对于人类的生产生活来说是一把双刃剑，既可以服务于人类，又对人类的生产活动有重大危害。
机械振动既有有利的一面也有有害的一面。
需对振动进行动态分析，通过研究物体偏离平衡位置的位移、速度、加速度等的动态变化来达到目的。
在物体的平衡点附近出现的物体的来回运动，有线性和非线性两种振动模式。
由于外界对系统的激励或作用，使得机械设备产生噪声及有损于机械结构的动载荷，从而影响设备的工作性能和寿命。
尤其是发生共振情况时，可能使机器设备受到损坏，所以急需对机械振动的相关原理进行研究。
为了合理减小振动对设备的危害，充分利用振动进行机器运作，对机械振动产生的规律进行了探讨和研究。
随着计算机智能系统的快速发展，相关的仿真技术都出现了极大的提升空间，在日常的生产活动中，人们经常用到的相关软件有adams 、abaqus 等。
目前MATLAB 计算机软件在计算机的仿真方面使用更加广泛一些，MATLAB 是一款拥有强大绘图能力的工程计算高级计算机语言。
机械振动公式范文
机械振动公式范文机械振动是物体在受到外部力或激励作用下，发生周期性的来回运动的现象。
机械振动广泛应用于各种工程领域，如建筑结构、机械设备和交通工具等。
理解机械振动的公式对于研究和应用机械振动具有重要意义。
1.一维简谐振动公式：简谐振动是最简单的振动形式，其运动方程可以写为：x = A * sin(ωt + φ)其中，x是振动的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是初相位。
角频率和振动频率之间的关系为ω=2πf，其中f是振动频率。
由于简谐振动是周期性的，其振动周期可以通过振动频率的倒数求得，即T=1/f。
2.振动系统的自由振动公式：在无外力作用下，振动系统将进行自由振动。
对于单自由度的线性振动系统，其自由振动公式可以写为：mx'' + kx = 0其中，m是振动质量，x''是加速度的二阶导数，k是系统的弹簧刚度。
这个方程通常被称为简谐振动的运动方程。
通过求解这个方程可以得到系统的振动频率和振动模态。
3.阻尼振动公式：当振动系统受到阻尼力的作用时，振动将逐渐衰减。
mx'' + cx' + kx = 0其中，c是阻尼系数，x'是速度的一阶导数。
该方程描述了阻尼振动的运动特性，具体形式取决于阻尼系数的大小与系统的质量和刚度。
4.简谐受迫振动公式：当振动系统受到外部力或激励的作用时，振动将呈现非简谐的运动形式。
对于简谐受迫振动系统，其运动方程可以写为：mx'' + cx' + kx = F0 * sin(ωt)其中，F0是外力的振幅，ω是外力的角频率。
该方程描述了简谐受迫振动的运动特性，包括振幅和相位角对外力的响应。
这些是机械振动中常见的公式，用于描述振动的运动方式、振幅、振动频率和振动周期等参数之间的关系。
通过理解和应用这些公式，可以对机械振动进行分析和控制，从而实现相关工程领域的应用和优化。
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
《机械振动》张义民—第4章第1、2节ppt
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
机械振动学总结全
机械振动学总结 第一章 机械振动学基础第二节 机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t 变化的规律。
用函数关系式来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数来表示，则这一个运动时周期运动。
其中T 的最小值叫做振动的周期，Tf 1=定义为振动的频率。
简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，ϕ和ψ称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度ω称为简谐振动的角频率简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
图P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率ω若用复数来表示，则有)sin()cos()(ψωψωψω+++==+t jA t A z Ae z t j用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。
因为复指数t j e ω对时间求导一次相当于在其前乘以ωj ，而每乘一次j ，相当于有初相角2π。
二．周期振动满足以下条件：1)函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在；2)在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中22n n n b a A += nn n b a =ψt a n 三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成1.俩个同频率的简谐振动)sin(222ψω+=t A x ，)sin(2222ψω+=t A x它们的合成运动也是该频率的简谐振动2.俩个不同频率振动的合成若21ωω≤，则合成运动为若21ωω≥ ，对于A A A ==21 ,则有上式可表示为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线。
动力学-二自由度系统的自由振动
x1 x2
0
MX KX 0
求如下形式的解：
X
c c '
cost
特征方程
2M K 0
(k2 m22 )(k1 k2 m12 ) k22 0
方程有正实根： 1,2
特征向量：
i2 MKຫໍສະໝຸດ c c '0,
i
1,2
如果
X
c c '
cost
是解,
方程的通解：
则
X
c c '
sin
第七章 机械振动基础
• 当描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变 化时，称之为振动。
•力学和机械系统中的振动称为机械振动。
研究振动的目的： 1. 振动的性质与特性 2. 利用振动 3. 消除振动
§7-4、二自由度系统的自由振动
一、运动微分方程的建立
取静平衡位置为坐标原点：
k1
m1
x1
T
1 2
m1x12
m122
c4
振型： 第一振型
第二振型
1
u(1)
k1
k2 m112
k2
1
u(2)
k1
k2
m1
2 2
k2
二、二自由度系统自由振动的特性
系统的固有频率、振型与初始条 件无关，仅与系统的参数有关。
三、一般的二自由度系统
二自由度系统的动力学方程
m11 m21
m12 m22
x1 x2
k11 k21
k12 k22
x1 x2
0
MX KX 0
M：广义质量矩阵，K：广义刚度矩阵
1 2
m2 x22
k2
m2
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
瑞利法从单自由度振动系统固有频率计算的能量方法出 发，对于多自由度振动系统，在作无阻尼自由振动时，
Tmax Umax 响应为同步振动。系统的动能可表示为：
T 1 X&T MX& 2
系统的势能
U 1 X T KX 2
设 X {ui}sin nit
带入得最大动能
Tmax
2 ni 2
2k 2m k
=0
k k 22m
即： (2k 2m)(k 22m) k 2=0
可得固有频率
12
=0.2192
k m
22
=2.2808
k m
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
{ui }T
M {ui}
最大势能
U max
1 2
{ui
}T
K{ui }
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
带入公式 Tmax Umax 得：
2 ni
{ui}T K{ui} {ui}T M{ui}
4-2-7
利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前
K{u2} M {u2}
=
{1
1} k
1}
m 0
k
1
0 1 2m 1
5k 3m
1.667
k m
与精确解相比，一阶固有频率的相对计算误差 1.35%
二阶固有频率的相对计算误差 -26.92%
2024大学物理力学第八章机械振动
动contents •简谐振动•阻尼振动与受迫振动•振动的合成与分解•振动在介质中的传播•多自由度系统的振动•非线性振动与混沌目录01简谐振动简谐振动的定义与特点定义简谐振动是最基本、最简单的振动形式，指物体在跟偏离平衡位置的位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
特点简谐振动的物体所受的回复力F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，且方向始终指向平衡位置；振动过程中，系统的机械能守恒。
动力学方程根据牛顿第二定律，简谐振动的动力学方程可以表示为F=-kx，其中F为回复力，k为比例系数，x为物体偏离平衡位置的位移。
运动学方程简谐振动的运动学方程可以表示为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相。
势能与动能在简谐振动过程中，系统的势能Ep和动能Ek都在不断变化，但它们的总和保持不变，即机械能守恒。
能量转换在振动过程中，势能和动能之间不断相互转换。
当物体向平衡位置运动时，势能减小、动能增加；当物体远离平衡位置时，势能增加、动能减小。
同方向同频率简谐振动的合成当两个同方向、同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动仍然是一个简谐振动，其振幅等于两个分振动振幅的矢量和，其初相等于两个分振动初相的差。
同方向不同频率简谐振动的合成当两个同方向、不同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动一般不再是简谐振动，而是比较复杂的周期性振动。
在某些特定条件下（如两个分振动的频率成简单整数比），合振动可能会呈现出一定的规律性。
相互垂直的简谐振动的合成当两个相互垂直的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动轨迹一般是一条复杂的曲线。
在某些特定条件下（如两个分振动的频率相同、相位差为90度），合振动轨迹可能会呈现出一定的规律性，如圆形、椭圆形等。
02阻尼振动与受迫振动阻尼振动的定义与分类定义阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于系统内部摩擦或外部介质阻力的存在，使振动幅度逐渐减小，能量逐渐耗散的振动。
机械振动公式总结
机械振动公式总结机械振动是指物体在作有规律的往复运动时所表现出的现象，它广泛应用于工程领域，例如机械工程、建筑工程、航空航天工程等。
机械振动公式是描述机械振动性质和特点的数学公式，可以用于计算、分析和预测机械振动的参数和行为。
下面是一些常见的机械振动公式的总结。
1.简谐振动公式简谐振动是指在没有外力或外力恒定时，物体的振动是以弹性势能和动能的相互转化为基础的。
简谐振动公式可以表示为：x = A sin(ωt + φ)其中，x表示位移，单位为米；A表示振幅，单位为米；ω表示角速度，单位为弧度/秒；t表示时间，单位为秒；φ表示初相位，单位为弧度。
2.弹性力系数公式弹性力系数是描述弹性材料力学性质的一个参数，也是机械振动中重要的参数之一、弹性力系数公式可以表示为：F = kx其中，F表示受力，单位为牛顿；k表示弹性力系数，单位为牛顿/米；x表示位移，单位为米。
3.自然频率公式自然频率是指物体在没有外力作用时，在固有的弹性约束条件下产生的振动频率。
自然频率公式可以表示为：f=1/(2π)*√(k/m)其中，f表示自然频率，单位为赫兹；k表示弹性力系数，单位为牛顿/米；m表示质量，单位为千克。
4.阻尼振动公式阻尼振动是指在振动过程中存在能量损失的振动，由于摩擦、空气阻力等因素的存在。
阻尼振动公式可以表示为：x = e^(-βt) * (Acos(ωdt + φ1) + Bsin(ωdt + φ2))其中，x表示位移，单位为米；β表示阻尼系数，单位为弧度/秒；ωd表示阻尼角频率，单位为弧度/秒；t表示时间，单位为秒；A、B、φ1、φ2表示振动的参数。
5.多自由度振动公式多自由度振动是指多个物体同时进行复杂的振动过程，可以通过多自由度振动公式来描述。
多自由度振动公式可以表示为：M¨+KX=0其中，M表示质量矩阵，K表示刚度矩阵，X表示位移矩阵。
通过这些机械振动公式，我们可以计算出机械系统的振幅、频率、质量、弹性力系数等参数，进而进行分析和预测。
机械振动多自由度系统的运动方程
位移方程
x Mx
Mx x 0
与作用力方程比较 Kx Mx K是非奇异的，即K 1的逆矩阵存在
x K 1 (Mx)
K 1
多自由度系统
多自由度系统的运动微分方程--影响系数法
柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系
K 1
即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵； 当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。
单自由度系统回顾
单自由度系统回顾
等效质量与等效刚度计算
• 等效质量－－动能等效 • 等效刚度－－势能等效
阻尼自由振动
• 三种阻尼类型（粘性，库伦，结构） • 阻尼比与临界阻尼，振动方程的解，初始条件下的响应 • 对数衰减率测定系统阻尼 • 粘性阻尼与库伦阻尼的衰减特征
多自由度系统
单自由度系统回顾
系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形 x1 (m1x1 ) 11 (m2 x2 ) 12 (m3 x3 ) 13 x2 (m1x1 ) 21 (m2 x2 ) 22 (m3 x3 ) 23 x3 (m1x1 ) 31 (m2 x2 ) 32 (m3 x3 ) 33
多自由度系统
多自由度系统的运动微分方程--影响系数法
写成矩阵形式
x1
x2
x3
11 21 31
12 22 32
13 m1
23
0
33 0
0 m2 0
0 0 m3
x1 x2 x3
n
1
kn2
k1n
k2n