高三数学文科函数专题

一、知识回顾

1、函数零点的概念：对于函数)(x f ,方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，即)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点

?函数)(x f y =有零点。

3、函数零点的求法：

（1）（代数法）求方程0)(=x f 实数根；（2）（几何法）数形结合法，求图象交点个数。 4、零点存在性定理(函数零点的判定)

若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )＜0，则在区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有一个零点，即相应方程f (x )＝0在区间(a ，b )内至少有一个实数解．

即：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．

[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．

5.二分法：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是连续不断的一条曲线，且0)()(

逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

注意：求曲线)(x f y =和)(x g y =的交点的横坐标，实际上就是求函数)()()(x g x f x F -=的零点，即求方程

0)()(=-x g x f 的根。

6.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系

Δ＝b 2－4ac Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数

y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象

与x 轴的交点 (x 1，0)，(x 2，0)

(x 1，0) 无交点 零点个数

2

1

1.已知函数2log (0)(),3(0)

x

x x f x x >?=?≤?则1

[()]4f f 的值是（ ） A.19-

B. －9

C.1

9

D.9 2. 设函数1

()ln (0),3f x x x x =->则关于()y f x =正确的是（ ）

A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点，

B 在区间1

(,1),(1,)e e 内均无零点。

C 在区间1

(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1

(,1)e

内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

3. (15·福州模拟)已知函数f (x )＝?

??

??

2x

－1，x ≤1，

1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )

A.（1

2

，0）

B.（－2,0）

C.1

2

D.0

4.已知函数23)(2

3

+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，则a 的取值范围是( )

A ．)3,(--∞

B ．]3,(--∞

C ．)0,3(-

D ．)0,3[-

5. 函数()??

?>+-≤-=1

,341

,442

x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 6.已知函数1

()1log (01),()a f x x a a f x -=+>=/且是()f x 的反函数，若)(1

x f

-的图象经

过（3,4），则a = ( )3 C. 3 3 D. 27. (14·湖北，文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1，3}

B ．{－3，－1，1，3}

C ．{2－7，1，3}

D ．{－2－7，1，3}

8. (15·温州十校联考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)

D ．(3，4)

9. 函数f (x )＝2x －2

x

－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )

A ．(1，3)

B ．(1，2)

C ．(0，3)

D ．(0，2)

10.函数y = log 2 ( x 2 – 5x – 6 )单调递减区间是（ ）

A ．??

? ??∞-25,

B ．??

? ??+∞,25

C ．()1,-∞-

D ．(+∞,6)

11.f(x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5 x |的零点个数为( )

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

12.已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，4

B ．(4，＋∞)

C ．(0，2)

D ．(2，＋∞)

13. (15·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝?????

? ??

??12x ＋34，x ≥2，

log 2x ，0

两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.

14. (13年天津，文）函数1log 2)(05-=x x f x

的零点个数为 。 15．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是_________________

16.已知函数2

1(04)()2(40)

x x x f x x ?+≤≤?=?-≤

17.函数6

2430

1+-=

+x x y , ]1,0[∈x 的值域是 ．

18. （13年陕西，文）已知函数.,)(R x e x f x

∈= 证明：曲线)(x f y =与曲线12

12

++=x x y 有唯一的公共点.

19.已知函数3

21()23

f x x bx x a =

-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）当[1, 3]x ∈时，求函数()f x 的最大值．

20.已知函数)4,1()(2

3

M bx ax x f 的图象经过点+=，曲线在点M 处的切线恰好与直线

09=+y x 垂直。

（1）求实数b a ,的值；（2）若函数m m m x f 求上单调递增在区间,]1,[)(+的取值范围。

21．设函数()f x 的定义域为R ，若()f x x ≤对一切实数x 均成立，则称函数()f x 为Ω函数． （I ）求证：若函数()f x 为Ω函数，则(0)0f =；

（II ）试判断函数1()sin f x x x =、()2e e 1x x f x -=+和()322e e 1

x x x f x =+中哪些是Ω函数，并说

明理由；

（III ）若()f x 是奇函数且是定义在R 上的可导函数，函数()f x 的导数()f x '满足

|()|1f x '<，试判断函数()f x 是否为Ω函数，并说明理由.